Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: λ pa( λ) de( A λi) λ + λ 4λ Οι ρίζες του θα είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε λ p A ( λ) λ + Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: + + ( A λi) O ( A( ) I) O 4 + Ο πίνακας συντελεστών του συστήματος δίνει με απαλοιφή Gauss: + + + Επομένως καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: ( + ) + Έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή επομένως η γενική λύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: ( ), R To πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός γιατί δεν ορίζεται μηδενικό ιδιοδιάνυσμα. Επομένως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή λ δίνονται από τη σχέση, R

Όπως είναι φανερό, ο ιδιοχώρος V( λ ), R (εδώ το μπορεί να είναι ίσο με μηδέν γιατί ο ιδιοχώρος περιέχει πάντοτε και το μηδενικό διάνυσμα) παράγεται από το δηλ. V ( λ ) span To διάνυσμα αυτό αποτελεί βάση του V ( λ ) και η γεωμετρική πολλαπλότητα της λ είναι dim V ( λ ) Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: + ( A λi) O ( A( + ) I) O 4 + + Ο πίνακας συντελεστών του συστήματος δίνει με απαλοιφή Gauss: Επομένως καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: ( ) + Έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή επομένως η γενική λύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: ( + ) +, R Έτσι κάθε ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ + έχει την μορφή: +, R + Όπως είναι φανερό, ο ιδιοχώρος V ( λ ) παράγεται από το δηλ. + V ( λ ) span To διάνυσμα αυτό αποτελεί βάση του V ( λ ) και η γεωμετρική πολλαπλότητα της λ είναι dim V ( λ )

Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: λ pa( λ) de( A λi) λ λ + 4λ 4 λλλ ( ) λ Οι ρίζες του θα δώσουν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε λ p A ( λ) λ λ H λ έχει αλγεβρική πολλαπλότητα ίση με, και η λ (ή η λ ) έχει αλγεβρική πολλαπλότητα ίση με. Παρατηρούμε ότι όπως είναι αναμενόμενο r( A) a + a + a + + 4 λ + λ + λ Επίσης μπορούμε να επαληθεύσουμε τη σχέση A λλλ, γεγονός που σημαίνει ότι ο πίνακας Α δεν είναι αντιστρέψιμος. Στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να φτάσουμε παρατηρώντας το χαρακτηριστικό πολυώνυμο από το οποίο απουσιάζει ο σταθερός όρος. λ Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: ( A λi) O ( A I) O Έτσι παίρνουμε τελικά τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην λ έχουν τη μορφή:, R Για τον ιδιοχώρο V ( λ ) θα έχουμε V( λ ), R

Έτσι V ( λ ), R, R span Επειδή το διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και παράγει το χώρο, αποτελεί βάση του V ( λ ) και επομένως η γεωμετρική πολλαπλότητα της λ θα είναι dim V ( λ ), (ίση με την αλγεβρική πολλαπλότητά της). λ λ Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη δεύτερη (ή την τρίτη) ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: ( A λi) O ( A I) O Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε πως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην λ (ή στην λ )έχουν τη μορφή:, R Για τους ιδιοχώρους V( λ), V( λ ) θα έχουμε V ( λ) V ( λ), R, R span Επειδή το διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και παράγει το χώρο, αποτελεί βάση των V ( λ ) και V ( λ ) και επομένως η γεωμετρική πολλαπλότητα των λ, λ θα είναι dim V( λ ) dim V( λ ), (μικρότερη από την αλγεβρική τους πολλαπλότητα). Παράδειγμα 9 9 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα A 6 6 6 8 τουλάχιστον ιδιοτιμή είναι ακέραιος αριθμός. δεδομένου ότι μία 4

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το pa ( λ) λ + λ + 6λ 48 Για να λύσουμε την χαρακτηριστική εξίσωση p ( ) A λ πρέπει να βρούμε μία παραγοντοποίηση του πολυωνύμου pa( λ ), το οποίο είναι τρίτου βαθμού. Η εργασία αυτή διευκολύνεται διότι δίνεται ότι μία τουλάχιστον ιδιοτιμή (επομένως και ρίζα του πολυωνύμου) είναι ακέραια. Επειδή όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι αριθμοί, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι αν ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές έχει ακέραιες ρίζες τότε αυτές είναι διαιρέτες του σταθερού όρου. Έτσι στην περίπτωσή μας θα αναζητήσουμε την ακέραια ρίζα στους διαιρέτες του 48 δηλ. στους αριθμούς: ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ± 8, ±, ± 6, ± 4, ± 48 Δοκιμάζουμε τους αριθμούς με τη σειρά μέχρι να βρούμε μία ρίζα του πολυωνύμου: pa( ) 6 pa() pa( ) 6 pa() pa( ) 4 pa() Επομένως ο αριθμός είναι μία ρίζα του πολυωνύμου. Στη συνέχεια για να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο θα υπολογίσουμε το πηλίκο της διαίρεσης του pa( λ ) με το λ. Αυτό θα γίνει εύκολα με το σχήμα Horner: - 6-48 - 48-6 Έτσι θα είναι τελικά pa ( λ) ( λ)( λ + 6) ( λ)( λ 6) ( λ )( λ+ 4)( λ 4) Επομένως η λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης p ( ) A λ δίνει τρείς ιδιοτιμές, τις: λ, λ 4, λ 4 Παράδειγμα 4 Επαληθεύστε το θεώρημα Cayley-Hamilon χρησιμοποιώντας τον πίνακα Θα πρέπει να δείξουμε ότι pa( A) O Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το 5 λ pa( λ) de( A λi) λ 7λ8 9 λ Είναι p ( ) 7 8 A A A A I 5 A 9 5

Όμως 5 5 4 4 A 9 9 6 Έτσι 4 4 5 pa( A) 7 8 6 9 4 4 5 4 8 8 8 6 6 4 8 8 8 Επομένως το θεώρημα Cayley-Hamilon επαληθεύτηκε. Παράδειγμα 5 Δίνεται ο πίνακας A 4. a) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A. b) Με τη χρήση του θεωρήματος Cayley-Hamilon να βρεθεί ο αντίστροφος του A αν υπάρχει. c) Να υπολογισθεί ο A συναρτήσει του A. d) Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές 4 και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα των πινάκων A, A, A a) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το λ pa( λ) de( A λi) λ 5λ+ 6 4 λ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ρίζες τις λ, λ οι οποίες είναι και οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: ( A λi) O ( A I) O 4 από το οποίο προκύπτει τελικά ότι το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην λ έχει τη μορφή:, R Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: ( A λi) O ( A I) O 4 από το οποίο προκύπτει τελικά ότι το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην λ έχει τη μορφή: 6

/, R b) Επειδή δεν υπάρχει μηδενική ιδιοτιμή, ο πίνακας Α αντιστρέφεται. Το θεώρημα Cayley-Hamilon δίνει p ( ) 5 6 A A O A A+ I O A Πολλαπλασιάζοντας με από αριστερά έχουμε: A A 5A A+ 6A I A O A 5I + 6A O 6A 5I A A 5I A 6 4 A 5 6 4 6 ( ) c) Για τον υπολογισμό του A εκτελούμε τη διαίρεση: λ : p A ( λ ) Η διαίρεση θα δώσει ένα πηλίκο έστω πλ ( ) και ένα υπόλοιπο, το οποίο θα είναι πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του διαιρέτη pa( λ ). Στη συγκεκριμένη περίπτωση το υπόλοιπο θα είναι πρώτου βαθμού, της μορφής: aλ + b Έτσι θα έχουμε: λ p ( ) ( ) A λπλ + aλ+ b () Στη σχέση () αντικαθιστούμε με τη σειρά τις ιδιοτιμές λ, λ και από το σύστημα που προκύπτει προσδιορίζουμε τις άγνωστες σταθερές ab:, λ p ( λπλ ) ( ) + aλ+ b A pa () π () + a+ b a+ b () λ p ( λ) πλ ( ) + aλ+ b A pa () a b () π + + a+ b () Από () και () παίρνουμε τελικά a b H () γίνεται λ p A ( λπλ ) ( ) + λ+ ( ) ( ) Θέτοντας όπου λ τον πίνακα Α και πολλαπλασιάζοντας τον σταθερό όρο με I έχουμε: 7

( ) A π ( A) + ( ) A+ ( ) I A p A ( ) ( ) A A+ I d) Ο πίνακας 4 A θα έχει ιδιοτιμές τις Αντίστοιχα για τον πίνακα λ /, λ / A λ A 4 4 λ 6 και οι ιδιοτιμές θα είναι οι 4 4 λ 8 Ενώ για τον θα είναι οι λ /8, /7 Σε όλες τις περιπτώσεις τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές είναι τα ίδια με εκείνα που αντιστοιχούν στις λ, λ δηλ., R για την πρώτη /, R για την δεύτερη Παράδειγμα 6 5 Να ελέγξετε αν οι πίνακες A των χαρακτηριστικών πολυωνύμων τους. και B 4 είναι όμοιοι κάνοντας χρήση Αν οι πίνακες A,B είναι όμοιοι τότε θα πρέπει να έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυμα ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει αναγκαστικά. Δηλαδή αν βρούμε πως τα δύο χαρακτηριστικά πολυώνυμα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, μπορούμε να βγάλουμε άμεσα το συμπέρασμα ότι οι πίνακες δεν είναι όμοιοι. Αν όμως τα χαρακτηριστικά πολυώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους δεν μπορούμε να βγάλουμε κάποιο ασφαλές συμπέρασμα και χρειάζεται να καταφύγουμε σε άλλες μεθόδους. Έχουμε λοιπόν 5λ p A ( λ) λ λ4 λ και λ p B ( λ) λ 5λ+ 4 λ Επειδή, όπως φαίνεται p ( λ) p ( λ) οι δύο πίνακες δεν είναι όμοιοι. A B Παράδειγμα 7 8

5 Να ελέγξετε αν οι πίνακες A και B 4 είναι όμοιοι, κάνοντας χρήση των χαρακτηριστικών πολυωνύμων τους και του ορισμού ομοιότητας. Αν οι πίνακες A,B είναι όμοιοι τότε θα πρέπει να έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυμα, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Έχουμε λοιπόν 5λ p A ( λ) λ λ4 λ και 4 λ p B ( λ) λ λ4 λ Επειδή p ( λ) p ( λ) δεν μπορούμε να βγάλουμε ακόμα συμπέρασμα. A B Θα δοκιμάσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα βάσει του ορισμού ομοιότητας δηλ. θα πρέπει να βρούμε έναν αντιστρέψιμο πίνακα P τέτοιον ώστε A P BP PA BP a b Έστω P c d Πρέπει να πρoσδιορίσουμε τους αγνώστους abcd,,, ώστε να ισχύει a b 5 4 a b c d c d 5a+ b ab 4a 4b 5c d c d c d + 5a+ b 4a a+ b a b 4b a 6b 5c+ d c 6c+ d c d d c d Η γενική λύση του συστήματος είναι η a s b s, s, R c d Έτσι θα είναι s s P, s, R Επιλέγουμε π.χ. s και και παίρνουμε P Ελέγχουμε αν ο P που πήραμε είναι αντιστρέψιμος (αν όχι επιλέγουμε κάποια άλλα s,). 9

Είναι de P 5 Άρα ο P είναι αντιστρέψιμος και ισχύει επαληθεύσουμε) Επομένως οι Α,Β είναι όμοιοι. A P BP (μπορούμε να το Παράδειγμα 8 Δίνεται ο πίνακας του. A 6 5. Αν αυτός διαγωνοποιείται, να βρεθεί μία διαγωνοποίησή Αρχικά βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. λ p A ( λ) λ 5λ+ 6 λ Επειδή έχουμε διακριτές ιδιοτιμές, ο πίνακας Α διαγωνοποιείται. Ιδιοδιανύσματα της λ, R 6 5 6 π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα (, ) Ιδιοδιανύσματα της λ, R 6 5 6 π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα (, ) Δημιουργούμε τον πίνακα P με στήλες τα ιδιοδιανύσματα: P και τον διαγώνιο πίνακα D με τις ιδιοτιμές ως διαγώνια στοιχεία: D Τότε θα είναι A PDP A

Παράδειγμα 9 8 Δίνεται ο πίνακας A. Αν αυτός διαγωνοποιείται, να βρεθεί μία διαγωνοποίησή του. Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός, οι ιδιοτιμές του ταυτίζονται με τα διαγώνια στοιχεία του. Έτσι είναι: λ,, λ Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην λ, λύνουμε το σύστημα: 8 8, R Όπως φαίνεται V () span δηλ dim V () διάφορο από την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής. Επομένως ο πίνακας Α δεν διαγωνοποιείται. (Δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα της λ ) Παράδειγμα a) Να βρεθεί ένας πίνακας A M ( R), ο οποίος έχει ιδιοτιμές τις λ, λ, λ v,,, v (,,), v (,,) b) Να βρεθεί μία και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τα ( ) 5 A 4 4 διαγωνοποίηση των πινάκων A και c) Να υπολογισθεί η τιμή του μία διαγωνοποίηση του πίνακα B A + 4A I 5 A d) Να βρεθεί a) Επειδή ο πίνακας Α έχει διακριτές ιδιοτιμές θα διαγωνοποιείται. Επομένως θα μπορεί να γραφεί ως A PDP με D και P Υπολογίζουμε τον αντίστροφο του P π.χ. με τον επαυξημένο πίνακα:

/4 /4 /4 Gauss Jordan /4 /4 /4 / / / Έτσι /4 /4 /4 / / / A PDP /4 /4 /4 / 5/ / / / / b) Θα είναι 4 4 A PDP A PD P 4 ( ) 4 4 A 4 Επίσης επειδή οι ιδιοτιμές του Α είναι διάφορες του μηδενός, ο Α αντιστρέφεται, επομένως θα ισχύει 5 5 A PDP A PD P 5 ( ) 5 5 A 5 5 c) Για τον υπολογισμό του A έχουμε λόγω της διαγωνοποίησης: 5 5 A PDP A PD P 5 ( ) /4 /4 /4 5 5 A /4 /4 /4... 5 / / / 5 5 5 + 5 5 5 + d) Θα είναι 4 B A + 4AI 4 B PD P + 4PDP PIP 4 B P(D P + 4DP IP ) 4 B P(D + 4D I) P Όμως είναι

4 ( ) 4 4 D + 4D I 4 + 4 5 54 Έτσι η διαγωνοποίηση του Β γράφεται ως B 5 54 Παράδειγμα Να προσδιοριστεί ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R ο οποίος στέλνει κάθε διάνυσμα του επιπέδου στο συμμετρικό του ως προς την ευθεία y χρησιμοποιώντας την α) την κανονική βάση και β) την βάση, η οποία αποτελείται από διοδιανύσματα του μετασχηματισμού γ) Στη συνέχεια να υπολογιστούν οι συντεταγμένες της εικόνας του διανύσματος (,) ως προς τις δύο προηγούμενες βάσεις α) Αρκεί να προσδιορίσουμε τον πίνακα αναπαράστασης [ ] E του R : E { e (, ), e (,) } Θα πρέπει να υπολογίσουμε τις εικόνες T (, ) και T (,). Ξεκινούμε με το T (, ) T ως προς την κανονική βάση

Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα ζητούμε τις συνιστώσες,y του διανύσματος Te ( ) y, δηλ το a y και το διάνυσμα b το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία y. Tότε θα πρέπει τα διανύσματα a και b να είναι κάθετα μεταξύ τους δηλ. α T b + y () Επίσης, το σημείο Μ βρίσκεται στο μέσο μεταξύ των σημείων (, ) και(, y ) δηλ. θα + y έχει συντεταγμένες:,, οι οποίες θα πρέπει να ικανοποιούν και την εξίσωση της y + ευθείας y, επομένως θα πρέπει να είναι y + () Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων () και () καταλήγουμε στο 4, y 5 5 4 Άρα T (, ), 5 5 Αντίστοιχα δουλεύουμε με το T (,) Έστω το διάνυσμα με άκρα τα σημεία (, ) και (, ) Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα ζητούμε τις συνιστώσες,y του διανύσματος Te ( ) 4

Έστω το διάνυσμα με άκρα τα σημεία (, ) και (, y ), δηλ το a y και το διάνυσμα b το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία y. Tότε θα πρέπει τα διανύσματα a και b να είναι κάθετα μεταξύ τους δηλ. α T b + ( y ) () Επίσης, το σημείο Μ βρίσκεται στο μέσο μεταξύ των σημείων (, ) και(, y ) δηλ. θα έχει συντεταγμένες:, y +, οι οποίες θα πρέπει να ικανοποιούν και την εξίσωση της y + ευθείας y, επομένως θα πρέπει να είναι y + (4) Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων () και (4) καταλήγουμε στο 4, y 5 5 4 Άρα T (,), 5 5 Επομένως ο πίνακας του ζητούμενου γραμμικού μετασχηματισμού θα είναι ο ακόλουθος: 4 5 5 [ T ] E 4 5 5 Ενώ αν θέλουμε να βρούμε και τον τύπο του, θα έχουμε: 4 5 5 Ty (, ) [ T] E y 4 y 5 5 4 4 Ty (, ) + y, + y 5 5 5 5 5

β) Επειδή οι εικόνες των διανυσμάτων της κανονικής βάσης e και e, όπως είδαμε στην πρώτη μέθοδο, απαιτούν αρκετή εργασία για να υπολογισθούν, θα προσπαθήσουμε να αλλάξουμε βάση, επιλέγοντας γεωμετρικά μία πιο βολική, και να υπολογίσουμε τον πίνακα αναπαράστασης του γραμμικού μετασχηματισμού στη νέα βάση. Έπειτα με τον τύπο της ομοιότητας θα επιστρέψουμε πίσω στην κανονική βάση. Θα προσπαθήσουμε να δημιουργήσουμε μία βάση από ιδιοδιανύσματα, δηλ. διανύσματα των οποίων η διεύθυνση δεν μεταβάλλεται μέσω του μετασχηματισμού. Στη συγκεκριμένη περίπτωση παρατηρούμε ότι οι διευθύνσεις που διατηρούνται αναλλοίωτες μέσω του μετασχηματισμού είναι αυτή της ίδιας της ευθείας y, καθώς και της κάθετης προς αυτήν στο σημείο (,). (Επειδή βρισκόμαστε στο R μπορεί να έχουμε το πολύ μέχρι δύο διαφορετικές αναλλοίωτες διευθύνσεις, καθώς ο πίνακας του μετασχηματισμού δίνει το πολύ διακριτές ιδιοτιμές). Επιλέγουμε λοιπόν δύο διανύσματα πάνω σε αυτές τις διευθύνσεις, τα οποία θα αποτελούν ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού. Όπως είναι γνωστό από τη θεωρία, σε αυτή την περίπτωση αναμένεται ο [ T ] B να έχει την απλούστερη μορφή δηλ. να είναι διαγώνιος, αποτελούμενος από τις αντίστοιχες ιδιοτιμές του T, όπου το διάνυσμα b βρίσκεται πάνω στην ευθεία y, ενώ το διάνυσμα b είναι κάθετο σε αυτή. Συγκεκριμένα επιλέγουμε την ακόλουθη βάση B { b (, ), b (,) } Θα πρέπει στη συνέχεια να υπολογίσουμε τις εικόνες Tb ( ) και Tb ( ) και να βρούμε τις συντεταγμένες αυτών ως προς τη βάση B. Οι εικόνες Tb ( ) και Tb ( ) είναι πολύ εύκολο να υπολογισθούν άμεσα από το σχήμα, καθώς Tb ( ) b και Tb ( ) b Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ως προς τη βάση B γράφουμε τις εικόνες αυτές ως Tb ( ) b+ b Tb ( ) b b Έτσι θα είναι 6

[ Tb ( ) ] B [ Tb ( ) ] B Τέλος, ο πίνακας αναπαράστασης του T ως προς τη βάση B θα περιέχει τις παραπάνω τιμές ως στήλες του: [ T ] B (Διαγώνιος που περιέχει τις ιδιοτιμές) Για να μεταβούμε, τώρα, από τον [ T ] B στον πίνακα [ T ] E θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ομοιότητας: [ T] E PE B[ T] BPE B ή ισοδύναμα τον [ T] E PB E[ T] BP B E Ο πίνακας αλλαγής βάσης P B E υπολογίζεται εύκολα καθώς η δεύτερη βάση είναι η κανονική. Σε αυτή την περίπτωση απλώς θα περιλαμβάνει τα διανύσματα της βάσης B ως στήλες του. Έτσι θα είναι PB E με αντίστροφο τον P Επομένως θα είναι τελικά: 4 5 5 [ T ] E 4 5 5 P B E E B Παρατήρηση: Η διαδικασία που ακολουθήσαμε παραπάνω είναι στην ουσία η διαγωνοποίηση του πίνακα [ T ] E (τον οποίο όμως υποθέτουμε ότι δεν γνωρίζουμε και ζητούμε να τον υπολογίσουμε). Στη θεωρία μάθαμε πως όταν διαγωνοποιούμε ένα πίνακα A τον φέρνουμε στη μορφή: A PDP. Εμείς καταλήξαμε στον τύπο: [ T] E PE B[ T] BPE B Η αντιστοιχία στους συμβολισμούς μεταξύ της θεωρίας και του συγκεκριμένου παραδείγματος είναι η ακόλουθη: A [ T], D [ T], P P P, P P P E B B E E B B E E B Αν μας δινόταν ο πίνακας [ T ] E και ζητούνταν η διαγωνοποίηση του, θα ακολουθούσαμε τα παρακάτω βήματα: Αρχικά βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα [ T ] E. 4 λ 5 5 λ p[ T ]( λ) λ E 4 λ λ 5 5 Υπάρχουν δύο διακριτές ιδιοτιμές, επομένως ο πίνακας διαγωνοποιείται. 7

Ιδιοδιανύσματα της λ 4 5 5 9, R 4 5 5 5 π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα b (, ) Ιδιοδιανύσματα της λ 4 ( ) 5 5, R 4 5 9 ( ) 5 5 π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα b (,) Επομένως θα είναι [ T ] E PDP με D, P, P γ) Για την κανονική βάση έχουμε 4 5 5 5 [ T(,) ] [ T] E E 4 8 E 5 5 5 Για την βάση B των ιδιοδιανυσμάτων θα έχουμε [ T(,) ] [ T] B B B Για να υπολογίσουμε το πρέπει να επιλύσουμε το σύστημα: B a a b (,) α(,) + b(,) a+ b b Έτσι B Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε και με τον τύπο 8

PE B B E Έτσι τελικά [ T(,) ] [ T] B B B Επίσης στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε και ως εξής: 5 [ T(,) ] PE B[ T(,) ] B E 8 5 9