ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 03 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. c Α. d Α3. c Α4. c Α5. Σ, Λ, Σ, Σ, Λ ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Γνωρίζουμε (σχολικό βιβλίο, σελ. 3) ότι ένα ελεύθερο σώμα με την επίδραση ροπής δύναμης, (το οποίο εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση) στρέφεται ως προς το νοητό άξονα, που διέρχεται απ το κέντρο μάζας του. Έτσι η ελεύθερη ράβδος (), κατά τη στροφική κίνηση ως προς το κέντρο μάζας της Κ, δέχεται ροπή:, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς το κέντρο μάζας της είναι: Εφαρμόζοντας τώρα το Θεμελιώδη Νόμο της Στροφικής Κίνησης προκύπτει για τη γωνιακή της επιτάχυνση: (). Η ράβδος () στρέφεται ως προς το σταθερό άκρο Α. Η ροπή, που δέχεται είναι: Θεώρημα Steiner είναι ίση με: και η ροπή αδράνειάς της ως προς το άκρο Α, με βάση το. Εφαρμόζοντας πάλι το Θεμελιώδη Νόμο της Στροφικής Κίνησης προκύπτει για τη γωνιακή της επιτάχυνση: (). Συγκρίνοντας τις () και () προκύπτει ότι:.
Β. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Εφόσον στον κύβο οι δυνάμεις που παράγουν έργο είναι συντηρητικές (βάρος) ισχύει το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Θ.Δ.Μ.Ε.): Ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας επιλέγουμε αυτό που περνάει από την βάση του κεκλιμένου επιπέδου. () Στο δίσκο οι δυνάμεις που παράγουν έργο είναι συντηρητικές (βάρος). Η στατική τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της (ασκείται συνεχώς σε σημείο που έχει ταχύτητα μηδέν), άρα για τη σύνθετη κίνηση συνολικά δεν παράγει έργο. Επομένως ισχύει και εδώ το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Θ.Δ.Μ.Ε.). Ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας επιλέγουμε αυτό που περνάει από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και ():
Β3. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Το μέτρο της στροφορμής δίνεται από τον τύπο, οπότε για τις χρονικές στιγμές και ισχύει: () Η κινητική ενέργεια (λόγω περιστροφής) δίνεται από τον τύπο, οπότε για τις χρονικές στιγμές και ισχύει: () Το έργο της δύναμης για το χρονικό διάστημα θα υπολογιστεί από το θεώρημα έργου ενέργειας: (3) Το έργο της δύναμης για το χρονικό διάστημα θα υπολογιστεί ομοίως από το θεώρημα έργου - ενέργειας: Με αντικατάσταση προκύπτει:
ΘΕΜΑ Γ Γ. Η ροπή αδράνειας του συσσωματώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας της ράβδου και του σφαιριδίου ως προς τον ίδιο άξονα:. Με αντικατάσταση, έχουμε: Γ. (βλ. σελίδα 4 του Σχολικού Βιβλίου) Στη θέση Α οι φορείς τόσο του βάρους του σφαιριδίου όσο και του βάρους της ράβδου διέρχονται από τον άξονα περιστροφής άρα έχουν μηδενική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο. Άρα η στροφορμή διατηρείται. Με αντικατάσταση, στη μαθηματική σχέση της διατήρησης της στροφορμής έχουμε: Γ3. Η μείωση της μηχανικής ενέργειας οφείλεται μόνο στην μείωση της κινητικής ενέργειας του συστήματος
Γ4. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδος- σφαιρίδιο στη θέση ΟΒ ισούται με τη συνολική ροπή που δέχεται το συσσωμάτωμα στην ίδια θέση: Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: Επίσης, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΛΚ: Με αντικατάσταση στη σχέση έχουμε:
ΘΕΜΑ Δ Δ. Η δοκός ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήµα. Άρα 3l l l Στ = 0 ή Ν (Α ) w(am) N (AΓ) + Ν 0= 0 ή Ν = w + N (Α) 3 () 4 4 N3 O N w Σχήµα Μ N Α Γ N w Υ Β Από την ισορροπία του κυλίνδρου έχουµε ότι N + w= 0 ή N = w () όπου N ηδύναµηπου δέχεταιοκύλινδροςαπότηδοκό. Αλλά N = N (3) επειδήέχουνσχέσηδράσης - αντίδρασης, οπότεαπότην () µεβάσητις (), (3) έχουµε w+ w M+ m N = ή N = g 60N = (4) καιφοράόπωςφαίνεταιστοσχήµα. 3 3 Εξ άλλου πρέπει N3+ N+ w+ N = 0 ή N = w + w N καιµεβάσητην (4) καιταδεδοµένα 3 ότι Ν 3 = 0Νκαιφοράόπωςφαίνεταιστοσχήµα. Δ. Αφούοκύλινδροςκυλίεταιχωρίςναολισθαίνει, δέχεταικαιστατικήτριβή J, ηοποίαέστω έχειφοράπροςταδεξιάόπωςφαίνεταιστοσχήµα. Ητάσητουνήµατος T πουασκείταιστονκύλινδρο, είναιίσηµετηδύναµη F, επειδήτονήµα είναιαβαρές. Έτσιγιατηστροφικήκίνησητουκυλίνδρουέχουµεότι T J R= mr α ή F J= mrα (5) γων γων ( ) Όµως επειδή η κύλιση γίνεται χωρίς ολίσθηση ισχύει ότι α = α R οπότε η (5) γράφεται έτσι cm γων F J= mα (6) cm Γιατηνµεταφορικήκίνησητουκυλίνδρουέχουµεότι J= mα cm (7) J Απότην (6) µεβάσητην (7) έχουµεότι F J= ή σχεδιάσαµετηνστατικήτριβήπροςταδεξιά. 3J F= ή F J= = N> 0 (8) άρασωστά 3
Επειδή η µόνη δύναµη που ασκείται στον κύλινδρο στη οριζόντια διεύθυνση είναι η στατική τριβή, ο κύλινδρος θα κινηθεί πάνω στη δοκό κατά τη φορά της, δηλαδή προς το σηµείο Β. Δ3. Επειδή το συνολικό έργο της στατικής τριβής είναι ίσο µε µηδέν, µε βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας µεταξύ των σηµείων Γ και έχουµε I ω + mυ = W ή mrω + mυ = F R θ cm cm F cm και επειδή δεν υπάρχει ολίσθηση (Γ ) = R θ άρα F Κ T Σχήµα T Ο N w J T υ cm Ο J Α Γ l/ Υ Β mr ω + mυ = F (Γ ) = F l Fl m ή υ cm cm = = (9) 3m s Δ4. Ο ρυθµός που προσφέρεται ενέργεια στον κύλινδρο, ισούται µε την ισχύ της δύναµης F δηλαδή PF = FRω, και επειδή δεν έχουµε ολίσθηση P = F υ. F cm m Οπότε στο σηµείο µε βάση την (9) P = 8N = 36 j/ s. F s Δ5. α. Η µεταβολή της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής είναι περιστρ = = ( ) ή ( ) Κ W F J R θ Στ(Ο) Κ = F J d και µε βάση την (8) περιστρ F F F l Κ = F d d 9j περιστρ = = = 3 3 3 8 (0)
β. Η ενέργεια που προσφέρεται µέσω του έργου της δύναµης F είναι E W F R θ F d = = = ή προσφ F προσφ E = F l = 7 j () 8 Με βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουµε ότι Ε = Κ + Κ ή Κ = Ε Κ και µε βάση τις (0) και () προσφ περιστρ µεταφ µεταφ προσφ περιστρ Κ = 8j µεταφ Άρα από το σύνολο της ενέργειας που προσφέρθηκε κατά την µετατόπιση από το Κ µέχρι το Λ µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια λόγω µεταφορικής κίνησης ποσοστό Κ 8 00 Ε 7 3 µεταφ π = 00% = 00% = % προσφ και σε κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης Κ 9 00 Ε 7 3 περιστρ π = 00% = 00% = % προσφ Δ6. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του κυλίνδρου καθώς αυτός κινείται πάνω στη δοκό, είναι dl τολ(ο) dt = dl ή = ( F J) R και µε βάση την (8) και τα δεδοµένα dt dl 9Kgm / s dt = dl, µε διεύθυνση τον άξονα του κυλίνδρου και φορά dt.