Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 4ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 301-400 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

ΘΕΜΑ 301 Να αποδείξετε ότι η παράσταση φυσικό αριθμό n. A 5 3 n 5n 4n n διαιρείται με το 4 για κάθε ΘΕΜΑ 30 Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού 99 51 A 99 51. ΘΕΜΑ 303 Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των τετραγώνων πέντε διαδοχικών ακεραίων δεν είναι ίσο με το τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 304 Να αποδειχθεί ότι το τετράγωνο κάθε πρώτου αριθμού μεγαλύτερου από το 3, αν διαιρεθεί με το 1, δίνει υπόλοιπο 1. Σημείωση: Χρησιμοποιούμε την πρόταση: Κάθε πρώτος αριθμός που έχει απόλυτη τιμή μεγαλύτερη του 3 γράφεται με την μορφή 6k 1 ή 6k 1. Η απόδειξη αυτής της πρότασης δεν είναι δύσκολο να γίνει: Πράγματι, κάθε ακέραιος γράφεται με την μορφή a 6k m όπου m 0,1,, 3,4,5. Αν m 0, τότε a 6k και άρα ο a δεν είναι πρώτος. Αν m 3 τότε a 6k 3 3(k 1) και άρα πάλι ο a δεν είναι πρώτος. Όμοια αν m 4 ο a δεν είναι πρώτος. Άρα για να είναι ο a πρώτος, πρέπει m 1 οπότε a 6k 1 ή m 5 οπότε Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

a 6k 5 6k 6 1 6(k 1) 1 πολ6 1 6k 1. ΘΕΜΑ 305 Να εξετάσετε αν υπάρχουν ακέραιοι x,y τέτοιοι ώστε (Γενίκευση) Γενικότερα δεν υπάρχουν ακέραιοι x,y τέτοιοι ώστε, 3x y 7. 3x y 3k 1 3x 3k 1 y,k N αφού LHS 0(mod3) ενώ RHS 1(mod3) ή (mod3). Σημείωση: Η απόδειξη της γενίκευσης, γίνεται όπως και της ΑΣΚΗΣΗΣ 305 ΘΕΜΑ 306 Οι διαιρέσεις του 53 και 55 με έναν φυσικό αριθμό a δίνουν υπόλοιπο 15. Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του a. ΘΕΜΑ 307 Με ποιο φυσικό αριθμό πρέπει να διαιρεθούν οι 168 και 180 για να πάρουμε αντίστοιχα υπόλοιπα 8 και 17. ΘΕΜΑ 308 (ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ ) Σε ένα παραλληλόγραμμο ABCD η γωνία CBD είναι ορθή. Από το μέσο του OC OC, όπου O είναι το μέσο της BD, φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην BD που τέμνει τις ευθείες AB,AD στα σημεία E και Z αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι AE 3 OZ. ΘΕΜΑ 309 Να αποδείξετε ότι 10 4444444445 1111111111 4444444444 10. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

ΘΕΜΑ 310 Να συγκριθούν οι αριθμοί: 183 307 306 305 a 3, b. ΘΕΜΑ 311 Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 31 1 1 1 1 1.... 5 6 7 17 Να αποδείξετε ότι 1 1 1 1... 01 1. 1 3 3 4 011 01 ΘΕΜΑ 313 Βρείτε όλα τα ζεύγη πρώτων αριθμών (p,q) τέτοια ώστε οι αριθμοί q p να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων. 3 p q και 3 http://www.artofproblemsolving.com/foru... &t=443715& ΘΕΜΑ 314 Προσδιορίστε όλους τους θετικούς ακεραίους dμε την ιδιότητα: αν ο d διαιρεί τον n τότε διαιρεί και κάθε αριθμό που προκύπτει με αναδιάταξη των ψηφίων του n. ΘΕΜΑ 315 Υπάρχουν ακέραιοι x,y,z τέτοιοι ώστε 011 x y z 007 ; ΘΕΜΑ 316 Αν ο αριθμός xy977z διαιρείται με τον 79, να βρείτε τα ψηφία x,y,z. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

ΘΕΜΑ 317 Πόσοι θετικοί ακέραιοι, μικρότεροι ή ίσοι του 500, διαιρούνται με έναν τουλάχιστον από τους αριθμούς,3,5 ; ΘΕΜΑ 318 Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο n για τον οποίο ο αριθμός n 1 διαιρείται με το 19 και ο αριθμός n 1 διαιρείται με το 96. ΘΕΜΑ 319 Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε b c 3 1 και a a c 3. b α) Να προσδιορίσετε το λόγο a b. c β) Να δείξετε ότι υπάρχει τρίγωνο με πλευρές a,b,c. γ) Να προσδιορίσετε τις γωνίες του τριγώνου με πλευρές a,b,c. ΘΕΜΑ 30 Βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x y x y 0. ΘΕΜΑ 31 Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους που έχουν ακριβώς 9 (θετικούς) διαιρέτες με άθροισμα 403. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

ΘΕΜΑ 3 1 1 x 3 y z 1 1 Να λυθεί το σύστημα: y 3 z x 1 1 z 3 x y. ΘΕΜΑ 33 Έστω a,b,c * διαφορετικοί ανά δύο και τέτοιοι ώστε a / b c bc, b / a c ac, c / a b ab. Να δειχθεί ότι ένας τουλάχιστον από τους a,b,c δεν είναι πρώτος. εδώ. ΘΕΜΑ 34 Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων (a,b) τέτοια ώστε ο αριθμός 4 3 a a 1 a b ab 1 να είναι ακέραιος. ΘΕΜΑ 35 Έστω n θετικός ακέραιος και μη μηδενικοί ακέραιοι x,x,...,x,y,y,...,y 1 n 1 n τέτοιοι ώστε x x... x y y... y 0 και 1 n 1 n x y x y... x y. Να δείξετε ότι ο n είναι άρτιος. 1 1 n n ΘΕΜΑ 36 Να δείξετε ότι υπάρχουν περιττοί (θετικοί) ακέραιοι a,a,...,a τέτοιοι ώστε 1 n a a... a a a... a αν και μόνο αν 1 n 1 n 4 / n 1. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

ΘΕΜΑ 37 Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί n τέτοιοι ώστε οι αριθμοί 7n και 9n 1 να είναι τέλεια τετράγωνα. ΘΕΜΑ 38 Είναι δυνατό να βρεθούν 100 ευθείες στο επίπεδο που να έχουν ακριβώς 1998 σημεία τομής; Εξηγείστε την απάντησή σας. ΘΕΜΑ 39 Βρείτε όλους τους ακέραιους m,n για τους οποίους ο αριθμός τέλειο τετράγωνο ακεραίου. m n 18 9 1 είναι ΘΕΜΑ 330 Βρείτε όλους τους ακέραιους x,y για τους οποίους x x x 3 4 y. ΘΕΜΑ 331 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν τέλεια τετράγωνα της μορφής a00...0b, όπου a,b {1,,3,...,9}. ΘΕΜΑ 33 Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους a,b για τους οποίους b a a b ab. ΘΕΜΑ 333 Βρείτε όλους τους πρώτους p,q για τους οποίους ο αριθμός επίσης πρώτος. p q 5 είναι Εξισώσεις στους ακεραίους: viewtopic.php?f=109&t=0478 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

ΘΕΜΑ 334 Να υπολογίσετε το πλήθος των φυσικών αριθμών που δεν ξεπερνούν τον 10000 και διαιρούνται με κάθε φυσικό αριθμό που δεν ξεπερνάει τον 10. ΘΕΜΑ 335 Έστω S n1 * S 1 3 4 5 6... ( 1) n, (n N ) n S. 011 01. Να βρείτε τον αριθμό ΘΕΜΑ 336 Αν a b c d 0 με a b c d 1 να δείξετε ότι a b 1 c d. ΘΕΜΑ 337 (sokratis lyras) Να βρεθούν οι n Z ώστε: n 4mod6 και n 13mod1. ΘΕΜΑ 337β Λύστε και το: x 5mod 6 x 4mod11. x 3mod17 Ψάξτε πρώτα για το κινεζικό θεώρημα υπολοίπων, πχ εδώ. Ας υπενθυμίσω πρώτα ότι ζητάμε την λύση του συστήματος x 5mod 6,x 4mod11,x 3mod17. Ας ξεκινήσουμε πρώτα από την λύση του συστήματος x 5mod6,x 4mod11. Η ουσία του κινεζικού θεωρήματος είναι ότι επειδή οι αριθμοί 6,11 είναι πρώτοι μεταξύ τους, θα υπάρχει μοναδικό a {0,1,,,65} με x amod66. Μπορούμε βέβαια να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που δίνει το a όπως έκανε ο Σωκράτης αλλά σε αυτές τις «μικρές» περιπτώσεις νομίζω είναι πιο εύκολο να το κάνουμε στο χέρι. Αφού x 4mod11, τότε απαραίτητα το a θα ισούται με ένα από τα 4,15,6,37,48,59. Κοιτάμε τώρα τους αριθμούς αυτούς και Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

παρατηρούμε ότι ο αριθμός που ισούται με 5mod6 είναι ο 59. Φυσικά αυτά τα κάνουμε στο πρόχειρο. Στην απάντηση αρκεί να γράψουμε: Παρατηρούμε ότι x 59mod66 x 5mod6,x 4mod11. Επειδή τα 6,11 είναι πρώτοι μεταξύ τους, από το κινέζικο θεώρημα έχουμε ισοδυναμία, δηλαδή x 59mod66 x 5mod6,x 4mod11. Μένει τώρα να λύσουμε το σύστημα x 59mod66,x 3mod17. Πάλι επειδή τα 66,17 είναι πρώτοι μεταξύ τους, ψάχνουμε απάντηση της μορφής x amod11. Εδώ αρχίζουμε να έχουμε κάπως πιο πολλές πράξεις. Ένας τρόπος, όπως και προηγουμένως είναι να υπολογίσουμε τους 17 αριθμούς 59,59 66,59 66,...,59 16 66 και να βρούμε τον μοναδικό που ισούται με 3mod17. Πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό στα γρήγορα; Το 59 ισούται με 8mod17. Κάθε φορά που προσθέτουμε το 66 ουσιαστικά προσθέτουμε 15mod17 ή ισοδύναμα προσθέτουμε mod17. Αν λοιπόν προσθέσουμε n φορές το 66 θα φτάσουμε σε ένα αριθμό ισότιμο με (8 n)mod17. Θέλουμε λοιπόν (8 n) 3 14mod17 και παρατηρούμε ότι το n 11 δουλεύει. Επομένως ο αριθμός που πρέπει να διαλέξουμε είναι ο 59 11 66 785. Πάλι το πιο πάνω είναι στο πρόχειρο. Στο χαρτί αρκεί να γράψουμε: Παρατηρούμε ότι 785 59 1166 59mod66 και 785 59 11 66 (8 ) 14 3mod17. Επειδή οι 66,17 είναι πρώτοι μεταξύ τους από το κινέζικο θεώρημα έχουμε x 59mod 66,x 3mod17 x 785mod11. ΘΕΜΑ 338 Για ποια n,ο αριθμός 0 πρώτος; n 1 n είναι δύναμη του ; Για ποια n είναι 0 ΘΕΜΑ 339 Βρείτε το τελευταίο ψηφίο του abc, αν a,b,c πρώτοι αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο, και το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 4 4 4 α b c είναι 7. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 10

ΘΕΜΑ 340 (sokratis lyras) Έστω a,b,c,x,y,z R με b c c a a b a, b, c και x y z xy yz zx 67, x y z 010. Να βρείτε το xyz. ΘΕΜΑ 340b (sokratis lyras) x y x y Aν x y x y x y x y x y x y 8 8 8 8 8 8 8 8 k, τότε να βρεθεί η παρακάτω παράσταση συναρτήσει τουk. ΘΕΜΑ 341 Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : x x 1 y y 1 (x y)(x z)(x y 1)(x z 1) (y x)(y z)(y x 1)(y z 1) z z 1. (z x)(z y)(z x 1)(z y 1) ΘΕΜΑ 34 Να βρεθούν οι πρώτοι αριθμοί a,b,c τέτοιοι ώστε οι αριθμοί b c 3 c a, a b και a b 1 να είναι ακέραιοι. c ΘΕΜΑ 343 Έστω οι ακολουθίες 1 1 a 1..., b a a... a και n n 1 n n b b b c... 3 n 1 1 n. Βρείτε τον αριθμό b c n 011 010. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11

ΘΕΜΑ 344 Ο πρώτος όρος μιας ακολουθίας αριθμών είναι και ο δεύτερος 6. Κάθε επόμενος όρος προκύπτει ως ο λόγος του τελευταίου προς τον προτελευταίο. Να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων 011 όρων της ακολουθίας. ΘΕΜΑ 345 Σε ένα συνέδριο συμμετέχουν 011 άτομα και υπάρχουν 400 (αμοιβαίες) γνωριμίες. Να δείξετε ότι κάποιος από τους συνέδρους γνωρίζει το πολύ 3 άλλους συνέδρους. ΘΕΜΑ 346 Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους a,b για τους οποίους ο αριθμός (ab) 4(a b) είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 347 Μας δίνονται 13 ακέραια βάρη. Γνωρίζουμε ότι αφαιρώντας οποιοδήποτε βάρος, μπορούμε να χωρίζουμε τα υπόλοιπα 1 σε δύο ομάδες των έξι με το ίδιο βάρος. Να δείξετε ότι όλα τα βάρη είναι ίσα. ΘΕΜΑ 348 Έχουμε δυο σακούλια με κόκκινους και μπλε βόλους, έναν τουλάχιστον από κάθε χρώμα σε κάθε σακούλι. Υποθέτουμε ότι αν διαλέξουμε στην τύχη ένα από τα σακούλια και έπειτα έναν βόλο από αυτό, η πιθανότητα να είναι κόκκινος είναι ίση με την αντίστοιχη πιθανότητα αν βάλουμε όλους τους βόλους σε ένα σακούλι και διαλέξουμε ένα βόλο. Αν το πρώτο σακούλι περιέχει 7 βόλους και το δεύτερο 5 κόκκινους βόλους, να βρείτε πόσους βόλους περιέχει συνολικά το δεύτερο σακούλι. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

ΘΕΜΑ 349 Να δειχθεί ότι η ακολουθία των αριθμών 6,10,14,18,...,(4k ),... δεν περιέχει κανένα τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού. ΘΕΜΑ 350 α) Πόσες ακέραιες ρίζες έχει η εξίσωση ακέραιες; β) Πόσες θετικές ακέραιες ρίζες έχει η εξίσωση n δεδομένος θετικός ακέραιος; 011 x y 4 3 ; Πόσες θετικές n (4α b)(4b α) 010 όπου ΘΕΜΑ 351 Να βρεθεί το άθροισμα: A 99 398 497... 50 51. ΘΕΜΑ 35 Να βρεθεί ο αριθμός των ζευγών (m,n) θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι m m 1 ή ίσοι του 1000 και τέτοιοι ώστε:. n 1 n ΘΕΜΑ 353 Να δείξετε ότι αν a b c 0, τότε a b c b c c a a b ( )( ) 9. b c c a a b a b c ΘΕΜΑ 354 Να λυθεί το σύστημα x y z t 6 1 x 4 y 9 z 16 t 8. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13

ΘΕΜΑ 355 Έστω (a,a,a,...,a ) μια αναδιάταξη των αριθμών 1,,3,...,011. Δείξτε ότι 1 3 011 υπάρχουν j,k έτσι ώστε 1 j k 011 και a j a k. j k ΘΕΜΑ 356 Ένας φυσικός αριθμός n βρίσκεται αυστηρά μεταξύ δυο διαδοχικών τελείων τετραγώνων. Το μικρότερο από αυτά τα τετράγωνα προκύπτει με αφαίρεση k από τον n ενώ το μεγαλύτερο προσθέτοντας στον n. Δείξτε ότι ο αριθμός n k είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 357 Να εξετάσετε αν υπάρχει ακέραιος n τέτοιος ώστε η εξίσωση 4 x 011x n 0 να έχει 4 ακέραιες ρίζες. ΘΕΜΑ 358 Θεωρούμε το σύνολο A 1,,3,...,100 καθώς και τα υποσύνολα αυτού : 1 50 B b,b,...,b, όπου b b... b 1 50 και C c,c,...,c c c... c. Τα σύνολα B,C είναι ξένα μεταξύ τους. 1 50 1 50 Να αποδειχθεί ότι : b c b c... b c 500. 1 1 50 50, όπου ΘΕΜΑ 359 (vzf) Για κάθε m,x,y,n,k και k 0, να δείξετε ότι: mx y m N my Nx Nx k y N k k k. ΘΕΜΑ 360 (vzf) Να λύσετε την ανισότητα για θετικά x : Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14

x(8 1 x 1 x) 11 1 x 16 1 x. ΘΕΜΑ 361 (vzf) Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός 100 15 ; ΘΕΜΑ 36 Αν 5 3 a a a 3 να αποδείξετε ότι: α) a 0. β) 6 a 5. ΘΕΜΑ 363 Τα γράμματα της λέξης ΘΑΛΗΣ μπορούν να μετατεθούν με όλους τους δυνατούς τρόπους για να κάνουν 10 διαφορετικές λέξεις. Αν οι λέξεις αυτές γραφούν με αλφαβητική σειρά (όπως στα λεξικά), ποιο θα είναι το τελευταίο γράμμα της 111ης λέξης; ΘΕΜΑ 364 Να εξετάσετε αν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί k,n ώστε το τρίγωνο με πλευρές k (n!), (n 1)!,(n )! να είναι ορθογώνιο. ΘΕΜΑ 365 (ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ ) Αν a,b,c 0, με a b c abc, να αποδειχθεί ότι: (1 a )(1 b )(1 c ) 64. ΘΕΜΑ 366 (sokratis lyras) Έστω a,b θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι: (a b) a b a b a. 4 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15

ΘΕΜΑ 367 (sokratis lyras) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης: x x 4 3 9 3 y y y y. ΘΕΜΑ 368 (sokratis lyras) Έστω a,b,c,d,e,f,g,h,k διαφορετικά ανά δύο μη μηδενικά ψηφία. Βρείτε το ελάχιστο του E abc def ghk. ΘΕΜΑ 369 (sokratis lyras) Δίνονται a,b,c,x,y,z θετικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι: a(y z) b(x z) c(y x) 3(xy yz zx). b c a c b a ΘΕΜΑ 370 (dimitris.ligonis) Για a,b,c θετικούς πραγματικούς, με abc 1 και 3 a 36, να δειχθεί ότι: a b c ab bc ac 3. ΘΕΜΑ 371 Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε abc 1, να δείξετε ότι 1 1 1 a b c a b c 3. 1 1 1 b 1 c 1 a 1 a b c Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16

ΘΕΜΑ 37 x,x,...,x πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε n 1 min(x,x ) min(x,x ), k k1 1 n Αν 1 n να δείξετε ότι n 1 x 0. k k k1 ΘΕΜΑ 373 Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε abc 1, να δείξετε ότι 1 1 1 ab bc bc ca ca ab (1 a)(1 b)(1 c) ca ab bc. ΘΕΜΑ 374 Αν x,y,z θετικοί πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι 1 1 1 x y z (x y z) 4 x y z xy 1 yz 1 zx 1. ΘΕΜΑ 375 Να λυθεί η εξίσωση (a 1)(b 1) (a 1)(b 1)(ab 1). ΘΕΜΑ 376 Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y,z είναι τέτοιοι ώστε 3 Να δείξετε ότι x y z x y z. xyz 1 1 1 x y z. x y z ΘΕΜΑ 377 (Αρχιμήδης 6) Να εξεταστεί αν η εξίσωση έχει λύση στους ακέραιους για x,y,z 3 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17

x! y! z! 1 3 5 7 w. ΘΕΜΑ 378 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) 0 για κάθε x πραγματικό αριθμό διάφορο του 1 r μηδενός και επί πλέον ισχύει ότι f x για κάθε x R * όπου r είναι μη f(x) τετράγωνος ρητός αριθμός. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 1 1 P f(1) f() f(3)... f(01) f( ) f( )... f( ) είναι άρρητος. 3 01 ΘΕΜΑ 379 Να βρεθούν οι μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x y z 1005 011 1006. ΘΕΜΑ 380 Έστω T ένα σύνολο θετικών ακεραίων τέτοιο ώστε a,b T. Να δείξετε ότι το T είναι πεπερασμένο. a ab b / ab για κάθε ΘΕΜΑ 381 n Να βρείτε όλους τους ακέραιους n ώστε ο αριθμός 36 6 να γράφεται ως γινόμενο (δύο ή περισσότερων) διαδοχικών ακεραίων. Δείτε και εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/foru... 6&t=418785 ΘΕΜΑ 38 Αν a,b,x,y πραγματικοί, τέτοιοι ώστε να ισχύει a b x y και 4 4 4 4 x y a b, να αποδείξετε ότι n n n n x y a b για κάθε θετικό ακέραιο n. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18

ΘΕΜΑ 383 Βρείτε όλους τους πρώτους pτέτοιους ώστε ο αριθμός λιγότερους από 7 (θετικούς) διαιρέτες. p 1007 να έχει Χρησιμοποιούμε το παρακάτω βασικό λήμμα (του οποίου η απόδειξη αφήνεται ως απλή άσκηση κάπου το έχουμε ξαναδεί στο forum): ************************************************** ΛΗΜΜΑ: Αν p 5 πρώτος τότε ισχύει κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις: Α) p 1mod6 Β) p 1,5,7,11mod1 Γ) p 1mod4. ************************************************** ΘΕΜΑ 384 Βρείτε όλους τους περιττούς θετικούς ακεραίους n για τους οποίους υπάρχουν 4 περιττοί ακέραιοι x,x,...,x τέτοιοι ώστε x x... x n. 1 n 1 n ΘΕΜΑ 385 Οι αριθμοί a,b είναι ανάλογοι με τους αριθμούς 5 και 6. Οι αριθμοί b,c είναι αντιστρόφως ανάλογοι με τους αριθμούς 3 και 4. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί a b και b c είναι τέλεια τετράγωνα. (ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Γυμνασίου, 1995 96) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19

ΘΕΜΑ 386 Αν p 3 πρώτος, να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 3 3 011 x y x y xy p, με x,y. ΘΕΜΑ 387 Ο Γιάννης και η Μαρία τρέχουν 10 χιλιόμετρα. Αρχίζουν από το ίδιο σημείο, τρέχουν 5 χιλιόμετρα τον ανήφορο και επιστρέφουν στην αφετηρία από την ίδια διαδρομή. Ο Γιάννης άρχισε 10 λεπτά γρηγορότερα από την Μαρία και έχει ταχύτητα 15 χιλιόμετρα την ώρα στον ανήφορο και 0 χιλιόμετρα την ώρα στον κατήφορο. Η Μαρία τρέχει 16 χιλιόμετρα την ώρα στον ανήφορο και χιλιόμετρα την ώρα στον κατήφορο. Σε ποια απόσταση από την κορυφή θα συναντηθούν οι δύο δρομείς τρέχοντας σε αντίθετες κατευθύνσεις; ΘΕΜΑ 388 Δύο άνισοι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των κύκλων, τέμνονται στο σημείο P. Έστω ότι η μια από τις κοινές αυτές εφαπτόμενες τέμνει τον μικρό κύκλο στο σημείο A και τον μεγάλο στο B. Αν PA AB 4, να υπολογίσετε το εμβαδόν του μικρού κύκλου. ΘΕΜΑ 389 Μια ευθεία (ε) τέμνει τις πλευρές AB,AC τριγώνου ABC στα σημεία M,K αντίστοιχα έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου BMK να είναι ίσο με το BM BK 1 εμβαδόν του τετραπλεύρου MBCK. Να αποδείξετε ότι. AM KC CAC 3 ΘΕΜΑ 390 Σε ένα χορό πήραν μέρος 8 αγόρια και κορίτσια. Κάθε αγόρι χόρεψε με μερικά κορίτσια και κάθε κορίτσι με μερικά αγόρια. Μετά το τέλος του χορού, κάθε άτομο έγραψε τον αριθμό των χορών που χόρεψε, Έτσι πήραμε τους αριθμούς: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 0

{3,3,3,3,3,3,4,6,6,6,6,6,6,6,6,6}. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί αυτοί δεν είναι σωστοί, γιατί κάπου υπάρχει λάθος. (ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, 1995) Με αφορμή την άσκηση 390, ας θυμίσω μερικές ασκήσεις θεωρίας γραφημάτων από το Δημήτρη: viewtopic.php?f=109&t=18854 viewtopic.php?f=109&t=18855 viewtopic.php?f=109&t=18856 viewtopic.php?f=109&t=18869 viewtopic.php?f=111&t=18870 viewtopic.php?f=111&t=18910 viewtopic.php?f=111&t=18911 ΘΕΜΑ 391 Έστω τετράγωνο KLMN πλευράς 1 και A,B,C,D σημεία των KL,LM,MN,NK ώστε KA 9, LB 5, MC 1, ND 13. Να δειχθεί ότι: DA DB 1 AB AC. (ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, 1996) ΘΕΜΑ 39 Έστω a,b,c φυσικοί αριθμοί με a b c 0, 3a b 3c 57. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: A (a b c)(4a 3b 4c). (Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, 1998) ΘΕΜΑ 393 Το σημείο M είναι το μέσον του AB, το M το μέσον του AM, το M το 1 1 3 μέσον του AM κλπ... και M είναι το μέσον του AM. Αν 10 9 βρεθεί το AM. 10 11 AB 3 να (ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, 1998). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

ΘΕΜΑ 394 Να δειχθεί ότι η ακολουθία των αριθμών 6,10,14,18,...,(k ),... δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού. (Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ) ΘΕΜΑ 395 α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ABC αν BC n n1 n, AC AB n 1 3 3,. n1 n n1, όπου n N,n 0 β) Να προσδιοριστεί το n αν η περίμετρος του ABC είναι 3(3 3). (Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ) ΘΕΜΑ 396 Έστω τρίγωνο ABC, D σημείο της BC και I το μέσον της AD. Η BI τέμνει την ACστο E και η CI την AB στο Z. Από το D φέρνουμε DH / /AC ( H σημείο της BI ) και DG / /AB (G σημείο της CI ). Να αποδείξετε ότι το EZHG είναι παραλληλόγραμμο. (Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ) ΘΕΜΑ 397 Δίνεται τρίγωνο ABΓ ορθογώνιο και ισοσκελές με υποτείνουσα BΓ και AB AΓ α. Φέρνουμε ευθεία xay έτσι ώστε η γωνία xaγ να είναι ίση με o 30. Από τα Γ και B φέρνουμε κάθετες προς την xay που την τέμνουν στα Δ και E, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου BΓΔE συναρτήσει του α. (Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ) ΘΕΜΑ 398 Σε κύκλο κέντρου O θεωρούμε δύο χορδές AB και CD που είναι κάθετες μεταξύ τους και δεν περνάνε από το κέντρο του κύκλου. Οι δύο χορδές τέμνονται στο σημείο K, έτσι ώστε να είναι AK KB. Έστω M το Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

συμμετρικό του B ως προς κέντρο συμμετρίας το K. Να αποδείξετε ότι το σημείο M είναι το σημείο τομής των υψών του τριγώνου ACD. (Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ) ΘΕΜΑ 399 Θεωρούμε τα πολυώνυμα R(x) x 5x a. 4 3 P(x) x 3x x 3, g(x) x x 3, (α) Να ορίσετε το a έτσι ώστε το πολυώνυμο R(x) να διαιρείται από το x. (β) Να αναλύσετε σε γινόμενα παραγόντων τα πολυώνυμα P(x),g(x),R(x). (γ) Να δείξετε ότι η παράσταση τετράγωνο. ΘΕΜΑ 400 x x P(x) : g(x) 15 είναι τέλειο (Σημείωση: έχει ξανατεθεί) Έστω ότι a 0,b 0,c 0 και 1987 a 1987 b 1987 c. Να αποδείξετε ότι 1 (a b) c. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3