Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 4: Διαταρακτικά Μεγέθη στο Πεδίο Βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης reatve ommos Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00

ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εξάμηνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Itroducto to ravty feld Ακαδημαϊκή Χρονιά: 04 05 Πρόγραμμα: Τετάρτη 9:00 3:00 Διδάσκοντες: ΗΝ Τζιαβός, ΓΣ Βέργος Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

http://webauthr/e-topo/ http://olmpatopoauthr/courses/ Ιστοσελίδες ΔΕΠ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Η Τζιαβός ή Γ Βέργος Μαθήματα - εργασίες Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Σχέση δυναμικού γεωμετρίας περιγράφεται μέσω των προβλημάτων συνοριακών τιμών Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος καταλήγει σε μη γραμμικές σχέσεις Η λύση τους απαιτεί κατάλληλη γραμμικοποίηση Η γραμμικοποίηση επιτυγχάνεται με τη σύγκριση των μεγεθών του πραγματικού πεδίου βαρύτητας της γης και των αντίστοιχων μεγεθών τα κανονικού πεδίου βαρύτητας - διαταρακτικά μεγέθη Τα διαταρακτικά μεγέθη αντιστοιχούν σε διαφορές που προέρχονται μόνο από το ελκτικό δυναμικό του πραγματικού και του κανονικού πεδίου, καθώς το φυγοκεντρικό δυναμικό είναι γνωστό με πολύ μεγάλη ακρίβεια Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΤΟ ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ r W r U r 0 εξίσωση Laplace έξω από τις μάζες, το διαταρακτικό δυναμικό Τ αρμονική συνάρτηση κέντρο μάζας Γης κέντρο μοντέλου κανονικού πεδίου βαρύτητας μάζα Γης μάζα μοντέλου ανάπτυγμα Τ σε σειρά σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων r GM R a r m 0 m cosm S m s m m cos m S m διαφορές μεταξύ των πλήρως κανονικοποιημένων συντελεστών του αναπτύγματος σφαιρικών αρμονικών του πραγματικού και του κανονικού πεδίου βαρύτητας Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Η ΑΝΩΜΑΛΙΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ διαταραχή βαρύτητας Q προσδιορίζεται όταν η θέση του σημείου Ρ γνωστή (τεχνητοί δορυφόροι) σφαιροδυναμική Q ανωμαλία βαρύτητας (U0 UQ = W0 W) Εικόνα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΤΟ ΥΨΟΜΕΤΡΟ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ U U Q U E Q N Ανάπτυγμα κανονικού Δυναμικού U στο Ρ κατά aylor (γραμμικοποίηση) U E (κάθετος στο ελλειψοειδές) E Q N W Q U Q υψόμετρο γεωειδούς U Q W Εικόνα N Q τύπος του Brus Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Η ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ N M Q cos Q M ξ, η συνιστώσες απόκλισης της κατακορύφου θρ N ακτίνες καμπυλότητας του μεσημβρινού και της πρώτης καθέτου του μοντέλου της κανονικής βαρύτητας Q Εικόνα 3 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04 W U U E cos cos Q E Q N Q E Q θεμελιώδης εξίσωση φυσικής γεωδαισίας ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Q Εικόνα 4

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ - Ι Σφαιρική προσέγγιση εισαγωγή σφαιρικής επιφάνειας αναφοράς ακτίνας R Όροι που έχουν σχέση με την πλάτυνση παραλείπονται GM r r r GM 3 r r r r θεμελιώδης εξίσωση φυσικής γεωδαισίας σε σφαιρική προσέγγιση Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ - ΙΙ Με αντικαταστάσεις από τον αντίστοιχο τύπο του διαταρακτικού Τ, GM cos s cos m m Sm m m R m 0 Υπολογισμός m Sm S m m 4 r GM r a cosm s m m cos d dσ = sθ dθ dλ (μοναδιαία σφαίρα) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ xx x xz z x xy y x yy y yz z y zz x y z x x x x xy yx xz zx yz zy xx yy zz 0 xx yx zx xy yy zy xz yz zz τανυστής διαταρακτικού δυναμικού οι δεύτεροι παράγωγοι επηρεάζονται σημαντικά από τις γειτονικές μετρήσεις δευτέρων παραγώγων από δορυφόρους Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Οι ανωμαλίες της βαρύτητας σε παγκόσμια κλίμακα θεωρούνται στατιστικά μεγέθη με μέση τιμή μηδέν Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των ανωμαλιών βαρύτητας είναι ανεξάρτητα από τη θέση και τη διεύθυνση Ανεξάρτητα από τη θέση ανεξάρτητα από τη διεύθυνση ιδιότητα της ομογένειας ιδιότητα της ισοτροπίας Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας (ΣΣ) περιγράφει τα στατιστικά χαρακτηριστικά του πεδίου βαρύτητας (covarace fucto) Η ΣΣ περιγράφει τη στατιστική συμπεριφορά του πεδίου βαρύτητας που χαρακτηρίζεται από την τάση να έχουν οι τιμές της ανωμαλίας της βαρύτητας Δ και Δ στα σημεία Ρ και το ίδιο περίπου μέτρο και το ίδιο περίπου πρόσημο, όταν η απόσταση μεταξύ των σημείων είναι μικρή Η τάση αυτή εξασθενίζει ή και αντιστρέφεται, όταν η απόσταση μεταξύ των σημείων μεγαλώνει cov,, Μ τελεστής του μέσου όρου και ψ σφαιρική απόσταση στη μοναδιαία σφαίρα (R=) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Για ψ=0 έχουμε τη μεταβλητότητα Οι ιδιότητες ομογένειας και ισοτροπίας δεν ισχύουν στην πραγματικότητα Σε τοπικές/περιφερειακές εφαρμογές οι ΣΣ υπολογίζονται λαμβάνοντας υπόψη τα στατιστικά χαρακτηριστικά της περιοχής μελέτης Εμπειρικές συναρτήσεις συμμεταβλητότητας μεταβλητότητα M εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας για τον ελληνικό χώρο από περίπου 7500 σημειακές τιμές Δ Εικόνα 5 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΑΣ cov Συνάρτηση συμμεταβλητότητας ανωμαλιών βαρύτητας,, R rr cos πολυώνυμα Leedre αρμονικές συναρτήσεις συντελεστές μεταβλητότητας πεδίου βαρύτητας Νόμος μετάδοσης συμμεταβλητότητας (covarace propaato) Συναρτήσεις διασυμμεταβλητότητας (cross-covarace fuctos) cov N,, R R rr cos Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Μαθηματική έκφραση του προβλήματος πρόγνωσης, F,, q Γραμμική πρόγνωση (lear predcto) ~ a a a q q q a Σφάλμα πρόγνωσης ~ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04 a a a ~ Σφάλμα πρόγνωσης στο τετράγωνο Μέσος όρος σφάλματος πρόγνωσης στο τετράγωνο q q q M a a M M M q q q a a a m 0 μεταβλητότητα M M M M m,,, 0 Συμβολισμοί ΜΕΣΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ

ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ - Ι Προσδιορισμός συντελεστών α βέλτιστα αποτελέσματα m a q a,,, q Ελαχιστοποίηση μτσ Συνθήκη ελαχιστοποίησης q a γραμμικό σύστημα q εξισώσεων με αγνώστους α Λύση συστήματος a q ~ Πρόγνωση στο σημείο Ρ q a q q Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04 q qq q q q q q,,, ~ q q m 0 q qq q q q q q m,,, 0 ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ - ΙΙ

ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ - ΙΙΙ Εύρεση δυναμικού από τα συναρτησιακά του l = L() ~,,, q q q q q qq l l l q Συναρτήσεις συμμεταβλητότητας μεταξύ τιμών του δυναμικού και τιμών των δεδομένων (συναρτησιακών του δυναμικού) cov, l M l cov l, l M l l cov l, l L cov, l L L K, Q Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ - Ι x AX s Εξίσωση παρατήρησης x μέτρηση s σήμα (q μετρήσεις) (q σήματα) θόρυβος (q θόρυβοι) X διάνυσμα m αγνώστων παραμέτρων Α πίνακας qxm συνδέει τις παρατηρήσεις με τις άγνωστες παραμέτρους Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ - ΙΙ ~ s s x AX Βέλτιστη εκτίμηση σημάτων ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ D πίνακας συμμεταβλητοτήτων σημάτων D πίνακας συμμεταβλητοτήτων σφαλμάτων (πλήρης ή διαγώνιος συσχετισμένα ή ασυσχέτιστα σφάλματα) ~ X A A A x Βέλτιστη εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ m h E s s xx A s ss A s s h s AE xx A h s ss μεταβλητότητα σήματος s Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

GEOOL (GEOdetc OLlocato) πρόγραμμα σημειακής προσαρμογής σε Η/Υ (Fortra) Λογισμικό GRAVSOF (επίλυση όλων των προβλημάτων που συνδέονται με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής) Πλεονεκτήματα σημειακής προσαρμογής: ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ - ΙΙΙ Κατανομή δεδομένων τυχαία ή σε πλέγμα Πρόγνωση σε τυχαία σημαία ή σε πλέγμα Αποτέλεσμα ανεξάρτητο από τον αριθμό των σημείων πρόγνωσης Δεδομένα και προσδιοριζόμενα σήματα μπορεί να είναι ετερογενείς παρατηρήσεις Βέλτιστη λύση, ακριβέστερη από οποιαδήποτε άλλη γραμμική προσέγγιση Μειονέκτημα σημειακής προσαρμογής Απαιτείται επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αριθμό εξισώσεων ίσο με με τον αριθμό των αγνώστων Αντιμετώπιση του προβλήματος Τεχνική «γρήγορης» σημειακής προσαρμογής (fast collocato) Πεπερασμένες συναρτήσεις συμμεταβλητότητας (fte covarace fuctos) Θετικά ορισμένοι πίνακες, πίνακες με πολλά μηδενικά (postve defte, sparse matrces) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04 d M 4 Συντελεστές μεταβλητότητας ανωμαλιών βαρύτητας 0 s cos,, cov d Συντελεστές μεταβλητότητας ανωμαλιών βαρύτητας από συναρτήσεις συμμεταβλητότητας Συντελεστές μεταβλητότητας από γεωδυναμικά μοντέλα m m m S R a R GM 0 αρμονικοί όροι ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ - Ι

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ - ΙΙ Συντελεστές μεταβλητότητας υψομέτρων του γεωειδούς N R Με ανάλογο τρόπο προκύπτουν συντελεστές μεταβλητότητας και για τις άλλες παραμέτρους του πεδίου βαρύτητας (αποκλίσεις κατακορύφου, διαταραχές βαρύτητας) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ - ΙΙΙ Μοντέλα συντελεστών μεταβλητότητας Μοντέλο scher και Rapp c A B s ms Α συντελεστής B ακέραιος s< συντελεστής σύγκλισης Σφαιρική εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας 5 Α = 458 x0 ms B = 4 s = 099967 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ - ΙV συντελεστές μεταβλητότητας από γεωδυναμικό μοντέλο (GM συντελεστές μεταβλητότητας από μοντέλο scher-rapp Εικόνα 6 Οι συντελεστές μεταβλητότητας περιγράφουν τη φασματική συμπεριφορά του πεδίου των ανωμαλιών βαρύτητας σε μήκος κύματος 360 0 / που αντιστοιχεί σε βαθμό του αναπτύγματος του γεωδυναμικού Δεν είναι δυνατό να υπολογισθούν συντελεστές μεταβλητότητας μέχρι = (ο βαθμός εξαρτάται πρακτικά από τη διακριτική ικανότητα των μετρήσεων) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ - V Διαδικασία υπολογισμού συντελεστών μεταβλητότητας c (μοντέλο scher/rapp) Υπολογίζεται η εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας από τα διαθέσιμα δεδομένα Γίνεται προσαρμογή του μοντέλου των συντ μεταβλητότητας c, ώστε οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας να προσεγγίζουν βέλτιστα τις εμπειρικές συναρτήσεις (απαιτείται επαναληπτική διαδικασία) Με τις παραμέτρους του μοντέλου των συντελεστών μεταβλητότητας υπολογίζεται η αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας ανάμεσα σε οποιαδήποτε μεγέθη (δεδομένα ή ζητούμενα) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΕΦΑΡΜΟΓΗ - Ι Πρόγνωση ανωμαλίας βαρύτητας Εικόνα 7 Εικόνα 8 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΕΦΑΡΜΟΓΗ - ΙΙ Εικόνα 9: Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΕΦΑΡΜΟΓΗ - ΙΙΙ Εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας στην περιοχή μελέτης Εικόνα 0 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΕΦΑΡΜΟΓΗ - ΙV Προσαρμογή των εμπειρικών τιμών σε ένα εκθετικό μοντέλο (ελάχιστα τετράγωνα) ae, arccoss s cos cos cos cos s s Από την προσαρμογή προκύπτουν Εικόνα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04 y y c y c y b / / l l y b c a l exp Τύποι προσαρμογής ΕΦΑΡΜΟΓΗ - V

~ ΕΦΑΡΜΟΓΗ - VΙ Αλγόριθμος πρόγνωσης,, Για την πρόγνωση χρησιμοποιούνται 5 μετρήσεις που βρίσκονται στην πλησιέστερη απόσταση από το Ρ Οι αποστάσεις για το διάνυσμα, Οι αποστάσεις για τον πίνακα Εικόνα, Εικόνα 3 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

~ ΕΦΑΡΜΟΓΗ - VII,, Με τις αποστάσεις και το αναλυτικό μοντέλο της συνάρτησης συμμεταβλητότητας σχηματίζονται το διάνυσμα και ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων, 3330 3359 3430 3349 3366 37370 30974 30334 30097 309647, 37370 30785 37370 34957 33907 37370 309534 303994 30533 37370 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

5404 Το διάνυσμα των μετρήσεων είναι 479 49043 4636 5 Ο αντίστροφος του πίνακα συμμεταβλητοτήτων είναι, ΕΦΑΡΜΟΓΗ - VIII 736 043 449 360 6064 08 5983 4864 4899 779 06 755 039 770 79 Τελικά η πρόγνωση στο σημείο Ρ είναι ~ 503x0 5 ms Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (Ι) Εικόνα 4 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΙΙ) α/α φ λ Η d(egm08) d(goo0s) d(eigen6) =50 d(eigen6) =949 d(rm) N(EGM08) N(RM) 40000000 000000 97996840684696 833 5756 35446 3669 65699 0900 3994-00 40033333 000000 97995839439865 900 68936 36680 3897 7899-83 4057-000 3 40066667 000000 979964559590 88 76778 37957 39735 84879-5006 40587-003 4 4000000 000000 979973354076660 844 69658 3956 48 80686-56 4068-000 5 40000000 033333 9799993884696 75 50676 35369 36596 5547 500 39944-0009 6 40033333 033333 979963509865 880 65376 36509 38007 6836 49 4056-0009 7 40066667 033333 9799740579590 88 7057 3770 39488 7874-995 40559-0005 8 4000000 033333 9800776476660 485 74780 3908 4069 86637-9943 40748-000 9 40000000 066667 9800590784696 57 38534 358 36486 39577 307 3994 0004 0 40033333 066667 980007949865 689 50087 36359 3784 4978 3456 405 0008 40066667 066667 9799786589590 798 639 37463 393 6385 0556 4053 0005 4000000 066667 97996349976660 095 74039 3854 40533 788 573 4084 000 3 40000000 00000 9800343584696 508 595 3559 3639 905 0599 3994 004 4 40033333 00000 98003776749864 53 33854 3687 37647 804-349 407 008 5 40066667 00000 9800850899590 57 567 3734 3897 43877-58 40455 0009 6 4000000 00000 979956937376660 939 707 3836 40 7075 3969 409 000 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΙΙΙ) Γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς 980 Geodetc Referece System 980 GRS80 (Καμπέρα) a 9 3 6 5 637837 m, GM 3986005 0 m s, J 0863 0, 795467 0 rad s 0 0009385353s 97803677 ms / 000669438009s Αντικατάσταση του γεωγραφικού πλάτους κάθε σημείο και υπολογισμός του γ o GRS80 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΙV) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (V) σφαιροδυναμική ανωμαλία βαρύτητας o Εικόνα 5 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VI) o Στην ιστοσελίδα του μαθήματος υπάρχει διαθέσιμο πρόγραμμα στο Matlab για τη σχεδίαση των πεδίων Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VIΙ) Εικόνα 6 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VΙΙI) %------------------------------------------------------------------------- % Sample proram to ope the proect data fle, % read the varous data sources, compute ther % statstcs ad make some frst plots %------------------------------------------------------------------------- % % repared for the course % % "Itroducto to Earth's Gravty feld" % % tauht at the Departmet of Geodesy ad % Survey of the Arstotle Uversty of % hessalok %------------------------------------------------------------------------- % %------------------------------------------------------------------------- Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

clear all clc % %Read the put data load datadat %umber of pots potsr=sze(data,); %declare the varables ph=data(:,); dla=data(:,3); =data(:,4); H=data(:,5); d_egm=data(:,6); d_goo=data(:,7); d_rm=data(:,8); N_EGM=data(:,9); N_RM=data(:,0); ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (IX) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (IX) %------------------------------------------------------------------------- % ompute the data statstcs % %results prted o scree fprtf(,'he statstcs of the put d(egm08) are \'); fprtf(,'------------------------------------------\'); fprtf(,'\'); fprtf(,'max=%63f m=%63f mea=%63f std=%63f\',max(d_egm),m(d_egm),mea(d_egm),std(d_egm) ); % % fsh wth statstcs %------------------------------------------------------------------------- % Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (X) % Make some plots phrd=(m(ph):000:max(ph))'; dlard=(m(dla):000:max(dla))'; [DLAI,HI] = meshrd(dlard,phrd); DG_EGM = rddata(dla,ph,d_egm,dlai,hi,'v4'); % % Use surf to do the plot surf(dlai,hi,dg_egm), hold shad terp % % place the data pots f you wsh plot3(dla,ph,d_egm,'^','markeredeolor','k', 'MarkerFaceolor','k','MarkerSze',6), hold off % axs labels xlabel('lotude','rotato',) ylabel('lattude','rotato',338) % create colorbar h= colorbar; set(et(h,'xlabel'),'str', 'mgal', 'Rotato', 0,'FotSze',) ttle('lot of EGM08 cotrbuto to ravty aomales','fotweht','bold','fotsze',) % lot eerato eded %------------------------------------------------------------------------- Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XI) lot of EGM08 cotrbuto to ravty aomales 75 70 80 65 70 60 60 55 50 40 50 30 45 0 40 40 40 4008 435 4006 4004 06 08 30 400 40 0 04 mgal lattude Εικόνα 7 lotude Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 03-04

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες Εικόνες,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7: Αραμπέλος Δ και Τζιαβός ΗΝ (007) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00

Σημείωμα Αναφοράς opyrht Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ηλίας Τζιαβός Γεώργιος Βέργος «Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Διαταρακτικά Μεγέθη στο Πεδίο Βαρύτητας» Έκδοση: 0 Θεσσαλονίκη 04 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclassauthr/courses/ors374/ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης reatve ommos Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράμματα κλπ, τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων» Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί [] http://creatvecommosor/lceses/by-sa/40/ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δαλάκης Νικόλαος Θεσσαλονίκη, 6/9/04 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00

ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας ΗΝ Τζιαβός - ΓΣ Βέργος 009-00