ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a
Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 210-7722332
Άσκηση 19: Εκφώνηση απαραμόρφωτοι
? Άσκηση 19: Εκφώνηση
ερώτημα (Α) o εξίσωση κίνησης ενεργειακή αρχή Lagrange επομένως, θα πρέπει να υπολογισθούν... ❶
γρανάζια απαραμόρφωτα ΔΕΝ αποθηκεύουν δυναμική ενέργεια & ❷
ΜΙΚΡΕΣ παραμορφώσεις... ( ),...
...... και... ❸
❹ ❺ ❸ ❹ οπότε από, και ❺... άρα... ❷Β
❷Γ ❷Δ ❷Ε
εύρεση Β.Ε. (κινηματικών μεταβλητών)... ❻ ❼ ❽
❾ ❿ οπότε από ❻ έως ❿.........
επιλογή Β.Ε. (κινηματικών μεταβλητών)... ❼ έως ❿
οπότε από ❶... ⓫Α...
⓫Β οπότε από ⓫Α και ⓫Β... ⓬ κινητική ενέργεια συστήματος...
κατοπίν από ❷Α και ❷Γ...... ⓫Γ οπότε... ⓭ δυναμική ενέργεια συστήματος...
❷Δ ❷Ε ⓬ οπότε από,, και ⓭... όπου...
επoμένως,... υπολογισμός ενεργειών ενεργειακών όρων Lagrange... για κάθε ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή (Β.Ε.) q (θ 1 και θ 2 ) ⓮ ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή q= θ 1 αδρανειακός όρος... χρονική παραγώγιση... ⓯Α
όρος ελαστικότητας... ⓯Β όρος διάχυσης... ⓯Γ όρος διέγερσης... ⓯Δ
⓯Α,Β, Γ, Δ οπότε από ⓮... ⓰
ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή q= θ 2 αδρανειακός όρος... χρονική παραγώγιση... ⓱Α όρος ελαστικότητας... ⓱Β
όρος διάχυσης... ⓱Γ όρος διέγερσης... ⓱Δ ⓱Α,Β, Γ, Δ οπότε από ⓮... ⓲
οπότε από... ⓰ ⓲ μητρωϊκή μορφή... ⓳Α εξίσωση κίνησης συστήματος... αντικατάσταση τιμών...
κατόπιν από... ⓫Β και... ⓫Γ
οπότε από... ⓳Α εξίσωση κίνησης συστήματος... ⓳Β μητρώο μάζας μητρώο δυσκαμψίας διάνυσμα διέγερσης
ερώτημα (Β) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ (ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ) ΠΡΕΠΕΙ να ισχύει... αντικατάσταση μητρώων......
...... ορίζεται η βοηθητική μεταβλητή...
...... μητρώα θετικά ορισμένα θετικές ρίζες ιδιοσυχνότητες συστήματος...
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΠΡΕΠΕΙ να ισχύει... ιδιοάνυσμα ιδιοσυχνότητες ιδιοάνυσμα για ιδιοσυχνότητα ω 1
οπότε το 1 ο ιδιοάνυσμα είναι... ενδιαφέρει η αναλογία...... και οι Β.Ε. είναι...... συνιστώσες ιδιοανύσματος μεταβλητές με αναλογία 1:1 φυσική ερμηνεία... οι τροχοί Τ 1 & Τ 2 περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα σαν να είναι ο άξονας Α 1 άκαμπτος
ιδιοάνυσμα για ιδιοσυχνότητα ω 2 αντικατάσταση τιμών...
οπότε το 2 ο ιδιοάνυσμα είναι... ενδιαφέρει η αναλογία...
ομοίως... συνιστώσες ιδιοανύσματος μεταβλητές με αναλογία -0,3:1 φυσική ερμηνεία... οι τροχοί Τ 1 & Τ 2 ΔΕΝ περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα οπότε ο άξονας Α 1 υφίσταται στρέψη
ερώτημα (Γ) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ επίλυση εξίσωσης 2-βάθμιου δυναμικού συστήματος ⓳ ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός... έχουν υπολογισθεί... i φυσική συχνότητα συστήματος για τον i Β.Ε.... ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ γενικευμένων Β.Ε. επίλυση... ⓳Γ γενικευμένη μάζα...
Β.Ε θ 1 υπολογισμός γενικευμένης μάζας m 11 επίλυση εξλισωσης ⓳Γ Heavyside συνάρτηση διάνυσμα εξωτερικής διέγερσης βηματική διέγερση...
... οπότε η... ⓳Γ ω 1 = 0 ΛΥΣΗ...
ΛΥΣΗ... μηδενικές αρχικές συνθήκες... = 0 ⓳Δ
Β.Ε θ 2 υπολογισμός γενικευμένης μάζας m 22
επίλυση εξλισωσης ⓳Γ μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα ⓳Ε
μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα ⓳Ε ΛΥΣΗ... Μετασχηματισμός Laplace μηδενικές αρχικές συνθήκες... *... * 1 η χρονική παράγωγος...
... ⓴Α τεχνική μερικών κλασμάτων... ⓴Β
από ⓴Α και ⓴Β... ⓴Γ
από ⓴Β και ⓴Γ... Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace
⓴Δ
⓳Γ ⓳Δ ⓴Δ οπότε η μέσω και ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
φυσική ερμηνεία... απόκριση 2-βάθμιου δυναμικού συστήματος
1 η χρονική παράγωγος άπόκρισης δυναμικού συστήματος... γραμμική αύξηση γωνιακής ταχύτητας & του στοιχείου με ροπή αδρανείας &, αντίστοιχα φυσική ερμηνεία... η βηματική επιβολή της εξωτερικής ροπής τείνει να αυξήσει με γραμμικό και ίδιο τρόπο τη γωνιακή ταχύτητα των στοιχείων
1 η χρονική παράγωγος άπόκρισης δυναμικού συστήματος... αρμονική μεταβολή τηςγωνιακής ταχύτητας & του στοιχείου με ροπή αδρανείας &, αντίστοιχα φυσική ερμηνεία... η σχετική γωνιακή ταχύτητα των στοιχείων που συνδέονται μεταξύ τους μέσω του εύκαμπτου άξονα Α ξ μεταβάλλεται χρονικά τα στοιχεία εμφανίζουν στροφική ταλάντωση
Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... antogian@central.ntua.gr Δρ. Γιακόπουλος Χ.... chryiako@central.ntua.gr