Στοιχειώδη Σωματίδια II Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά
Η εξίσωση Dirac Οι Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις 29-5-2014 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωµάτια 2
Η κυματική εξίσωση ελεύθερου σωματιδίου 3 Η σχετικιστική εξίσωση σωματιδίου: Αντικαθιστούμε τα Ε και p με κβαντομηχανικούς τελεστες:... και παίρνουμε την εξίσωση Klein-Gordon: ħ = c = 1 a Eop = ili-, at a 2 1/f - = (V 2 - m 2 )1/f at 2 a Pop = -iliv = -iliar Η εξίσωση περιγράφει σωμάτιο(μποζόνιο) με σπιν=0 (scalar) και είναι παράγωγοι 2ης τάξης ως προς Ε και p H μη σχετικιστική εξίσωση Schroedinger είναι 1ης τάξης ως προς Ε(χρόνο) και 2ης ως προς p(χώρο) ( E=p 2 /2m): 1 a 2 1/f m 2 c 2 c2 at 2 = V 2 1/f - 71/f in covariant notation a1/f i V 21/f = 0 at 2m
4 διάστατα διανύσµατα Α, Β covariance & contravariance g µν g 00 = 1, (the spacelike components) (the spacelike components) Εξαίρεση!
Η κυματική εξίσωση ελεύθερου σχετικιστικού σωματιδίου 5 Για σχετικιστικά σωματίδια ο χώρος και χρόνος πρέπει να είναι της ίδιας τάξης, ώστε να ισχύει η: Η 2 ψ = (P 2 + m 2 )ψ (relativistic invariance) O Dirac πρότεινε μια κυματική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς χρόνο και χώρο(γραμμική σε / t, / r) (για άμαζα ελεύθερα σωματίδια εξίσωση Weyl): Για να ικανοποιείται η εξίσωση Klein-Gordon με m=0 πρέπει να ισχύουν οι: 2x2 πίνακες Pauli που συνδέονται με τον κβαντικό αριθμό του σπιν του ηλεκρτονίου είναι anti-commutation (JI (J2 + (J2(JI = 0, etc. οι κυματοσυναρτήσεις spin ( χ = χ1 ),ϕ = ϕ1 χ 2 ϕ 2 ( )
Η κυματική εξίσωση ελεύθερου σχετικιστικού σωματιδίου (m=0, m 0) 6 Αντικαθιστώντας τους τελεστές στην εξίσωση Weyl και για τις δύο περιπτώσεις (+ & -): EX = -(1. PX (E(Η), p οι τελεστές, χ, φ οι κυματοσυναρτήσεις spin) (spinors με 2 συνιστώσες-σ:2x2) Αν συμπεριλάβουμε και έναν όρο μάζας: παίρνουμε την εξίσωση Dirac οι α, β είναι πίνακες 4x4 που εφαρμόζονται στις κυματοσυναρτήσεις spinors με 4 συνιστώσες f3 = (1 0 ) o -1 ψ = ϕ χ 4x4 είναι η μικρότερη διάσταση πίνακα που απαιτείται, για να βάλουμε και την μάζα στην εξίσωση και σε συμμεταβλητή μορφή (covariant form) : χ1 χ = χ 2 E1/F = (0:. P + pm)1/f ( ) ( ( ϕ1 ),ϕ = ϕ 2 ( ) Οι χ συνιστώσες αντιστοιχούν σε Ε>0 καταστάσεις σπιν και οι φ σε Ε<0 iy - m) 1/F = 0 /l-ax /l- Yk = f3 a k = κ = 1,2,3 και γ = β 4 γ µ µ = 1,2, 3, 4 O γ4 συχνά απανταται και σαν γ0 στην βιβλιογραφια (εδώ χρησιμοποιούμε το γ0)
Η κυματική εξίσωση ελεύθερου σχετικιστικού σωματιδίου με σπιν (Free Particle Spinors m=0, m 0) 7 Η λύση της εξίσωσης Dirac για ελεύθερο σωματιο είναι (4-comp. spinor) που ικανοποιεί την και αν p=0 με ιδιοτιμές Ε=m, m, -m, -m ιδιοδιανύσματα Οι δύο πρώτες λύσεις αντιστοιχούν σε Ε>0 και οι άλλες δύο σε Ε<0 Αν p 0 και για Ε>0, έχουμε: όπου η u χωρίστηκε σε δύο 2-comp. spinor ua, ub χ (1) = ( 1 0 ), χ (2) 0 = 1 ( ) και 2 λυσεις u (1), u (2) : Ν: παράγοντας 4-component spinor each κανονικοποίησης
Η κυματική εξίσωση ελεύθερου σχετικιστικού σωματιδίου με σπιν (Free Particle Spinors m=0, m 0) 8 Για Ε<0, έχουμε: και 2 λυσεις με 4-component spinor η κάθε μία. Ν: παράγοντας κανονικοποίησης Στο σύστημα ηρεμίας του σωματίου (ή αν p=0) τα u 1, u 2, u 3, u 4 είναι:
Οι ιδιότητες των πινάκων Dirac (γ-matrices) 9 Η εξίσωση Dirac ισοδυναμεί με 4 διαφορικές εξισώσεις που συνδέουν τις 4-συνιστώσες ενός διανύσματος στήλης (colomn-vector) (iγ µ µ m)ψ = 0 Οι πίνακες: α1, α2, α3 (α)και β αντιμετατίθενται (anti-commute) και α1 2 =α2 2 =α3 2 =β 2 =1, γ μ (β,βα) γ µ γ 0,γ 1,γ 2,γ 3 γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν (γ 0 ) = γ 0 γ κ = γ κ,κ = 1,2,3 (γ κ ) 2 = Ι,κ = 1,2, 3 γ µ = γ 0 γ µ γ 0 Dirac-Pauli representation γ 0 γ κ = γ κ γ 0 f3 = (1 0 ) o -1 Ορίζουμε επίσης: γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 Άρα: γ 5 = γ 5 (γ 5 ) 2 = Ι γ 5 γ µ + γ µ γ 5 = 0
Οι ιδιότητες των πινάκων Dirac (γ-matrices)- Διγραμμικές ποσότητες 10 Μας ενδιαφέρει να κατασκευάσουμε την πιο γενική μορφή ποσοτήτων που συμπεριφέρονται σαν ρεύματα και ειναι Lorentz covariants (bilinear covariants) Οι ποσότητες αυτές θα πρέπει να έχουν την μορφή: (ψ )(4 4)(ψ ) O πίνακας 4x4 είναι γινόμενο από πίνακες (β,βα) Μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά των διγραμμικών αυτών ποσοτήτων στους μετασχηματισμούς Lorentz (στροφές, μετατοπίσεις) και στην αναστροφή του χώρου (parity)
Η Συζυγής Εξίσωση Dirac - Διατηρητέα ρεύματα 11 Η εξίσωση συνέχειας του ρεύματος: µ j µ = 0 Για να ορίσουμε ρεύματα από την εξίσωση Dirac θα πάρουμε την ερμιτιανή συζυγή εξίσωση της: (iγ µ µ m)ψ = 0 και ταυτόχονα για να διατηρήσουμε την συμμεταβλητή μορφή της εξίσωσης ορίζουμε τον συξυγή(row) spinor: ψ ψ γ 0 Η συξυγής εξίσωση Dirac γίνεται: i µ ψγ µ + mψ = 0 Πολλαπλασιάζω την εξισωση Dirac από αριστερά με συζυγή της με ψ από δεξιά και τις προσθέτω: j µ = ψγ µ ψ Το j μ μετασχηματίζεται Πετρίδου ως Χαρά τετραδιάνυσμα Θεσσαλονίκη 28 Μαϊου 2015 και την ψγ µ µ ψ + ( µ ψ )γ µ ψ = µ (ψγ µ ψ ) = 0 Αρα το ρεύμα είναι: με πυκνότητες πιθανότητας (ρ) και ροής (j). Η πυκνότητα πιθανότητας είναι θετική! Για να είναι ρεύμα εισάγουμε και το φορτίο -e: ψ ρ j 0 = ψγ 0 ψ = ψ ψ j µ = eψγ µ ψ
Dirac spinors και Ηλεκτρομαγνητικές Αλληλεπιδράσεις 12 Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο (με σπιν) με τετραορμή p μ περιγράφεται από τις 4-συνιστώσες της κυματοσυνάρτησης που ικανοποιεί την εξίσωση Dirac: (iγ µ µ m)ψ = 0 Η εξίσωση για ένα ηλεκτρόνιο σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Α μ προκύπτει αν αντικαταστήσουμε την τετραορμή του: i µ i µ + ea µ (όπως και στην κλασσική ηλεκτροδυναμική) (φορτίο ηλεκτρονίου -e) H εξισωση Dirac παίρνει την μορφή: Η διαταραχή V δίνεται από: Το πλάτος σκέδασης του ηλεκτρονίου από M if ψ i ψ f όπου
Dirac spinors και Ηλεκτρομαγνητικές Αλληλεπιδράσεις 13 Αν το ηλεκτρόνιο δεν είχε σπιν θα αλληλεπιδρούσε ΜΟΝΟ λόγω φορτίου με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Το ηλεκτρόνιο με σπιν 1/2 αλληλεπιδρά με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και μεσω του φορτίου του και μέσω της μαγνητικής του ροπής! Αν θεωρήσω την σκέδαση e - μ - e - μ - Το αμετάβλητο πλάτος σκέδασης: Αποδεικνύεται ότι L είναι το ίχνος (trace) του γινομένου τεσσάρων 4x4 πινάκων (m η μάζα του ηλεκτρονίου)
Dirac spinors και Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις-Ασθενή ρεύματα 14 Ο Fermi δοκίμασε να εφαρμόσει την δομή των ηλεκτρομαγνητικών αλληλεπιδράσεων και στη β-διασπαση Για ηλεκτρομαγνητική σκέδαση e-p το πλάτος σκέδασης είναι: Με παρόμοια λογική αλληλεπίδρασης ρευμάτων το πλάτος σκέδασης p-n είναι: Παρατηρείστε την απουσία του διαδότη στο διάγραμμα!
Dirac spinors και Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις-Ασθενή ρεύματα 15 Σήμερα γνωρίζουμε ότι ένα πλήθος από πειράματα δείχνουν ότι τα λεπτόνια στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις με φορτισμένα ρεύματα (charged-current)είναι ένας ειδικός συνδυασμός δύο διγραμμικών συμμεταβλητών (bilinear covariants) Αναφερόμαστε σε μορφή V-A του ασθενούς ρεύματος Jμ. Σε αντίθεση με το ηλεκτρομαγνητικό ρεύμα (V), το ασθενές είναι γραμμικός συνδυασμός V και A. Ο όρος 1/2(1-γ5) παραβιάζει την ομοτιμία στο μέγιστο: νετρίνο με λ=-1/2 & αντι-νετρίνο λ=+1/2 νετρίνο με λ=+1/2 & αντι-νετρίνο λ=-1/2 νετρίνο με λ=-1/2
Dirac spinors και Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις-Ασθενή ρεύματα 16 Η μορφή V-A του ασθενούς φορτισμένου ρεύματος Jμ μελετήθηκε στη σκέδαση νετρίνο από ηλεκτρόνια Η ελπίδα ήταν η ίδια μορφή V-A να περιγράγει ολες τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις (current-current interactions with G coupling)(π.χ. β-διάσπαση & διάσπαση του μιονίου) Η Η γενική μορφή συνδυασμού V και A πλατών θα είναι ένας τελεστής της μορφή: όπου τα CV και CA είναι σταθερές που μπορούν μα προσδιοριστούν πειραματικά Τα νετρίνο είναι καθαρή λ=-1/2 CA= -CV ΑΛΛΑ γενικά CA/CV -1 αξονικό µέρος του ρεύµατος ΔΕΝ διατηρείται
Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις-Ασθενή ρεύματα 17 Αντιστοιχία ανάμεσα σε ηλεκτρομαγνητικές και ασθενείς αλληλεπιδράσεις 'I' ': " w± Q Q u d Ημι-Λεπτονική Φορτισμένα ρεύματα (a) Λεπτονική Ουδέτερα ρεύματα '"IV" ZO ; }ne e u (c) A d s (b) (d) Μη Λεπτονική }
Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις-Ασθενή ρεύματα Οι σταθερές σύζευξης 18 Αντιστοιχία ανάμεσα σε ηλεκτρομαγνητικές και ασθενείς συξεύξεις γ V V-A (V-A)+V θ w : Weinberg γωνία (T 3 η 3 η συνιστώσα του ασθενούς isospin) [SU(2) L : isospin like group]
Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις-Ασθενή ρεύματα Οι σταθερές σύζευξης 19 Aσθενές Ισοτοπικό Σπιν των φερμιονίων και οι σταθερές CA και CV CA CV
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ QUARK ΣΤΙΣ ΑΣΘΕΝΕΙΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ [weak mixing] Με 4 ή µε 6 quarks. Οι καταστάσεις των quark που παράγονται κατά τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις ΔΕΝ είναι ιδιοκαταστάσεις µάζας των quark µε συγκεκριµένη γεύση. Τα W s, Z συζεύγνυνται µε τα: Τα d, s, b είναι γραµµικοί συνδυασµοί των d, s, b. Το ασθενές ρεύµα για αλληλ. επιτρέπει και και Εισάγουµε πίνακα 3x3 (µοναδιαίο: u) που τα στοιχεία του δίνουν τα σχετικά πλάτη πιθανότητας αντίστοιχων µεταπτώσεων.
Cabibbo Kobayash Maskawa Matrix [C.K.M matrix] Με δύο γενεές quark: 2x2 πίνακας: Cabibbo matrix.