ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας. Τότε λέµε ότι έχει αληθοτιµή ή αλλιώς τιµή αληθείας. 3. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται ψευδής όταν περιγράφει µια µη υπαρκτή κατάσταση του κόσµου µας. Τότε λέµε ότι έχει αληθοτιµή ή αλλιώς τιµή αληθείας. 4. Π Ρ ούτε Π ούτε Ρ 5. Π Ρ είτε Π είτε Ρ 6. Η διαδοχή «και» είναι ένας σύνδεσµος τον οποίο καλούµε σύζευξη. Κάθε πρόταση που προκύπτει µε την πλήρωση των κενών καλείται συζευκτική πρόταση.για τον σύνδεσµο αυτό χρησιµοποιούµε το σύµβολο. 7. Η σύζευξη δύο προτάσεων είναι αληθής πρόταση στην περίπτωση όπου και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς. Π Ρ Π Ρ 8. Η διαδοχή «ή» είναι ένας σύνδεσµος τον οποίο καλούµε διάζευξη. Κάθε πρόταση που προκύπτει µε την πλήρωση των κενών καλείται διαζευκτική πρόταση. Για τον σύνδεσµο αυτό χρησιµοποιούµε το σύµβολο. 1
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ 9. Η διάζευξη δύο προτάσεων είναι αληθής πρόταση όταν και µόνο όταν τουλάχιστον µια από τις δύο προτάσεις είναι αληθής. Π Ρ Π Ρ 10. ποκλειστική διάζευξη λέγεται αυτή στην οποία οι δύο προτάσεις που συνδέονται δε µπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθείς. Άρα όταν και οι δύο προτάσεις που συνδέονται είναι αληθείς τότε η σύνθετη πρόταση είναι ψευδής Για τον σύνδεσµο αυτό χρησιµοποιούµε το σύµβολο. Π Ρ Π Ρ 11. Ο σύνδεσµος «όχι» λέγεται άρνηση. Για τον σύνδεσµο αυτό χρησιµοποιούµε το σύµβολο. Η άρνηση µιας πρότασης είναι αληθής όταν και µόνον όταν αυτή είναι ψευδής. Π Π 12. Ο σύνδεσµος «εάν τότε» λέγεται συνεπαγωγή. Η συµπλήρωση των κενών µε προτάσεις παράγει µια πρόταση που λέγεται υποθετική. Η πρόταση που τοποθετείται στο πρώτο κενό λέγεται ηγούµενος όρος και η πρόταση που τοποθετείται στο δεύτερο κενό λέγεται επόµενος όρος. Για τον σύνδεσµο αυτό χρησιµοποιούµε το σύµβολο. Μια υποθετική πρόταση είναι ψευδής µόνο στην περίπτωση όπου ο ηγούµενος όρος είναι αληθής και ο επόµενος ψευδής. Π Ρ Π Ρ 2
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ 13. Όταν οι δύο καταστάσεις που περιγράφουν οι συνδεόµενες προτάσεις είναι τέτοιες ώστε δεν είναι δυνατόν η µια να υφίσταται και η άλλη όχι, τότε η πρόταση αυτή λέγεται διπλή συνεπαγωγή ή ισοδυναµία. Το σύνδεσµο αυτό το συµβολίζουµε µε Η ισοδυναµία είναι αληθής µόνο στην περίπτωση όπου οι δύο συνδεόµενες προτάσεις έχουν την ίδια αληθοτιµή. Π Ρ Π Ρ 14. Να συµπληρωθεί ο πίνακας αληθείας: Π Ρ Τ Π Τ Ρ ( Π Τ ) 15. Να συµπληρωθεί ο πίνακας αληθείας: Π Ρ Τ Ρ Π ( Ρ Π) Τ 16. Κάθε τύπος στον οποίο αντιστοιχεί η αληθοτιµή για κάθε δυνατό συνδυασµό των αληθοτιµών των προτάσεων που τον συγκροτούν λέγεται ταυτολογία. (για παράδειγµα ο τύπος Π Π ) 17. Κάθε τύπος στον οποίο αντιστοιχεί η αληθοτιµή για κάθε δυνατό συνδυασµό των αληθοτιµών των προτάσεων που τον συγκροτούν λέγεται αντίφαση. (για παράδειγµα ο τύπος Π Π ) 18. Κάθε τύπος που δεν είναι ταυτολογία ή αντίφαση λέγεται ενδεχόµενος. 3
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ 19. Νόµος αντιθετοαντιστροφής ( ) ( Ρ Π ) 20. Νόµος διπλής άρνησης ( Π) Π 21. Νόµος συµπληρώµατος ή αποκλείσεως τρίτου Π ( Π ) 22. ύο τύποι φ και χ λέγονται λογικά ισοδύναµοι όταν και µόνον όταν ο τύπος είναι ταυτολογία. ( για παράδειγµα οι τύποι ϕ : και χ : Ρ Π ) Να συµπληρωθεί ο πίνακας αληθείας: Π Ρ Π Ρ ϕ : χ : Ρ Π 23. Να συµπληρωθεί ο πίνακας αληθείας: Π Ρ Π ϕ : χ : Π Ρ 24. Να συµπληρωθεί ο πίνακας αληθείας: Π Ρ ϕ : ( ) χ : Π Ρ 25. Να συµπληρωθεί ο πίνακας αληθείας: Π Ρ Π Ρ Π Ρ ϕ : ( Π Ρ ) χ : Ρ Π 26. Να γίνουν πίνακες αληθείας για τους τύπους: ( ) ( ) 1) Π ( ) Ρ 2) ( Π Ρ) ( ) 4
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ 27. Να συµπληρωθούν τα κενά: 1) ν ένας τύπος φ είναι ταυτολογία τότε ο τύπος ϕ είναι.. 2) ν ο τύπος φ είναι ταυτολογία και χ ένας οποιοδήποτε τύπος τότε ο τύπος ϕ χ είναι.. 3) ν ο τύπος φ είναι ταυτολογία και χ ένας οποιοδήποτε τύπος τότε ο τύπος χ ϕ είναι.. 4) ν φ και χ ταυτολογίες τότε ο τύπος ϕ χ είναι. 5) ν ο τύπος φ είναι αντίφαση και χ ένας οποιοδήποτε τύπος τότε ο τύπος ϕ χ είναι.. 6) ν ο τύπος φ είναι αντίφαση και χ ένας οποιοδήποτε τύπος τότε ο τύπος ϕ χ είναι.. 7) ν φ και χ ταυτολογίες τότε ο τύπος είναι. 8) ν φ και χ αντιφάσεις τότε ο τύπος είναι. 28. Συλλογισµός είναι µια νοητική διαδικασία µε βάση την οποία ξεκινώντας από µια οµάδα γνωσιακών δεδοµένων που εκφράζονται µε τη µορφή προτάσεων (υποθέσεις), καταλήγουµε σε ένα νέο γνωσιακό στοιχείο που επίσης εκφράζεται µε τη µορφή πρότασης (συµπέρασµα). Το σύνολο των προτάσεων που εµφανίζονται σε έναν συλλογισµό καλείται επιχείρηµα. Σχήµα επιχειρήµατος: υ, υ, υ,..., υ, σ ( όπου σ το συµπέρασµα και 1 2 3 υ, υ, υ,..., υ οι υποθέσεις) 1 2 3 ν 29. Ένα επιχείρηµα είναι έγκυρο όταν είναι τέτοιο ώστε σε κάθε περίπτωση κατά την οποία όλες οι υποθέσεις του είναι αληθείς και το συµπέρασµα είναι αληθές. 30. Όταν όλες οι υποθέσεις σε ένα σχήµα επιχειρήµατος έχουν αληθοτιµή και το συµπέρασµα έχει αληθοτιµή τότε αυτό καλείται αντιπαράδειγµα. Ένα σχήµα επιχειρήµατος είναι έγκυρο όταν δεν έχει κανένα αντιπαράδειγµα. Προφανώς ένα σχήµα επιχειρήµατος είναι µη έγκυρο όταν έχει τουλάχιστον ένα αντιπαράδειγµα. 31. Modus Ponens: πό µια συνεπαγωγή και τον ηγούµενο όρο της συνεπάγεται ο επόµενος όρος της. ν Modus Ponens Π Ρ 5
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ 32. Modus Tollens: πό µια συνεπαγωγή και την άρνηση του επόµενου όρου της συνεπάγεται η άρνηση του ηγούµενου όρου της. Modus Tollens Ρ Π 33. Υποθετικός συλλογισµός: από δύο συνεπαγωγές στις οποίες ο επόµενος όρος της πρώτης είναι ηγούµενος όρος στη δεύτερη, προκύπτει µια νέα συνεπαγωγή στην οποία ηγούµενος όρος είναι αυτός της πρώτης και επόµενος όρος είναι αυτός της δεύτερης. Υποθετικός συλλογισµός Ρ Π 34. ιαζευκτικός συλλογισµός: ιαζευκτικός συλλογισµός Ρ Π 35. Να αποδειχθεί ότι τα παρακάτω σχήµατα επιχειρήµατος είναι έγκυρα: 1) 2) 3) 4) 6