Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 1: Κεφαλαιοποίηση Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες της απλής και της συνεχούς κεφαλαιοποίησης. Επίσης, αναλύονται οι έννοιες του τόκου, του ανατοκισμού και οι ιδιότητες των δυνάμεων και των λογαρίθμων. 4
Περιεχόμενα ενότητας Απλή και σύνθετη κεφαλαιοποίηση. Τόκος. Ανατοκισμός. Ιδιότητες δυνάμεων. Λογάριθμοι. 5
Απλή Κεφαλαιοποίηση Κεφάλαιο ονομάζουμε το χρηματικό ποσό που όταν δανειστεί ή αποταμιευτεί αποκτά παραγωγική ικανότητα. Οι χρηματοοικονομικές αγορές αναπτύχθηκαν για να διευκολύνουν τις διαδικασίες τις πίστωσης. Π.χ. δανειστές (πιστωτές) που διαθέτουν χρηματικά ποσά μεγαλύτερα από την κατανάλωση που προτίθενται να προβούν τα ανταλλάσουν (δανείζουν) σε δανειζόμενους που έχουν ροπή για κατανάλωση μεγαλύτερη από το εισόδημα που διαθέτουν. Οι πιστωτές λαμβάνουν αμοιβή για το δικαίωμα της χρησιμοποιήσεως του σχετικού κεφαλαίου. Η αμοιβή αυτή ονομάζεται τόκος - ή επιτόκιο όταν αφορά μια νομισματική μονάδα για μια περίοδο. 6
Τόκος Ο τόκος Τ είναι ανάλογος : 1. του αρχικού κεφαλαίου Κ 0, 2. του χρόνου t και 3. του επιτοκίου i, δηλαδή Τ= Κ 0 t i To κεφάλαιο Κ αντιπροσωπεύει χρηματικό ποσό το οποίο διαμέσου του δανεισμού αποκτά παραγωγική ικανότητα τουλάχιστον ίση με τον τόκο Τ, βάσει γνωστού επιτοκίου i και για παραγωγικό διάστημα ίσο με t. 7
Παράδειγμα Υπολογισμού Τόκου Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 1.000 ευρώ σε 4 έτη με επιτόκιο 15%. Λύση Κ 0 = αρχικό κεφάλαιο = 1.000, t = χρόνος = 4, i = το εκατοστό του επιτοκίου = 0,15 Τ= Κ 0 t i = 1.000*4*0,15 = 600. Ο προσδιορισμός του τόκου γίνεται με βάση το χρόνο στον οποίο αναφέρεται το επιτόκιο. Το επιτόκιο είναι ετήσιο, στην περίπτωση όμως που το επιτόκιο αναφέρεται σε διάστημα μικρότερο του έτους, π.χ. εξάμηνο ή τρίμηνο, τότε θα πρέπει να γίνει ανάλογη μετατροπή και στον χρόνο. 8
Παράδειγμα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 2.000 ευρώ σε 10 έτη με επιτόκιο εξαμηνιαίο 5%. Λύση Ο χρόνος t θα πρέπει να μετατραπεί σε εξάμηνα εφόσον η βάση μας είναι πλέον το εξαμηνιαίο επιτόκιο. 10 έτη * 2 εξάμηνα = 20 εξάμηνα = t Τ= Κ 0 t i = 2.000*20*0,05 = 2000. 9
Παράδειγμα 2 Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο που μετά από 8 μήνες με επιτόκιο 12% αποφέρει τόκο 500 ευρώ. Λύση Τ = 500, t = 8/12, επιτόκιο = 0,12. T =(K 0 *μ i ) 12 = 12T μ i = 12*500 8*0,12 = 6.250 10
Παράδειγμα 3 (1) Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 10.000 ευρώ για 1 έτος και 20 μέρες με επιτόκιο 10%. Λύση Επειδή το έτος έχει 365 ημέρες (v) ο σχετικός τύπος μετατρέπεται ως εξής: T =(K V *i ) 365 Συνεπώς, ο τόκος για αρχικό κεφάλαιο 10.000 ευρώ με επιτόκιο 0,10 και για 385 μέρες (365 το έτος + 20 μέρες) είναι: 11
Παράδειγμα 3 (2) T =(K V *i ) 365 = (10.000 *385*0,10) 365 = 1054,79 12
Παράδειγμα 4 Σε πόσο χρόνο αρχικό κεφάλαιο 3.000 ευρώ με επιτόκιο 7% αποφέρει 300 ευρώ τόκο. Λύση Τ = 300, Κ 0 = 3.000, επιτόκιο = 0,07. T =(K 0 *it ) t= T K 0 *i 300 3.000 *0,07= 1,43 1,43 έτη ή 1 έτος και 0,43*365 (μέρες του έτους) = 157 μέρες 13
Συνεχής κεφαλαιοποίηση (1) Συνεχής κεφαλαιοποίησης είναι αυτή στην οποία ο τόκος κεφαλαιοποιείται κάθε χρονική στιγμή. H συνεχής κεφαλαιοποίηση είναι αντίστοιχη του ανατοκισμού με τη διαφορά ότι η περίοδος ανατοκισμού δεν αφορά μετρήσιμες περιόδους (εξάμηνο, τρίμηνο, μήνα, μέρα, ώρα κλπ) αλλά άπειρες περιόδους. Ο τύπος εύρεσης της τελικής αξίας στην συνεχή κεφαλαιοποίηση είναι: K t =(K 0 *e jt ) Κ t - Τελική αξία K 0 Αρχική Αξία e Βάση των φυσικών λογαρίθμων ίση με 2,718 J Επιτόκιο συνεχούς κεφαλαιοποίησης t Αριθμός των σχετικών ετών 14
Συνεχής κεφαλαιοποίηση (2) Κ t - Τελική αξία K 0 Αρχική Αξία e Βάση των φυσικών λογαρίθμων ίση με 2,718 J Επιτόκιο συνεχούς κεφαλαιοποίησης t Αριθμός των σχετικών ετών K t =(K 0 *e jt ) Η σχέση που συνδέει το ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο r με το επιτόκιο συνεχούς κεφαλαιοποίησης j είναι: j = ln (1+r) Να σημειωθεί ότι η βάση του λογαρίθμου είναι το e. 15
Παράδειγμα 5 Σε πόσο χρονικό διάστημα μπορεί η περιουσία ενός επενδυτή να διπλασιαστεί όταν επενδύεται με επιτόκιο συνεχούς κεφαλαιοποίησης 12%. Λύση Έστω η περιουσία του επενδυτή είναι αξίας 1 ευρώ, τότε θα πρέπει να υπολογιστεί το χρονικό διάστημα που απαιτείται για τη παραγωγή άλλου ένα ευρώ, δηλαδή να δημιουργηθεί τελική αξία 2 ευρώ. K t =(K 0 *e jt ) 2= 1e 0,12t ln2 = lne 0,12t 0,12t = ln2 0,12t=0,69 t=0,69 0,12=5,75 έτη ή 5 έτη και (0,75*365)=274 μέρες 16
Παράδειγμα 6 Να βρεθεί η τελική αξία ποσού 1.000 ευρώ μετά δύο έτη εφαρμόζοντας συνεχή κεφαλαιοποίηση όταν το ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο είναι 12%. Λύση Για να υπολογιστεί η τελική αξία είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το επιτόκιο j συνεχούς κεφαλαιοποίησης. j = ln(1+r) j = ln1,12 = 0,1133 επιτόκιο συνεχούς κεφαλαιοποίησης. Η τελική αξία είναι ίση με K t =(K 0 *e jt ) K 2 =1000*e 0,1133*2 ) K 2 =1000 * 1,254 =1254 17
Ανατοκισμός ή Σύνθετος τόκος Σύνθετος τόκο ή ανατοκισμό ονομάζουμε τον υπολογισμό του τόκου που βασίζεται στην κεφαλαιοποίηση του. Στη λήξη κάθε περιόδου ο τόκος προστίθεται στο κεφάλαιο παράγοντας μεγαλύτερης αξίας κεφάλαιο, το οποίο στη συνέχεια επανατοκίζεται για την επόμενη περίοδο και ούτω καθεξής. Η περίοδος ορίζεται από το επιτόκιο αναφοράς και αποτελεί το χρονικό διάστημα στο οποίο γίνεται η κεφαλαιοποίηση των τόκων. Το διάστημα αυτό μπορεί να είναι έτος, εξάμηνο, κτλ. Το επιτόκιο παραμένει σταθερό από περίοδο σε περίοδο και θα πρέπει να αναφέρεται στην αυτή χρονική περίοδο που αναφέρεται και η περίοδος ανατοκισμού. 18
Ανατοκισμός ή Σύνθετος τόκος: Απόδειξη Απόδειξη Σύμφωνα με τον τύπο υπολογισμού του απλού τόκου η τελική αξία κάθε περιόδου θα είναι ίση : K 1 =K 0 (1+i*1) = K 0 (1+i) K 2 =K 1 (1+i*1) = K 1 (1+i)...... K t =K t-1 (1+i*1) = K t-1 (1+i) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε: Κ 1 * Κ 2 * *Κ t = K 0 (1+i) * K 1 (1+i) * K t-1 (1+i) Κ 1 Κ 2 Κ t = Κ 0 Κ 1 Κ 2 Κ t-1 (1+i) n 19
Ιδιότητες Δυνάμεων Κ Χ *Κ Υ = Κ Χ+Υ (Κ 1 *Κ 2 ) Υ = Κ Χ 2 *Κ Χ 2 Κ Χ / Κ Υ = Κ Χ-Υ (Κ Χ ) Υ = Κ Χ*Υ Κ 0 = 1 όταν Κ 0 Κ Χ >0 αν Κ >0 και Κ 1 για κάθε χ ανήκει στο R, εάν Κ=1, τότε 1 0Χ = 1 για κάθε χ ανήκει στο R Όπου χ και y ακέραιοι και y>0, επίσης k>0. Συνέπεια της παραπάνω ιδιότητας είναι και η σχέση Κ Χ = Κ 1 Χ 20
Ορισμός λογαρίθμου Επίσης, λογάριθμο του Κ με βάση το y, δηλαδή log y K, ονομάζουμε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει η σχέση y x = K, όπου y > 0, y 1 και K > 0, Συνεπώς, ισχύει η ισοδυναμία: Log y K = X Y X = K y LogyK = K Όταν y = 10, τότε έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο, ενώ όταν η βάση y είναι ίση με e τότε έχουμε τον νεπέριο λογάριθμο που συνήθως γράφεται ως lnk. Οι νεπέρειοι λογάριθμοι ονομάζονται και φυσικοί λογάριθμοι. 21
Ιδιότητες λογαρίθμων (1) Ο λογάριθμος του γινομένου δύο ή και περισσοτέρων θετικών αριθμών ως προς την ίδια βάση y είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων αυτών των αριθμών. "K 1, K 2 R + και y>0, y 1 τότε log y (K 1 K 2 ) = log y K 1 + log y K 2 O λογάριθμος του 1 είναι ίσος με 0. Log1=0 O λογάριθμος της βάσης είναι ίσος με 1. Log 10 10 = 1 ή lne = 1 Ο λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών ως προς την ίδια βάση y είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων αυτών των αριθμών. "K 1, K 2 R + και y>0, y 1 τότε Log y (K 1 /K 2 ) =log y K 1 - log y K 2 22
Ιδιότητες λογαρίθμων (2) Ο λογάριθμος μιας δύναμης ενός θετικού αριθμού ως προς μια βάση y είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη της δύναμης x επί τον λογάριθμο της βάσης της δύναμης. "K 1, K 2 R + και y>0, y 1 τότε Log y K x =xlogy y K 23
Ιδιότητες λογαρίθμων (3) Να σημειωθεί επίσης ότι η σχέση ln (Κ 1 + Κ 2 ) = ln Κ 1 + ln Κ 2 είναι λάθος, δηλαδή ln (Κ 1 + Κ 2 ) ln Κ 1 + ln Κ 2 O λογάριθμος είναι κατ ουσία εκθέτης συνεπώς, ln (Κ 1 + Κ 2 ) θα πρέπει να είναι εκθέτης του e για να πάρουμε το Κ 1 + Κ 2. Για παράδειγμα, a = ln (Κ 1 + Κ 2 ) e a = e ln (Κ1 + Κ2) a = Κ 1 + Κ 2 24
Παράδειγμα 7 (1) Μια τράπεζα προσφέρει στους καταθέτες της επιτόκιο 10% με ετήσιο ανατοκισμό. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 10.000 ευρώ σε 3 έτη και 7 μήνες. Λύση 1 ος Τρόπος Υπολογίζουμε το σύνολο των ετών ανατοκισμού περιλαμβάνοντας και τους μήνες, δηλαδή οι επτά μήνες είναι 7/12 = 0,5833 έτη και επομένως το σύνολο των ετών είναι 3+0,5833 = 3,5833 Η τελική αξια είναι ίση με: Κ t = K 0 (1+i) t K 3,5833 = 10.000 (1+0,10) 3,5833 =14.071 25
Παράδειγμα 7 (2) 2 ος Τρόπος Υπολογίζεται ο συντελεστής κεφαλαιοποίησης ξεχωριστά για τον ακέραιο αριθμό των ετών και τον αριθμό των μηνών της σχετικής εξίσωσης, δηλαδή Κ t = K 0 (1+i) t K t = 10.000 (1+0,10) 3+7/12 Κ t = 10.000* (1,10) 3 * (1,10) 7/12 Κ t = 10.000* (1,10) 3 * (1,10) 7/12 10.000*1,331*1,057172=14071 26
Παράδειγμα 7 (3) Να σημειωθεί επίσης, ότι ορισμένα πιστωτικά ιδρύματα εφαρμόζουν, σε κάποιες περιπτώσεις, τον λεγόμενο μεικτό ανατοκισμό. Ο ανατοκισμός εφαρμόζεται για τον ακέραιο αριθμό των περιόδων (ετών) ενώ για το κλασματικό (μήνες, μέρες) εφαρμόζεται ο απλός τόκος. Με άλλα λόγια έχουμε δυο συντελεστές, ο πρώτος αφορά στον ανατοκισμό και ο δεύτερος στον απλό τόκο. Το παραπάνω πρόβλημα λύνεται ως εξής: Κ t = K 0 (1+i) t (1+(μ/12)*i) K t = 10.000 (1+0,10) 3 *(1+(7/12)*0,10) Κ t = 10.000 *1,331*1,05833 = 14.086 Η τελική αξία στην περίπτωση του μεικτού ανατοκισμού είναι μεγαλύτερη από την περίπτωση του καθαρού ανατοκισμού, καθώς η δύναμη που αντιστοιχεί στο κλασματικού μέρους είναι μικρότερη της μονάδος. 27
Παράδειγμα 8 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 5.000 μετά 5,5 έτη και με ισχύον επιτόκιο 10% το εξάμηνο. Λύση Όταν δεν αναφέρεται η περίοδο ανατοκισμού τότε η περίοδος θεωρείται ότι είναι το έτος. Στην προκειμένη περίπτωση το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο συνεπώς η περίοδος ανατοκισμού είναι το εξάμηνο και θα πρέπει να προηγηθεί ο υπολογισμός του αριθμού των εξαμήνων για να εφαρμοστεί ο σχετικός τύπος. 5,5 έτη= (5,5*2) 11 εξάμηνα Κ t = K 0 (1+i) t K 11 = 5.000 (1+0,10) 11 = 5.000 * 1,10 11 = 14.265,58 28
Παράδειγμα 9 (1) Κρατικό ομόλογο (επενδυτικός τίτλος χρέους) πληρώνει 10.000 ευρώ σε 25 έτη. Ο εκδότης του ομολόγου, το Ελληνικό κράτος, δεν υποχρεούται στη συγκεκριμένη έκδοση να καταβάλλει στον κάτοχο του ομολόγου (δανειστή) τόκους σε τακτά χρονικά διαστήματα αλλά κατά την ημερομηνία λήξης του ομολόγου οφείλει να επιστρέψει στον κάτοχό την ονομαστική του αξία του ομολόγου (ομόλογα μηδενικού τοκομεριδίου). Να βρεθεί η παρούσα αξία του ομολόγου (αξία αγοράς) και ο τόκος που υπόσχεται, όταν το επιτόκιο της αγοράς είναι 7 %. 29
Παράδειγμα 9 (2) Λύση Η παρούσα αξία του ομολόγου υπολογίζεται με την προεξόφληση της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: Κ 0 = K τ / (1+i) t K 0 = 10.000 / (1+0,07) 25 K 0 = 10.000 / 5,4274 = 1.842,5 Ο τόκος του ομολόγου είναι η διαφορά της ονομαστικής αξίας με την παρούσα αξία, δηλαδή: K t K 0 = 10.000-1.842,5 = 8.157,5 ευρώ τόκος 30
Παράδειγμα 10 (1) Επιχειρηματίας οφείλει 20.000 ευρώ σε πιστωτικό τίτλο (συναλλαγματική) που λήγει σε ένα έτος από σήμερα. Εκμεταλλευόμενος την υπάρχουσα ρευστότητα της επιχείρησης επιθυμεί να καταβάλλει σήμερα 5.000 ευρώ, μετά 3 μήνες άλλα 5.000 ευρώ και να εξοφλήσει το υπόλοιπο του χρέους 2 μήνες πριν από τη λήξη του. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει για το υπόλοιπο του χρέους όταν το ισχύον επιτόκιο της αγοράς είναι 12%. 31
Παράδειγμα 10 (2) Λύση Πίνακας 1. Λύση Παραδείγματος 10 Τα 20.000 ευρώ του χρέους θα πρέπει να είναι ίσα με το ποσό τον 5.000 ευρώ, που θα καταβληθεί σήμερα. συν τις 5.000 ευρώ, που θα καταβληθούν σε 3 μήνες από σήμερα. συν το άγνωστο ποσό Κ 12, που θα καταβληθεί μετά 10 μήνες. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το ισχύον επιτόκιο της αγοράς. Εφόσον το ετήσιο επιτόκιο είναι 12% το μηνιαίο αντίστοιχα θα είναι 1% (0,12/12μήνες). 32
Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν. & Μποντζίδου, Ε. (2010). Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-0-0. Σόρμας, Α. & Σαριαννίδης, Ν. (2010). Οικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-2-4. 33