ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας
Σχεδιασμός αντικειμένων, διεργασιών, δραστηριοτήτων (π.χ. τεχνικά έργα, έπιπλα, σκεύη κτλ) ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ (conceptual design) ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ (preliminary design) ΟΡΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ (detailed design)
Μελετητής Πολιτικός Μηχανικός μόρφωση φέροντα οργανισμού κατασκευής. αισθητικές κ λειτουργικές απαιτήσεις κατασκευών συνεργασία αρχιτέκτονα και πολιτικού μηχανικού. Ανάλυση κεντρικής ιδέας του αρχιτεκτονήματος σύμφωνα με τις απαιτήσεις που καθορίζουν οι επιστημονικές και τεχνικές γνώσεις (Ευρωκλωδικες, ΓΟΚ, κτλ). Η διαδικασία αυτή οδηγεί στην εξεύρεση καλύτερων λύσεων σχεδιασμού που πρέπει να προκριθούν μετά από αλληλεπίδραση με τον αρχιτέκτονα ανάγκη συνεκτίμησης πολλαπλών αναλύσεων για την επιλογή της καλύτερης δυνατής
υπολογιστική ισχύ δημιουργία νέας γενεάς προγραμμάτων που διευρύνουν τις δυνατότητες σχεδιασμού των κατασκευών προσφέροντας καλύτερες λύσεις σε σχέση με κάποια κριτήρια Μια επαναληπτική αλγοριθμική διαδικασία εξετάζει ένα σύνολο παραμέτρων ως μεταβλητές (σχεδιασμού). συνεχείς διακριτές Εύρος διακύμανσης μεταβλητών σχεδιασμού χώρος σχεδιασμού (design space) υποσύνολο αποδεκτών λύσεων (feasible solutions space) Κριτήρια σχεδιασμού αντικειμενική συνάρτηση (objective function) Κατάταξη αποδεκτών λύσεων με βάση την αντικειμενική συνάρτηση βέλτιστος σχεδιασμός (optimal design)
Σύγχρονη τάση, στον υπολογιστικά υποβοηθούμενο σχεδιασμό κατασκευών, η συνολική θεώρηση πολλαπλών παραμέτρων σχεδιασμού ως μεταβλητές. προτεινόμενη λύση = f(τοπολογία, διαστάσεις, σχήμα, μηχανικές ιδιότητες υλικού κτλ) παραμετρική διερεύνηση/ανάλυση ευαισθησίας κατασκευής βελτιστοποίηση= f(κόστος, απόκριση κτλ) Είδη βελτιστοποίησης: διατομών (sizing optimization), σχήματος (shape optimization), τοπολογίας (topology optimization)
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ (design variables) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ (constraints) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (objective function)
ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ (design variables) Αν από το σύνολο των παραμέτρων που ορίζουν το πρόβλημα επιλεγούν ορισμένες ως άγνωστες μεταβλητές που μπορούν να μεταβάλλονται εντός προκαθορισμένων ορίων είναι φανερό ότι ορίζεται μια πολυπαραμετρική οικογένεια κατασκευών που ορίζει τον χώρο των λύσεων του προβλήματος. Ο καθορισμός των μεταβλητών σχεδιασμού αποτελεί το πρώτο βήμα της διατύπωσης του προβλήματος βέλτιστου σχεδιασμού. Οι μεταβλητές σχεδιασμού θα πρέπει να είναι κατά το δυνατόν ανεξάρτητες μεταξύ τους ώστε το πρόβλημα να μην περιπλέκεται άσκοπα χρησιμοποιώντας περιττές μεταβλητές οι οποίες εκ των υστέρων θα πρέπει να δεσμεύονται κατάλληλα ώστε να εξασφαλίζεται το φυσικό νόημα της περιγραφής του προβλήματος.
ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ (design variables) Συνεχείς και Διακριτές μεταβλητές σχεδιασμού Οι μεταβλητές σχεδιασμού διακρίνονται σε συνεχείς (continuous) και διακριτές (discrete), ανάλογα με το πεδίo τιμών στο οποίο δύνανται να μεταβάλλονται. Όρια των μεταβλητών σχεδιασμού Για την αποτελεσματική θεώρηση του προβλήματος οι μεταβλητές σχεδιασμού περιορίζονται εντός συγκεκριμένων ορίων εντός των οποίων ενδιαφερόμαστε για την βέλτιστη λύση. Η επιλογή των ορίων αυτών δεν είναι πάντοτε εύκολη και γίνεται σε συνδυασμό με την επιλογή των μεταβλητών σχεδιασμού κατά τρόπο που να εξασφαλίζεται το φυσικό τους νόημα.
ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ (constraints) Εκτός από τα όρια μεταβολής των μεταβλητών σχεδιασμού, για την ορθή διατύπωση ενός προβλήματος βέλτιστου σχεδιασμού απαιτείται και η διατύπωση ενός συνόλου περιορισμών που θα εξασφαλίζει αποδεκτές λύσεις δηλ. λύσεις που θα ανταποκρίνονται στο περιγραφόμενο πρόβλημα. Οι περιορισμοί αυτοί εν γένει αποτελούν εκφράσεις μερικών ή και όλων των μεταβλητών σχεδιασμού του προβλήματος σε άμεση ή πεπλεγμένη μορφή. Διατυπώνονται με την μορφή ανισοτήτων ή ισοτήτων και αφορούν στον περιορισμό της περιγραφής του προβλήματος και στην οριοθέτηση της συμπεριφοράς του. Οι περιορισμοί διακρίνονται σε περιορισμούς ισότητας (equality constraints) και ανισοτικούς περιορισμούς (inequality contraints). Το σύνολο των περιορισμών του προβλήματος θα πρέπει να ικανοποιείται ώστε ο σχεδιασμός να θεωρείται επιτρεπτός. Το σύνολο των ανισοτικών περιορισμών που ικανοποιείται ως ισότητα για συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών σχεδιασμού αποτελεί το σύνολο των ενεργών περιορισμών (active constraints) για τον συγκεκριμένο σχεδιασμό. Είναι φανερό ότι ενδέχεται να μην υπάρχει σχεδιασμός για τον οποίο όλοι οι ανισοτικοί περιορισμοί να είναι ενεργοί. Όπως επίσης το σύνολο των περιορισμών που καθορίζουμε για ένα πρόβλημα άθελά μας να ορίζει ένα κενό χώρο λύσεων για το πρόβλημα.
ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ (constraints) Κανονικοποίηση των περιορισμών Για τη σωστή εφαρμογή των μεθόδων επίλυσης των προβλημάτων βέλτιστου σχεδιασμού, είναι επιθυμητό να κανονικοποιούνται όλες οι συναρτήσεις που εκφράζουν τους περιορισμούς. Αυτό γίνεται διότι διαφορετικοί περιορισμοί εμπλέκουν μεγέθη με διαφορετικές μονάδες μέτρησης, οπότε δεν μπορούν να αντιμετωπισθούν αριθμητικά κατά ισοδύναμο τρόπο με αποτέλεσμα την συσσώρευση λαθών στρογγύλευσης και αποπροσανατολισμό των αλγορίθμων.
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (objective function) Όλες οι λύσεις στο χώρο των λύσεων ορίζουν επιτρεπτούς σχεδιασμούς δηλ. σχεδιασμούς που ικανοποιούν τους περιορισμούς του προβλήματος. Για να καθοριστεί μεταξύ αυτών ο βέλτιστος σχεδιασμός απαιτείται ένα κριτήριο το οποίο να τους ιεραρχήσει. Το κριτήριο αυτό καλείται αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος (objective function). Συνήθως ως αντικειμενική συνάρτηση στα προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών χρησιμοποιείται το ελάχιστο βάρος της κατασκευής. H αντικειμενική συνάρτηση εξαρτάται από τις μεταβλητές σχεδιασμού του προβλήματος. Για κάθε σχεδιασμό, που προκύπτει θέτοντας αριθμητικές τιμές στις μεταβλητές σχεδιασμού, παίρνουνε μια συγκεκριμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Έτσι, είναι εύκολο να συγκρίνουμε διάφορους πιθανούς σχεδιασμούς, έχοντας ως κριτήριο την αντικειμενική συνάρτηση: ο βέλτιστος σχεδιασμός είναι εκείνος που ελαχιστοποιεί την τιμή της συνάρτησης.
Εφαρμογή Για να γίνουν κατανοητές οι έννοιες που ορίστηκαν ως τώρα, θα θεωρήσουμε το παράδειγμα ενός πακτωμένου υποστυλώματος κοίλης διατομής μιας μεταλλικής κατασκευής, το οποίο έχει ύψος h και καταπονείται από το αξονικό φορτίο P. Το ζητούμενο είναι ο σχεδιασμός (διαστασιολόγηση) ενός στύλου ελαχίστου βάρους χωρίς τον κίνδυνο αστοχίας σε θλίψη ή λυγισμό θεωρούμενου ως δοκού. Πακτωμένος Στύλος κοίλης διατομής
Εφαρμογή α) Μεταβλητές σχεδιασμού: Η επιλογή των μεταβλητών σχεδιασμού δεν είναι μονοσήμαντη, αλλά μπορούμε να επιλέξουμε ως μεταβλητές την εξωτερική διάμετρο D και το πάχος t. β) Αντικειμενική συνάρτηση : Είναι η συνολική μάζα του στύλου. γ) Περιορισμοί i) έλεγχος θλίψης : Πρέπει
Εφαρμογή ii) έλεγχος λυγισμού : Πρέπει P Pcr (Pcr : κρίσιμο φορτίο λυγισμού) όπου, η ροπή αδρανείας τέθηκε
Εφαρμογή iii) κατασκευαστικές απαιτήσεις : Η διάμετρος και το πάχος θα πρέπει να βρίσκονται μεταξύ συγκεκριμένων ορίων.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Να βρεθεί το διάνυσμα των μεταβλητών σχεδιασμού για το οποίο ελαχιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση και ικανοποιούνται οι περιορισμοί ισότητας και οι m περιορισμοί ανισότητας
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ καθώς και οι περιορισμοί των μεταβλητών σχεδιασμού όπου το κάτω και άνω όριο των τιμών των μεταβλητών σχεδιασμού αντίστοιχα.