Εφαρµογή στην αξιολόγηση επενδύσεων Τα απλούστερα κριτήρια PV IRR Επένδυση: είναι µια χρηµατοροή σε περιοδικά σηµεία του χρόνου t,,,,ν, που εµφανίζονται ποσά Χ,Χ,,Χ Ν, που είναι µη αρνητικά Χ,,, Ν, κατά σύµβαση το -ποσό Χ θεωρείται ότι καταβάλλεται ενώ τα Χ,Χ, αποτελούν εισπράξεις. Πότε είναι συµφέρουσα η επένδυση σε σχέση µε εναλλακτική τοποθέτηση σύνθετου τόκου ((n; Αν η περίοδος της επένδυσης είναι ίση µε την περίοδο κεφαλαιοποίησης n τότε έχουµε το εξής σκεπτικό: Για να εξασφαλίσουµε ποσά Χ (, Ν, πρέπει να τοποθετήσουµε στον (n λογαριασµό κεφάλαιο X X ( + όπου n Αν X > X τότε η επένδυση επιτυγχάνει τις εισπράξεις Χ,Χ, µε µικρότερο ποσό άρα είναι συµφέρουσα σε σχέση µε τον σύνθετο τόκο! Η συνθήκη γράφεται X X > X > X ( + X X + > ( + Η παράσταση αριστερά ονοµάζεται καθαρά παρούσα αξία της επένδυσης (et Present Value, PA,PV. Εξαρτάται από τα X και το ρ. Το κριτήριο αποδοχής γράφεται και ως ΚΠΑ(Χ;ρ> Παράδειγµα : Επένδυση αποδίδει 7 χιλ. επί έτη και απαιτεί αρχική δαπάνη εκατ. είναι συµφέρουσα σε σχέση µε συνθ. τόκο (%; Είναι ΚΠΑ(Χ;% -+7α(,% 45,5 χιλ > Άρα είναι συµφέρουσα Παράδειγµα : (Μετοχή-Οµολογία Μια µετοχή κοστίζει Ρ και θα αποδίδει P µέρισµα Ε επ αόριστο. Αν (r δείξτε ότι < για να συµφέρει η αγορά της E r µετοχής. Η ΚΠΑ είναι P+Eα(,r-P+Ε/r που πρέπει να είναι θετική για να ισχύσει η τιµή E P αυτή. Άρα P + > ή < r E r Έτσι αν τα επιτόκια είναι π.χ. 5% οι τιµές µετοχών που δεν έχουν προοπτικές αλλαγών στα κέρδη των δεν µπορούν να είναι περισσότερο από φορές τα κέρδη ανά µετοχή!
Απόδοση Επένδυσης IRR Στην πράξη δεν είναι σαφές στην αξιολόγηση µιας επένδυσης ποια είναι η εναλλακτική απόδοση δηλ. το εναλλακτικό ονοµαστικό επιτόκιο. Εύλογο είναι µια υποψήφια επένδυση να συγκριθεί µε τις εναλλακτικές επενδύσεις που εξετάζουµε ή έχουµε αναλάβει, και η σύγκριση αυτή δεν είναι σαφής. Μια χρήσιµη πληροφορία είναι η εξής: Για ποια εναλλακτικά επιτόκια παραµένει συµφέρουσα η επένδυση; Αν αυτά αποτελούν ευρύ φάσµα, η επένδυση είναι ελκυστική. Μια επένδυση συµφέρει για τέτοια ώστε ΚΠΑ(Χ,ρ> Προφανώς: (αν Χ,Χ,,Χ Ν+ > και µόνο -ΚΠΑ(Χ, -Χ < (άπειρο εναλλακτικό επιτόκιο -ΚΠΑ(Χ,ρ φθίνουσα συνάρτηση του ρ (Χ: δεδοµένο Αν ισχύει X < X (εύλογη παραδοχή -Τότε ΚΠΑ(Χ,> Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης ΚΠΑ(Χ,ρ που ονοµάζουµε IRR (Internal Rate of Return. ηλαδή ΚΠΑ(Χ,IRR Επιπλέον: αν ρ<irr αν ρ>irr ΚΠΑ(Χ,ρ> ΚΠΑ(Χ,ρ< Άρα η επένδυση συµφέρει εφόσον οι εναλλακτικές επενδύσεις έχουν απόδοση µικρότερη από IRR. (Η παραπάνω πρόταση θέλει προσοχή. Ισχύει ΜΟΝΟ όταν εξετάζουµε την υιοθέτηση ή απόρριψη µιας µεµονωµένης επένδυσης -x + x + x +... ΠΑ(Χ; -x ΙRR (εναλλακτική αποδοση περιοχή αποδοχής επένδυσης Εύρεση του IRR εν υπάρχει τύπος που δίνει το IRR. X X Γενικά: η εξίσωση X + + + ( + IRR ( + IRR εξίσωση αν θέσουµε γράφεται ως πολυωνυµική
Ζ : (+ IRR X + X Z + X Z + + X Z εν υπάρχει τύπος για υπολογισµό ριζών πολυώνυµου βαθµού 5 και άνω µε ριζικά (θεώρηµα Abel Galois η βάση της σύγχρονης άλγεβρας! - Για επενδύσεις βραχείας διάρκειας αναλυτική λύση είναι εφικτή. Παράδειγµα: Επένδυση έχει δαπάνη. και θα αποδώσει 7. ετησίως για δύο έτη. Ποιο το IRR; Εξετάζουµε την +7Ζ+7Ζ ή 7Ζ +7Ζ- 7± 49+ 4 7 ρί ζες εφόσον IRR για εύλογες 4 περιπτώσεις είναι <Ζ< άρα εξετάζουµε ΜΟΝΟ τη θετική ρίζα 7+ 49+ Z 796, οπότε IRR 5,69% 4 Z - Για γενικές προβλέψεις το IRR βρίσκεται µε αριθµητικές µεθόδους όπως αυτή της διχοτόµησης. Παράδειγµα: Στην περίπτωση της επένδυσης µε δαπάνη εκατ. και σταθερά έσοδα 7 χιλ. επί δεκαετία είναι: ΚΠΑ(ρ-+7 α(,ρ Είδαµε ότι ΚΠΑ(%44,5> Επίσης υπολογίζουµε ΚΠΑ(5% -47 < % < IRR < 5%. + 5 οκιµάζουµε στο µέσο του διαστήµατος αβεβαιότητας,5% Είναι ΚΠΑ(,5% -6 < Άρα: %<IRR<,5% και η αβεβαιότητα στο IRR υποδιπλασιάστηκε. +5, οκιµάζουµε πάλι στο µέσο: 5, % Και ΚΠΑ(,5% - < Άρα: %<IRR<,5% κ.λ.π. Ταχύτερες µέθοδοι εκµεταλλεύονται την σκέψη ότι εφόσον ΚΠΑ(% 44,5 και ΚΠΑ(,5%-, το IRR είναι πιο κοντά στο,5%. Η µέθοδος αυτή είναι γνωστή ως µέθοδος τέµνουσας. Βλ. σχήµα. σηµείο δοκιµής άνω όριο IRR κάτω όριο IRR IRR Στα συστήµατα λογισµικού (Excel υπολογίζονται αντίστοιχες µέθοδοι αναζήτησης για τον εντοπισµό του IRR σε ενσωµατωµένες συναρτήσεις.
Σειρές πληρωµών κατά γεωµετρική πρόοδο: Πολύ σηµαντικές στις εφαρµογές π.χ. Έστω επένδυση σε έργο που σήµερα αποδίδει ποσό X ετησίως. Προβλέπουµε ότι τα κέρδη θα αυξάνονται κατά g ετησίως, θα είναι δηλαδή X X ( + g, X X ( + g,, X X ( + g Η παρούσα αξία των εσόδων θα είναι: ( + g X X ( + ρ + g + ρ πάλι έχουµε άθροισµα όρων Γ.Π. µε λόγο + g αντί για + ρ + π (στις οµοιόµορφες σειρές πληρωµών. Άρα αν θέσουµε παράσταση γίνεται όπως προηγουµένως + g + ρˆ + ρ τότε η + g X X Xα(,ρˆ + ρ ( + ρˆ + ρ ρ g είναι ρˆ που σε εφαρµογή για g < απλοποιείται σε ρ g + g + g Για άπειρους όρους το άθροισµα είναι πεπερασµένο. + g Αν < ή g<ρ + ρ + g και είναι a(,ρˆ. ρˆ ρ g Για g>ρ η παράσταση είναι αρνητική και φυσικά δεν έχει νόηµα καθώς ΕΝ ισχύει όταν g>ρ. Η τελική αξία υπολογίζεται αντίστοιχα: + g TA X( + g ( + ρ ( + ρ X + ρ + ρ (ισούται και µε S(,ρˆ ( + g S(,ρˆ + ρˆ X( + ρ a(, ρˆ Εφαρµογές: Εφαρµογή : (Αξιολόγηση Μετοχής Αναπτυξιακή δυναµική µετοχή έχει τιµή Ρ και κέρδη ανά µετοχή Ε, ενώ προβλέπεται επ αόριστο ετήσια αύξηση κερδών g. Τι ισχύει µεταξύ Ρ,Ε; + g + g Για να συµφέρει η αγορά της πρέπει P + E + E + > + ρ + ρ + g ή P+ E > ρ g P + g ή < αν g<ρ E ρ g
P < αν g>ρ E P, π.χ. για ρ5%, g% < 34 E,3 αλλά για g5% ή 6% ΕΝ υπάρχει άνω όριο στο E P. Αυτό εξηγεί τα τεράστια E P που παρατηρήθηκαν στα χρηµατιστήρια. Εφαρµογή : Επένδυση έχει δαπάνη εκατ. και έσοδα που αν λειτουργούσε σήµερα θα ήταν χιλ. και αυξάνονται κατά 5% ετησίως επί ετία. Συµφέρει η επένδυση για ( %; 5, Η ΚΠΑ είναι +a (,ρˆ µε ρˆ 4, 76% 5, Άρα ΚΠΑ(χ;%-+α(, 4,76%-+ 7,8-6,5 Άρα απορρίπτεται. Ποιο το IRR της επένδυσης; IRR g Το IRR ορίζεται ως το για το όποιο ΚΠΑ, δηλαδή + a, + g g5% H σχέση -+α(,z δίνει µετά από αριθµητική επίλυση z3,46%,5 και άρα,346 IRR ή IRR8,633%.,5 Γενικά αν προβλέπουµε πληθωρισµό g% είθισται να ΜΗΝ αναπροσαρµόζουµε τα έσοδα ως προς τον πληθωρισµό αλλά να υπολογίζουµε την ΚΠΑ µε επιτόκιο µειωµένο κατά g. Παράδειγµα: Έστω επιτόκια αγοράς 5% και πληθωρισµός g%. Αυτό σηµαίνει ότι οι επενδύσεις αξιολογούνται ως προς ρˆ 5% % 3%, χωρίς αναπροσαρµογή των µελλοντικών εσόδων. Σειρές Πληρωµών κατά αριθµητική πρόοδο Σε περίπτωση αυξήσεως εσόδων κατά σταθερό ποσό, π.χ. Χ Κ Ρ+ΚΒ (Κ,Β σταθερά πως υπολογίζεται η Π.Α.; ΠΑ ( A+ B ( + Aa(, + B (+ Η παράσταση I I + + + + (+ (+ ( + υπολογίζεται όπως το άθροισµα όρων Γ.Π. και είναι
I + (+ + (+ 3 + + (+ + (+ + ή αφαιρώντας I I + + + + + ( + ( + ( + I a(, ( + + + I a(, + ( + ( + + Γενικές Σειρές Πληρωµών Έστω σύνθετη κεφαλαιοποίηση µε συχνότητα n και σειρά πληρωµών που προκύπτει ανά Κ κεφαλαιοποιήσεις: Ποια η παρούσα αξία; Αν Χ m η m-στη χρηµατοροή που προκύπτει την m κεφαλαιοποίηση µε παρούσα X αξία ( + m m όπου (n. n ( n Θέτοντας + + n (συσσώρευση µίας µονάδας έπειτα από Κ κεφ/σεις η Xm παρούσα αξία γίνεται m ( + ηλαδή αλλάζουµε το ρ από n ( ( n σε + n n Παράδειγµα: Τοποθέτηση ποσού Α ανά 5 µήνες σε λογαριασµό µε ( 6%. Γίνονται τοποθετήσεις. Ποια η παρούσα αξία; 5 5 5 6% +,55% ΠΑΑ α(,,55%8,74α Ποια η τελική αξία; ( TA Π A ( +, όπου,5% και 5. Άρα: 5 TA 8,74A,5,6 5
Επαναλαµβανόµενες Επενδύσεις Έστω επένδυση επαναλαµβάνεται µε περίοδο Ν για άλλες Μ φορές (Μ+ φορές συνολικά. Χ Χ Ν- Χ. Μ+ φορές Χ Χ Χ Χ Η ΠΑ της επένδυσης είναι: X X X X X + + + + ( + ( + ( + ( + X X X + + + M M+ M+ ( + ( + ( + ΚΠΑ( X, + ΚΠΑ( X, + + ( + ( + + M + ΚΠΑ( X, X X όπου ΚΠΑ( X, X + + + + (+ άρα: ΠΑΚΠΑ( X, + + + ΚΠΑ( X, [+ a( M, ] M ( ( + + όπου + (+ Εφαρµογή: Επένδυση µε Χ -, Χ Χ 7 και ( %, επαναλαµβάνεται άλλες 4 φορές. Χρειάζεται γι αυτό ένα πρόσθετο ποσό 8 χιλ.. Είναι σκόπιµη η επένδυση; Η ΠΑ είναι ΚΠΑ ( X,%[+ a(4, ]. Το είναι,, 853 Άρα 85,3%! Για µία επανάληψη ΚΠΑ44,5 χιλ. από προηγούµενο παράδειγµα και: 4 ( +. 853 a ( 4,. 853 53,.. 853 Άρα ΠΑ 44,5,53 68,7 χιλ. Εφόσον η δαπάνη επιπλέον είναι 8 χιλ., δεν συµφέρει η επαναλαµβανόµενη επένδυση.
Αξιολόγηση Επιλογή Μηχανηµάτων Έστω δαπάνη για αγορά µηχανήµατος ποσού Κ που επαναλαµβάνεται ανά Ν έτη. Η ΠΑ για Μ επιπλέον επαναλήψεις είναι: ΠΑ [ + a( M, ] όπου ˆ ( + αν (. M Για Μ ήκ (+ ΠΑ + + ( + a (, ( + ( + ( + Αν υπάρχει σταθερό κόστος Λ ετήσιο λειτουργίας είναι παρούσα αξία Το συνολικό κόστος είναι a (, + Λ Λ α(, Λ [Για Ν, αιώνια µηχανή το κόστος είναι a (, από τον τύπο µε ] + Λ. Προφανώς και προκύπτει και Ο τύπος είναι και κριτήριο επιλογής κεφαλαιουχικού εξοπλισµού όπου οι τύποι διαφέρουν κατά το κόστος αγοράς, την διάρκεια ζωής, τα λειτουργικά έξοδα. Παράδειγµα: Ποια µηχανή επιλέγεται µε κριτήριο την ελαχιστοποίηση κόστους, διάρκειας ορίζοντα και ( 3%; Τύποι Μηχανών ιάρκεια Ζωής Κόστος Αγοράς (χιλ. Ετήσια Λειτ. Έξοδα (χιλ. α - (Ν,3% Κα - +Λ Α 5 5,9,8,8 Β 7 7,,6,3 Γ 9,,7,7 Προφανώς η κατάταξη µπορεί να γίνει µε κριτήριο το Κα - +Λ (όχι το Περιθωριακά καλύτερος είναι ο τύπος µηχανής Γ! a + Λ