ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 8. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 69. Α. i. Σωστό ii. Σωστό iii. Σωστό iv. Λάθος v. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. Είναι Re z = () α) Φέρνουµε τον z στην µορφή κ+ λi, : ( + βi i) ( α + + i) z = α + i α + + i z φανταστικός, εάν και µόνο αν α+ + i+ αβi+ βi β αi i+ = α+ + α β+ αβ+ β α = + i α+ + α+ + Από την σχέση () προκύπτει α β + = α β + =. α + + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται από όλα τα σηµεία Μ (α, β) του µιγαδικού επιπέδου τα οποία είναι εικόνες του z= α+ βi και µόνο αυτά. Άρα, ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y+ =. β) Έστω w = + yi,, y IR. Είναι w i= + (y )i Εποµένως, Im(w i) = y Έχουµε: ( i) Im w i = w + i ( i ) y = + yi + i i y = + y i + y = + y + y = + y + y + y y + = + y + y + + y = Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η γραµµή µε εξίσωση + y=, η οποία είναι παραβολή, αφού + y = y = Β. Το z w ισούται µε την απόσταση των εικόνων των µιγαδικών z και w, εποµένως εκφράζει την απόσταση των σηµείων της ευθείας (ε): y+ = από τα σηµεία της παραβολής C: y=. M, y τυχαίο σηµείο της παραβολής, και Ν τυχαίο σηµείο της Έστω ευθείας. Σύµφωνα µε τα παραπάνω πρέπει και αρκεί να αποδείξουµε ότι 7 MN. Θεωρούµε την προβολή Μ του Μ στην ευθεία. Προφανώς MN MM. Επειδή y = είναι M, η απόσταση του Μ από την ευθεία (ε) είναι: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) εποµένως MM= d( M, ε) = = + MM ( + ) + 7 ( + ) = = = 7 Συνεπώς MN MM, που αποδεικνύει το ζητούµενο. ος τρόπος εύρεσης του ελαχίστου από την (). Έστω f = + + 8, A = IR. H f είναι παραγωγίσιµη στο IR ως f πολυωνυµική µε f () = +, IR. Έχουµε f () = + = = Άρα για την () f ( ) > >, =, η f έχει ελάχιστο το MM f < < () f = 7, οπότε και από 7 7 = d( M, ε) = Β. α) Οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών είναι σηµεία συµµετρικά, ως προς τον άξονα. Εφόσον οι εικόνες του w είναι τα σηµεία,, IR, οι εικόνες του w, είναι τα,, IR, που έχουν γεωµετρικό τόπο την παραβολή C: y=, αφού αυτά και µόνο αυτά την επαληθεύουν. β) Έστω g( ) = και πρόσηµο της διαφοράς g( ) h( ) h = +. Αρχικά βρίσκουµε τις ρίζες και το. Είναι + g h + + g h = = 8 = = η = ɺ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Το ζητούµενο εµβαδό είναι E = g() h() d = [h() g()]d d = + = + = 8τµ. 6 ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι f f = e g e f e f = e e g e e f ( ) e f( ) = g ( ) e f e = g + e f e = g + e + c, () µε c IR Αν στη σχέση () θέσουµε όπου =, έχουµε f e = g + e + c e = e + c c = Εποµένως η () δίνει f = e g +, IR. Γ. α) Από την σχέση f ( ) f( ) = e g ( ), για f ( ) f( ) eg ( ) f ( ) eg ( ) = έχουµε = =, () Ακόµα f + f + () για κάθε IR Αν θεωρήσουµε f( ) ( ) η () γράφεται ( ) ( ) + = ϕ, τότε επειδή f( ) + = ϕ( ) ϕ ( ) =, ϕ ϕ. Συνεπώς η φ() παρουσιάζει για = (ολικό) ελάχιστο. Ακόµη η φ() είναι παραγωγίσιµη στο R µε: f ϕ = f +. ϕ = + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Για την φ() ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Ferma, άρα ισοδύναµα + = = Εποµένως από την () έχουµε: eg ( ) = f f g =. ϕ =, ή β) Έστω >. Θέτουµε + =, οπότε = = + = Επειδή lim =, το τείνει στο. Έχουµε g( ) g( ) lim ( + ) g = lim g( ) + + = lim = g ( ) = Γ. α) Είναι f( ) = e g( ) + και f( ) = e ( ) +, IR. g =, IR, οπότε: Η f είναι παραγωγίσιµη στο IR µε f ( ) = e ( ) + = e ( ) + e ( ) = e ( )( + ) Ο πίνακας µε τις ρίζες και το πρόσηµο της f ( ), τη µονοτονία και τα ακρότατα της f είναι: + f () + + f () e + H f είναι συνεχής στα διαστήµατα (, ], [, ], [, + ) και f ( ) > για <, f ( ) < για < <, f ( ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). Έχουµε > για >. lim f = lim e + = + =,, γνησίως φθίνουσα στο ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) αφού + ( ) + ( ) e lim e ( ) = lim lim lim e = = DLH Ακόµη αφού ( e ) ( e ) ( ) = lim = lim = lim e = DLH e + lim f = lim e + = +, + + ( ) lim = + και lim e + = +. Εποµένως η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο για ολικό ελάχιστο για τότε = το = το f( ) =. Αν = ( ), A = [, ] και A (, ) A, f A = lim f, + =, + e e, f( A ) = f( ), f( ) =, + e και f A =, lim f =, +. + Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι το β) Η = +, = = [ + ) f IR f A f A f A, h = e +, IR είναι παραγωγίσιµη στο IR µε Έστω ε η εφαπτοµένη που φέρουµε στη ( ) h = e + = e e = e, IR h ( ) f = + και e C από το σηµείο,h το σηµείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι η οποία γράφεται y h = h, y e = e M,λ και ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Επειδή το M,λ είναι σηµείο της εφαπτοµένης, για = και y = λ η τελευταία σχέση δίνει e e λ = + e + λ ( ) = ( ) ( ) e ( ) + = λ f( ) = λ Όπως δείξαµε στο προηγούµενο ερώτηµα, η f είναι γνησίως µονότονη σε καθένα από τα διαστήµατα A, A, A, οπότε η εξίσωση f() = λ, έχει το πολύ µία λύση σε καθένα από αυτά και, συνεπώς, συνολικά έχει το πολύ τρεις λύσεις στο IR. Αυτό αποδεικνύει, ότι από το σηµείο M(, λ ) άγονται το πολύ τρεις εφαπτόµενες στη C. h ος τρόπος απόδειξης, ότι η εξίσωση f() = λ έχει το πολύ τρεις ρίζες. Υποθέτουµε ότι έχει τέσσερις διαφορετικές ρίζες τις ρ,ρ,ρ,ρ και έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ρ < ρ < ρ < ρ. Αυτές είναι ρίζες και της συνάρτησης φ() = f() λ Η φ είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήµατα [ ρ, ρ ] [ ρ, ρ ] [ ρ, ρ ] και παραγωγίσιµη σε καθένα από τα (ρ, ρ ), (ρ, ρ ), (ρ, ρ ) µε φ'() = f '() και ακόµα φ(ρ= φ(ρ= φ(ρ= φ(ρ= Άρα εφαρµόζεται το θεώρηµα Rolle σε καθένα από τα διαστήµατα (ρ, ρ ), (ρ, ρ ), (ρ, ρ ), όποτε υπάρχουν κ (ρ, ρ ), κ (ρ, ρ ), κ (ρ, ρ ) τέτοια, ώστε φ'(κ= φ'(κ= φ'(κ = Προφανώς κ < κ < κ. Επειδή φ'() = f '() προκύπτει ότι η εξίσωση f '() = έχει τρεις διαφορετικές ρίζες, τις κ, κ, κ, που είναι άτοπο, διότι, όπως αποδείχτηκε στο προηγούµενο ερώτηµα, έχει δύο ακριβώς δύο ρίζες τις =, =. ΘΕΜΑ. Θεωρούµε την συνάρτηση h: IR IR µε h = e d e + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ

8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Η h είναι παραγωγίσιµη στο IR µε παράγωγο h = e e + e + = e Η h µηδενίζεται για = και για κάθε είναι e e h > > < ' < Εποµένως, η h είναι γνησίως φθίνουσα στο IR, οπότε έχουµε: h < h < h > () Η πρώτη από τις δοσµένες ανισότητες για κάθε IR δίνει: g ( ) g e d g e + g < ή h( g ( )) < και λόγω της (): g ( ) > γνησίως αύξουσα στο IR., που σηµαίνει ότι η g είναι ος τρόπος Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουµε: g ( ) g g < e d g e g ' g ( ) e d< g e g g '' g g g g e < e d g e g g e e d< g e g g > Και τώρα συνεχίζουµε ως εξής: g (*) ( ) g > ( e d ) d Επειδή e d g (*) g ( ) g ( ) e d d > g e d > (*) e, για κάθε IR είχαµε g g, η (*) αποκλείει g ''( ), αφού τότε θα e d e d, άτοπο. Εποµένως g ''( ) >, που σηµαίνει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο IR.. Θεωρούµε την συνάρτηση f µε f g ( ) ( ) = e d, [,] - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ

9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Η f είναι συνεχής, ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων g και g µε = g e d. Ακόµα g( ) g( ) f f e d e d = < Εποµένως, από το Θεώρηµα του Bolzano υπάρχει ρ (, ) τέτοιο ώστε f (ρ) = ή Αν g(ρ) >, επειδή Αν g(ρ) < επειδή άτοπο από την (). g ( ρ) e d= e > θα είναι e > θα είναι () ( ρ) g e d > άτοπο από την (). ( ρ) ( ρ) g e d > e d g <, οµοίως Εποµένως g(ρ) =. Στη συνέχεια, εφαρµόζεται το Θεώρηµα του Rolle για την g στο διάστηµα [ρ, ], αφού ως παραγωγίσιµη είναι συνεχής στο [ρ, ], παραγωγίσιµη στο ρ τέτοιο, ώστε (ρ, ) και ακόµα g(ρ) = g() =. Εποµένως, υπάρχει (,) g ( ) = () Αλλά η g είναι γνησίως αύξουσα οπότε: ρ< < g ρ <g <g g ρ <<g που αποδεικνύει το ζητούµενο.. Έστω < <. Θέτουµε u= g + Είναι lim u = lim = + διότι: g + ( ) lim = < g( ) lim + = g() + <, γιατί από την µονοτονία της g είναι > g >g g > που σηµαίνει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ).Έτσι < < g < g g < g + < Στη συνέχεια το ζητούµενο όριο γίνεται lim g lim = + g u u + g ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ

10 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Η εφαπτοµένη της C g στο σηµείο της Μ(, g()) έχει εξίσωση: y g = g' y = g' g '() + g () Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα η g είναι κυρτή στο IR, οπότε τα σηµεία της C είναι πάνω από τα αντίστοιχα σηµεία της εφαπτοµένης της, εκτός του g σηµείου επαφής, εποµένως για κάθε IR Επειδή g' > είναι g g' g '() + g () () lim g' g '() + g() = lim g' = Αν h( ) = g g ' + g( ), µε IR αφού lim h( ) + α>, ώστε στο ( α,+ ) είναι h( ) > οπότε από () είναι Επειδή Αν φ( ) + g( ) h( ) > < g h( ) lim =, από κριτήριο παρεµβολής θα είναι h = g( ) g = φ, τότε φ( ) διότι είναι φ( ) > στο ( α,+ ) και Ώστε + + u + + = + θα υπάρχει lim =. g lim g = lim = + lim g u = +, lim g g( ) + lim φ =. + = lim g( u) = + + u. Η εξίσωση έχει προφανή ρίζα την =. Θα αποδείξουµε ότι είναι µοναδική. Πραγµατικά είναι: g( + ) = g() + g() g( ) g( + ) g() = g() g( ) (5) Αν υποθέσουµε ότι >, τότε θεωρούµε τα διαστήµατα [ +, ] και [, ]. Αυτά είναι καλώς ορισµένα και ξένα µεταξύ τους, αφού ισχύουν < < και + < <, δηλαδή + < < <. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

11 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Εφαρµόζεται, τώρα, για την g το θεώρηµα µέσης τιµής σε καθένα από τα [ +, ] και [, ], γιατί η g είναι συνεχής σ αυτά και παραγωγίσιµη στα αντίστοιχα ανοιχτά διαστήµατα. Υπάρχουν, εποµένως, ξ, ξ µε + < ξ < < < ξ <, (6) τέτοια ώστε g() g( + ) g( ) g() = g '( ξ ) και = g '( ξ ) Λόγω της (5): g '( ξ ) = g '( ξ ) g '( ξ ) = g '( ξ ) Άτοπο, γιατί από την (6) και την µονοτονία της g είναι ξ < ξ g'( ξ ) < g '( ξ ) Πάλι, αν υποθέσουµε ότι < <, τότε εργαζόµαστε στα διαστήµατα [, + ] και [, ]. Αυτά είναι καλώς ορισµένα και ξένα µεταξύ τους, αφού ισχύουν < < και < + <, δηλαδή < < < + Εφαρµόζεται, οµοίως, για την g το θεώρηµα µέσης τιµής σε καθένα από τα [, + ] και [, ], γιατί η g είναι συνεχής σ αυτά και παραγωγίσιµη στα αντίστοιχα ανοιχτά διαστήµατα. Υπάρχουν, εποµένως, ξ, ξ µε < ξ < < < ξ < +, (7) τέτοια ώστε g( + ) g() g() g( ) = g '( ξ ) και = g '( ξ ) Λόγω της (5): g '( ξ ) = g '( ξ ) Άτοπο, γιατί από την (7) και την µονοτονία της g είναι ξ < ξ g'( ξ ) < g '( ξ ). Ώστε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την προφανή =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ