ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική κίνηση. Στην πραγματικότητα όλα τα σώματα έχουν διαστάσεις και μπορούν να κάνουν και άλλα είδη κινήσεων : περιστροφική ή στροφική (αλλαγή προσανατολισμού στο χώρο) ή συνδυασμό μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης. Αν σε ένα στερεό σώμα ασκηθούν δυνάμεις το σώμα παραμορφώνεται μόνιμα ή προσωρινά. Ένα στερεό που δεν παραμορφώνεται αν ασκηθούν πάνω του δυνάμεις λέγεται μηχανικό στερεό. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο διπλανό σχήμα το στερεό σώμα κάνει μεταφορική κίνηση. Στη μεταφορική κίνηση όλα τα σημεία του στερεού σώματος σε κάθε χρονική στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα. Η μεταφορική κίνηση δεν είναι απαραίτητα ευθύγραμμη. Μπορεί να είναι και καμπυλόγραμμη. Όταν ένα στερεό κάνει μεταφορική κίνηση, το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του, μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του. Μεταφορική κίνηση κάνουν και οι θαλαμίσκοι στον τροχό του λούνα πάρκ. 1
Κατά τη στροφική κίνηση ενός στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, ισχύουν τα παρακάτω: το σώμα αλλάζει προσανατολισμό. Ο άξονας περιστροφής είναι μία ευθεία που όλα τα σημεία της παραμένουν ακίνητα. Τα υπόλοιπα σημεία του στερεού κάνουν κυκλική κίνηση γύρω από τον άξονα ομαλή ή όχι. Σύνθετη κίνηση μπορεί να κάνει ένα στερεό σώμα όταν εκτελεί και μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Παράδειγμα τέτοιας κίνησης είναι η κύλιση ενός τροχού ή ενός κυλίνδρου ή μιας σφαίρας. Απαραίτητες γνώσεις Ένα ακτίνιο ορίζεται το τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία είναι και αυτή ίση με ένα rd. Μια επίκεντρη γωνία ίση με θ rd θα αντιστοιχεί σε τόξο που θα έχει μήκος : s=θ.r
Κινηματικά μεγέθη της στροφικής κίνησης Για τη μελέτη μιας μεταφορικής κίνησης χρησιμοποιούμε τα μεγέθη : θέση χ μετατόπιση Δχ ταχύτητα υ επιτάχυνση α. Αντίστοιχα για τη μελέτη μιας στροφικής κίνησης χρησιμοποιούμε : τη διαγραφόμενη γωνία θ τη γωνιακή μετατόπιση Δθ τη γωνιακή ταχύτητα ω τη γωνιακή επιτάχυνση αγων τον αριθμό των περιστροφών Ν την γραμμική ταχύτητα των υλικών σημείων υ την γραμμική επιτάχυνση α που αποτελείται από δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες : τη κεντρομόλο επιτάχυνση ακ και την εφαπτομενική επιτάχυνση αεφ. Η γωνία θ, το τόξο s και ο αριθμός των περιστροφών Ν Έστω ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Η επιβατική ακτίνα του υλικού σημείου (η ακτίνα που παρακολουθεί τη κίνηση του υλικού σημείου) θα διαγράψει γωνία θ, ενώ το υλικό σημείο θα διαγράψει τόξο s. Η γωνία θ που εκφράζεται σε ακτίνια είναι ίση με : s r s r Εάν Ν ο αριθμός των περιστροφών τότε : θ=πν 3
Η γωνιακή ταχύτητα ω Η γωνιακή ταχύτητα ορίζεται σαν ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ, δηλαδή σαν τον λόγο της γωνίας που διαγράφεται προς το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε για να διαγραφεί η γωνία αυτή : Μέτρο μέσης γωνιακής ταχύτητας : 1 t t t 1 Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα : Παρατηρήσεις : d lim dt t0 t 1) Το μέγεθος γωνιακή ταχύτητα είναι διανυσματικό. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας έχει τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής, ενώ η φορά του καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού ή της δεξιόστροφης βίδας. Μονάδα είναι : 1 rd/sec ) Όταν το στερεό περιστρέφεται γύρω από άξονα, τότε όλα τα υλικά σημεία του στερεού σώματος εκτός από αυτά που βρίσκονται πάνω στον άξονα, έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα, άρα η γωνιακή ταχύτητα περιγράφει την περιστροφή ολόκληρου του στερεού. 3) Όταν η περιστροφή γίνεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ισχύει η σχέση : t Περίοδος και συχνότητα στην κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Χρησιμοποιούμε τις έννοιες της περιόδου και της συχνότητας μόνο στην περίπτωση της στροφικής κίνησης με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. 4
Γωνιακή επιτάχυνση 1 t t t 1 Μονάδα γωνιακής επιτάχυνσης : 1 rd/s Η γωνιακή επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος. Η διεύθυνσή του είναι πάνω στον άξονα περιστροφής, όταν η διεύθυνση του άξονα περιστροφής είναι σταθερή, και είναι ομόρροπο της γωνιακής ταχύτητας όταν αυτή αυξάνει και αντίρροπο αυτής όταν αυτή ελαττώνεται. d lim dt to t Αναλογίες μεταξύ των κινηματικών μεγεθών της μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης Κάθε υλικό σημείο του στερεού που περιστρέφεται έχει γραμμική ταχύτητα, που ορίζεται σαν ρυθμός μεταβολής του τόξου που διαγράφεται : ds dt Η γραμμική ταχύτητα έχει τη διεύθυνση της εφαπτομένης στην τροχιά και φορά τη φορά της κίνησης 5
Περιστροφική γραμμική επιτάχυνση απ : Κάθε υλικό σημείο του περιστρεφόμενου στερεού έχει συνολική γραμμική επιτάχυνση, η οποία προκαλεί μεταβολή στο διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας του υλικού σημείου. Στη γενική περίπτωση η γραμμική επιτάχυνση είναι υπεύθυνη για την μεταβολή της διεύθυνσης της γραμμικής ταχύτητας ή τη μεταβολή του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας. Το διάνυσμα της περιστροφικής γραμμικής επιτάχυνσης έχει γενικά κατεύθυνση προς το εσωτερικό μέρος της καμπυλόγραμμης τροχιάς και μπορεί πάντοτε να αναλυθεί σε δύο διανύσματα- συνιστώσες κάθετες μεταξύ τους. Η μια από τις δύο συνιστώσες είναι εφαπτομενική και ονομάζεται εφαπτομενική γραμμική επιτρόχια επιτάχυνση tn Η άλλη συνιστώσα είναι ακτινική και έχει φορά προς το κέντρο της τροχιάς και λέγεται κεντρομόλος επιτάχυνση : k Υπεύθυνη για την αλλαγή του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας είναι η επιτρόχια ή εφαπτομενική επιτάχυνση και για την αλλαγή της διεύθυνση η κεντρομόλος επιτάχυνση. Το μέτρο της γραμμικής εφαπτομενικής επιτάχυνσης ισούται με το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας : d dt Η κεντρομόλος επιτάχυνση αποδεικνύεται ότι δίνεται από τη σχέση : r 6
Σχέσεις μεταξύ γραμμικών και γωνιακών μεγεθών της περιστροφικής κίνησης : Από τη σχέση τόξου και γωνίας περιστροφής μπορούμε να βρούμε τη σχέση μεταξύ της γραμμικής και της γωνιακής ταχύτητας : s r ds dt Δηλαδή η γραμμική ταχύτητα εξαρτάται από την απόσταση του υλικού σημείου από τον άξονα περιστροφής. Έτσι ενώ όλα τα υλικά σημεία ενός περιστρεφόμενου στερεού έχουν όλα την ίδια γωνιακή ταχύτητα δεν έχουν όλα την ίδια γραμμική ταχύτητα. Από τη σχέση ορισμού της εφαπτομενικής γραμμικής επιτάχυνσης και τη σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας έχουμε : d r r dt d dt d r dt r Επίσης έχουμε και σχέση ανάμεσα στη κεντρομόλο επιτάχυνση και στη γωνιακή ταχύτητα : r r r r ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ Μια έννοια που απλοποιεί τη μελέτη της κίνησης ενός στερεού σώματος είναι το κέντρο μάζας του σώματος. Κέντρο μάζας (cm) ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σημείο εκείνο του σώματος που κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος, αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Επειδή κάθε κίνηση ενός στερεού σώματος μπορεί να περιγραφεί σαν ένας συνδυασμός της μεταφορικής κίνησης του κέντρου μάζας του και της περιστροφικής κίνησης των υλικών σημείων του περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και να γράψουμε τη διανυσματική σχέση, που ισχύει για κάθε υλικό σημείο του στερεού, αντικαθιστώντας την υμ με την υcm. 7
Όταν ένα συμμετρικό στερεό (κύλινδρος, δίσκος, σφαίρα, δακτύλιος, στεφάνη, τροχός, σφόνδυλος ), κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο (τα σημεία της περιφέρειας του στερεού έρχονται σε επαφή με το επίπεδο), τότε : α) Το διαγραφόμενο τόξο ds κατά την περιστροφή έχει μέτρο ίσο με τη μεταφορική μετατόπιση του κέντρου μάζας dxcm β) για το λόγο αυτό η περιστροφική γραμμική ταχύτητα είναι ίση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας του στερεού : cm cm r γ) άμεση συνέπεια του προηγουμένου είναι : cm cm r Να σημειωθεί ότι κάθε σημείο της περιφέρειας του στερεού που κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, η ολική γραμμική ταχύτητα, είναι το διανυσματικό άθροισμα της μεταφορικής γραμμικής ταχύτητας του κέντρου μάζας και της περιστροφικής γραμμικής ταχύτητας, τα μέτρα όμως των διανυσμάτων αυτών στην περίπτωση αυτή είναι ίσα. Το γεγονός αυτό έχει σαν συνέπεια το σημείο της περιφέρειας του στερεού που είναι στιγμιαία σε επαφή με το επίπεδο να ηρεμεί τη στιγμή της επαφής (υ=0), ενώ το αντιδιαμετρικό του να κινείται κατά την κατεύθυνση της μεταφορικής κίνησης με διπλάσια ταχύτητα από την ταχύτητα του κέντρου μάζας. Ταυτόχρονα τα δύο αντιδιαμετρικά πλευρικά σημεία έχουν ταχύτητες cm Με κατευθύνσεις υπό γωνία 45 ο πάνω και κάτω από το οριζόντιο επίπεδο. 8
Ροπή δύναμης Το μέγεθος το οποίο περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να περιστρέφει ένα σώμα λέγεται ροπή δύναμης και συμβολίζεται με το γράμμα τ. Ροπή δύναμης ως προς άξονα Η ροπή μιας δύναμης είναι διανυσματικό μέγεθος που έχει φορέα τον άξονα περιστροφής ενός στερεού και φορά προς τα πάνω ή προς τα κάτω ανάλογα με το προς τα πού θα τείνει να στρέψει το σώμα η συγκεκριμένη δύναμη. Συνήθως καθορίζεται σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Το μέτρο της υπολογίζεται αν πολλαπλασιάσουμε τη δύναμη επί την κάθετη απόσταση της δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας δύναμης) F Αν η δύναμη δεν βρίσκεται πάνω σε επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής, τότε την αναλύουμε σε δύο συνιστώσες ώστε η μία να βρίσκεται σε επίπεδο που να είναι κάθετη στον άξονα περιστροφής και η άλλη συνιστώσα της δύναμης είναι παράλληλη με τον άξονα περιστροφής. Στην περίπτωση αυτή η συνιστώσα της δύναμης που είναι παράλληλη με τον άξονα περιστροφής δεν δημιουργεί ροπή και έτσι η ροπή της δύναμης υπολογίζεται από το γινόμενο της κάθετης συνιστώσας επί το μοχλοβραχίονα της δύναμης. F x Στα προβλήματα για να δείξουμε την ικανότητα μιας δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα προς τη μια ή την άλλη φορά, χρησιμοποιούμε την αλγεβρική τιμή της ροπής. Κατά σύμβαση θεωρούμε θετική τη ροπή μιας δύναμης που τείνει να στρέψει ένα σώμα αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού και αρνητική όταν τείνει να περιστρέψει το σώμα όπως οι δείκτες του ρολογιού. 9
Ροπή δύναμης ως προς σημείο Αν σε ένα ελεύθερο σώμα ασκηθεί μια δύναμη που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε το σώμα θα εκτελέσει μόνο μεταφορική κίνηση γιατί η ροπή της δύναμης είναι ίση με μηδέν. Αν όμως ο φορέας της δύναμης δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του τότε το σώμα θα εκτελέσει εκτός από μεταφορική κίνηση και περιστροφική γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το κέντρο μάζας του σώματος. Η ροπή μιας δύναμης ως προς σημείο υπολογίζεται από το γινόμενο της δύναμης επί την απόστασή της από τον άξονα περιστροφής. Η διεύθυνση της ροπής βρίσκεται πάνω σε νοητό άξονα που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τον φορέα της δύναμης και το σημείο. F Ροπή ζεύγους δυνάμεων Ζεύγος δυνάμεων ονομάζουμε δύο δυνάμεις που είναι παράλληλες με αντίθετες φορές και ίσα μέτρα. Παρόλο που η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν η ροπή ενός ζεύγους δεν είναι ποτέ ίση με μηδέν. x x F d F1 x1 F x F1 1 1 Συνθήκες ισορροπίας στερεού σώματος Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο σώμα πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα να είναι ίση με μηδέν αλλά και η συνισταμένη των ροπών, ως προς οποιοδήποτε σημείο, να είναι επίσης μηδέν. F 0 0 F 0 F x y 0 10
Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων Για να λύσουμε ένα πρόβλημα ισορροπίας εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας, αφού πρώτα σχεδιάσουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα που μελετάμε. Προσοχή! Όταν μελετάμε τη συμπεριφορά ενός σώματος κάτω από την επίδραση δυνάμεων, σημειώνουμε πάνω στο σώμα τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό από τα σώματα του περιβάλλοντός του και δεν μας απασχολούν οι δυνάμεις που ασκεί στα σώματα του περιβάλλοντός του. Γενικές παρατηρήσεις για το σχεδιασμό των δυνάμεων Δράση αντίδραση Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα οι δυνάμεις στη φύση εμφανίζονται πάντα ανά ζεύγη. «Σε κάθε δράση αναπτύσσεται μια αντίθετη αντίδραση» Προσοχή!! Η συνισταμένη της δράσης και της αντίδρασης δεν είναι μηδέν γιατί ασκούνται σε διαφορετικά σώματα. Είδη δυνάμεων Οι δυνάμεις που ασκούνται στη φύση χωρίζονται σε δύο κατηγορίες : Στις δυνάμεις πεδίου ή δυνάμεις από απόσταση Στις δυνάμεις επαφής Δύναμη από απόσταση στη Μηχανική 11
Δυνάμεις επαφής Ασκούνται μεταξύ σωμάτων που βρίσκονται σε επαφή. Διακρίνουμε ορισμένες χαρακτηριστικές περιπτώσεις : Νήμα αβαρές Η δύναμη που ασκεί ένα τεντωμένο και αβαρές νήμα (ή σχοινί), σε σώματα που είναι δεμένα στα άκρα του, λέγεται τάση νήματος και έχει : Διεύθυνση τη διεύθυνση του νήματος Φορά από το κάθε σώμα προς το νήμα γιατί το νήμα τραβά και ποτέ δεν «σπρώχνει» Το μέτρο της είναι ίδιο και για τα δύο σώματα Δύναμη στήριξης από λεία επιφάνεια Σώμα που στηρίζεται σε λεία επιφάνεια δέχεται από αυτή δύναμη Α ή Ν ή FΚ, κάθετη στο κοινό εφαπτόμενο επίπεδο σώματος επιφάνειας, με φορά από την επιφάνεια προς το σώμα. Την σχεδιάζουμε ανάλογα η από το σημείο επαφής προς τα πάνω (κάθετα στην επιφάνεια) ή ξεκινά από το κέντρο μάζας του σώματος προς τα πάνω. Δύναμη στήριξης από μη λεία επιφάνεια Στην περίπτωση αυτή η δύναμη Α την οποία ασκεί η επιφάνεια στο σώμα, είναι κατά κανόνα πλάγια ως προς το κοινό εφαπτόμενο επίπεδο σώματος - επιφάνειας. Η δύναμη Α αναλύεται πάντα σε δύο συνιστώσες : i. Την Fκ ή Ν που είναι κάθετη στην επιφάνεια επαφής. ii. Την τριβή Τ που είναι παράλληλη στην επιφάνεια επαφής και η οποία διακρίνεται σε τριβή ολίσθησης και στατική τριβή. 1
α. Τριβή ολίσθησης Η τριβή χαρακτηρίζεται σαν τριβή ολίσθησης όταν το σώμα ολισθαίνει (γλιστρά) πάνω στην επιφάνεια με την οποία βρίσκεται σε επαφή. Η κατεύθυνσή της είναι αντίθετη της ολίσθησης και το μέτρο της βρίσκεται από τη σχέση : Τ= μ.fκ όπου μ είναι ο συντελεστής τριβής και εξαρτάται από το είδος των επιφανειών που βρίσκονται σε επαφή και δεν έχει μονάδες. Ο τοίχος είναι λείος ενώ το δάπεδο παρουσιάζει τριβή. Η δύναμη Ν είναι κάθετη στον τοίχο, ενώ η αντίδραση Α είναι πλάγια και αναλύεται σε δύο συνιστώσες την τριβή Τ και την κάθετη αντίδραση Fκ β. Στατική τριβή Η τριβή χαρακτηρίζεται σαν στατική όταν το σώμα δεν ολισθαίνει πάνω στην επιφάνεια με την οποία βρίσκεται σε επαφή, αλλά είναι ακίνητο ή κυλίεται σε σχέση με την επιφάνεια αυτή. Η φορά της είναι συνήθως τέτοια ώστε να τείνει να εμποδίσει την έναρξη της ολίσθησης του σώματος, ως προς την επιφάνεια πάνω στην οποία βρίσκεται. Στην περίπτωση της κύλισης η φορά της σχεδιάζεται αρχικά στην τύχη και πρέπει να είναι τέτοια ώστε να είναι η τιμή της συμβατή και με τις δύο εξισώσεις του ΘΝΜ (μεταφορικής και στροφικής κίνησης ). Το μέτρο της δεν είναι καθορισμένο, αλλά μπορεί να μεταβάλλεται από την τιμή μηδέν μέχρι μια μέγιστη τιμή που λέγεται οριακή τριβή. 0 T T Στα προβλήματα το μέτρο της οριακής τριβής θεωρείται ίσο με το μέτρο της τριβής ολίσθησης. T F 13
Δύναμη που ασκείται από άρθρωση Η δύναμη F που ασκείται από την άρθρωση σχεδιάζεται τυχαία και αναλύεται σε δύο συνιστώσες τις Fx και Fy Δύναμη που ασκείται από αβαρή ράβδο Η δύναμη την οποία ασκεί μια ράβδος χωρίς βάρος σε ένα σώμα, έχει τη διεύθυνση της ράβδου και η φορά της μπορεί να είναι από το σώμα προς τη ράβδο ή αντίθετα, όπως φαίνεται στα σχήματα (α) και (β) αντίστοιχα. Χρήσιμο είναι να γνωρίζετε και τα παρακάτω : 1. Όταν ένα στερεό σώμα ισορροπεί με την επίδραση Ν δυνάμεων από τις οποίες οι φορείς των Ν-1 από αυτές περνούν από ένα σημείο Α, τότε πρέπει να περνά από το ίδιο σημείο και ο φορέας της Ν- οστής δύναμης. ( ) 0 Επειδή το στερεό ισορροπεί πρέπει να ισχύει οπωσδήποτε η σχέση : A 14
Η ροπή των Ν-1 δυνάμεων ως προς το σημείο Α είναι μηδέν γιατί ο φορέας τους περνά από το σημείο Α, άρα πρέπει να περνά από το ίδιο σημείο και η Ν-οστή δύναμη..όταν ένα στερεό σώμα ισορροπεί υπό την επίδραση Ν δυνάμεων και οι Ν-1 από αυτές είναι παράλληλες, τότε και η Ν-οστή δύναμη είναι παράλληλη προς τις υπόλοιπες. 3.Στερεό σώμα στηρίζεται σε κάποιο στήριγμα και τείνει να χάσει την επαφή του με αυτό. Τότε η δύναμη που δέχεται το σώμα από το υποστήριγμα στην περίπτωση αυτή λαμβάνεται ίση με μηδέν. 4.Στερεό σώμα στηρίζεται σε κάποια επιφάνεια και τείνει να ολισθήσει σε σχέση με αυτή. Τότε η στατική τριβή που δέχεται το σώμα από την επιφάνεια λαμβάνεται ίση με : Τ=μ.FΚ όπου μ ο συντελεστής στατικής τριβής. 4 βήματα για τη σωστή λύση των προβλημάτων ισορροπίας στερεού σώματος 1. Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, του οποίου μελετάμε την ισορροπία.. Αναλύουμε όλες τις δυνάμεις σε δύο κάθετους άξονες xx και yy. 3. Εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας : ΣFx=0 (1) ΣFy=0 () και Στ=0 (3) Αν οι δυνάμεις είναι παράλληλες προς ένα άξονα yy, τότε εφαρμόζουμε τις συνθήκες () και (3) γιατί η συνθήκη (1) είναι περιττή. Η συνθήκη Στ=0 ισχύει για οποιαδήποτε σημείο του επιπέδου, επιλέγουμε όμως συνήθως το σημείο εκείνο από το οποίο περνούν οι περισσότερες άγνωστες δυνάμεις. 4. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), () και (3). 15