Μεγαλύερες εριέειες Μεά ην ανάρηση «Ένα σύσημα σωμάων σε εριέειες» ας άμε ένα βήμα αρακάω, ση μελέη ου συσήμαος σωμάων και ης εφαρμογής ου γενικευμένου νόμου ου Νεύωνα. -------------------------------------- Μια οριζόνια κυκλική λαφόρμα μάζας Μ0kg και ακίνας Rm, μορεί να σρέφεαι γύρω αό καακόρυφο άξονα z, χωρίς ριβές, ο οοίος ερνά αό ο κένρο ης Ο. Πάνω σην λαφόρμα ηρεμεί ένα σώμα μάζας mkg, δεμένο σο άκρο νήμαος μήκους 0,8m, ο άλλο άκρο ου οοίου μέσω ενός δακυλίου δένεαι σον άξονα z, έσι ώσε ο σώμα μορεί να ερισρέφεαι χωρίς να υλίγεαι ο νήμα σον άξονα. ε μια σιγμή (t 0 0) ασκείαι σην εριφέρεια ης λαφόρμας, εφαομενικά, μια οριζόνια σαθερού μέρου δύναμη,6ν, με αοέλεσμα η σιγμή t 5s η λαφόρμα να έχει αοκήσει γωνιακή αχύηα ω 0ad/s. i) Να εξεάσεε αν υάρχει ριβή μεαξύ σώμαος και λαφόρμας, με αοέλεσμα να εθεί σε ερισροφή και ο σώμα. ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεαβολής ης σροφορμής καά (ως ρος) ον άξονα z: α) ου συσήμαος β) ης λαφόρμας και γ) ου σώμαος. σο χρονικό διάσημα 0-5s. iii) Να υολογισεί η χρονική σιγμή t η σροφορμής καά (ως ρος) ον άξονα z: α) ου συσήμαος β) ης λαφόρμας και γ) ου σώμαος. iv) Τη σιγμή t η δύναμη κααργείαι, οόε μεά αό λίγο αραηρούμε όι ο σώμα δεν γλισράει άνω σην λαφόρμα. Να υολογισεί όε η αχύηα ου σώμαος. Δίνεαι η ροή αδράνειας ης λαφόρμας, ως ρος ον άξονά ης Ι ½ ΜR. Αάνηση: i) Η σροφορμή ης λαφόρμας η σιγμή t έχει μέρο: Iω MR ω 0 0kg m 00kg m Έσω ώρα όι δεν εμφανίζεαι ριβή μεαξύ σώμαος και λαφόρμας. Τόε σο σώμα ασκείαι ο βάρος και η ανίδραση ης λαφόρμας Ν, η συνισαμένη ων οοίων είναι μηδέν και ο σώμα αραμένει ακίνηο. Για ην λαφόρμα έχουμε: www.yikonet.g z O N w
w+ + + aξ N Όου οι ροές, ου βάρους, ης δύναμης αό ον άξονα και ης ανίδρασης ης Ν ου α- σκείαι σο σώμα είναι μηδενικές, άρα: 0 t t 0 Rt,6 5kg m 08kg m Πράγμα άοο, οόε ρέει σην λαφόρμα να ασκείαι και κάοια άλλη δύναμη, η ροή ης οοίας να μείωσε η σροφορμή αό ην ιμή 08kg m /s σην ιμή 00kg m /s. Η δύναμη αυή είναι ριβή ου ασκείαι σην λαφόρμα αό ο σώμα. Αλλά όε και σο σώμα ασκήθηκε δύναμη ριβής, η οοία θα ο ειαχύνει με αοέλεσμα να αρχίσει να σρέφεαι γύρω αό ον άξονα. Γιαί; Ας δούμε ο αραάνω σχήμα σε κάοψη. Έσω όι ο σώμα βρίσκεαι σο σημείο Α ης λαφόρμας. Όαν αυή ειαχυνθεί, ο σημείο Α αοκά αχύηα υ υ ω με αοέλεσμα να α- σκηθεί σην λαφόρμα, αό ο σώμα, δύναμη ριβής Τ ανίθεης φοράς αό ην αχύηα. Αλλά όε η ανίδρασή ης Τ, ασκείαι σο σώμα και ο ειαχύνει. Προσέξε όι η ριβή είναι εφαόμενη σον κύκλο ακίνας. ii) Οι δυνάμεις ριβής ου ασκούναι σε λαφόρμα-σώμα, είναι εσωερικές δυνάμεις για ο σύσημα, οόε ο γενικευμένος νόμος ου Νεύωνα για ο σύσημα δίνει: o λ εξ Αλλά η δύναμη ου άξονα και α βάρη δεν έχουν ροή ως ρος ον άξονα, οόε αίρνουμε: R,6 kg m,6 kg m ην λαφόρμα ασκούναι οι ροές ης δύναμης και ης ριβής Τ. Είε η ριβή αυή είναι σαική, είε ολίσθησης, σο χρονικό διάσημα 0-5s, έχει σαθερό μέρο και συνεώς σαθερή ροή, οόε ο ρυθμός μεαβολής ης σροφορμής ης αραμένει σαθερός και ι- σχύει: 0 00 σαθ kg m 0kg m. t t 0 5 Αλλά: + O υ A T d O T www.yikonet.g
,6kg m 0kg m,6kg m Οι αραάνω ρυθμοί είναι διανύσμαα άνω σον άξονα z και φορά ρος α άνω, όως έχουν σχεδιασεί σο αραάνω σχήμα. iii) ο i) ερώημα υολογίσαμε η σιγμή t η σροφορμή ης λαφόρμας 00kgm /s. Για ο σύσημα έχουμε: t Rt,6 5kg m 08kg m Όμως + o λ Με καευθύνσεις, όως σο σχήμα.. ολ - 08kgm /s-00kgm /s8kgm /s. iv) Μόλις άψει να ασκείαι η δύναμη, οι μόνες δυνάμεις ου αρουσιάζουν ροή ως ρος ον άξονα είναι οι δυνάμεις ριβής. Εξαιίας ης ριβής ο σώμα ειαχύνεαι ενώ η λαφόρμα ειβραδύνεαι. Μόλις λοιόν η αχύηα ου σώμαος άρει ιμή ίση με η γραμμική αχύηα ενός σημείου ης λαφόρμας ου αέχει καά αό ο κένρο Ο, θα άψει η άσκηση ης ριβής και ο σύσημα θα ερισρέφεαι σαν ένα σώμα με μια γωνιακή αχύηα ω κ. Αλλά οι δυνάμεις ριβής είναι εσωερικές για ο σύσημα, οόε η σροφορμή ου συσήμαος αραμένει σαθερή: ω κ ελ Οόε ο σώμα έχει αχύηα: χόλια: o λ MR + m ω κ o λ 08 ad MR + m 0 + 0,8 υ ω κ 9,57 0,8m/ s 7,66m 9,57ad ) Η αραάνω ριβή θα μορούσε να ήαν σαική και να μην υήρχε ολίσθηση ου άνω σην λαφόρμα. Αν συνέβαινε αυό, όε σο ελευαίο ερώημα θα βρίσκαμε ω κ 0ad/s, ίση δηλαδή με η γωνιακή αχύηα ης λαφόρμας η σιγμή t. ) Με βάση α ευρήμαα ου i) ερωήμαος, είναι φανερό όι μέσω ης ροής ης δύναμης σο σύσημα «μεαφέρεαι» σροφορμή 08kgm /s, ενώ η λαφόρμα «κραά» α 00 kgm /s, συνεώς α υόλοια 8 kgm /s είναι η σροφορμή ου. Η οοία όμως δίνεαι αό ην σχέση: www.yikonet.g 3
8 mυ υ m 5m m 0,8 Ενώ ένα σημείο ης λαφόρμας ου αέχει καά 0,8m αό ο κένρο Ο, έχει γραμμική αχύηα υ γρ ω 0 0,8m/ s 8m. Αυό σημαίνει όι υάρχει ολίσθηση και η ασκούμενη ριβή είναι ριβή ολίσθησης. 3) Θα μορούσαμε και να υολογίσουμε η ριβή, δουλεύονας είε με ην λαφόρμα, είε με ο. Ας ο κάνουμε με ο σώμα, εφαρμόζονας ο γενικευμένο νόμο ου Νεύωνα: T t mυ 0 mυ 5 T T N N t 0 t 5 Βέβαια θα μορούσαμε να δουλέψουμε και με ην ειαχυνόμενη κυκλική κίνηση και ην ειρόχια ειάχυνση ου αοκά λόγω ριβής: Οόε και άλι T mυ. t Τmα ε ενώ υα ε t 4) χόλιο για καθηγηές: αν όλα α αραάνω σας θυμίζουν ο θεώρημα ώθησης ορμής, για ην κίνηση υλικού σημείου, η σύμωση δεν είναι καθόλου υχαία! Υλικό Φυσικής-Χημείας Γιαί ο να µοιράζεσαι ράγµαα, είναι καλό για όλους Ειμέλεια: Διονύσης Μάργαρης www.yikonet.g 4
www.yikonet.g 5