Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: Ab 6 Βήμα Ξεκινούμε από την πιο αριστερή μη μηδενική στήλη και εντοπίζουμε το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της (οδηγός). Πρόκειται για την πρώτη στήλη με οδηγό το (στην πρώτη θέση της στήλης). Βήμα Αν ο οδηγός δεν βρίσκεται στην πρώτη θέση της στήλης εναλλάσσουμε τη γραμμή του οδηγού με την πρώτη γραμμή (δεν έχουμε τέτοια περίπτωση) Βήμα Έπειτα μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία κάτω από τον οδηγό. Έτσι πρέπει να αφαιρέσουμε από την γραμμή το διπλάσιο της πρώτης γραμμής: r r r 6 4 Δεν απαιτείται κανένα άλλο βήμα καθώς ο επαυξημένος πίνακας έχει έρθει σε άνω κλιμακωτή μορφή. x y Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: y 4 Το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση, την οποία μπορούμε να πάρουμε με προς τα πίσω αντικατάσταση: 4 H δεύτερη εξίσωση δίνει: y 4 4 7 Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην πρώτη εξίσωση παίρνουμε: x x +

Επομένως η μοναδική λύση του συστήματος είναι η: 7 4 x, y ή 7 x 4 Παράδειγμα Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6x 9y 6 με απαλοιφή Gauss. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 6 9 y 6 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: Ab 6 9 6 Θα έχουμε: r r r 6 9 6 Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: x y Επειδή εμφανίστηκε μηδενική γραμμή, το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες λύσεις. Επίσης η μηδενική γραμμή είναι μία και αντιστοιχεί στην δεύτερη μεταβλητή (επειδή είναι η δεύτερη γραμμή), επομένως η δεύτερη μεταβλητή δηλ. η y θα είναι ελεύθερη μεταβλητή και θα χρησιμοποιηθεί για να δοθεί η σχέση που συνδέει τις άπειρες λύσεις. + y Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε: x y x x + y Επομένως για οποιαδήποτε τιμή y η τιμή του x δίνεται από τη σχέση: x + y Το ίδιο μπορούμε να το εκφράσουμε χρησιμοποιώντας μία παράμετρο π.χ. t ως εξής: x + t, y t, t ή t + x, t t παίρνοντας ένα σετ παραμετρικών εξισώσεων. Παράδειγμα Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 4x 6y με απαλοιφή Gauss.

Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 4 6 y Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: Ab 4 6 Θα έχουμε: r r r 4 6 Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: x y Από την τελευταία γραμμή συμπεραίνουμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο Παράδειγμα 4 x y+ z Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y+ 4z με απαλοιφή Gauss. Επίσης να x y+ 6z δειχθεί η σχέση της γενικής λύσης του με τη λύση του αντίστοιχου ομογενούς του συστήματος. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 4 y 6 z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: Ab 4 6 Θα έχουμε: 4 r r r r r r 6 6

x y+ z Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: Άρα το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες λύσεις. Θα έχουμε ελεύθερες μεταβλητές, τις yz,, επομένως οι λύσεις μπορούν να δοθούν με τη βοήθεια παραμέτρων, έστω rs, και θα είναι οι: x + r, s y r, z s, rs, ή + rs x r, rs, s x y+ z Το αντίστοιχο ομογενές σύστημα θα είναι το με ελεύθερες μεταβλητές τις yz, Για να βρούμε τις λύσεις του θέτουμε με τη σειρά κάθε ελεύθερη μεταβλητή ίση με τη μονάδα και τις υπόλοιπες ίσες με το μηδέν και λύνουμε το σύστημα. Έτσι θα πάρουμε ορισμένες λύσεις του ομογενούς συστήματος, των οποίων ο γραμμικός συνδυασμός δίνει το σύνολο των λύσεών του. Έτσι θέτουμε πρώτα y, z και παίρνουμε x και στη συνέχεια θέτουμε y, z και παίρνουμε x Άρα δύο λύσεις του ομογενούς συστήματος είναι οι x, y, z και x, y, z, οι οποίες σε μορφή διανύσματος γράφονται ως και Ο γραμμικός συνδυασμός τους x r s +, rs, δίνει το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήματος. Για να βρούμε μία ειδική λύση του αρχικού συστήματος θέτουμε όλες τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με το μηδέν. Έτσι παίρνουμε τη λύση: x, y, z ή x p Επομένως η γενική λύση του αρχικού συστήματος μπορεί να γραφεί ως x x x + xp y r s + +, rs, z Παρατηρούμε ότι αν εκτελέσουμε τις πράξεις καταλήγουμε στην ίδια απάντηση που πήραμε προηγουμένως δηλ. στην 4

+ rs x r, rs, s Παράδειγμα x x + x4 x 7x + x4 Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: με απαλοιφή Gauss. x 9x + x4 x+ 4x + 8x4 Επίσης να βρεθούν οι παραγοντοποιήσεις LU και LDU του πίνακα Α των συντελεστών του. Η απαλοιφή Gauss καθώς και ο πίνακας L να δοθούν και με τη χρήση στοιχειωδών πινάκων. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 7 x 9 x 4 8 x4 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 7 Ab 9 4 8 Βήμα Ξεκινούμε από την πιο αριστερή μη μηδενική στήλη και εντοπίζουμε το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της (οδηγός). Πρόκειται για την πρώτη στήλη με οδηγό το (στην πρώτη θέση της στήλης). Βήμα Δεν απαιτείται εναλλαγή γραμμών καθώς ο οδηγός βρίσκεται στην πρώτη θέση της στήλης Βήμα Έπειτα μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία κάτω από τον οδηγό.

Μέσα στις παρενθέσεις φαίνονται οι πολλαπλασιαστές της απαλοιφής Gauss, οι οποίοι θα χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία του πίνακα L στις παραγοντοποιήσεις LU και LDU. O συγκεκριμένος πολλαπλασιαστής (-/) θα τοποθετηθεί στη θέση, του πίνακα L. 4 7 7 7 r r r r r r 9 9 4 8 4 8 4 7 4 7 7 7 r4 r4 r 9 7 8 9 7 8 4 8 4 8 4 Επαναλαμβάνουμε τα βήματα - αγνοώντας κάθε φορά και μία γραμμή επιπλέον από την κορυφή του πίνακα. Έτσι τώρα θα επαναλάβουμε τα βήματα αγνοώντας την πρώτη γραμμή του πίνακα. 4 7 7 9 7 8 4 8 4 Βήμα Η πιο αριστερή μη μηδενική στήλη τώρα είναι η δεύτερη στήλη με οδηγό το -7 στην πρώτη θέση της στήλης (δηλ. στη γραμμή του πίνακα, αλλά επειδή σε αυτό το βήμα αγνοούμε την πρώτη γραμμή του πίνακα, θεωρούμε τη δεύτερη γραμμή του πίνακα ως πρώτη θέση). Βήμα Δεν απαιτείται εναλλαγή γραμμών καθώς ο οδηγός βρίσκεται στην πρώτη θέση της στήλης Βήμα Μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία κάτω από τον οδηγό: 6

4 7 4 7 7 7 4 9 7 8 r4 r4 r 9 7 8 7 4 8 4 9 4 Επαναλαμβάνουμε τα βήματα - αγνοώντας τώρα τις δύο πρώτες γραμμές του πίνακα. 4 7 7 9 7 8 4 9 Βήμα 9 Η πιο αριστερή μη μηδενική στήλη τώρα είναι η τρίτη στήλη με οδηγό το στην πρώτη θέση της στήλης. Βήμα Δεν απαιτείται εναλλαγή γραμμών καθώς ο οδηγός βρίσκεται στην πρώτη θέση της στήλης Βήμα Μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία κάτω από τον οδηγό: 4 7 4 7 7 7 4 9 7 8 r4 r4 r 9 7 8 9 4 9 47 9 Δεν απαιτείται κανένα άλλο βήμα καθώς ο επαυξημένος πίνακας έχει έρθει σε άνω κλιμακωτή μορφή. Επομένως το αρχικό σύστημα γράφεται και ως 7

x x + x4 4 7 7x 4 / x + x4 x + x x x + 4x 7 x / ( ) 8 7 / ( 8) ( ) ( ) ( x ) 4 9 7 8 x + x4 x 4 x4 47 / 77 47 x4 9 Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε την λύση 77 79 47 x, x, x, x4 46 77 Η ανωτέρω απαλοιφή Gauss με τη χρήση στοιχειωδών πινάκων μπορεί να γραφεί ως: EEEEE( A b ) 4 όπου E E E E4 E 4 4 7 9 Παραγοντοποίηση LU Ο άνω τριγωνικός πίνακας U προκύπτει από την διαδικασία απαλοιφής του Gauss, επομένως είναι ο 4 7 7 U 9 7 Η διαγώνιός του αποτελείται από τους οδηγούς κάθε γραμμής του μετασχηματισμένου πίνακα συντελεστών. Ο κάτω τριγωνικός πίνακας L περιέχει τους πολλαπλασιαστές του κάθε βήματος της απαλοιφής Gauss και μονάδες στη διαγώνιό του: 8

L 4 4 7 9 Τα στοιχεία του L βρίσκονται επίσης με τη χρήση των αντιστρόφων των στοιχειωδών πινάκων που χρησιμοποιήθηκαν στην απαλοιφή Gauss: L E E E E E 4 όπου E E 4 4 7 E E 4 9 E Μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι LUA. Παραγοντοποίηση LDU Ο πίνακας L είναι ο ίδιος με τον αντίστοιχο της παραγοντοποίησης LU: L 4 4 7 9 Ο πίνακας D είναι διαγώνιος και περιέχει την διαγώνιο του πίνακα U της παραγοντοποίησης LU (στοιχεία οδηγών): 9

7 D 9 Ο νέος άνω τριγωνικός πίνακας U προκύπτει από τον πίνακα U της παραγοντοποίησης LU διαιρώντας κάθε στοιχείο του με το στοιχείο της διαγωνίου (δηλ. τον οδηγό) της ίδιας γραμμής: 7 4 7 4 7 7 ( 7) ( 7) U 9 9 7 9 : : 7 9 : Τελικά στη διαγώνιό του περιέχει παντού μονάδες. Μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι LDUA. Παράδειγμα 6 x+ y+ z 9 Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ 4y z x+ 6y z α) Με απαλοιφή Gauss και b) Mε απαλοιφή Gauss-Jordan Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 9 4 y 6 z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: 9 Ab 4 6 α) Απαλοιφή Gauss Θα έχουμε διαδοχικά:

9 9 9 r r r 4 r r r 7 7 r r r 7 7 6 6 7 9 7 7 Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: x+ y+ z 9 y 7z 7 z Το σύστημα έχει μοναδική λύση, η οποία βρίσκεται με προς τα πίσω αντικατάσταση. Από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε: z. Αντικαθιστώντας την τιμή του z στη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε y 7() 7 y Τέλος, αντικαθιστώντας τις τιμές των yz, στη πρώτη εξίσωση παίρνουμε: x+ + () 9 x Επομένως η μοναδική λύση του συστήματος είναι η: x, y, z b) Απαλοιφή Gauss-Jordan Θα έχουμε διαδοχικά: 9 9 9 r r 4 r r r 7 7 r r r 7 7 6 6 7 9 9 9 7 7 r r r 7 7 7 7 r r r rr 7 7 7 7 r r r 7 7 r r r Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα:

x y z από το οποίο προκύπτει άμεσα η λύση του.

Παράδειγμα 7 x+ x + x4 x Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x + 4x4 x με απαλοιφή Gauss. x + x + x + 6x4 4x 7 Επίσης να δειχθεί η σχέση της γενικής λύσης του με τη λύση του αντίστοιχου ομογενούς του συστήματος. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x x 4 x 6 4 x 4 7 x Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: Ab 4 6 4 7 Θα έχουμε διαδοχικά: 4 r r r 4 r r r 4 6 4 7 4 Μετατρέψαμε τον επαυξημένο σε κλιμακωτό κατά γραμμές. Παρατηρούμε ότι στις μεταβλητές x, x4, x δεν αντιστοιχεί κάποιος οδηγός γραμμής, επομένως θα είναι ελεύθερες μεταβλητές και το σύστημά μας είναι αόριστο. Το αρχικό σύστημα έχει μετασχηματισθεί στο ισοδύναμο: x+ x + x4 x x x x4 + x x+ 4x4 x x 4x4 + x Επομένως οι λύσεις του μπορούν να δοθούν με τη βοήθεια παραμέτρων, έστω c, c, c και θα είναι οι: x c c + c, x c, x 4c + c, x c, x c, c, c, c 4 Το αντίστοιχο ομογενές σύστημα θα είναι το x+ x + x4 x x x x4 + x x+ 4x4 x x 4x4 + x με ελεύθερες μεταβλητές τις x, x4, x Για να βρούμε τις λύσεις του θέτουμε με τη σειρά κάθε ελεύθερη μεταβλητή ίση με τη μονάδα και τις υπόλοιπες ίσες με το μηδέν και λύνουμε το σύστημα. Έτσι θα πάρουμε ορισμένες λύσεις του ομογενούς συστήματος, των οποίων ο γραμμικός συνδυασμός δίνει το σύνολο των λύσεών του.

Έτσι θέτουμε πρώτα x, x4, x και παίρνουμε x, x Έπειτα θέτουμε x, x4, x και παίρνουμε x, x 4 και στη συνέχεια θέτουμε x, x4, x και παίρνουμε x, x Άρα τρεις λύσεις του ομογενούς συστήματος είναι οι, 4 και Ο γραμμικός συνδυασμός τους x c + c 4+ c, c, c, c δίνει το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήματος. Για να βρούμε μία ειδική λύση του αρχικού συστήματος θέτουμε όλες τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με το μηδέν. Έτσι παίρνουμε τη λύση: x p Επομένως η γενική λύση του αρχικού συστήματος μπορεί να γραφεί ως x x x x + xp x c + c 4+ c +, c, c, c x4 x Παράδειγμα 8 Να λύσετε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: 6x+ x4 4x 8x6 8 x+ x4 x 4x6 4 x x + x+ 4x4 7x + x6 6x 9x + x4 9x + x6 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 4

6 4 8 8 4 4 Ab 4 7 6 9 9 Θα εφαρμόσουμε την απαλοιφή Gauss επαναλαμβάνοντας βήματα μέχρι να πάρουμε τον τελικό άνω κλιμακωτό πίνακα. Βήμα Ξεκινούμε από την πιο αριστερή μη μηδενική στήλη και εντοπίζουμε τον οδηγό, δηλαδή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της. Πρόκειται για την πρώτη στήλη με οδηγό το (στην τρίτη θέση της στήλης). Βήμα Στη συνέχεια επειδή ο οδηγός δεν βρίσκεται στην πρώτη θέση της στήλης εναλλάσσουμε τις γραμμές και : 6 4 8 8 4 7 4 4 4 4 r r 4 7 6 4 8 8 6 9 9 6 9 9 Βήμα Έπειτα μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία κάτω από τον οδηγό: 4 7 4 4 r4 r4 r 6 4 8 8 6 9 9 4 7 4 4 6 4 8 8 Επαναλαμβάνουμε τα βήματα - αγνοώντας κάθε φορά και μία γραμμή επιπλέον από την κορυφή του πίνακα. Έτσι τώρα θα επαναλάβουμε τα βήματα αγνοώντας την πρώτη γραμμή του πίνακα. 4 7 4 4 6 4 8 8 Βήμα Η πιο αριστερή μη μηδενική στήλη τώρα είναι η τρίτη στήλη με οδηγό το στην πρώτη θέση της στήλης. Βήμα Δεν απαιτείται εναλλαγή γραμμών καθώς ο οδηγός βρίσκεται στην πρώτη θέση της στήλης Βήμα Mηδενίζουμε όλα τα στοιχεία κάτω από τον οδηγό:

4 7 4 7 4 4 4 4 r r r r4 r4 + r 6 4 8 8 4 7 4 4 4 Επαναλαμβάνουμε τα βήματα - αγνοώντας τώρα τις δύο πρώτες γραμμές του πίνακα. 4 7 4 4 4 Βήμα Η πιο αριστερή μη μηδενική στήλη τώρα είναι η έκτη στήλη με οδηγό το -4 στην δεύτερη θέση της στήλης. Βήμα Επειδή ο οδηγός δεν βρίσκεται στην πρώτη θέση της στήλης, εναλλάσσουμε τις γραμμές και 4: 4 7 4 7 4 4 4 4 r r 4 4 4 Βήμα Δεν απαιτείται κανένα άλλο βήμα καθώς ο πίνακας έχει έρθει σε άνω κλιμακωτή μορφή. Το σύστημα που αντιστοιχεί στον τελικό πίνακα είναι το x x + x + 4x4 7x + x6 x + x4 x 4x6 4 4x6 Οι στήλες χωρίς οδηγό (,4,) αντιστοιχούν στις ελεύθερες μεταβλητές. Επομένως οι μεταβλητές x, x4, x θα είναι οι ελεύθερες μεταβλητές. Αν μετακινήσουμε όλες τις ελεύθερες μεταβλητές δεξιά του, το σύστημα γράφεται ως x+ x + x6 + x 4x4 + 7x x 4x6 4 x4 + x 4x6 Επίσης αν θέσουμε τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με πραγματικές παραμέτρους ως εξής: x t, x t, x t, το σύστημα γράφεται ως: 4 6

x + x + x + t 4t + 7t x 4x6 4 t + t 4x6 6 Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε τελικά τη λύση του συστήματος: 9 + t t + t 4 6 6 t t + t x, t, t, t R t t 4 Η ανωτέρω απαλοιφή Gauss με τη χρήση στοιχειωδών πινάκων μπορεί να γραφεί ως: EEEEE( A b ) 4 όπου E E E E 4 E Παράδειγμα 9 Δίνεται ο πίνακας A 4 6. Να υπολογίσετε την παραγοντοποίηση PA LU Ο πίνακας P είναι ο συνολικός πίνακας μετάθεσης, ο οποίος προκύπτει ως το γινόμενο των στοιχειωδών πινάκων που αφορούν στις εναλλαγές γραμμών, οι οποίες απαιτούνται ώστε να ολοκληρωθεί η διαδικασία της απαλοιφής Gauss. Εκτελούμε απαλοιφή Gauss πάνω στον πίνακα A, σημειώνοντας τους πολλαπλασιαστές κάθε βήματος. 7

Παρατηρούμε ότι το στοιχείο A, του πίνακα είναι, ενώ από κάτω του υπάρχουν μη μηδενικά στοιχεία. Επομένως πρέπει να εναλλάξουμε την πρώτη γραμμή με κάποια άλλη ώστε να φέρουμε μη μηδενικό στοιχείο στη θέση του οδηγού. 4 4 r r 6 6 Στο συγκεκριμένο βήμα ο στοιχειώδης πίνακας μετάθεσης είναι ο P Συνεχίζουμε με την απαλοιφή: 4 4 r r () r 6 7 8 Αφού μηδενίσαμε όλα τα στοιχεία κάτω από τον οδηγό της πρώτης γραμμής, παρατηρούμε ότι στη θέση A, όπου κανονικά θα έπρεπε να βρίσκεται ο οδηγός της ης γραμμής, υπάρχει και ταυτόχρονα από κάτω του υπάρχει μη μηδενικό στοιχείο. Έτσι απαιτείται η εναλλαγή της ης με την η γραμμή για να συνεχίσουμε: 4 4 r r 7 8 7 8 Στο συγκεκριμένο βήμα ο στοιχειώδης πίνακας μετάθεσης είναι ο P Η απαλοιφή ολοκληρώθηκε. Είναι επομένως: 4 U 7 8 και L Ο συνολικός πίνακας μετάθεσης είναι o P PP Έτσι τελικά θα έχουμε PA LU 4 4 7 8 6 (Μπορούμε αν θέλουμε να εκτελέσουμε τις πράξεις για επαλήθευση της σχέσης.) 8

Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας του A, αν αυτός υπάρχει. Θα χρησιμοποιήσουμε την απαλοιφή Gauss-Jordan πάνω στον επαυξημένο πίνακα: A Ι Θα έχουμε διαδοχικά: r r r r r 7 r r 7 r r+ r 7 7 7 7 r r r r+ r 8 7 7 7 7 7 7 8 7 7 7 7 8 9 8 8 4 7 7 7 9 9 9 8 r r+ r r r+ r 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 9 8 8 9 8 4 9 9 9 6 6 7 8 9 8 9

Επειδή στο αριστερό τμήμα του επαυξημένου πίνακα εμφανίστηκε ο Ταυτοτικός πίνακας I, ο αρχικός πίνακας Α έχει αντίστροφο και αυτός είναι ο A 4 9 9 9 6 6 7 8 9 8 Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας του A 4 6, αν αυτός υπάρχει. Θα χρησιμοποιήσουμε την απαλοιφή Gauss-Jordan πάνω στον επαυξημένο πίνακα: A Ι 4 6 Θα έχουμε διαδοχικά: r r 4 4 6 r r r 4 6 Επειδή δημιουργήθηκε μηδενική γραμμή στο αριστερό τμήμα του επαυξημένου πίνακα, μπορούμε να σταματήσουμε τη διαδικασία και να αποφανθούμε ότι ο αντίστροφος του πίνακα Α δεν υπάρχει.