ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤ. ΜΑΡΚΑΤΗΣ. Επίκ. Καθηγητής Ε. Μ. Π. ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΣΤ. ΜΑΡΚΑΤΗΣ Επίκ. Καθηγητής Ε. Μ. Π. ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 2011 1

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright, 1994-2011 Απαγορεύεται η µε όλα τα µέσα µετάφραση ή ανατύπωση, ολική ή µερική, αυτού του βιβλίου, χωρίς την άδεια του συγγραφέα. All rights reserved. No part of this book may be reproduced in any form or by any means without the written permission of the author. Αεί ο Θεός ο Μέγας Γεωµετρεί = 3,1 4 1 5 9 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 6 2 Ο ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ 7 2.1 Η ΕΠΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙΑ 7 2.2 ΤΟ ΕΠΕΚΤΕΤΑΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο 7 2.3 Ο ΕΠΕΚΤΕΤΑΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ 8 2.4 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΠΙΠΕ Ο - ΕΥΘΕΙΑ 9 2.5 ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ - ΕΠΙΠΕ ΟΥ - ΕΥΘΕΙΑΣ 9 2.6 ΤΑ ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ 10 2.6.1 ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΘΕΣΗΣ 10 2.6.2 ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ 11 2.6.3 ΤΟ ΑΞΙΩΜΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 11 2.7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 12 2.7.1 ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 12 2.7.2 ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Α' ΒΑΘΜΙ ΑΣ 12 2.7.3 ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Β' ΒΑΘΜΙ ΑΣ 12 2.7.4 ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Γ' ΒΑΘΜΙ ΑΣ 13 2.7.5 ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ' ΒΑΘΜΙ ΑΣ 13 2.8 ΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΗΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΟΜΗΣ 13 2.9 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΥΑΣΜΟΥ 14 2.9.1 ΥΑΣΜΟΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ 14 2.9.2 ΥΑΣΜΟΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 14 2.9.3 ΥΑΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΣΜΗ 15 3 ΠΡΟΟΠΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΜΟΛΟΓΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 16 3.1 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ DESARGUES 16 3.2 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ 19 3.3 ΟΜΟΛΟΓΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ 21 3.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21 3

4 ΙΠΛΟΣ ΛΟΓΟΣ 22 4.1 ΟΡΙΣΜΟΙ 22 4.2 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΠΑΠΠΟΥ 23 4.3 ΓΡΑΦΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΕΤΡΑ ΑΣ 25 4.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 26 5 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΠΡΩΤΗΣ ΒΑΘΜΙ ΑΣ 27 5.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑΣ 27 5.2 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ. 27 5.3 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΥΟ ΣΗΜΕΙΟΣΕΙΡΩΝ 29 5.4 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΥΟ ΠΡΟΒΟΛΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΟΣΕΙΡΩΝ 30 5.5 ΣΗΜΕΙΑ ΦΥΓΗΣ 31 5.6 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΥΟ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΣΜΩΝ 32 5.7 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΥΟ ΠΡΟΒΟΛΙΚΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΣΜΩΝ 32 5.8 ΙΠΛΟΣ ΛΟΓΟΣ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΥΚΛΟΥ 32 5.9 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙ ΚΥΚΛΟΥ 33 5.10 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΥΠΕΡΚΕΙΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΟΣΕΙΡΩΝ 34 6 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΕΥΤΕΡΗΣ ΒΑΘΜΙ ΑΣ 35 6.1 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑ 35 6.2 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ 36 6.3 ΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ - ΕΤΕΡΟΓΡΑΦΙΕΣ 38 6.4 ΕΝΩΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 38 6.5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 38 4

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους φοιτητές του Ε. Μ. Π. και καλύπτει την διδασκοµένη ύλη Προβολικής Γεωµετρίας. Για την ταχύτερη ανάπτυξη του θέµατος, η Προβολική Γεωµετρία α- ναπτύσσεται εδώ ως επέκταση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, µε την εισαγωγή των επ άπειρον στοιχείων. Η Προβολική Γεωµετρία µελετά τις γραφικές ιδιότητες των σχηµάτων. Οι µετρικές ι- διότητες είναι καλυµµένες γραφικές ιδιότητες, οι οποίες έχουν σχέση µε τα επ άπειρον στοιχεία και µε την µετρική, δηλαδή µια κωνική που όλα τα σηµεία της είναι φανταστικά (έχουν φανταστικές συντεταγµένες), η οποία εισάγει µιαν ενελικτική προβολικότητα στην επ άπειρον ευθεία. Ελπίζουµε ότι το βιβλίο αυτό θα γίνει το ερέθισµα ώστε να αναζωπυρωθεί το ενδιαφέρον των φοιτητών για την Γεωµετρία, η οποία προσφέρει στην καλλιέργεια του νου, στην απόκτηση συνείδησης του γεωµετρικού χώρου και αυστηρότητα στο συλλογίζεσθαι, ικανότητες απαραίτητες στους Θετικούς Επιστήµονες αλλά και ιδιαιτέρως στους Μηχανικούς, των οποίων το έργο είναι κατασκευές στον τριδιάστατο χώρο. Αυτές οι σηµειώσεις Προβολικής Γεωµετρίας χρησιµεύουν ως βοήθηµα στο αντίστοιχο µάθηµα των φοιτητών του Ε.Μ.Π. αλλά και ως συµπλήρωµα του µαθήµατος της Παραστατικής Γεωµετρίας, στην οποία έχει εφαρµογές. 6

2 Ο ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ 2.1 Η ΕΠΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Θεωρούµε ευθεία ε και σηµείο Ο, µη κείµενο επί της ευθείας ε. Επί του επιπέδου που ορίζουν η ευθεία ε και το σηµείο Ο άγεται τυχούσα ευθεία α τέµνουσα την ευθεία ε στο σηµείο Α, (Σχ. 2.1). Μπορεί να ο- ρισθεί αντιστοιχία µεταξύ των ευθειών α του επιπέδου π που διέρχονται διά του σηµείου Ο και των σηµείων Α της ευθείας ε. Κατά την αντιστοιχία αυτή, στην τυχούσα ευθεία α που διέρχεται δια του σηµείου Ο αντιστοιχεί το σηµείο τοµής αυτής της ευθείας µε την αρχική ευθεία ε. Παρατηρούµε ότι σε κάθε Σχ. 2-1 ευθεία α του επιπέδου π που διέρχεται διά του σηµείου Ο, αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο Α της ευθείας ε. Από την αντιστοιχία αυτή εξαιρείται η ευθεία που διέρχεται διά του σηµείου Ο και είναι παράλληλη προς την ευθεία ε, διότι, κατά την Ευκλείδεια έννοια, οι παράλληλες ευθείες δεν τέµνονται. Για να αποκαταστήσουµε αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων της ευθείας ε και των ευθειών του επιπέδου που διέρχονται διά του σηµείου Ο, επεκτείνουµε την ευθεία ε, προσαρτώντας σ αυτήν ένα κατ εκδοχήν σηµείο, τέτοιο ώστε η παράλληλη ευθεία που άγεται διά του σηµείου Ο και η ευθεία ε να θεωρούµε ότι τέµνονται στο σηµείο αυτό. Η ευθεία αυτή λέγεται επεκτεταµένη ευθεία και το κατ εκδοχήν σηµείο επί αυτής ονοµάζεται επ άπειρον σηµείο της ευθείας ε. 2.2 ΤΟ ΕΠΕΚΤΕΤΑΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΡΟΤΑΣΗ: Όλες οι ευθείες του επιπέδου, που είναι παράλληλες στην ευθεία ε, τέµνουν την ευθεία ε στο επ' άπειρον σηµείο της. ηλαδή, κάθε κλάση παραλλήλων ευθειών του επιπέδου ορίζει µοναδικό επ άπειρον σηµείο επί του οποίου τέµνονται όλα τα µέλη της κλάσης. ΟΡΙΣΜΟΣ: Το επίπεδο του οποίου όλες οι ευθείες είναι επεκτεταµένες, υπό την έννοια που περιγράψαµε στην προηγουµένη παράγραφο, λέγεται επεκτεταµένο επίπεδο ή επίπεδο του Desargues. 7

ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν θεωρήσουµε το Ευκλείδειο επίπεδο και επεκτείνουµε τις ευθείες του σύµφωνα µε την προηγουµένη παράγραφο, προσαρτώντας σε κάθε µία εξ αυτών, ή ακριβέστερα σε κάθε κλάση παραλλήλων ευθειών, το επ άπειρον σηµείο της, αποκτάµε ένα επίπεδο το οποίο καλείται επεκτεταµένο επίπεδο ή επίπεδο του Desargues. ΘΕΩΡΗΜΑ: Επί του επεκτεταµένου επιπέδου, όλα τα επ άπειρον σηµεία του κείνται επί µιας ευθείας, η οποία λέγεται επ άπειρον ευθεία του επιπέδου. ιότι, εάν προς στιγµήν υποθέσουµε ότι όλα τα επ άπειρον σηµεία δεν κείνται επί ευθείας, τότε η ευθεία που θα όριζαν δύο εξ αυτών θα έφερε δύο επ άπειρον σηµεία, σε αντίθεση προς τον ο- ρισµό, ότι δηλαδή στην τυχούσα ευθεία προσαρτάται µοναδικό επ άπειρον σηµείο. Μπορούµε να επαναλάβουµε αυτήν την πρόταση ως εξής: Κάθε ευθεία του επεκτεταµένου επιπέδου θα έχει είτε ένα ακριβώς επ άπειρο σηµείο ή όλα τα σηµεία της είναι επ άπειρον σηµεία, οπότε η ευθεία αυτή είναι η επ άπειρον ευθεία του επιπέδου. 2.3 Ο ΕΠΕΚΤΕΤΑΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν θεωρήσουµε τον τριδιάστατο Ευκλείδειο χώρο και επεκτείνουµε τις ευθείες του, προσαρτώντας σε κάθε κλάση παραλλήλων ευθειών του χώρου ένα επ άπειρον σηµείο, τότε ο χώρος αυτός λέγεται επεκτεταµένος χώρος ή χώρος του Desargues. ΘΕΩΡΗΜΑ: Το σύνολο των επ άπειρον σηµείων του χώρου κείνται επί ενός επιπέδου, το οποίο λέγεται επ άπειρον επίπεδο του χώρου. Επί του επιπέδου αυτού κείνται οι επ άπειρον ευθείες των επιπέδων του χώρου. Για την απόδειξη του Θεωρήµατος αυτού θεωρούµε προς στιγµήν ότι τα επ άπειρον σηµεία του χώρου δεν κείνται επί ενός επιπέδου. Τότε, το επίπεδο που θα όριζαν τρία εξ αυτών θα είχε τρία επ άπειρον σηµεία τα οποία δεν θα έκειντο επί ευθείας, όπερ άτοπον. ΘΕΩΡΗΜΑ: ύο (επεκτεταµένα) επίπεδα στον (τριδιάστατο) χώρο τέµνονται κατά µία ευθεία, η οποία ανήκει και στα δύο επίπεδα. Η ευθεία αυτή είτε είναι µία κοινή καθ υπόσταση ευθεία των δύο επιπέδων ή έχουν κοινή επ άπειρον ευθεία. Με την εισαγωγή των επ άπειρον στοιχείων απλοποιούνται οι προτάσεις της Ευκλειδείου Γεω- µετρίας, διότι στο επεκτεταµένο επίπεδο κάθε δύο ευθείες τέµνονται σε ένα σηµείο, είτε αυτό είναι καθ υπόσταση σηµείο είτε είναι κατ εκδοχήν (επ άπειρον) σηµείο. Επίσης, κάθε δύο επίπεδα του χώρου τέµνονται κατά ευθεία, είτε καθ υπόσταση είτε κατ εκδοχήν. Με αυτούς τους ο- ρισµούς δεν διακρίνονται πλέον ειδικές περιπτώσεις παραλλήλων ή όχι ευθειών και επιπέδων. Η έννοια της παραλληλίας, δηλαδή, των ευθειών και των επιπέδων στον χώρο του Desarguεs δεν υπάρχει. 8

2.4 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΠΙΠΕ Ο - ΕΥΘΕΙΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Προβολική ευθεία ονοµάζουµε την επεκτεταµένη ευθεία, επί της οποίας δεν γίνεται διάκριση µεταξύ του επ άπειρον σηµείου και των καθ υπόσταση σηµείων της ευθείας αυτής. Μεταχειριζόµαστε, δηλαδή, όλα τα σηµεία της ευθείας αυτής, συµπεριλαµβανοµένου και του επ άπειρον, κατά ενιαίο τρόπο. ΟΡΙΣΜΟΣ: Προβολικό επίπεδο ονοµάζεται το επεκτεταµένο επίπεδο, στο οποίο δεν γίνεται διάκριση µεταξύ των επ άπειρον και των καθ υπόσταση σηµείων του, καθώς επίσης δεν γίνεται διάκριση µεταξύ της επ' άπειρον και των καθ υπόσταση ευθειών του. Μεταχειριζόµαστε, δηλαδή, χωρίς καµµία διάκριση, όλα τα σηµεία και όλες τις ευθείες του, επ άπειρον και µη, κατά τον ίδιο τρόπο. ΟΡΙΣΜΟΣ: Προβολικός χώρος ονοµάζεται ο επεκτεταµένος χώρος, στον οποίο δεν γίνεται διάκριση µεταξύ των επ άπειρον στοιχείων του χώρου (σηµείων, ευθειών και επιπέδου) και των καθ υπόσταση στοιχείων του. ηλαδή, µεταχειριζόµαστε χωρίς διάκριση όλα τα στοιχεία του ε- πεκτεταµένου χώρου, είτε αυτά είναι καθ υπόσταση είτε είναι κατ εκδοχή. Εάν κατά την τοποθέτηση ενός προβλήµατος αναφερόµαστε σε επ άπειρον στοιχεία τότε αυτο- µάτως υπονοείται ότι το πρόβληµα είναι τοποθετηµένο στον επεκτεταµένο Ευκλείδειο χώρο µάλλον παρά στον Προβολικό χώρο. Αντιθέτως, αν δεν διευκρινίζονται κάποια στοιχεία ως επ άπειρον, τότε το πρόβληµα τοποθετείται στον Προβολικό χώρο. 2.5 ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ - ΕΠΙΠΕ ΟΥ - ΕΥΘΕΙΑΣ Η τοπολογική δοµή της Προβολικής ευθείας, του Προβολικού επιπέδου και του Προβολικού χώρου είναι διαφορετική από αυτήν των αντιστοίχων Ευκλειδείων χώρων. Αναφέρουµε, χωρίς α- πόδειξη, ορισµένες τοπολογικές ιδιότητες της προβολικής ευθείας του προβολικού επιπέδου και του προβολικού χώρου σε σύγκριση µε τα αντίστοιχα Ευκλείδεια σύνολα ώστε να αποκτήσουµε µίαν αίσθηση της τοπολογικής δοµής τους: Η Ευκλείδεια ευθεία είναι ανοικτή, προσανατολίσιµη γραµµή. Αφαιρώντας ένα σηµείο α- πό την Ευκλείδεια ευθεία αυτή χωρίζεται σε δύο ανοικτά σύνολα, ξένα µεταξύ τους. Η Προβολική ευθεία είναι κλειστή προσανατολίσιµη γραµµή, η οποία κλείνει µε το επ' ά- πειρον σηµείο της. Αφαιρώντας ένα σηµείο από την Προβολική ευθεία αυτή καθίσταται ανοικτό συνεκτικό σύνολο, ισόµορφο προς την Ευκλείδεια ευθεία. 9

Το Ευκλείδειο επίπεδο είναι ανοικτή, δίπλευρη, προσανατολίσιµη επιφάνεια. Αφαιρώντας µία ευθεία του χωρίζεται σε δύο περιοχές, ε- νώ δύο ευθείες το χωρίζουν σε τέσσερις περιοχές εν γένει και τρείς ευθείες το χωρίζουν σε επτά περιοχές. Ο τριδιάστατος Ευκλείδειος χώρος είναι α- νοικτό προσανατολίσιµο σύνολο. Αφαιρώντας ένα επίπεδο χωρίζεται σε δύο περιοχές, ενώ δύο επίπεδα τον χωρίζουν εν γένει σε τέσσερις περιοχές, τρία επίπεδα τον χωρίζουν σε οκτώ και τέσσερα επίπεδα τον χωρίζουν σε δεκαπέντε περιοχές. Το Προβολικό επίπεδο είναι κλειστή, µονόπλευρη, µη προσανατολίσιµη επιφάνεια. Α- φαιρώντας µία ευθεία του δεν χωρίζεται, αλλά καθίσταται Ευκλείδειο επίπεδο, ενώ δύο ευθείες το χωρίζουν σε δύο περιοχές και τρεις ευθείες το χωρίζουν εν γένει σε τέσσερις περιοχές. Ο τριδιάστατος Προβολικός χώρος είναι κλειστό προσανατολίσιµο σύνολο. Αφαιρώντας ένα επίπεδο δεν χωρίζεται, αλλά καθίσταται Ευκλείδειος χώρος, ενώ δύο ε- πίπεδα τον χωρίζουν σε δύο περιοχές, τρία ε- πίπεδα τον χωρίζουν εν γένει σε τέσσερις και τέσσερα επίπεδα τον χωρίζουν σε οκτώ περιοχές. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Γενικώς, οι προβολικοί χώροι διαστάσεων 2ν είναι προσανατολίσιµοι ενώ αυτοί των διαστάσεων 2ν+1 δεν είναι προσανατολίσιµοι. Η τοπολογική αυτή ιδιότητα έχει σχέση µε την ύπαρξη ή µη µηδενικών πολώσεων ή αντισυµµετρικών µορφών. ΠΡΟΒΟΛΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΡΟΒΟΛΗΣ: Πρέπει, εδώ, να αντιδιαστείλουµε τους όρους Προβολικό επίπεδο και επίπεδο προβολής. Προβολικό επίπεδο είναι το επίπεδο της Προβολικής Γεωµετρίας, το οποίο ορίσαµε παραπάνω και αναφέραµε µερικές από τις τοπολογικές του ιδιότητες, συγκρίνοντας αυτές µε τις αντίστοιχες ιδιότητες του Ευκλειδείου επιπέδου. Επίπεδο προβολής είναι το Ευκλείδειο επίπεδο, επί του οποίου προβάλλεται κάποιο σχήµα του τριδιαστάτου χώρου. Τα επίπεδα αυτά είναι διαφορετικά ως προς την τοπολογική τους δοµή, ό- πως είδαµε και δεν πρέπει να συγχέονται. 2.6 ΤΑ ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ 2.6.1 ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΘΕΣΗΣ Κατά την αξιωµατική µέθοδο ίδρυσης, θεωρούµε τις πρωταρχικές και µη οριζόµενες έννοιες των στοιχείων µε τα οποία ασχολείται η Γεωµετρία, δηλαδή τις έννοιες του σηµείου, της ευθείας, του επιπέδου και του χώρου και ορισµένες βασικές προτάσεις που περιγράφουν τις σχέσεις που διέπουν τις βασικές αυτές έννοιες, οι οποίες είναι οι ελάχιστες δυνατές και είναι συµβιβαστές, δηλαδή δεν έρχονται σε αντίθεση µεταξύ τους. Στηριζόµενοι στα αξιώµατα και δια της (Αριστοτέλειας) Λογικής αποδεικνύονται Προτάσεις-Θεωρήµατα, το σύνολο των οποίων συνιστά την Γεωµετρία. 10

Στην παράγραφο αυτήν αναφέρουµε µερικά από τα αξιώµατα επί των οποίων στηρίζεται η Προβολική Γεωµετρία του Χώρου. ύο σηµεία ορίζουν µία ευθεία, και µόνον µία, επί της οποίας τα σηµεία κείνται. Μία ευθεία και ένα σηµείο, το οποίο δεν κείται επί της ευθείας, ορίζουν ένα επίπεδο, επί του οποίου κείνται. Τρία σηµεία, µη κείµενα επί της αυτής ευθείας, ορίζουν ένα επίπεδο επί του οποίου κείνται. ύο ευθείες ορίζουν ένα σηµείο, και µόνον έ- να, δια του οποίου οι ευθείες διέρχονται. Μία ευθεία και ένα επίπεδο, το οποίο δεν περιέχει την ευθεία, ορίζουν ένα σηµείο, το ο- ποίο κείται επ' αυτών. Τρία επίπεδα µη διερχόµενα διά της αυτής ευθείας ορίζουν ένα σηµείο το οποίο κείται επ' αυτών. 2.6.2 ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ Εάν σε σχηµατισµό α βαθµίδας, (δες επόµενη παράγραφο), ορισθεί τυχόν στοιχείο Ο, τα υπόλοιπα στοιχεία του σχηµατισµού µπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε το Ο να προηγείται κάθε άλλου στοιχείου. Σε αυτήν την διάταξη, σε κάθε στοιχείο του σχηµατισµού προηγείται πάντοτε ένα άλλο και µεταξύ δύο στοιχείων Α και Β του σχηµατισµού, για τα οποία το Α προηγείται του Β, υπάρχει πάντοτε ένα άλλο στοιχείο Γ το οποίο προηγείται του στοιχείου Β και έπεται του στοιχείου Α. Σε κάθε σχηµατισµό α' βαθµίδας υπάρχουν πάντοτε δύο φορές διαγραφής, οι οποίες είναι η µία αντίθετη της άλλης. Η φορά διαγραφής µεταφέρεται διά των προβολών και τοµών από σχηµατισµό σε σχηµατισµό. 2.6.3 ΤΟ ΑΞΙΩΜΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Εάν ΑΒ είναι ένα τµήµα ενός σχηµατισµού α' βαθµίδας, επί του οποίου έχει ορισθεί µία φορά διαγραφής και αν διαιρεθεί το τµήµα ΑΒ σε δύο µέρη τέτοια ώστε α) κάθε στοιχείο του τµήµατος ΑΒ να ανήκει σε ένα από τα δύο µέρη, β) το Α να ανήκει στο πρώτο µέρος και το Β να ανήκει στο δεύτερο µέρος, γ) ένα τυχόν στοιχείο του πρώτου µέρους να προηγείται του τυχόντος στοιχείου του δευτέρου µέρους, τότε υπάρχει στοιχείο Γ του τµήµατος ΑΒ, το οποίο µπορεί να ανήκει στο ένα από τα δύο τµήµατα, τέτοιο ώστε όλα τα στοιχεία του τµήµατος ΑΒ τα οποία προηγούνται του Γ να ανήκουν στο πρώτο µέρος και όλα τα στοιχεία που έπονται του Γ να ανήκουν στο δεύτερο µέρος. Κάθε πρόταση, η οποία µπορεί να αποδειχθεί διά λογικών συλλογισµών και των ανωτέρω αξιω- µάτων, λέγεται γραφική πρόταση. 11

2.7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 2.7.1 ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Το Σηµείο, η Ευθεία, και το Επίπεδο λέγονται Θεµελιώδεις Γεωµετρικοί Σχηµατισµοί και είναι τα στοιχεία τα οποία σχηµατίζουν, ή θεωρούµε ότι σχηµατίζουν, τα διάφορα γεωµετρικά σχήµατα. Κάθε ένας από αυτούς τους θεµελιώδεις γεωµετρικούς σχηµατισµούς µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι φορέας των δύο άλλων θεµελιωδών σχηµατισµών. Με αυτόν τον τρόπο αποκτάµε τους εξής σχηµατισµούς: 2.7.2 ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ α' ΒΑΘΜΙ ΑΣ α) Σηµειοσειρά λέγεται το σύνολο των σηµείων του χώρου που κείνται επ' ευθείας, η οποία λέγεται φορέας της σηµειοσειράς. β) Επίπεδη δέσµη ακτίνων λέγεται το σύνολο των ευθειών του επιπέδου που διέρχονται διά ση- µείου του επιπέδου το οποίο λέγεται κέντρο ή φορέας της δέσµης. γ) Αξονική δέσµη επιπέδων λέγεται το σύνολο των επιπέδων του χώρου, που διέρχονται διά µιας ευθείας, η οποία λέγεται άξονας ή φορέας της δέσµης. Τα σύνολα αυτά συνιστούν µονοδιαστάτους προβολικούς χώρους, διότι η θέση κάθε στοιχείου σχηµατισµού α' βαθµίδας καθορίζεται πλήρως µε την τιµή µιας προβολικής παραµέτρου. 2.7.3 ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ β' ΒΑΘΜΙ ΑΣ α) Σηµειογενές επίπεδο λέγεται το σύνολο των σηµείων του χώρου που κείνται επί ενός επιπέδου, το οποίο λέγεται φορέας του σχηµατισµού. β) Ευθειογενές επίπεδο λέγεται το σύνολο των ευθειών του χώρου που κείνται επί ενός επιπέδου, το οποίο λέγεται φορέας του σχηµατισµού. γ) Κεντρική δέσµη ακτίνων λέγεται το σύνολο των ευθειών του χώρου που διέρχονται από ένα σηµείο του χώρου, το οποίο λέγεται φορέας της δέσµης. δ) Κεντρική δέσµη επιπέδων λέγεται το σύνολο των επιπέδων του χώρου που διέρχονται από έ- να σηµείο του χώρου, το οποίο λέγεται κέντρο ή φορέας της δέσµης. Τα σύνολα αυτά συνιστούν διδιαστάτους προβολικούς χώρους, διότι η θέση κάθε στοιχείου σχη- µατισµού β' βαθµίδας καθορίζεται πλήρως µε τις τιµές δύο προβολικών παραµέτρων. 12

2.7.4 ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ γ' ΒΑΘΜΙ ΑΣ Σηµειογενής χώρος λέγεται ο χώρος θεωρούµενος ως το σύνολο των σηµείων του. Επιπεδογενής χώρος λέγεται ο χώρος θεωρούµενος ως το σύνολο των επιπέδων του. Τα σύνολα αυτά συνιστούν τριδιαστάτους προβολικούς χώρους, διότι η θέση κάθε στοιχείου σχηµατισµού γ' βαθµίδας καθορίζεται πλήρως µε τις τιµές τριών προβολικών παραµέτρων. 2.7.5 ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ δ' ΒΑΘΜΙ ΑΣ Ευθειακός χώρος λέγεται ο χώρος θεωρούµενος ως το σύνολο των ευθείων του. Το σύνολο αυτό συνιστά τετραδιάστατο προβολικό χώρο, διότι η θέση κάθε στοιχείου καθορίζεται πλήρως µε τις τιµές τεσσάρων προβολικών παραµέτρων. 2.8 ΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΗΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΟΜΗΣ Οι γεωµετρικές πράξεις είναι η προβολή και η τοµή. Προβολή λέγεται η γεωµετρική πράξη διά της οποίας κατασκευάζονται θεµελιώδη γεωµετρικά στοιχεία, τα οποία ορίζονται από ένα σηµείο (κέντρο) ή µία ευθεία (άξονας) και από τα γεωµετρικά στοιχεία τα οποία αποτελούν, ή θεωρούµε ότι αποτελούν, ένα δοθέν γεωµετρικό σχήµα. ιά της προβολής, λοιπόν, δηµιουργείται µία κεντρική δέσµη ακτίνων, κεντρική δέσµη επιπέδων ή αξονική δέσµη επιπέδων, αναλόγως του θεµελιώδους γεωµετρικού στοιχείου δια του οποίου προβάλλεται το δοθέν επίπεδο ή χωρικό γεωµετρικό σχήµα. Τοµή λέγεται η γεωµετρική πράξη διά της οποίας κατασκευάζονται θεµελιώδη γεωµετρικά στοιχεία, τα οποία ορίζονται επί µιας ευθείας ή επί ενός επιπέδου και από τα θεµελιώδη γεωµετρικά στοιχεία τα οποία αποτελούν, ή θεωρούµε ότι αποτελούν, ένα δοθέν γεωµετρικό σχήµα. ιά της τοµής, δηλαδή, δηµιουργείται µία σηµειοσειρά, ένα σηµειογενές επίπεδο ή ένα ευθειογενές επίπεδο. Οι γεωµετρικές ιδιότητες των σχηµάτων της Ευκλειδείου Γεωµετρίας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Στις γραφικές ιδιότητες, οι οποίες αφορούν σε σχέσεις σύµπτωσης διαφόρων γεωµετρικών στοιχείων και στις µετρικές ιδιότητες, οι οποίες αφορούν σε σχέσεις µεταξύ των µέτρων ευθυγράµµων τµηµάτων και των µέτρων γωνιών ενός σχήµατος. Οι ιδιότητες των σχηµάτων του προβολικού χώρου, οι οποίες διατηρούνται (µεταφέρονται) διά των πράξεων των προβολών και το- µών, λέγονται προβολικές ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες περιλαµβάνουν προφανώς τις γραφικές ιδιότητες αλλά και τις µετρικές. Οι µετρικές ιδιότητες, όπως θα δούµε στα επόµενα, είναι συγκαλυµµένες γραφικές ιδιότητες. 13

2.9 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΥΑΣΜΟΥ 2.9.1 ΥΑΣΜΟΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ Από την προσεκτική µελέτη των αξιωµάτων θέσης του τριδιαστάτου χώρου διαπιστώνουµε ότι η µία στήλη των αξιωµάτων µπορεί να παραχθεί από την άλλη αντικαθιστώντας τις λέξεις σηµείο, ευθεία, επίπεδο µε τις λέξεις επίπεδο, ευθεία, σηµείο αντιστοίχως. Από αυτό συµπεραίνουµε ότι αν σε µία γραφική πρόταση αφορώσα σε σχήµατα του τριδιαστάτου χώρου αντικαταστήσουµε τις λέξεις σηµείο και επίπεδο µε τις λέξεις επίπεδο και σηµείο, διατηρώντας την λέξη ευθεία και προσαρµόσουµε την έκφραση καταλλήλως, προκύπτει άλλη γραφική πρόταση, η οποία είναι α- ληθής εφ' όσον και η αρχική είναι αληθής. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΥΑΣΜΟΥ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ίδονται στον χώρο δύο ασύµβατες ευθείες α και β και σηµείο Μ που δεν κείται επί αυτών. Το σηµείο Μ µε κάθε µία των ευθείων α και β ορίζουν τα δύο επίπεδα (Μ,α) και (Μ,β), τα οποία τέµνονται κατά µοναδική ευθεία γ. ίδονται στον χώρο δύο ασύµβατες ευθείες α και β και επίπεδο µ που δεν περιέχει αυτές. Το επίπεδο µ µε κάθε µία των ευθειών α και β ορίζουν τα δύο σηµεία (µ,α) και (µ,β), τα ο- ποία ορίζουν µοναδική ευθεία γ. 2.9.2 ΥΑΣΜΟΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Από την µελέτη των αξιωµάτων θέσης του επιπέδου, (τα δύο πρώτα στον πίνακα), διαπιστώνου- µε ότι η µία στήλη των αξιωµάτων µπορεί να παραχθεί από την άλλη αντικαθιστώντας τις λέξεις σηµείο και ευθεία µε τις λέξεις ευθεία και σηµείο αντιστοίχως. Από αυτό συµπεραίνουµε ότι αν σε µία γραφική πρόταση, αφορώσα σε σχήµατα του επιπέδου, αντικαταστήσουµε τις λέξεις ση- µείο και ευθεία µε τις λέξεις ευθεία και σηµείο αντιστοίχως και προσαρµόσουµε την έκφραση καταλλήλως, προκύπτει νέα γραφική πρόταση, η οποία είναι αληθής εφ' όσον και η αρχική πρόταση είναι αληθής. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΑΣΜΟΥ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Τρία σηµεία που δεν κείνται επί ευθείας ορίζουν ένα τρικόρυφο, το οποίο έχει: τρεις κορυφές (τα δεδοµένα σηµεία) και τρεις πλευρές, τις ευθείες που ορίζουν οι κορυφές ανά δύο. Τέσσερα σηµεία, ανά τρία µη κείµενα επί ευθείας, ορίζουν ένα πλήρες τετρακόρυφο, το Τρεις ευθείες που δεν διέρχονται δια σηµείου, ορίζουν ένα τρίπλευρο, το οποίο έχει: τρεις πλευρές (οι δεδοµένες ευθείες) και τρεις κορυφές, τα σηµεία τοµής των πλευρών ανά δύο. Τέσσερεις ευθείες, ανά τρεις µη διερχόµενες δια σηµείου, ορίζουν ένα πλήρες τετράπλευ- 14

οποίο έχει: τέσσερις κορυφές (τα τέσσερα δεδοµένα σηµεία), έξι πλευρές (τις ευθείες που ορίζουν οι κορυφές ανά δύο) και τρία διαγώνια σηµεία (τα σηµεία τοµής των πλευρών τα οποία δεν είναι κορυφές). ν σηµεία στο επίπεδο, ανά τρία µη κείµενα επί ευθείας, και οι ευθείες που ορίζουν αυτά ανά δύο ορίζουν ένα πλήρες ν-κόρυφο. Τα δεδοµένα σηµεία ονοµάζονται κορυφές και οι ευθείες που ορίζουν αυτά ανά δύο ονοµάζονται πλευρές. Τα σηµεία τοµής των πλευρών ανά δύο, που δεν είναι κορυφές λέγονται διαγώνια σηµεία του ν-κορύφου. ρο, το οποίο έχει: τέσσερις πλευρές (τις τέσσερις δεδοµένες ευθείες), έξι κορυφές (τα σηµεία τοµής των πλευρών ανά δύο) και τρεις διαγώνιες ευθείες (τις ευθείες που ορίζουν οι κορυφές οι οποίες δεν είναι πλευρές). ν ευθείες στο επίπεδο, ανά τρεις µη διερχόµενες δια σηµείου, και τα σηµεία τοµής αυτών ανά δύο ορίζουν ένα πλήρες ν- πλευρο. Οι δεδοµένες ευθείες ονοµάζονται πλευρές και τα σηµεία τοµής αυτών ανά δύο ονοµάζονται κορυφές. Οι ευθείες που ορίζουν οι κορυφές ανά δύο, που δεν είναι πλευρές λέγονται διαγώνιες ευθείες του ν-πλεύρου. 2.9.3 ΥΑΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΣΜΗ Αν από σηµείο του χώρου προβάλουµε τα σχήµατα ενός επιπέδου δηµιουργείται µία κεντρική δέσµη. Οι ακτίνες της δέσµης αντιστοιχούν στα σηµεία του επιπέδου και τα επίπεδα της δέσµης αντιστοιχούν στις ευθείες του επιπέδου. Έτσι η αρχή του δυασµού στο επίπεδο µεταφέρεται στην κεντρική δέσµη, και στις λέξεις ακτίνα και επίπεδο αντιστοιχούν οι λέξεις επίπεδο και ακτίνα της δέσµης. Αν σε µία γραφική πρόταση, αφορώσα σε σχήµατα της κεντρικής δέσµης, αντικαταστήσουµε τις λέξεις ακτίνα και επίπεδο µε τις λέξεις επίπεδο και ακτίνα αντιστοίχως, προκύπτει νέα γραφική πρόταση, η οποία είναι αληθής εφ' όσον και η αρχική πρόταση είναι αληθής. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΥΑΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΣΜΗ Πλήρες ν-ακµο, στην κεντρική δέσµη, λέγεται το σχήµα που αποτελείται από ν ακτίνες της δέσµης, ανά τρεις µη κείµενες επί επιπέδου και τα επίπεδα που ορίζουν αυτές ανά δύο. Οι ακτίνες λέγονται ακµές και τα επίπεδα λέγονται έδρες του ν-άκµου. Πλήρες ν-εδρο, στην κεντρική δέσµη, λέγεται το σχήµα που αποτελείται από ν επίπεδα της δέσµης, ανά τρία µη διερχόµενα δια ευθείας και οι ευθείς τοµής των επιπέδων ανά δύο. Τα επίπεδα λέγονται έδρες και οι ακτίνες λέγονται ακµές ου ν-έδρου. 15

3 ΠΡΟΟΠΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΜΟΛΟΓΑ ΣΧΗΜΑ- ΤΑ 3.1 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ DESARGUES ΟΡΙΣΜΟΣ: ύο ν-κόρυφα θα λέµε ότι είναι συσχετισµένα ή οµόλογα όταν οι κορυφές τους αντιστοιχούν αµφιµονοσηµάντως. ηλαδή, σε κάθε κορυφή του ενός αντιστοιχεί µοναδική κορυφή του άλλου και αντιστρόφως. Οι αντίστοιχες κορυφές λέγονται οµόλογες κορυφές. Οι πλευρές που ενώνουν ζεύγη αντιστοίχων κορυφών λέγονται οµόλογες πλευρές. Τα διαγώνια σηµεία που προκύπτουν ως τοµές οµολόγων πλευρών λέγονται οµόλογα διαγώνια σηµεία. ΟΡΙΣΜΟΣ: ύο ν-κόρυφα λέγονται προοπτικά όταν είναι τοµές του ίδιου ν-ακµου, από δύο διακεκριµένα επίπεδα. ΟΡΙΣΜΟΣ: ύο ν-εδρα λέγονται προοπτικά όταν είναι προβολές του ίδιου ν-πλεύρου, από δύο διακεκριµένα κέντρα. ΟΡΙΣΜΟΣ: ύο πλήρη ν-κόρυφα, κείµενα επί του αυτού επιπέδου λέγονται οµόλογα όταν είναι συσχετισµένα µεταξύ τους κατά τέτοιο τρόπον ώστε οι ευθείες που ενώνουν τις οµόλογες κορυφές και τα οµόλογα διαγώνια σηµεία των να διέρχονται διά του αυτού σηµείου, το οποίο λέγεται κέντρο της οµολογίας. ΟΡΙΣΜΟΣ: ύο πλήρη ν-πλευρα, κείµενα επί του αυτού επιπέδου, λέγονται οµόλογα όταν είναι συσχετισµένα µεταξύ τους κατά τέτοιο τρόπον ώστε οι οµόλογες πλευρές και οι οµόλογες διαγώνιοι να τέµνονται σε σηµεία κείµενα επ' ευθείας, η οποία λέγεται άξονας της οµολογίας. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν δύο τρικόρυφα, που δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, είναι συσχετισµένα έτσι ώστε οι οµόλογες πλευρές τους να τέµνονται, τότε τα τρικόρυφα είναι προοπτικά. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν δύο τρίεδρα, που δεν ανήκουν στην ίδια κεντρική δέσµη, είναι συσχετισµένα έτσι ώστε οι οµόλογες ακµές τους να τέµνονται, τότε τα τρίεδρα είναι προοπτικά. Τα Θεωρήµατα αυτά προκύπτουν το ένα από το άλλο εφαρµόζοντας την αρχή του δυασµού στον χώρο. Αρκεί να αποδείξουµε το Θεώρηµα της µιας στήλης, έστω της αριστερής. 16

Τα τρία ζεύγη των οµολόγων πλευρών των δύο τρικορύφων, ως επίπεδα σχήµατα, τέµνονται σε τρία σηµεία της κοινής ευθείας των δύο επιπέδων των τρικορύφων, (Σχ. 3-1). Τα τρία ζεύγη των οµολόγων πλευρών, ως ευθείες τεµνόµενες, ορίζουν τρία επίπεδα, τα οποία διέρχονται διά σηµείου. Τα τρία αυτά επίπεδα, ανά δύο τέµνονται σε τρείς ευθείες εκάστη των οποίων περιέχει ένα ζεύγος οµολόγων κορυφών. Εποµένως, οι ευθείες αυτές διέρχονται διά σηµείου. Προφανώς, ισχύουν και οι αντίστροφες πρότασεις και έχουµε: ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν δύο τρικόρυφα, που δεν κείνται επί του αυτού επιπέδου, είναι προοπτικά, οι οµόλογες πλευρές τέµνονται ανά ζεύγη σε τρία σηµεία κείµενα επί ευθείας. Σχ. 3-1 ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν δύο τρίεδρα, που δεν ανήκουν στην ίδια κεντρική δέσµη, είναι προοπτικά, τότε οι οµόλογες ακµές ορίζουν ανά ζεύγη τρία επίπεδα διερχόµενα διά της αυτής ευθείας. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν δύο τρικόρυφα κείνται επί του αυτού επιπέδου, δεν έχουν κοινό στοιχείο και είναι συσχετισµένα µεταξύ τους κατά τρόπον ώστε οι οµόλογες πλευρές να τέµνονται σε τρία σηµεία επ' ευθείας, τότε τα τρικόρυφα είναι οµόλογα, δηλαδή, οι ευθείες που συνδέουν τις οµόλογες κορυφές διέρχονται διά του αυτού σηµείου. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν δύο τρίπλευρα κείνται επί του αυτού επιπέδου, δεν έχουν κοινό στοιχείο και είναι συσχετισµένα µεταξύ τους κατά τρόπον ώστε οι οµόλογες κορυφές να ορίζουν ευθείες που διέρχονται διά του αυτού σηµείου, τότε τα τρίπλευρα είναι οµόλογα, δηλαδή, τα σηµεία τοµής των οµολόγων πλευρών κείνται επί ευθείας. Θα αποδείξουµε το Θεώρηµα της αριστερής στήλης, το οποίο λέγεται Θεώρηµα του Desargues. Το Θεώρηµα της δεξιάς στήλης προκύπτει εφαρµόζοντας την αρχή του δυασµού στο επίπεδο. 17

ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Εστωσαν ΑΒΓ και Α'Β'Γ' δύο τρικόρυφα, κείµενα επί του αυτού επιπέδου π, των οποίων τα ζεύγη των οµολόγων (αντιστοίχων) κορυφών είναι τα (Α, Α'), (Β, Β'), (Γ, Γ'). Οι οµόλογες πλευρές των τρικορύφων τέµνονται σε τρία σηµεία Ξ = (ΑΒ, Α'Β'), Η = (ΒΓ, Β'Γ'), Ζ = (ΓΑ,Γ'Α') κείµενα επί της ευθείας ε. Θα δείξουµε ότι τα τρικόρυφα είναι οµόλογα, δηλαδή, οι Σχ. 3-2 ευθείες ΑΑ', ΒΒ', ΓΓ' διέρχονται διά του αυτού σηµείου. Θεωρούµε επίπεδο σ, διερχόµενο διά της ευθείας ε, διάφορο του επιπέδου π στο οποίο κείνται τα δύο τρικόρυφα και έστω σηµείο Κ που δεν ανήκει στα δύο επίπεδα. Οι ευθείες Κ Α, Κ Β, Κ Γ τέµνουν το επίπεδο σ στα σηµεία Α, Β, Γ αντιστοίχως. Έτσι, τα τρικόρυφα Α Β Γ και Α Β Γ είναι προοπτικά. Εποµένως, οι οµόλογες πλευρές τους τέµνονται επί της κοινής ευθείας ε των δύο επιπέδων και συγκεκριµένα, οι πλευρές του τρικορύφου Α Β Γ διέρχονται διά των σηµείων Ξ, Η, Ζ. Τα τρικόρυφα, τώρα, ΑΒΓ και Α Β Γ είναι συσχετισµένα κατά τρόπον ώστε οι αντίστοιχες πλευρές τους να τέµνονται επί της ευθείας ε και ως ανήκοντα σε διαφορετικά επίπεδα είναι προοπτικά. Συνεπώς, οι ευθείες ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ διέρχονται διά του αυτού σηµείου Κ. Εάν προβάλουµε από το σηµείο Κ τα τρικόρυφα ΑΒΓ και Α Β Γ επί του αρχικού επιπέδου, προκύπτουν τα τρικόρυφα ΑΒΓ και Α Β Γ και οι ευθείες ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ προβάλλονται επί των ευθειών ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ. Επειδή δε οι ευθείες ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ διέρχονται διά του αυτού σηµείου και οι προβολές τους ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ θα διέρχονται διά του αυτού σηµείου Κ, το οποίο είναι η προβολή του σηµείου Κ από το Κ. 18

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για την απόδειξη του Θεωρήµατος του Desargues γίνεται χρήση σηµείου το οποίο βρίσκεται εκτός του επιπέδου επί του οποίου κείνται τα οµόλογα τρικόρυφα. ηλαδή θεωρούµε ότι το επίπεδο των τρικορύφων είναι εµβαπτισµένο στον τριδιάστατο χώρο και το Θεώρηµα αυτό δεν αποδεικνύεται µόνο µε τα αξιώµατα θέσης της Προβολικής Γεωµετρίας του επιπέδου. Μία Γεωµετρία του επιπέδου για την οποία ισχύει αυτή η ιδιότητα λέγεται Γεωµετρία του Desargues. Υπάρχουν γεωµετρίες στις οποίες δεν ισχύει το Θεώρηµα του Desargues και λέγονται µη Ντεζαργκιανές Γεωµετρίες. Ο ισχυρισµός αυτός αποδεικνύεται µε την κατασκευή µιας γεωµετρίας για την οποία ισχύουν τα αξιώµατα θέσης αλλά δεν ισχύει αυτό το Θεώρηµα αυτό, το οποίο εποµένως είναι ανεξάρτητο από τα αξιώµατα θέσης. Ας θεωρήσουµε τώρα τις εξής προτάσεις: ΠΡΟΤΑΣΗ D: Θεώρηµα του Desargues. ΠΡΟΤΑΣΗ Π: Θεώρηµα του Πάππου. ΠΡΟΤΑΣΗ Θ: Θεµελιώδες Θεώρηµα της Προβολικής Γεωµετρίας. Υποθέτοντας την ισχύ των αξιωµάτων θέσης, αποδεικνύονται οι εξής προτάσεις: 1) Θ Π. 2) Π και D Θ. 3) D αντίστροφη της D. 4) Π D. 5) Π Θ. 6) Π D, Θ και την αντίστροφη της D. ΟΡΙΣΜΟΙ: Ένα επίπεδο το οποίο ικανοποιεί τα αξιώµατα θέσης και µία από τις προτάσεις D, Π, Θ λέγεται επίπεδο του Desargues, του Πάππου ή κλασικό προβολικό επίπεδο αντιστοίχως. ΘΕΩΡΗΜΑ: Το προβολικό επίπεδο του Πάππου είναι επίπεδο του Desargues και κλασικό. 3.2 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ Το άπειρο πλήθος των σηµείων τα οποία αποτελούν µία ευθεία καθορίζεται από το αξίωµα της συνέχειας. Αν λοιπόν παραλείψουµε το αξίωµα της συνέχειας µπορούµε να κατασκευάσουµε, µόνο µε τα αξιώµατα θέσης, γεωµετρίες µε πεπερασµένο πλήθος σηµείων, µε τις οποίες ασχολήθηκε ο G. Fano το 1892 για πρώτη φορά και οι Ο. Veblen και W. H. Bussey αργότερα (1906). Έχει αποδειχθεί ότι υπάρχουν γεωµετρίες των οποίων οι ευθείες αποτελούνται από ν σηµεία αν ο αριθµός (ν-1) είναι δύναµη πρώτου αριθµού, αλλά δεν είναι γνωστό τι συµβαίνει για άλλες τιµές του ν. Είναι γνωστό ότι για ν = 3, 4, 5, 6, 8 υπάρχει ακριβώς µία προβολική γεωµετρία, για ν = 7 καµµία, για ν = 9 τουλάχιστον µία και για ν = 10 τουλάχιστον τέσσσερις εκ των οποίων µία είναι γεωµετρία του Desargues και οι υπόλοιπες όχι. Για την συστηµατική µελέτη των πεπερασµένων γεωµετριών γίνεται εκτεταµένη χρήση πεπερασµένων αλγεβρικών δοµών, ήτοι θεωρία δακτυλίων και σωµάτων. 1 Η πεπερασµένη γεωµετρία µε 7 σηµεία, τα 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, έχει επτά ευθείες, τις (1,2,4), (2,3,5), (3,4,6), (4,5,7), (5,6,1), (6,7,2), (7,1,3), η κάθε µία από τις οποίες περιέχει ακριβώς τρία σηµεία. 19

2 Η πεπερασµένη γεωµετρία µε 13 σηµεία, 1, 2,..., 13, έχει 13 ευθείες, (1,2,4,10), (2,3,5,11), (3,4,6,12), (4,5,7,13), (5,6,8,1), (6,7,9,2), (7,8,10,3), (8,9,11,4), (9,10,12,5), (10,11,13,6), (11,12,1,7), (12,13,2,8), (13,1,3,9), µε τέσσερα σηµεία στην κάθε µία. 3 Εάν στην γεωµετρία των δεκατριών σηµείων που προαναφέραµε παραλείψουµε µία ευθεία µε τα τέσσερα σηµεία της, έχουµε µία γεωµετρία µε 9 σηµεία και 12 ευθείες µε τρία σηµεία σε κάθε ευθεία. Εάν η ευθεία που αφαιρέθηκε θεωρηθεί ως η επ άπειρον ευθεία, τότε από την προβολική γεωµετρία των 13 σηµείων και των 13 ευθειών λαµβάνουµε µία Ευκλείδεια Γεωµετρία, για την ακρίβεια οµοπαραλληλική γεωµετρία, µε 9 σηµεία και 12 ευθείες. Με τον όρο Ευκλείδεια γεωµετρία εννοούµε ότι από σηµείο εκτός ευθείας άγεται µοναδική ευθεία παράλληλη σε κάποια άλλη και δεν ισχύει η αρχή του δυασµού, διότι δύο σηµεία ορίζουν πάντοτε µίαν ευθεία αλλά δύο ευθείες δεν τέµνονται πάντοτε. 4 Η γεωµετρία µε 9 σηµεία και 9 ευθείες, τις (1,2,3), (1,4,7), (1,5,9), (1,6,8), (2,5,8), (2,4,9), (2,6,7), (3,4,8), (3,5,7), (3,6,9), (4,5,6), (7,8,9), µε τρία σηµεία σε κάθε ευθεία, αποτελεί µία γεωµετρία του Πάππου. Σ αυτήν την γεωµετρία, κάθε δύο ευθείες που δεν έχουν κοινό σηµείο λέγονται παράλληλες. Επίσης, κάθε δύο σηµεία που δεν ορίζουν ευθεία λέγονται επίσης παράλληλα σηµεία. Εδώ ισχύει η αρχή του δυασµού, διότι υπάρχει η παραλληλία στα σηµεία όπως και στις ευθείες. 5 Η πεπερασµένη γεωµετρία που αποτελείται από 10 σηµεία και 10 ευθείες, τις (1,4,10), (2,5,10), (3,6,10), (2,3,7), (4,6,7), (3,1,8), (6,4,8), (1,2,9), (4,5,9), (7,8,9), µε τρία σηµεία η κάθε µία, είναι µία γεωµετρία του Desargues. Σ αυτήν τη γεωµετρία, δύο ευθείες λέγονται παράλληλες εάν δεν έχουν κοινό σηµείο. Ένα σηµείο λέγεται πόλος µιάς ευθείας όταν δεν υπάρχει ευθεία που να ενώνει το σηµείο µε κάποιο σηµείο της ευθείας. Μία ευθεία λέγεται πολική ενός σηµείου όταν οι ευθείες που περνάνε από το σηµείο δεν τέµνουν την ευθεία. Σ αυτήν τη γεωµετρία, που είναι γεωµετρία του Desargues, ισχύει η αρχή του δυασµού, υπάρχει ο µετασχηµατισµός της πόλωσης, είναι γεωµετρία του Lobachevsky υπό την έννοια ότι από σηµείο προς ευθεία άγονται περισσότερες από µία παράλληλες και για την ακρίβεια, τρεις παράλληλες. 6 Αν θεωρήσουµε 25 σηµεία, τα οποία παριστάνουµε µε τα 24 γράµµατα του αλφάβητου και το τελικό ς. Η πεπερασµένη γεωµετρία που έχει 30 ευθείες, τις οριζόµενες από τις γραµµές και στήλες των τριών πινάκων: Α Σ Ι Χ Ξ Ω Λ Γ Υ Η Ρ Ι Φ Ν Ε Ο Β Τ Ζ Ψ Θ ς Μ Π Α Β Γ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω ς Α Ι Μ Υ Ψ Τ Χ Ε Θ Λ Η Ο Σ Φ ς Γ Ζ Ξ Ρ Ν Π Ω Β Κ που περιέχουν 5 σηµεία η κάθε µία και χωρίζονται σε οριζόντιες και κατακόρυφες. Ορίζουµε απόσταση δύο σηµείων που κείνται επί µιας ευθείας ως το ελάχιστο πλήθος διαστηµάτων της ευθείας µεταξύ των δύο σηµείων. ύο ζεύγη σηµείων θα λέµε ότι είναι ισοδύναµα εάν η 20

απόσταση του πρώτου ζεύγους είναι ίση µε την απόσταση του δεύτερου και επί πλέον, είναι και τα δύο ζεύγη οριζόντια ή κατακόρυφα. ύο ευθείες λέγονται κάθετες όταν υπάρχουν δύο σηµεία στην πρώτη τα οποία απέχουν εξ ίσου από όλα τα σηµεία της δεύτερης. Στην γεωµετρία αυτήν ισχύει µεγάλος αριθµός θεωρηµάτων της Ευκλείδειας γεωµετρίας. Αποδεικνύονται τα εξής: Από σηµείο άγεται µοναδική κάθετος σε ευθεία. Τα ύψη ενός τριγώνου διέρχονται δια σηµείου. Οι µεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται δια σηµείου. Οι διάµεσοι ενός τριγώνου τέµνονται σε σηµείο. Τα τρία προηγούµενα σηµεία κείνται επί ευθείας και ορίζουν τµήµατα που έχουν λόγο 2:1. Μπορεί να ορίσει κανείς παραλληλόγραµµα, τετράπλευρα, κύκλους, ελλείψεις, υπερβολές παραβολές, εµβαδά, κλπ και να αποδείξει πολλά από τα αντίστοιχα θεωρήµατα της Ευκλείδειας γεωµετρίας επί αυτών. Οι πεπερασµένες γεωµετρίες έχουν ευρύ πεδίο εφαρµογών στην σχεδίαση κτηρίων στην σχεδίαση υπολογιστών στα γραφικά υπολογιστών και αλλού. 3.3 ΟΜΟΛΟΓΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ 5. Ειδικές περιπτώσεις οµολογίας: Όταν το κέντρο της οµολογίας είναι επ άπειρον σηµείο, η οµολογία λέγεται παράλληλη οµολογία και η διεύθυνση επί της οποίας κείται κέντρο λέγεται διεύθυνση της οµολογίας. Αν σε παράλληλη οµολογία η διεύθυνση της οµολογίας είναι κάθετη στον άξονα η οµολογία λέγεται ορθή οµολογία. Να ορισθεί η διεύθυνση παράλληλης οµολογίας, της οποίας δίδεται ο άξονας, κατά την οποία δοθέν παραλληλόγραµµο µετασχηµατίζεται σε τετράγωνο. 3.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εάν τα τρικόρυφα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι κεντρικώς οµόλογα, µε άξονα οµολογίας κ, να δειχθεί ότι τα σηµεία : (ΑΒ, Α Β), (ΒΓ, Β Γ), (ΓΑ, Γ Α) είναι κορυφές τρικορύφου οµολόγου προς τα δοθέντα, µε τον ίδιο άξονα οµολογίας. 2. Εάν δύο τρικόρυφα είναι οµόλογα προς τρίτο, µε τον ίδιο άξονα οµολογίας, είναι και µεταξύ τους οµόλογα, και τα τρία κέντρα οµολογίας κείνται επ' ευθείας. 3. ίδονται δύο συνεπίπεδες ευθείες, οι οποίες τέµνονται έξω από το χαρτί σχεδίασης και σηµείο Μ του επιπέδου των ευθειών αυτών. Να κατασκευασθεί ευθεία διερχοµένη διά του σηµείου Μ και του κοινού σηµείου των δύο ευθειών. 4. ίνονται δύο συνεπίπεδα ζεύγη ευθειών (ε, ε ) και (η, η ) των οποίων τα σηµεία τοµής Μ=(ε, ε ) και Ν=(η, η ) κείνται έξω από το χαρτί σχεδίασης. Να κατασκευασθεί η ευθεία ΜΝ. 21

4 ΙΠΛΟΣ ΛΟΓΟΣ 4.1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ολα τα ευθύγραµµα τµήµατα στα οποία αναφερόµαστε θεωρούνται προσανατολισµένα ευθύγραµµα τµήµατα. ηλαδή, ΑΒ = - ΒΑ. Επίσης, αν Γ είναι σηµείο συνευθειακό των Α και Β, ισχύει: ΑΒ = ΑΓ + ΓΒ. ΟΡΙΣΜΟΣ: Απλός λόγος, (ΑΒΓ), τριών σηµείων Α, Β, Γ, τα οποία κείνται επί µιας σηµειοσειράς λέγεται η τιµή του λόγου των προσανατολισµένων ευθυγράµµων τµηµάτων (ΑΒΓ) = ΑΓ:ΓΒ. Εάν το σηµείο Γ τείνει στο άπειρο, τότε η τιµή του απλού λόγου, προφανώς, τείνει στο -1, διότι τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και ΓΒ τείνουν να γίνουν ίσα κατ απόλυτη τιµή αλλά είναι αντιθέτου φοράς. Γράφουµε, δηλαδή, συµβολικά: (ΑΒ ) = -1. ΟΡΙΣΜΟΣ: ιπλός λόγος, (ΑΒΓ ), τεσσάρων σηµείων Α, Β, Γ,, τα οποία κείνται επί µιας σηµειοσειράς, λέγεται ο λόγος των δύο απλών λόγων (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ):(ΑΒ ) =. Εάν α, 22 : β, γ, δ είναι οι συντεταγµένες των σηµείων Α, Β, Γ, αντιστοίχως, τότε η τιµή του διπλού λόγου γράφεται (ΑΒΓ ) = :. Με τα τέσσερα σηµεία Α, Β, Γ, λαµβάνουµε 24 διπλούς λόγους, οι οποίοι προκύπτουν από µεταθέτοντας τα τέσσερα αυτά γράµµατα. ΘΕΩΡΗΜΑ: Η τιµή του διπλού λόγου δεν αλλάζει αν αντιµετατεθούν ταυτοχρόνως 1) τα γράµµατα του πρώτου ζεύγους και τα γράµµατα του δευτέρου ζεύγους µεταξύ τους ή 2) το πρώτο ζεύγος µε το δεύτερο ζεύγος, δηλαδή έχουµε: (ΑΒΓ ) = (ΒΑ Γ) = (Γ ΑΒ) = ( ΓΒΑ) = λ. Το Θεώρηµα αποδεικνύεται αναπτύσσοντας τους διπλούς αυτούς λόγους, σύµφωνα µε τον ορισµό που δώσαµε παραπάνω. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν αλλάξουµε µεταξύ τους το πρώτο µε το δεύτερο ή το τρίτο µε το τέταρτο γράµµα, τότε η τιµή του διπλού λόγου από λ γίνεται 1/λ. (ΑΒ Γ) = (ΑΒ ):(ΑΒΓ) = (ΑΒΓ ) -1 = 1/λ. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν αλλάξουµε µεταξύ τους το πρώτο µε το τέταρτο ή το δεύτερο µε το τρίτο γράµµα, τότε η τιµή του διπλού λόγου από λ γίνεται 1-λ. Τα θεωρήµατα αυτά αποδεικνύονται αναπτύσσοντας τους διπλούς λόγους και κάνοντας πράξεις µε τα ευθύγραµµα τµήµατα που εµφανίζονται. Επίσης, µπορεί να γίνει η απόδειξη µε την χρήση

συντεταγµένων. Τα θεωρήµατα αυτά δηµιουργούν σχέσεις ισοδυναµίας µεταξύ των 24 διπλών λόγων και προκύπτουν έτσι οι έξι κλάσεις ισοδυναµίας: (ΑΒΓ ) = (ΒΑ Γ) = (Γ ΑΒ) = ( ΓΒΑ) = λ (ΑΒ Γ) = (ΒΑΓ ) = (Γ ΒΑ) = ( ΓΑΒ) = 1. λ (ΑΓΒ ) = (Β ΑΓ) = (ΓΑ Β) = ( ΒΓΑ) = 1 λ. (ΑΓ Β) = (Β ΓΑ) = (ΓΑΒ ) = ( ΒΑΓ) = (Α ΒΓ) = (ΒΓΑ ) =(ΓΒ Α) = ( ΑΓΒ) = (Α ΓΒ) = (ΒΓ Α) = (ΓΒΑ ) = ( ΑΒΓ) = 1 1 λ λ 1 λ λ λ 1... Εάν δύο από τα τέσσερα σηµεία του διπλού λόγου συµπίπτουν, τότε οι έξι διπλοί λόγοι λαµβάνουν τις τιµές 0, 1, και αντιστρόφως. Θεωρώντας ότι τα τέσσερα σηµεία είναι διακεκριµένα, αναζητάµε την τιµή λ του διπλού λόγου, όταν δύο από τις έξι τιµές, που προκύπτουν από τις µεταθέσεις των τεσσάρων γραµµάτων, συµπίπτουν. Οι λύσεις των εξισώσεων: 1 λ λ =, λ 1 λ, λ λ = = λ 1 δίνουν τιµές του λ η οποία αντικαθιστωµένη στους έξι διπλούς λόγους δίνει τις τιµές: -1, 2 και 1/2. Παρατηρούµε, ότι οι έξι τιµές του διπλού λόγου περιορίζονται στις τρεις αυτές τιµές και η τετράδα των διακεκριµένων αυτών σηµείων, τότε, λέγεται αρµονική τετράδα ή λέµε ότι το ζεύγος (Α, Β) είναι συζυγές αρµονικό ή χωρίζει αρµονικά το ζεύγος (Γ, ). 1 Στην περίπτωση κατά την οποία έχουµε λ = (1 λ ), το λ λαµβάνει την τιµή λ = ( 1± i 3) / 2, δηλαδή το λ λαµβάνει τιµή ίση προς µία των κυβικών ριζών της µονάδας. Οι έξι τιµές του διπλού λόγου περιορίζονται σε δύο, στην περίπτωση αυτή και τα τέσσερα σηµεία λέµε ότι αποτελούν ισαρµονική τετράδα. 4.2 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΠΑΠΠΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ: Θεωρούµε τέσσερις ακτίνες α, β, γ, δ, επίπεδης δέσµης ακτίνων, µε κέντρο το σηµείο Ο. Αν Α, Β, Γ, είναι τα σηµεία τοµής των τεσσάρων αυτών ακτίνων της δέσµης, µε την τυχούσα ευθεία ε του επιπέδου της δέσµης, η οποία δεν διέρχεται διά του κέντρου Ο, τότε ο διπλός λόγος των τεσσάρων αυτών σηµείων είναι ανεξάρτητος από την τέµνουσα ευθεία ε. 23

Λαµβάνουµε κατά σειρά τα προσανατολισµένα εµβαδά (ΟΑΓ), (ΟΓΒ), (ΟΑ ), (Ο Β), των τριγώνων ΟΑΓ, ΟΓΒ, ΟΑ, Ο Β, τα οποία έχουν ως βάση τα προσανατολισµένα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ, ΓΒ, Α, Β αντίστοιχα. Με τον όρο προσανατολισµένο εµβαδόν ενός τριγώνου εννοούµε την απόλυτη τιµή του εµβαδού του τριγώνου, µε πρόσηµο θετικό ή αρνητικό, αναλόγως µε το αν η φορά διαγραφής της περιµέτρου του τριγώνου είναι η αυτή ή η αντίθετη προς την φορά διαγραφής του επιπέδου η οποία έχει ορισθεί ως θετική. Εάν ρ είναι η απόσταση του σηµείου Ο από την ευθεία ε, έχουµε τις σχέσεις: 2 (ΟΑΓ) = ΑΓ ρ = ΟΑ ΟΓ ηµ(α,γ) 2 (ΟΓΒ) = ΓΒ ρ = ΟΓ ΟΒ ηµ(γ,β) 2 (ΟΑ ) = Α ρ = ΟΑ Ο ηµ(α,δ) 2 (Ο Β) = Β ρ = Ο ΟΒ ηµ(δ,β). Αντικαθιστώντας τα τµήµατα ΑΓ, ΓΒ, Α, Β από τις σχέσεις αυτές στην τιµή του διπλού λόγου, έχουµε: ΑΓ Α ηµ ( α, γ ) ηµ ( α, δ ) ( ΑΒΓ ) = : = :. ΓΒ Β ηµ ( γ, β ) ηµ ( δ, β ) Η σχέση αυτή αποδεικνύει ότι ο διπλός λόγος (ΑΒΓ ) των σηµείων Α, Β, Γ,, τα οποία προκύπτουν ως τοµές τεσσάρων δεδοµένων ακτίνων της επίπεδης δέσµης Ο µε τυχούσα ευθεία ε, η οποία δεν διέρχεται διά του κέντρου της δέσµης, δεν εξαρτάται από την τέµνουσα ευθεία, αλλά από την σχετική θέση των ατίνων α, β, γ, δ. Αυτό σηµαίνει ότι αν τµήσουµε την επίπεδη δέσµη µε άλλη ευθεία ζ του επιπέδου της δέσµης, τα τέσσερα σηµεία Α, Β, Γ, που θα προκύψουν από την τοµή της ευθείας ζ µε τις ακτίνες α, β, γ, δ της δέσµης θα έχουν τον ίδιο διπλό λόγο µε αυτόν που έχουν τα σηµεία Α, Β, Γ,, δηλαδή έχουµε: (ΑΒΓ )=(Α Β Γ ). ΟΡΙΣΜΟΣ: Ονοµάζεται διπλός λόγος τεσσσάρων ακτίνων α, β, γ, δ επίπεδης δέσµης ακτίνων µε κορυφή το σηµείο Ο και σηµειώνεται: Ο(αβγδ), ο διπλός λόγος των τεσσάρων σηµείων Α, Β, Γ,, τα οποία προκύπτουν από την τοµή των ακτίνων αυτών µε την τυχούσα ευθεία ε του επιπέδου της δέσµης, η οποία δεν διέρχεται διά της κορυφής της δέσµης. ηλαδή: Ο(αβδγ) = (ΑΒΓ ). ΘΕΩΡΗΜΑ: Ονοµάζεται διπλός λόγος, ξ(πρστ), τεσσάρων επιπέδων π, ρ, σ, τ µιας αξονικής δέσµης επιπέδων, µε άξονα την ευθεία ξ, ο διπλός λόγος των τεσσάρων σηµείων Π, Ρ, Σ, Τ, τα οποία προκύπτουν από την τοµή της αξονικής δέσµης επιπέδων µε τυχούσα ευθεία ε, η οποία δεν συναντά τον άξονα ξ της δέσµης. Για την απόδειξη του Θεωρήµατος αυτού θεωρούµε δύο τυχούσες ευθείες α και α τέµνουσες τα επίπεδα π, ρ, σ, τ της δέσµης στα σηµεία Α, Β, Γ, η µία και Α, Β, Γ, η άλλη και οι οποίες δεν συναντούν τον άξονα ξ της δέσµης των επιπέδων. Θα αποδείξουµε ότι οι δύο διπλοί λόγοι (ΑΒΓ ) και (Α Β Γ ) είναι ίσοι. 24

Εν γένει οι ευθείες α και α είναι ασύµβατες. Θεωρούµε την ευθεία γ=α η οποία τέµνει τα επίπεδα της δέσµης στα σηµεία Α, Β, Γ,. Οι ευθείες α, γ, ως τεµνόµενες είναι συνεπίπεδες και το επίπεδο που αυτές ορίζουν τέµνει την αξονική δέσµη των επιπέδων κατά µία επίπεδη δέσµη ακτίνων. Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, σε αυτήν την επίπεδη δέσµη έχουµε: (ΑΒΓ ) = (ΑΒ Γ ). Επίσης, οι ευθείες γ, α, ως συνεπίπεδες ορίζουν επίπεδο το οποίο τέµνει την αξονική δέσµη των επιπέδων κατά επίπεδη δέσµη ακτίνων. Η δέσµη αυτή τεµνόµενη υπό των ευθειών α και γ δίνει την ισότητα των διπλών λόγων: (ΑΒ Γ ) = (Α Β Γ ). Από τις δύο αυτές ισότητες προκύπτει: (ΑΒΓ ) = (Α Β Γ ). Εκ των ορισµών αυτών και των γεωµετρικών πράξεων της προβολής και τοµής συνεπάγεται αµέσως ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ: Ο διπλός λόγος τεσσάρων στοιχείων σχηµατισµού πρώτης βαθµίδας παραµένει αναλλοίωτος µετά την εφαρµογή πεπερασµένου πλήθους πράξεων προβολής και τοµής. 4.3 ΓΡΑΦΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΕΤΡΑ ΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν Α, Β είναι δύο διαγώνια σηµεία ενός πλήρους τετρακορύφου ΚΛΜΝ και Γ, τα σηµεία τοµής της ευθείας ΑΒ µε το ζεύγος των απέναντι πλευρών του τετρακορύφου που διέρχονται δια του τρίτου διαγωνίου σηµείου, τότε τα σηµεία Α και Β είναι συζυγή αρµονικά των Γ και. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν α, β είναι δύο διαγώνιοι ευθείες ενός πλήρους τετραπλεύρου κλµν και γ, δ οι ευθείες που προκύπτουν εάν ενώσουµε το σηµείο αβ µε το ζεύγος των απέναντι κορυφών του τετραπλεύρου που κείνται επί της τρίτης διαγωνίου ευθείας, τότε οι ακτίνες α και β είναι συζυγείς αρµονικές των γ και δ. Τα θεωρήµατα αυτά είναι δυαστικώς αντίστοιχα, εποµένως αρκεί να αποδείξουµε το θεώρηµα της αριστερής στήλης. Οι σηµειοσειρές ΑΒ και ΛΝ είναι προοπτικές, διότι προκύπτουν ως τοµές της δέσµης Κ(ΑΒΓ ), εποµένως: (ΑΒΓ ) = (ΝΛΡ ), (Σχ. 4.1). Επίσης, οι σηµειοσειρές ΑΒ και ΛΝ είναι προοπτικές, θεωρώντας ότι προκύπτουν ως τοµές της δέσµης Μ(ΑΒΓ ). Εποµένως: (ΒΑΓ ) = (ΝΛΡ ), όπου Ρ είναι το σηµείο τοµής των ευθειών ΚΜ και ΛΝ. Από τις ισότητες αυτές προκύπτει: ( ΑΒΓ ) = ( ΝΛΡ ) = ( ΒΑΓ ) = 1 2 ( ΑΒΓ ) ( ΑΒΓ ) = 1, και επειδή τα σηµεία Γ και δεν ταυτίζονται, η περίπτωση ισότητας του διπλού λόγου µε την Σχ. 4-1 25

µονάδα απορρίπτεται και εποµένως έχουµε: ( ΑΒΓ ) = 1. 4.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να δειχθεί ότι για να είναι ( ΑΒΓ ) = 1 πρέπει και αρκεί να ισχύει: 2 1 1 = +. ΑΒ ΑΓ Α 2. Εάν ( ΑΒΓ ) = 1 και Μ, Ν είναι τα µέσα των τµηµάτων ΑΒ, Γ τότε ισχύουν οι σχέσεις: (ΑΒ)2+(Γ )2=4(ΜΝ)2 και (ΜΑ)2=(ΜΓ)(Μ ). 3. Εάν ( ΑΒΓ ) = 1 και Μ τυχόν σηµείο του κύκλου που έχει ως διάµετρο το τµήµα ΑΓ, η γων(μα,μβ) διχοτοµείται από τις ευθείες Μ και ΜΒ (εσωτερικά και εξωτερικά). 4. Εάν ( ΑΒΓ ) = 1 τότε ο κύκλος µε διάµετρο την Γ τέµνεται ορθογωνίως από τους κύκλους που διέρχονται διά των σηµείων Α και Β. 5. Εάν Α, Β, Γ, κείνται επί ευθείας ε, µε αυτήν την διάταξη, τότε (ΑΒΓ )=-εφ 2 (θ/2), όπου θ είναι η γωνία των δύο κύκλων, µε διαµέτρους τα τµήµατα ΑΒ και Γ. 26

5 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΠΡΩΤΗΣ ΒΑΘΜΙ ΑΣ 5.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: ύο σχηµατισµοί πρώτης βαθµίδας υπάρχει αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων τους και, επί πλέον, ο διπλός λόγος τεσσάρων στοιχείων του ενός σχηµατισµού ισούται µε τον διπλό λόγο των τεσσάρων αντιστοίχων στοιχείων του άλλου, τότε η αντιστοιχία αυτή λέγεται προβολικότητα και οι σχηµατισµοί λέγονται προβολικοί. Ο διπλός λόγος τεσσάρων στοιχείων σχηµατισµού πρώτης βαθµίδας, όπως ήδη έχουµε αποδείξει, παραµένει αναλλοίωτος µετά την εφαρµογή πεπερασµένου πλήθους πράξεων προβολών και τοµών. Από αυτό αµέσως συνάγεται ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ: ύο σχηµατισµοί πρώτης βαθµίδας εκ των οποίων ο ένας προκύπτει από τον άλλο µε πεπερασµένου πλήθους πράξεων προβολής και τοµής είναι προβολικοί. Τούτο διότι, οι γεωµετρικές πράξεις της προβολής και της τοµής διατηρούν την ένα προς ένα αντιστοιχία και τον διπλό λόγο µεταξύ των δύο σχηµατισµών. 5.2 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ. ΘΕΩΡΗΜΑ: Μεταξύ δύο σχηµατισµών πρώτης βαθµίδας υπάρχει µοναδική προβολικότητα κατά την οποία σε τρία δεδοµένα στοιχεία του ενός αντιστοιχούν τρία δεδοµένα στοιχεία του άλλου. Πράγµατι, αν Α, Β, Γ είναι τρία στοιχεία του πρώτου σχηµατισµού και Α, Β, Γ είναι τρία στοιχεία του δεύτερου, αντίστοιχα των τριών στοιχείων του πρώτου, τότε αν είναι το τυχόν στοιχείο του πρώτου σχηµατισµού, το αντίστοιχο αυτού του στοιχείου είναι το γιά το οποίο ισχύει: (ΑΒΓ ) = (Α Β Γ ). Αυτή είναι η σχέση που ορίζει την αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων των δύο σχηµατισµών. ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν δύο προβολικοί σχηµατισµοί πρώτης βαθµίδας υπέρκεινται, τα στοιχεία τα οποία συµπίπτουν κατά θέση µε τα αντίστοιχά τους λέγονται ενωµένα στοιχεία. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εάν µεταξύ δύο προβολικών υπερκειµένων σχηµατισµών πρώτης βαθµίδας υπάρχουν τρία ενωµένα στοιχεία, η προβολικότητα είναι ταυτότητα. 27

Πράγµατι, αν (Α, Α ), (Β, Β ), (Γ, Γ ) είναι τα τρία ζεύγη αντιστοίχων στοιχείων, τα οποία συµπίπτουν, δηλαδή Α Α, Β Β, Γ Γ, τότε για το τυχόν τέταρτο ζεύγος (, ) ισχύει η σχέση: (ΑΒΓ ) = (Α Β Γ ). Αλλά, αφού τα τρία ζεύγη συµπίπτουν και οι διπλοί λόγοι είναι ίσοι, θα συµπίπτει και το τέταρτο ζεύγος, άρα:. Από το Θεώρηµα αυτό συµπεραίνουµε ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ: Μία προβολικότητα µεταξύ δύο υπερκειµένων σχηµατισµών πρώτης βαθµίδας έχει το πολύ δύο ζεύγη ενωµένων στοιχείων. ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν µία προβολικότητα µεταξύ δύο υπερκειµένων σχηµατισµών πρώτης βαθµίδας έχει δύο διακεκριµένα, ένα ή κανένα ενωµένα στοιχεία θα λέγεται υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία προβολικότητα µεταξύ δύο υπερκειµένων σχηµατισµών πρώτης βαθµίδας θα λέγεται οµόρροπος εάν σε δεδοµένη φορά διαγραφής του ενός φορέα αντιστοιχεί η ίδια φορά διαγραφής και του δευτέρου. Εάν όµως σε δεδοµένη φορά διαγραφής του ενός φορέα αντιστοιχεί η αντίθετος φορά διαγραφής του άλλου, η προβολικότητα λέγεται αντίρροπος. ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε αντίρροπος προβολικότητα είναι υπερβολική, ενώ κάθε παραβολική ή ελλειπτική προβολικότητα είναι οµόρροπος. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Υπάρχουν οµµόροπες προβολικότητες οι οποίες είναι υπερβολικές. ΟΡΙΣΜΟΣ: ύο οµώνυµοι σχηµατισµοί πρώτης βαθµίδας λέγονται προοπτικοί όταν είναι προβολές ή τοµές του ίδιου ετερώνυµου σχηµατισµού. ΟΡΙΣΜΟΣ: ύο ετερώνυµοι σχηµατισµοί πρώτης βαθµίδας λέγονται προοπτικοί όταν ο ένας προκύπτει από τον άλλο διά προβολής ή τοµής. ΘΕΩΡΗΜΑ: ύο προβολικές σηµειοσειρές, των οποίων οι φορείς τέµνονται, είναι προοπτικές εάν και µόνον εάν το κοινό σηµείο των σηµειοσειρών αντιστοιχεί στον εαυτό του κατά την προβολικότητα αυτή. ΘΕΩΡΗΜΑ: ύο προβολικές επίπεδες δέσµες ακτίνων, οι οποίες κείνται επί του αυτού επιπέδου, είναι προοπτικές εάν και µόνον εάν η κοινή ακτίνα των δύο δεσµών αντιστοιχεί στον εαυτό της κατά την προβολικότητα. Αποδεικνύουµε το Θεώρηµα της αριστερής στήλης. Εάν οι σηµειοσειρές είναι προοπτικές τότε ως τοµές της ίδιας δέσµης ακτίνων, το κοινό σηµείο αντιστοιχεί στον εαυτό του. Αντιστρόφως, εάν το κοινό σηµείο αντιστοιχεί στον εαυτό του, θεωρούµε το σηµείο τοµής Ο των ευθειών ΑΑ και ΒΒ. Τότε, στο Ο έχουµε δύο υπερκείµενες προβολικές δέσµες, των οποίων τρία ζεύγη 28

αντιστοίχων ακτίνων συµπίπτουν, εποµένως συµπίπτουν όλα τα ζεύγη, άρα όλες οι ευθείες διέρχονται διά του Ο. 5.3 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΥΟ ΣΗΜΕΙΟΣΕΙΡΩΝ Εάν δοθούν τρία ζεύγη αντιστοίχων σηµείων, (Α, Α ), (Β, Β ), (Γ, Γ ), εκ των οποίων τα σηµεία Α, Β, Γ κείνται επί σηµειοσειράς σ και τα σηµεία Α, Β, Γ κείνται επί σηµειοσειράς σ, η οποία είναι διάφορη της σ, θεωρούµε την ευθεία ΑΑ και επί αυτής δύο σηµεία Ο και Ο. Από το Ο προβάλουµε την σηµεισειρά σ και προκύπτει η δέσµη ακτίνων Ο(ΑΒΓ...) και από το Ο προβάλουµε την σηµειοσειρά σ και προκύπτει η δέσµη ακτίνων Ο (Α Β Γ...). Οι δέσµες αυτές είναι προβολικές διότι προβάλουν τις προβολικές σηµεισειρές σ και σ, επιπλέον δε, η κοινή ακτίνα αντιστοιχεί στον εαυτό της, ΟΑ Ο Α. Εποµένως, οι δέσµες είναι προοπτικές και οι αντίστοιχες ακτίνες θα τέµνονται επί ευθείας. Για το τυχόν σηµείο της σηµειοσειράς σ, φέροµε την ευθεία Ο, η οποία τέµνει τον άξονα προοπτικότητας στο δηµείο δ. Η ευθεία δο τέµνει την σηµειοσειρά σ στο σηµείο, το οποίο είναι αντίστοιχο του κατά την δοθείσα προβολικότητα. Σχ. 5-1 29

5.4 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΥΟ ΠΡΟΒΟΛΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΟΣΕΙΡΩΝ Εάν στην κατασκευή της προηγουµένης παραγράφου, αντί να λάβουµε τυχόντα σηµεία Ο και Ο επί της ευθείας ΑΑ, λάβουµε τα σηµεία αυτά έτσι ώστε το Ο να συµπίπτει µε το Α και το Ο µε το Α, τότε η ευθεία που κατασκευάζεται ως άξονας προοπτικότητας των δύο δεσµών λέγεται άξονας προβολικότητας των δύο σηµειοσειρών. Εποµένως, ο άξονας κ της προβολικότητας ορίζεται από τα σηµεία τοµής των ζευγών ευθειών (ΑΒ, Α Β), (ΑΓ,Α Γ). Γιά την κατασκευή του σηµείου της σηµειοσειράς σ, αντιστοίχου του Σχ. 5-2 τυχόντος σηµείου της σηµειοσειράς σ, συνδέοµε το σηµείο µε το Α, η ευθεία Α τέµνει τον άξονα της προβολικότητας στο σηµείο δ και προβάλουµε το δ από το σηµείο Α στην ευθεία σ. Το σηµείο αυτό είναι το, αντίστοιχο του κατά την δοθείσα προβολικότητα. ΘΕΩΡΗΜΑ: Ο άξονας της προβολικότητας µεταξύ δύο συνεπιπέδων σηµειοσειρών είναι ανεξάρτητος του ζεύγους (Α, Α ), το οποίο χρησιµοποιήθηκε για την κατασκευή του. Εάν η προβολικότητα δεν είναι προοπτικότητα, ο άξονας κ της προβολικότητας τέµνει τις σηµειοσειρές σ και σ στα σηµεία Κ και Λ αντίστοιχα. Εάν καλέσουµε Κ =Λ το κοινό σηµείο των δύο σηµειοσειρών, τότε το σηµείο Κ της σηµειοσειράς σ έχει ως αντίστοιχο κατά την προβολικότητα το σηµείο Κ της σηµειοσειράς σ, το οποίο είναι το κοινό σηµείο των δύο ευθειών. Επίσης, το κοινό σηµείο Λ των δύο σηµειοσειρών, θεωρούµενο ότι ανήκει στην σηµειοσειρά σ, έχει προβολικώς αντίστοιχο το σηµείο Λ, το σηµείο τοµής του άξονα κ µε την ευθεία σ. ηλαδή, ο άξονας κ διέρχεται διά των σηµείων Κ και Λ, τα οποία, το µεν πρώτο έχει ως αντίστοιχο το κοινό σηµείο των δύο ευθειών και το κοινό σηµείο των δύο ευθειών έχει ως αντίστοιχο το σηµείο τοµής του άξονα µε την ευθεία σ. 30