Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Κβαντομηχανική Ι Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζειρ IV: Χπονική εξέλιξη Η ηειεπηαία αξρή ηεο Κβαληηθήο Μεραληθήο δειώλεη όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε xt ζην ρξόλν κέζσ ηεο εμίζσζεο Η ιύζε ηεο (4.1) δίδεηαη σο Με ην ζύκβνιν exp e e x t Απηό ηζρύεη γηα νπνηαδήπνηε θαηάζηαζε x0. 1. Χπονική εξέλιξη κςμαηοζςνάπηηζηρ εμειίζζεηαη xt i (4.1) t iht x t e x0 όπνπ έλαο ηειεζηήο ζπκβνιίδνπκε ηελ άπεηξε ζεηξά (4.) 1 1 3 1... (4.3)! 3! j! Υπάξρεη κηα ζεκαληηθή απινπνίεζε ζηελ (4.) όηαλ ε x0 είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο Hiltoi έζησ x x δίλεη: 0. Σε απηή ηελ πεξίπησζε ν ζπλδπαζκόο ησλ (4.) θαη (4.3) j j it 1 it! x t 1... x Δθόζνλ ε x είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο ζα έρνπκε x E x (4.4) θαη επνκέλσο ν γεληθόο όξνο ζηελ (4.4) Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (4.4) παίξλνπκε j j 1 i t 1 iet x j! j! ie t 1 ie t! x x t 1... x Σειίδα 1 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
ie t x t e x e i t x (4.5) όπνπ γξάςακε E γηα ζπληνκία. Απηή είλαη ε εμίζσζε πνπ δίλεη ηελ ρξνληθή κεηαβνιή κηαο ηδηνζπλάξηεζεο ηεο Hiltoi x. Καη εθόζνλ θάζε θπκαηνζπλάξηεζε κπνξεί λα γξαθηεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηεο κπνξνύκε εύθνια λα βξνύκε ηε ρξνληθή εμέιημε ηεο ηπραίαο x0 γξάθνληαο ηε σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηεο Ĥ έζησ x : x c x 0 Οη ζπληειεζηέο c όπσο μέξνπκε δίδνληαη από ηελ έθθξαζε Δπνκέλσο ρξόλν t αξγόηεξα ζα έρνπκε: θαη ηειηθά: (4.6) 0 c x x dx ih t iht iet x t e c x c e x c e x Με ιόγηα: από ηε ζηηγκή πνπ έρνπκε ηελ x0 ε θπκαηνζπλάξηεζε ζε ρξόλν t xt όπνπ i t x t c e x (4.7) σο άπεηξε ζεηξά ησλ x δίδεηαη σο: x t c t x κε ζπληειεζηέο c (4.8) c t c e Σηελ (4.9) αληηθαηαζηήζακε ηηο αξρηθέο ζηαζεξέο c κε ην ζύκβνιν είλαη νη ζηαζεξέο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ x0. i t 0 (4.9) 0 c γηα λα δείμνπκε όηη Δπνκέλσο ην αλάπηπγκα (4.6) παξακέλεη κε ηε κνξθή ηεο (4.8) όπσο ηώξα νη ζπληειεζηέο είλαη ζπλαξηήζεηο ηνπ ρξόλνπ. Η εμίζσζε (4.8) δίλεη πξνθαλώο ηελ εμέιημε ζην ρξόλν νπνηαζδήπνηε θπκαηνζπλάξηεζεο x0. Σεκείσζε: βιέπνπκε όηη ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο δελ εμαξηάηαη από ην ρξόλν όηαλ ε θπκαηνζπλάξηεζε είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο Hiltoi: x t xe i t i x t x e t x x0 c t Σειίδα από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
Αληίζεηα όηαλ ε θπκαηνζπλάξηεζε δελ είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο Hiltoi ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο κεηαβάιιεηαη ζην ρξόλν. Έζησ έλα απιό ζύζηεκα πνπ είλαη ππέξζεζε δπν ηδηνζπλαξηήζεσλ ηεο ηηο θαη κε ηδηνηηκέο E θαη x c x d x 0 E αληίζηνηρα: Σε ρξόλν t ζα έρνπκε: x t ce i t x de i t x όπνπ E E. Θεσξώληαο γηα απινπνίεζε όηη cd ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο ζα είλαη: i t i t i t i x t c t x d x cde e x x cde e x x F x Gxcos t Σην ηειεπηαίν βήκα απιώο ζπκβνιίδνπκε ηελ εμάξηεζε από ην x κε δπν ζπλαξηήζεηο Gx. Βιέπνπκε όηη ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ.. Χπονική εξέλιξη θςζικών μεγεθών Από ην ζεώξεκα ηεο κέζεο ηηκήο ε κέζε ηηκή κηαο θπζηθήο πνζόηεηαο ζε ρξόλν t δίδεηαη από ηελ έθθξαζε: Σηελ απιή πεξίπησζε πνπ x x ηδηνζπλάξηεζε ηεο Hiltoi) ζα έρνπκε ιόγσ ηεο (4.4) θαη άξα Fx θαη t t x t x t dx (4.10) 0 (δει. ε θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη θάπνηα x t i t x e i t i t e x e t x dx x xdx 0 Δπνκέλσο ζε έλα ζύζηεκα πνπ έρεη σο θπκαηνζπλάξηεζε κηα ηδηνζπλάξηεζε ηεο Hiltoi ε κέζε ηηκή κάθε θπζηθήο πνζόηεηαο δηαηεξείηαη αλαιινίσηε. Απηό δελ ηζρύεη ζε ζπζηήκαηα ησλ νπνίσλ ε θπκαηνζπλάξηεζε είλαη ππέξζεζε ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηεο. Από ηελ (4.8) έρνπκε: όπνπ ην ζύκβνιν t c t x c t x dx νξίδεηαη σο c t c t x x dx (4.11) t c tc t Σειίδα 3 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
x θαη εθόζνλ ην νινθιήξσκα είλαη νξηζκέλν ην x dx είλαη απιώο έλαο αξηζκόο. Μπνξνύκε εύθνια λα επηβεβαηώζνπκε όηη όηαλ νη x είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο θαη ηνπ έζησ κε ηδηνηηκή Σε απηή ηελ πεξίπησζε: x x dx t c tc t c t c 0 0 θαη επνκέλσο ε κέζε ηηκή ηνπ δηαηεξείηαη ζην ρξόλν. Παξαηεξνύκε πσο όηαλ ν Â θαη ε Ĥ έρνπλ θνηλέο ηδηνζπλαξηήζεηο ηόηε ε κέζε ηηκή ηνπ A δηαηεξείηαη ζην ρξόλν: A t 3. Γενικόρ ηύπορ σπονικήρ εξέλιξηρ μέζηρ ηιμήρ Παξαγσγίδνληαο ηελ (4.10) παίξλνπκε: Φξεζηκνπνηώληαο ηελ ρξνληθή εμέιημε ηεο : A 0 d t dx t t t i i t t Μπνξνύκε λα αληηθαηαζηήζνπκε ηηο παξαγώγνπο σο πξνο ην ρξόλν παίξλνληαο: d i i t t i t dx d t i t dx dx (4.1) Από ηελ (4.1) βιέπνπκε όηη γηα λα δηαηεξείηαη κηα θπζηθή πνζόηεηα ζα πξέπεη α) λα κελ εμαξηάηαη απεπζείαο από ην ρξόλν (πξνθαλέο) β) ν ηειεζηήο ηεο λα κεηαηίζεηαη κε ηελ Hiltoi: 0 Σε απηή ηελ πεξίπησζε d t t 0 σταθερά Σειίδα 4 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
Πσο ζπλάδεη απηό κε ην πξνεγνύκελν απνηέιεζκα όηη όηαλ ν έρεη θνηλέο ηδηνθαηαζηάζεηο κε ηνλ t 0 ; Θα απνδείμνπκε αξγόηεξα πσο όηαλ δπν ηειεζηέο κεηαηίζεληαη ηόηε έρνπλ θνηλέο ηδηνζπλαξηήζεηο (θαη ην αληίζεην). 4. Παπαδείγμαηα σπονικήρ εξέλιξηρ θςζικών ποζοηήηων Δθαξκόδνπκε ηελ εμίζσζε (4.1) γηα κεξηθέο γλσζηέο θπζηθέο πνζόηεηεο. 4.1. Γηα x έρνπκε: d x x i p V x x t p 1 1 1 V x x p x Vx x p px px p p i i p Καη επνκέλσο Τειηθά παίξλνπκε: ip x d x i i p p Σεκεηώλνπκε πσο γηα λα ηζρύεη ε (4.13) πξέπεη λα ηζρύεη Ο κεηαζέηεο xp ππνινγίδεηαη κε εθαξκνγή ζε κηα ηπραία p x 0 δει. πξέπεη f x : px 0. (4.13) θαη άξα d d dx dx df d df df ix i xf ix ix if x dx dx dx dx xp f x x i f x i x f x xp i 4.. Γηα p δηαθξίλνπκε δπν πεξηπηώζεηο: α) Διεύζεξν ζσκάηην: V x p 0 p 1 d p p p p p 0 0 δει. βιέπνπκε όηη ε κέζε νξκή δηαηεξείηαη (πξώηνο λόκνο ηνπ Νεύησλα). β) Με ηελ παξνπζία δπλακηθνύ: Σειίδα 5 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
p V p V xp V xp i x V x p df d df df dv f x V xi i V x f x i V i V i f x dx dx dx dx dx Γηα πξαγκαηηθά θιαζζηθή θίλεζε ζα ιέγακε d p p i V V i t x x d x F x θαη όρη F x Αλαπηύζζνληαο ζε ζεηξά Tylor γύξσ από ην ζεκείν x 1 F x F x F x x x F x x x... 1 F x F x 0 F x x... Βιέπνπκε πσο όηαλ νη δηαθπκάλζεηο ηνπ x (όπσο κεηξώληαη από ηε δηαζπνξά επνκέλσο βξηζθόκαζηε ζην θιαζζηθό όξην έρνπκε F x F x. 4.3. Έζησ ν ηειεζηήο ηεο νκνηηκίαο πνπ νξίδεηαη από ηελ εμίζσζε: f x f x Οη ηδηνηηκέο θαη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ βξίζθνληαη κε επίιπζε ηεο εμίζσζεο: Γξώληαο ζηελ (4.14) κε ηνλ : f x f x f x f x f x f x f x x ) είλαη κηθξέο θαη f x f x (4.14) 1 1 Για 1: Για 1: g x g x g x άρτια σσνάρτηση g x g x g x περιττή σσνάρτηση θαη επνκέλσο νη ηδηνηηκέο ηνπ ηειεζηή ηεο νκνηηκίαο είλαη 1 θαη 1 νη δε αληίζηνηρεο ηδηνζπλαξηήζεηο είλαη όιεο νη άξηηεο ζπλαξηήζεηο (γηα ην 1) θαη όιεο νη πεξηηηέο ζπλαξηήζεηο (γηα ην 1). Πόηε δηαηεξείηαη ε νκνηηκία; 1 p x V Ο πξώηνο όξνο ππνινγίδεηαη εύθνια: Σειίδα 6 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
p 0 Ο δεύηεξνο όξνο ππνινγίδεηαη κε ηε δξάζε ζε κηα ηπραία V x f x Vf x V x f x f x : Σειίδα 7 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ V x f x V x f x V x V x f x Αλ ηώξα V x V x ηόηε ζεκεηώλνπκε όηη κπνξεί λα γξαθηεί σο V x d 0 θαη 0 Γηα λα εθαξκόζνπκε ηα σο άλσ θηηάρλνπκε έλα απεηξόβαζν πεγάδη πνπ είλαη ζπκκεηξηθό σο πξνο L L ην x 0 δει. εθηείλεηαη ζην. Απηό ην θαηαθέξλνπκε μεθηλώληαο από ην απεηξόβαζν πεγάδη ηνπ 0 L θαη θάλνληαο ηελ αιιαγή κεηαβιεηήο: L si x si L x x x si x L L L Γηαθξίλνπκε δπν πεξηπηώζεηο αλάινγα κε ην αλ ν αθέξαηνο είλαη άξηηνο ή πεξηηηόο. x x Γηα si si L L x x Γηα 1 si cos L L θαη επνκέλσο νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο είλαη ηεο κνξθήο 1 1 x x cos για περιττούς 1 και L x L x si για ζσγούς Δθαξκόδνληαο ηα σο άλσ βιέπνπκε όηη όλησο x x cos L L Παξάδεηγκα: έζησ ζσκάηην ζε ζπκκεηξηθό απεηξόβαζν πεγάδη κε εύξνο L κε θπκαηνζπλάξηεζε: Η κέζε ηηκή ηεο νκνηηκίαο δίδεηαη σο x x 7 x0 7si cos L L L x x 1 50 x 7 1 49 1 4 1 1 50 50 50 50 5
Σε ρξόλν t ε θπκαηνζπλάξηεζε δίδεηαη σο: θαη επνκέλσο 7 1 1 50 50 i t i 1t x t e e 49 1 4 t 50 50 5 1 1 θαη πξνθαλώο ε t είλαη ζηαζεξή. Σεκεηώλεηαη όηη ην θαηλόκελν ηεο δηαηήξεζεο ηεο νκνηηκίαο παξαηεξείηαη ζηνλ θόζκν ησλ ζσκαηηδίσλ. Η νκνηηκία ελόο ζπζηήκαηνο όηαλ νη αληίζηνηρεο αιιειεπηδξάζεηο (θαη επνκέλσο ην «δπλακηθό») είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ην x δηαηεξείηαη. 4.4. Μέηπηζη δςο διαθοπεηικών ανεξάπηηηων θςζικών μεγεθών. Έζησ δπν θπζηθέο πνζόηεηεο θαη πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο (εξκηηηαλνύο) ηειεζηέο θαη αληίζηνηρα. Έζησ όηη νη ηδηνζπλαξηήζεηο θαη ηδηνηηκέο ηνπο είλαη σο εμήο: f x f x g x g x Θεσξνύκε ηηο f1 x f x g1 x g x θαλνληθνπνηεκέλεο. Έζησ επίζεο όηη δίδνληαη ε fj x ζπλαξηήζεη ησλ g x : i δειαδή νη ζηαζεξέο c1... c 4 είλαη γλσζηέο. f x c g x c g x 1 1 1 f x c g x c g x 3 1 4 Δπίζεο γλσξίδνπκε ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο ηόηε κπνξνύκε λα γξάςνπκε: f x x x 1 1 f x x x 1 (4.15) όπνπ 1. Θεσξνύκε ηώξα έλα ζύζηεκα πνπ έρεη θπκαηνζπλάξηεζε x Cf x Df x 1 α) Μεηξάκε ηελ πνζόηεηα. Τη ζα βξνύκε; Η απάληεζε είλαη πξνθαλήο: με με p C p D 1 1 β) Αλ δελ κεηξήζνπκε ην αιιά ην ηη ζα βξνύκε; Γξάθνπκε ηελ x σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηνπ : Σειίδα 8 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
x C c1g1 x cg x D c3g1 x c4g x Cc Dc g x Cc Dc g x 1 3 1 4 θαη άξα ζα βξνύκε: με p Cc Dc ή με p Cc Dc 1 1 1 3 4 γ) Μεηξάκε ην θαη βξίζθνπκε. Ακέζσο κεηά κεηξάκε ην. Τη βξίζθνπκε; x f x c g x c g x 3 1 4 θαη άξα ζα βξνύκε με p c ή με p c 1 1 3 4 δ) Μεηξάκε ην θαη κεηά πεξηκέλνπκε ρξόλν t. Ξαλακεηξάκε ην ηη βξίζθνπκε; Γελ γλσξίδνπκε ηε δξάζε ηνπ Ĥ ζηελ ζπλδπαζκό ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηεο Ĥ. Δπνκέλσο ε) Μεηξάκε ηελ ελέξγεηα E ηη ζα βξνύκε; it x f x x t e f x 0??? 1 1 f x. Οπόηε πξέπεη λα γξάςνπκε ηελ f i 1t i t x t e x e x 1 i 1t ή E με pe E με p E e ζη) Παξόκνηα κεηξάκε ηελ ηη ζα βξνύκε; Αληηζηξέθνπκε ηηο (4.15) γηα λα βξνύκε ηηο x σο γξακκηθό 1 x θαη ζπλαξηήζεη ησλ f1 x 1 θαη x x f x f x x f x f x 1 1 1 i 1t it 1 1 i1 t it i1 t it e e f1 x e e fx x t e f x f x e f x f x Η πηζαλόηεηα ε κέηξεζε λα δώζεη 1 είλαη ην κέηξν (ηεηξάγσλν) ηνπ ζπληειεζηή ηεο i1 t it i1 t it i1 t it p 1 e e 1 1 e e e e cos t Η αληίζηνηρε πηζαλόηεηα ε κέηξεζε λα δώζεη είλαη: f x : f1 x : Σειίδα 9 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
Δπαιήζεπζε όηη p p 1 1 1 i t i t 4 4 i t i t i t i t p e e e e e e 4 4 cos t : 1 1 4 4 p 1 p 1 Σειίδα 10 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ
5. Μαθημαηικό ζςμπλήπωμα Ιδηόηεηεο ησλ κεηαζεηώλ: 1. Απόδεημε:. Απόδεημε: 3. Απόδεημε: B 4. 0 (πξνθαλέο) f 0 f c c... c 5. 0 Απόδεημε: ε (5) είλαη άκεζε εθαξκνγή ηεο (4). Σειίδα 11 από ζύλνιν 11 ζειίδσλ