(x i p i )g i (x), g i (p) = f x i (p).

Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος Χώρος Σύνοψη Ο Ευκλείδειος χώρος R n αποτελεί το βασικό παράδειγμα μιας πολλαπλότητας, συνεπώς απαιτείται μια καλή κατανόηση της έννοιας της διαφορισιμότητας μιας συνάρτησης στον R n, καθώς και αυτής του εφαπτόμενου διανύσματος. Οι έννοιες αυτές θα επεκταθούν αργότερα στις πολλαπλότητες. Θα μελετήσουμε εφαπτόμενα διανύσματα και διανυσματικά πεδία στον R n ως παραγωγίσεις. Επιπλέον, θα περιγράψουμε τα δυϊκά αντικείμενα των διανυσματικών πεδίων που είναι οι διαφορικές μορφές. Χρησιμοποιώντας διαφορικές μορφές είναι δυνατόν να δοθεί μια ενοποιημένη παρουσίαση των θεμελιωδών θεωρημάτων του διανυσματικού λογισμού. Οι βασικές αναφορές μας είναι τα βιβλία [1], [2], [4], [5], [7] και [8]. Για πιο προχωρημένη άποψη παραπέμπουμε στα βιβλία [3] και [6]. Προαπαιτούμενη γνώση Διαφορικός λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, βασική γραμμική άλγεβρα. 1.1 Λείες συναρτήσεις σε Ευκλείδειο χώρο Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο R n και γράφουμε τις συντεταγμένες του ως x 1,..., x n. Για την περίπτωση των R 2 και R 3 γράφουμε x, y και x, y, z αντίστοιχα. Εστω p = (p 1,..., p n ) ένα σημείο σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του R n. Ορισμός 1.1. Εστω k ένας μη αρνητικός ακέραιος. Μια πραγματική συνάρτηση f : U R ονομάζεται κλάσης C k στο p U, εάν οι μερικές παράγωγοι j f x i 1 x i j όλων των τάξεων j k υπάρχουν και είναι συνεχείς στο p. Η συνάρτηση f : U R ονομάζεται κλάσης C (ή λεία) στο p, εάν είναι κλάσης C k για κάθε k 0. Μια διανυσματική συνάρτηση f : U R m ονομάζεται κλάσης C k στο p U, εάν όλες οι συνιστώσεις συναρτήσεις 1 f 1,..., f m της f είναι κλάσης C k στο p. Η f : U R m ονομάζεται κλάσης C k στο U εάν είναι κλάσης C k σε κάθε σημείο p U. Παρόμοια, ορίζεται μια συνάρτηση f : U R m να είναι C (ή λεία) στο U. Συμβολίζουμε με C (U) το σύνολο όλων των λείων συναρτήσεων στο ανοικτό U. 1 Αυτές είναι οι συναρτήσεις f i = π i f, όπου π i : R m R είναι η i-προβολή.

2 Ο Ευκλείδειος Χώρος Μια περιοχή ενός σημείου p R n είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του R n το οποίο περιέχει το σημείο p. Στην μαθηματική ανάλυση συναντάμε και την έννοια της αναλυτικής συνάρτησης σε ένα σημείο p, ως την πραγματική συνάρτηση η οποία σε μια περιοχή του p ισούται με το ανάπτυγμα Taylor αυτής. Μια αναλυτική συνάρτηση είναι κλάσης C, αλλά το αντίστοφο δεν ισχύει γενικά. Ενα παράδειγμα είναι η συνάρτηση f : R R με f(x) = e 1/x για x > 0 και f(x) = 0 για x 0. Εμείς θα χρειαστούμε το εξής θεώρημα Taylor με υπόλοιπο για συναρτήσεις κλάσης C, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε σε βιβλία μαθηματικής ανάλυσης. Ενα υποσύνολο του S του R n ονομάζεται αστεροειδές ως προς ένα σημείο p S, εάν για κάθε x S το ευθύγραμμο τμήμα από το p στο x βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο S. Πρόταση 1.1. (Θεώρημα Taylor). Εστω U ένα ανοικτό υποσύνολο του R n το οποίο είναι αστεροειδές ως προς το σημείο p = (p 1,..., p n ) και έστω f : U R μια λεία (δηλ. κλάσης C ) συνάρτηση. Τότε υπάρχουν συναρτήσεις g 1 (x),... g n (x) C (U) ώστε να ισχύει f(x) = f(p) + n i=1 (x i p i )g i (x), g i (p) = f x i (p). 1.2 Εφαπτόμενα διανύσματα στον R n ως παραγωγίσεις Στη στοιχειώδη διαφορική γεωμετρία ορίζουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο p μιας επιφάνειας M στον R 3 ως ένα σημείο του εφαπτόμενου επιπέδου της M στο p. Το εφαπτόμενο επίπεδο μπορεί να οριστεί διαισθητικά ως εξής: Θεωρούμε όλα τα επίπεδα που διέρχονται από τρία σημεία της επιφάνειας M. Καθώς τα τρία αυτά σημεία πλησιάζουν το σημείο p, εάν τα αντίστοιχα επίπεδα στα οποία βρίσκονται πλησιάζουν σε ένα οριακό επίπεδο έστω Π, τότε το επίπεδο Π ονομάζεται το εφαπτόμενο επίπεδο της M στο p. Ο ορισμός όμως αυτός προϋποθέτει ότι η επιφάνεια βρίσκεται εμφυτευμένη σε έναν Ευκλείδειο χώρο, συνεπώς δεν θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για περιπτώσεις όπως το προβολικό επίπεδο, το οποίο δεν εμφυτεύεται σε κάποιον χώρο R n. Χρειαζόμαστε λοιπόν μια άλλη οπτική για τα εφαπτόμενα διανύσματα του R n, προκειμένου αυτά να γενικευθούν σε πολλαπλότητες. Η οπτική αυτή βρίσκεται στην έννοια της παραγώγου κατά κατεύθυνση. 1.2.1 Η παράγωγος κατά κατεύθυνση Θεωρούμε τον εφαπτόμενο χώρο T p R n σε ένα σημείο p R n, ως τον διανυσματικό χώρο όλων των διανυσμάτων τα οποία έχουν αρχή το σημείο p. Λόγω της αντιστοιχίας μεταξύ διανυσμάτων και στηλών ενός n 1 ή ενός n 1 πίνακα, ο διανυσματικός χώρος R n μπορεί να ταυτιστεί με τον εφαπτόμενο χώρο T p R n. Για να διακρίνουμε μεταξύ σημείων και εφαπτόμενων διανυσμάτων, θα συμβολίζουμε ένα σημείο του R n ως p = (p 1,..., p n ) και ένα διάνυσμα στον εφαπτόμενο χώρο T p R n ως v 1 v =. ή v = ( v 1,..., v n). v n

Εφαπτόμενα διανύσματα στον R n ως παραγωγίσεις 3 Αν e 1,... e n είναι η κανονική βάση του R n ή του T p R n, τότε v = n i=1 vi e i και στο εξής θα γράφουμε τακτικά v = v i e i. Τα στοιχεία του εφαπτόμενου χώρου T p R n θα ονομάζονται εφαπτόμενα διανύσματα ή απλώς διανύσματα. Θεωρούμε την ευθεία στον R n η οποία διέρχεται από το σημείο p = (p 1,..., p n ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα v = (v 1,..., v n ). Η ευθεία αυτή έχει παραμέτρηση c(t) = (c 1 (t),..., c n (t)) = (p 1 + tv 1,..., p n + tv n ). Εστω f μια λεία (δηλ. κλάσης C ) πραγματική συνάρτηση σε μια περιοχή του σημείου p και έστω v ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο p. Τότε η παράγωγος κατά κατεύθυνση της f στο p ως προς τη διεύθυνση του διανύσματος v, είναι ο αριθμός (αν υπάρχει) D v f = lim t 0 f(c(t) f(p) t Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας προκύπτει ότι = d dt f(c(t)). t=0 D v f = n i=1 dc i f (0) dt x i (p) = n i=1 v i f (p). (1.1) xi Με τον τρόπο αυτό ορίζεται η απεικόνιση D v = v i x i, p που στέλνει μια λεία συνάρτηση f στον αριθμό D v f. Ετσι ορίζεται η απεικόνιση v D v, η οποία στέλνει κάθε εφαπτόμενο διάνυσμα v στην παράγωγο κατά κατεύθυνση D v. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο θα χαρακτηρίσουμε τα εφαπτόμενα διανύσματα, δηλαδή ως συγκεκριμένους τελεστές σε χώρο συναρτήσεων. 1.2.2 Σπόροι συναρτήσεων Εάν δύο συναρτήσεις παίρνουν τις ίδιες τιμές σε μια περιοχή ενός σημείου p, τότε θα έχουν την ίδια παράγωγο κατά κατεύθυνση στο p. Αυτό μας οδηγεί στο να ορίσουμε μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο όλων των λείων συναρτήσεων οι οποίες ορίζονται σε μια περιοχή του p. Συγκεκριμένα, έστω το σύνολο όλων των ζευγών (f, U), όπου U μια περιοχή του p και f : U R μια λεία συνάρτηση. Ορίζουμε τη σχέση (f, U) (g, V ), εάν υπάρχει ανοικτό W U V το οποίο να περιέχει το p έτσι ώστε f W = g W. Εύκολα προκύπτει ότι η είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Η κλάση ισοδυναμίας του (U, f) ονομάζεται σπόρος (germ) της f στο p. Συμβολίζουμε με C p (R n ) ή απλώς C p στο p. το σύνολο όλων των σπόρων των λείων συναρτήσεων Παράδειγμα. Οι συναρτήσεις f(x) = 1 1 + x με πεδίο ορισμού το R\{ 1} και g(x) = 1 x+x2 x 3 + με πεδίο ορισμού το διάστημα ( 1, 1) έχουν τον ίδιο σπόρο σε κάθε σημείο p ( 1, 1). Οι πράξεις της πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού συναρτήσεων εφοδιάζουν το σύνολο Cp μιας (πραγματικής) άλγεβρας (βλ. Άσκηση 2). με τη δομή

4 Ο Ευκλείδειος Χώρος 1.2.3 Παραγωγίσεις κατά σημείο Η παράγωγος κατά κατεύθυνση ορίζει μια απεικόνιση D v : Cp R, f D v f μεταξύ πραγματικών διανυσματικών χώρων, η οποία είναι γραμμική και λόγω της (1.1) ικανοποιεί τον κανόνα του Leibnitz D v (fg) = (D v f)g(p) + f(p)d v g. (1.2) Γενικά μια γραμμική απεικόνιση D : Cp R η οποία ικανοποιεί τον κανόνα του Leibnitz (1.2) ονομάζεται παραγώγιση στο p ή παραγώγιση κατά σημείο στο σύνολο Cp. Συμβολίζουμε με D p R n το σύνολο όλων των παραγωγίσεων στο p. Το σύνολο αυτό αποτελεί έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο (βλ. Άσκηση 2). Εχουμε λοιπόν ορίσει μια απεικόνιση φ : T p R n D p R n, v D v = v i x i, p (1.3) η οποία είναι προφανώς γραμμική (λόγω της γραμμικότητας της D v ως προς v). Λήμμα 1.1. Εάν D είναι μια παραγώγιση κατά σημείο στο σύνολο C p, τότε για κάθε σταθερή συνάρτηση c ισχύει D(c) = 0. Απόδειξη. Λόγω της γραμμικότητας της D είναι D(c) = D(c 1) = cd(1), άρα αρκεί να δείξουμε ότι D(1) = 0. Λόγω της (1.2) είναι απ όπου προκύπτει ότι D(1) = 0. D(1) = D(1 1) = D(1) 1 + 1 D(1) = 2D(1), Ορίζουμε το δέλτα του Kronecker ως δj i 1 εάν i = j, = 0 εάν i j. Το βασικό αποτέλεσμα είναι το εξής: Θεώρημα 1.1. Η γραμμική απεικόνιση φ : T p R n D p R n, όπως ορίστηκε στην (1.3), είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων. Απόδειξη. Αποδεικνύουμε αρχικά ότι η φ είναι 1 1. Εστω ότι D v = 0 για κάποιο v T p R n. Τότε παραγωγίζοντας τις συναρτήσεις συντεταγμένων x j (j = 1,..., n) έχουμε ότι 0 = 0(x j ) = D v (x j ) = v i x i x j = v i δ j i = vj, i p i άρα v = 0, οπότε η φ είναι 1 1. Αποδεικνύουμε τώρα ότι η φ είναι επί. Εστω D μια παραγώγιση στο p και έστω (f, V ) ένας αντιπρόσωπος ενός σπόρου στο σύνολο C p. Επιλέγοντας το V όσο μικρό χρειάζεται, μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτό είναι μια ανοικτή μπάλλα, άρα ένα αστεροειδές σύνολο. Από το θεώρημα Taylor (Θεώρημα 1.1) υπάρχουν λείες συναρτήσεις g i (x) σε μια περιοχή του p, έτσι ώστε να ισχύει f(x) = f(p) + (x i p i )g i (x), g i (p) = f x i (p).

Εφαπτόμενα διανύσματα στον R n ως παραγωγίσεις 5 Εφαρμόζοντας την παραγώγιση D και στα δύο μέλη της παραπάνω ισότητας προκύπτει ότι D(f(x)) = (Dx i )g i (p) + (p i p i )Dg i (x) = (Dx i ) f x i (p), όπου λάβαμε υπόψη το Λήμμα 1.1 και τον κανόνα του Leibnitz (1.2). Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι D = D v, όπου v = (Dx 1,..., Dx n ). Λόγω του παραπάνω θεωρήματος μπορούμε να ταυτίζουμε τα εφαπτόμενα διανύσματα σε ένα σημείο p με τις παραγωγίσεις κατά σημείο. Μέσω του ισομορφισμού T p R n = D p R n, η κανονική βάση e 1,..., e n του T p R n αντιστοιχεί στο σύνολο των μερικών παραγώγων x 1,..., p x n. Συνεπώς, μπορούμε να p γράφουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα v = v i e i ως v = v i x i. (1.4) p 1.2.4 Διανυσματικά πεδία Ενα διανυσματικό πεδίο X σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του R n είναι μια συνεχής συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί σε κάθε σημείο p U ένα εφαπτόμενο διάνυσμα X p T p R n. Λόγω της (1.4) το διάνυσμα αυτό γράφεται ως X p = a i (p) x i, p U, a i (p) R. p Αν αγνοήσουμε το σημείο p, το πεδίο X γράφεται ως X = a i x i, όπου a i : U R είναι συναρτήσεις. Το διανυσματικό πεδίο X ονομάζεται λείο ή C εάν οι συναρτήσεις a i είναι λείες στο U. Συμβολίζουμε με X (U) το σύνολο όλων των λείων διανυσματικών πεδίων στο U. Εστω F(U) ο δακτύλιος όλων των λείων συναρτήσεων στο U. Τότε για f F(U) και X X (U) ορίζουμε το λείο διανυσματικό πεδίο fx με τιμή (fx) p = f(p)x p, p U. Συνεπώς, αν X = a i x i, τότε fx = (fa i ), άρα το σύνολο X (U) δεν είναι απλώς ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος, αλλά ένα αριστερό R-πρότυπο (R-module) επί του δακτυλίου F(U). xi 2 Αν X X (U) και f F(U) τότε ορίζουμε τη συνάρτηση Xf : U R με τύπο Επιπλέον, αν X = a i x i, τότε (Xf)(p) = X p f, p U. (Xf)(p) = a i (p) f x i (p), 2 Αν R είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με μονάδα 1, τότε ένα αριστερό R-πρότυπο είναι μια αβελιανή ομάδα A με μια πράξη βαθμωτού πολλαπλασιασμού R A A, (r, a) ra, τέτοια ώστε για κάθε r, s R και a, b A να ισχύουν οι ιδιότητες: (rs)a = r(sa), 1a = a, (r + s)a = ra + sa και r(a + b) = ra + rb.

6 Ο Ευκλείδειος Χώρος συνεπώς Xf = a i f, άρα η Xf είναι λεία. Συνοψίζοντας, δοθέντος ενός λείου διανυσματικού πεδίου xi X, ορίζεται η γραμμική απεικόνιση F(U) F(U), f Xf. Η παρακάτω πρόταση είναι άμεση: Πρόταση 1.2. (Κανόνας του Leibnitz για διανυσματικά πεδία). Αν X X (U) και f, g F(U), τότε ισχύει X(fg) = (Xf)g + f(xg). Εάν A είναι μια άλγεβρα επί ενός σώματος K, τότε μια παραγώγιση στην A είναι μια K-γραμμική απεικόνιση D : A A, τέτοια ώστε για κάθε a, b A να ισχύει D(ab) = (Da)b + a(db). Το σύνολο Der(A) όλων των παραγωγίσεων στην A αποτελεί έναν διανυσματικό χώρο, συνεπώς ορίζεται η απεικόνιση X (U) Der(F(U)), X (f Xf). Η παραπάνω απεικόνιση είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων (το ότι είναι 1 1 είναι εύκολο, αλλά το ότι είναι επί είναι πιο δύσκολο). Συμπερασματικά, κάθε διάνυσμα σε ένα σημείο p ταυτίζεται με μια παραγώγιση κατά σημείο στο σύνολο Cp και κάθε διανυσματικό πεδίο σε ένα ανοικτό U ταυτίζεται με μια παραγώγιση στην άλγεβρα F(U) (παρατηρείστε τη διαφορά μεταξύ των δύο αυτών εννοιών). 1.3 Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων Υπάρχουν διάφοροι λόγοι (π.χ. η ανάπτυξη μιας θεωρίας ολοκλήρωσης στον R n ή σε πολλαπλότητες) για τους οποίους είναι απαραίτητο αντί για τα εφαπτόμενα διανύσματα, να χρησιμοποιούμε τα δυϊκά τους αντικείμενα που είναι οι γραμμικές μορφές σε έναν διανυσματικό χώρο. Στη συνέχεια, μπορούμε εύκολα να τα γεκικεύσουμε και να ορίσουμε τις πολυγραμμικές μορφές. Τέτοια παραδείγματα γνωρίζουμε ήδη και είναι η ορίζουσα ενός πίνακα και το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων του R 3. Τα δύο αυτά παραδείγματα έχουν την επιπλέον ιδιότητα ότι είναι αντισυμμετρικές ή εναλλάσσουσες μορφές. Η σχετική θεωρία αναπτύχθηκε από τον Hermann Grassmann στην προσπάθειά του να γενικεύσει τον διανυσματικό λογισμό του R 3 στον χώρο R n. Η εργασία του Grassmann αρχικά δεν είχε εκτιμηθεί ιδιαιτέρως, μέχρι που ο Élie Cartan ανέδειξε την αξία της θεωρίας των διαφορικών μορφών, με σημαντικές εφαρμογές στη γεωμετρία και αλγεβρική τοπολογία. 1.3.1 Πολυγραμμικές συναρτήσεις Εστω V ένας διανυσματικός χώρος και έστω V ο δυϊκός χώρος του V. Ο δυϊκός χώρος εποτελείται από όλες τις γραμμικές συναρτήσεις f : V R (γραμμικές μορφές). Υποθέτουμε στο εξής ότι ο V είναι πεπερασμένης διάστασης και έστω e 1,..., e n μια βάση του V. Τότε κάθε v V γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως v = v i e i, v i R. Ορίζουμε τις γραμμικές μορφές α i : V R με α i (v) = v i. Παρατηρούμε ότι α i (e i ) = δj i 1 i = j = (1.5) 0 i j.

Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων 7 Από την γραμμική άλγεβρα είναι γνωστό ότι οι συναρτήσεις α 1,..., α n αποτελούν μια βάση του V, συνεπώς dimv = dimv. Παράδειγμα. Κάθε διάνυσμα v V μπορεί να γραφτεί κατά μοναδικό τρόπο ως v = b i (v)e i, όπου b i (v) R. Εστω α 1,..., α n η δυϊκή βάση της e 1,..., e n. Τότε α i (v) = α i( b j ) (v)e j = b j (v)α i (e j ) = j j j b j δ i j = b i (v). Άρα βλέπουμε ότι οι συντελεστές b i (v) είναι οι τιμές της δυϊκής βάσης α i στο v. Προτρέπουμε στο σημείο αυτό τον αναγνώστη να κάνει μια σύντομη επανάληψη στην ομάδα μεταθέσεων S k (άρτιες, περιττές μεταθέσεις κ.λπ.). Θυμίζουμε ότι αν A = {1,...(, k} τότε το σύνολο S k αποτελείται ) 1 2 k από όλες τις 1-1 και επί απεικονίσεις σ : A A (μεταθέσεις) σ =. Το σ(1) σ(2) σ(k) σύνολο S k αποτελεί ομάδα με πράξη τσ τ σ : A A. Για έναν διανυσματικό χώρο V συμβολίζουμε με V k = V V V το καρτεσιανό γινόμενο k-φορές. Ορισμός 1.2. Μια συνάρτηση f : V k R ονομάζεται πολυγραμμική μορφή ή k-γραμμική (ή και τανυστής τύπου (0, k)), εάν είναι γραμμική ως προς κάθε μεταβλητή, δηλαδή ισχύει για κάθε a, b R και v, w V. f(..., av + bw,... ) = af(..., v,... ) + bf(..., w,... ) Αν k = 2 ή k = 3, η f ονομάζεται διγραμμική ή τριγραμμική αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με L k (V ) το σύνολο όλων των k-γραμμικών συναρτήσεων. Παραδείγματα. 1. Το εσωτερικό γινόμενο f =, του R n με f(v, w) = v, w = v i w i όπου v = v i e i, w = w i e i ως προς την κανονική βάση e 1,..., e n του R n είναι μια διγραμμική συνάρτηση. 2. Η ορίζουσα f(v 1,..., v n ) = det(v 1,..., v n ) ως συνάρτηση των n διανυσμάτων (στήλες) v 1,..., v n R n είναι μια πολυγραμμική συνάρτηση. Ορισμός 1.3. Εστω f : V k R μια πολυγραμμική συνάρτηση. (1) Η f ονομάζεται συμμετρική, εάν ισχύει f(v σ(1),..., v σ(k) ) = f(v 1,..., v k ) για κάθε μετάθεση σ S k. (2) Η f ονομάζεται εναλλάσσουσα, εάν ισχύει f(v σ(1),..., v σ(k) ) = (sgnσ)f(v 1,..., v k ) για κάθε σ S k, όπου sgnσ είναι το πρόσημο της μετάθεσης σ. (Δηλαδή sgnσ = 1 αν σ άρτια και sgnσ = 1 αν σ περιττή). Παραδείγματα. 1. Το εσωτερικό γινόμενο f(v, w) = v, w του R n είναι συμμετρική συνάρτηση. 2. Η ορίζουσα f(v 1,..., v n ) = det(v 1,..., v n ) του R n είναι εναλλάσσουσα. 3. Το εξωτερικό γινόμενο v w του R 3 είναι εναλλάσσουσα.

8 Ο Ευκλείδειος Χώρος 4. Αν f, g : V R γραμμικές μορφές επί του διανυσματικού χώρου V τότε η συνάρτηση f g : V V R με τύπο (f g)(u, v) = f(u)g(v) f(v)g(u) είναι εναλλάσσουσα. Είναι μια ειδική περίπτωση του εξωτερικού γινομένου που θα ορίσουμε αργότερα. Συμβολίζουμε με A k (V ) το σύνολο όλων των εναλλασσουσών πολυγραμμικών συναρτήσεων επί του διανυσματικού χώρου V (k > 0). Για k = 0 ορίζουμε μια 0-πολυγραμμική συνάρτηση να είναι μια σταθερά, άρα A 0 (V ) = R. Εστω f L k (V ) και σ S k. Ορίζουμε μια νέα k-γραμμική συνάρτηση σf ως (σf)(v 1,..., v k ) = f(v σ(1),..., v σ(k) ). Άρα η f είναι συμμετρική, εάν και μόνο εάν σf = f για κάθε σ S k και αντισυμμετρική, εάν σf = (sgnσ)f για κάθε σ S k. Ο δυϊκός χώρος είναι η ειδική περίπτωση A 1 (V ) = L 1 (V ) = V. Πρόταση 1.3. Αν σ, τ S k, f L k (V ), τότε τ(σf) = (τσ)f. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση. Συνεπώς, η ομάδα S k δρά από τα αριστερά στο σύνολο L k (V ). Δηλαδή υπάρχει μια απεικόνιση S k L k (V ) L k (V ) (σ, f) σ f η οποία να ικανοποιεί τις ιδιότητες (i) 1 f = f, για κάθε f L k (V ) (όπου 1 η ταυτοτική μετάθεση) και (ii) σ (τ f) = (στ) f, για κάθε σ, τ S k, f L k (V ). Εστω τώρα f L k (V ). Ορίζουμε τη συμμετρική k-γραμμική συνάρτηση Sf ως (Sf)(v 1,..., v k ) = f(v σ(1),..., v σ(k) ), σ S k ή σύντομα Sf = σ S k σf και την εναλλάσσουσα k-γραμμική συνάρτηση Af ως Af = σ S k (sgnσ)σf. Πρόταση 1.4. Εστω f A k (V ). Τότε ισχύει Af = (k!)f. Απόδειξη. Επειδή η f είναι εναλλάσσουσα, θα είναι σf = (sgnσ)f και επειδή sgnσ = ±1, θα έχουμε ότι Af = σ S k (sgnσ)σf = σ S k (sgnσ)(sgnσ)f = (k!)f. Παράδειγμα. Εστω f L 3 (V ) και v 1, v 2, v 3 V. Τότε (Af)(v 1, v 2, v 3 ) = f(v 1, v 2, v 3 ) f(v 1, v 3, v 2 ) + f(v 2, v 3, v 1 ) f(v 2, v 1, v 3 ) + f(v 3, v 1, v 2 ) f(v 3, v 2, v 1 ). Θα ορίσουμε τώρα μια πρώτη πράξη μεταξύ πολυγραμμικών συναρτήσεων.

Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων 9 Ορισμός 1.4. Εστω f L k (V ) και g L l (V ). (k + l)-πολυγραμμική συνάρτηση Το τανυστικό γινόμενο f g L k+l (V ) είναι η (f g)(v 1,..., v k+l ) = f(v 1,..., v k )g(v k+1,..., v k+l ). Παράδειγμα. (Διγραμμικές συναρτήσεις) Εστω e 1,..., e n μια βάση του διανυσματικού χώρου V, α 1,..., α n η αντίστοιχη δυϊκή της βάση του V και, : V V R μια διγραμμική απεικόνιση. Θέτουμε g ij = e i, e j R και έστω v = v i e i, w = w i e i. Τότε είναι v i = α i (v) και w j = α j (w). Συνεπώς θα έχουμε ότι άρα, = g ij α i α j. v, w = v i w j e i, e j = α i (v)α j (w)g ij = g ij α i α j (v, w), Ο συμβολισμός αυτός χρησιμοποιείται τακτικά στη διαφορική γεωμετρία. Για παράδειγμα, κάντε σύγκριση με την πρώτη θεμελιώδη μορφή I = Edx dx + 2F dx dy + Gdy dy μιας επιφάνειας M με τοπική παραμέτριση X : U R 2 X(U) = M, όπου E = X u, X u, F = X u, X v, G = X v, X v. Πρόταση 1.5. Το τανυστικό γινόμενο ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση. (f g) h = f (g h). Η επόμενη πράξη μεταξύ δύο πολυγραμμικών συναρτήσεων είναι η πλέον βασική για τη γεωμετρία. Ορισμός 1.5. Εστω f A k (V ), g A l (V ). Το εξωτερικό γινόμενο (σφηνοειδές) (wedge product) f g ορίζεται ως ή πιο αναλυτικά (f g)(v 1,..., v k+l ) = 1 k!l! f g = 1 A(f g) k!l! σ S k+l (sgnσ)f(v σ(1),..., v σ(k) )g(v σ(k+1),..., v σ(k+l) ). Σημειώστε ότι η f g είναι πράγματι εναλλάσσουσα, δηλαδή f g A k+l (V ). Αν k = 0, τότε η f A 0 (V ) είναι μια σταθερά c άρα c g = cg(v 1,..., v l ). Ο συντελεστής 1 εμφανίζεται προκειμένου να k!l! συγκεντρώνονται διπλοί όροι στο άθροισμα, όπως φαίνεται και στα παρακάτω παραδείγματα. Παραδείγματα. 1. Εστω f, g A 1 (V ). Τότε f g A 2 (V ) και (f g)(v 1, v 2 ) = f(v 1 )g(v 2 ) f(v 2 )g(v 1 ).

10 Ο Ευκλείδειος Χώρος 2. Εστω f A 2 (V ) και g A 1 (V ). Τότε f g A 3 (V ) και έστω v 1, v 2, v 3 V. Θυμίζουμε ότι { ( ) ( ) ( ) ( ) S 3 = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3,,, 1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 ( ) ( ) } 1 2 3 1 2 3, 3 1 2 2 1 3, με αντίστοιχα πρόσημα των μεταθέσεων +,, +,, +,. Τότε (f g)(v 1, v 2, v 3 ) = 1 ( f(v1, v 2 )g(v 3 ) f(v 1, v 3 )g(v 2 ) + f(v 2, v 3 )g(v 1 ) 2!1! f(v 3, v 2 )g(v 1 ) + f(v 3, v 1 )g(v 2 ) f(v 2, v 1 )g(v 3 ) ) = f(v 1, v 2 )g(v 3 ) f(v 1, v 3 )g(v 2 ) + f(v 2, v 3 )g(v 1 ), όπου λάβαμε υπόψη ότι f(v 1, v 2 )g(v 3 ) = f(v 2, v 1 )g(v 3 ), κλπ. Το εξωτερικό γινόμενο ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: 1. Εστω f A k (V ), g A l (V ). Τότε f g = ( 1) kl g f. (Αντιμεταθετικότητα) 2. Εστω f A k (V ), g A l (V ), h A m (V ). Τότε (f g) h = f (g h). (Προσεταιριστικότητα). Συνεπώς, f g h = 1 k!l!m! A(f g h). Πιο γενικά, αν f i A di (V ), τότε f 1 f r = 1 (d 1 )! (d r )! A(f 1 f r ). Η παρακάτω πρόταση είναι ιδιαίτερη χρήσιμη και ουσιαστικά δίνει έναν χαρακτηρισμό του εξωτερικού γινομένου ως όγκου. Συμβολίζουμε με (α i j ) τον πίνακα του οποίου το (i, j)-στοιχείο είναι το αi j. Πρόταση 1.6. (Εξωτερικό γινόμενο γραμμικών μορφών.) Εστω α 1,..., α k V = A 1 (V ), v 1,..., v k V. Τότε Απόδειξη. Λόγω της παραπάνω Ιδιότητας 2 είναι (α 1 α k )(v 1,..., v k ) = det(α i (v j )). (α 1 α k )(v 1,..., v k ) = A(α 1 α k )(v 1,..., v k ) = σ S k (sgnσ)α 1 (v σ(1) ) α k (v σ(k) ) = det(α i (v j )). Παράδειγμα. Εστω e 1,..., e n μια βάση του V και α 1,..., α n η αντίστοιχη δυϊκή βάση του V. Τότε (α 1 α n )(e 1,..., e n ) = 1. Εστω V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n. Το σύνολο A (V ) = n k=0 A k(v ) έχει δομή μιας μεταθετικής βαθμωτής άλγεβρας (graded commutative algebra) και ονομάζεται εξωτερική άλγεβρα ή άλγεβρα του Grassmann.

Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων 11 Θα βρούμε τώρα μια βάση του διανυσματικού χώρου A k (V ). Εστω e 1,..., e n μια βάση του διανυσματικού χώρου V και α 1,..., α n η δυϊκή της βάση στον V. Εστω I = (i 1,..., i k ) και θέτουμε e I = (e i1,..., e ik ) (πολυδείκτης), α I = α i 1 α i k. Μια k-γραμμική συνάρτηση f : V k R καθορίζεται πλήρως από τις τιμές της σε όλα τα στοιχεία της μορφής (e i1,..., e ik ). Εάν η f είναι επιπλέον εναλλάσσουσα, τότε καθορίζεται πλήρως από τις τιμές της σε στοιχεία της μορφής (e i1,..., e ik ) με 1 i 1 < < i k n. Λήμμα 1.2. Αν I = (1 i 1 < < i k n) και J = (1 j 1 < < j k n) τότε α I (e j ) = δj I 1 I = J = 0 I J. Απόδειξη. Λόγω της Πρότασης 1.6 είναι α I (e J ) = det(α i (e j )) i I,j J. Εάν I = J τότε ο πίνακας (α i (e j )) είναι ο ταυτοτικός με ορίζουσα 1. Εάν I J τότε υπάρχει κάποιος δείκτης l ώστε i 1 = j 1,..., i l 1 = j l 1, i l j l. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω ότι i l < j l. Τότε εύκολα προκύπτει ότι ο δείκτης i l είναι διαφορετικός από όλους τους δείκτες j 1,..., j k, άρα η l γραμμή του πίνακα (α i (e j )) έχει όλα τα στοιχεία μηδέν, συνεπώς det(α i (e j )) = 0. Πρόταση 1.7. Οι εναλλάσσουσες k-γραμμικές συναρτήσεις α I, I = (1 i 1 < < ( i k ) n) αποτελούν n μια βάση του διανυσματικού χώρου A k (V ). Συνεπώς αν dimv = n, τότε dima k (V ) = και αν k > n k τότε A k (V ) = 0. Απόδειξη. Αποδεικνύουμε πρώτα την γραμμική ανεξαρτησία. Εστω ότι c I α I = 0 για κάποια c I R για όλους τους γνησίως αύξοντες πολυδείκτες μήκους k. Τότε χρησιμοποιώντας το Λήμμα 1.2 για J = (j 1 < < j k ) και εφαρμόζοντας την παραπάνω ισότητα στο e J, προκύπτει ότι 0 = I c Iα I (e J ) = I c Iδ I J = c J, άρα τα α I είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Θα δείξουμε τώρα ότι τα α I παράγουν τον A k (V ). Πράγματι, αν f A k (V ) ισχυριζόμαστε ότι f = f(e I )α I, όπου το I διατρέχει όλους τους γνησίως αύξοντες πολυδείκτες μήκους k. Για να το δείξουμε αυτό, έστω g = f(e I )α I και θα πιστοποιήσουμε την ισότητα των f και g με υπολογισμό σε κάθε e J, όπου J = (1 j 1 < < j k n) (λόγω της πολυγραμμικότητας και της αντισυμμετρικότητας). Είναι συνεπώς f = g = f(e I )α I. g(e J ) = f(e I )α I (e J ) = f(e I )δ I J = f(e I ), Παράδειγμα. Εστω dimv = 4 και k = 2. Εστω e 1, e 2, e 3, e 4 μια βάση ( ) του V με αντίστοιχη δυϊκή 4 βάση α 1, α 2, α 3, α 4. Τότε μια βάση του χώρου A 2 (V ) αποτελείται από τις = 6 το πλήθος διγραμμικές 2 μορφές α 1 α 2, α 1 α 3, α 1 α 4, α 2 α 3, α 2 α 4, α 3 α 4. (Αποδείξτε το αυστηρά). Παρατηρήστε επίσης ότι αν, για παράδειγμα, k = 5 > 4 = dim V, τότε τα στοιχεία της βάσης του A 5 (V ) θα περιέχουν μορφές της μορφής α 1 α 2 α i α 3 α 4 όπου α i αναγκαστικά μία από τις α 1, α 2, α 3, α 4. Επειδή α i α i = 0 και λόγω της αντισυμμετρικότητας, προκύπτει ότι α 1 α 2 α i α 3 α 4 = 0.

12 Ο Ευκλείδειος Χώρος 1.3.2 Διαφορικές μορφές στον R n Θα μελετήσουμε τώρα την εξωτερική άλγεβρα του Grassmann για την περίπτωση που ο διανυσματικός χώρος V είναι ο εφαπτόμενος χώρος T p R n. Οι διαφορικές μορφές είναι k-γραμμικές συναρτήσεις, οι οποίες ορίζονται σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του R n που περιέχει το σημείο p. Συνεπώς, όπως θα δούμε είναι δυνατόν να οριστεί έννοια παραγώγισης των διαφορικών μορφών κατά μοναδικό τρόπο, γνωστή ως εξωτερική παράγωγος. Το ενδιαφέρον γεγονός είναι ότι οι έννοιες αυτές μπορούν να γενικευθούν σε πολλαπλότητες. Θα αρχίσουμε με τις 1-μορφές που από μόνες τους έχουν ενδιαφέρον. Συμβολίζουμε τον συνεφαπτόμενο χώρο (T p R n ) με T p R n. Ορισμός 1.6. Εστω U R n ανοικτό. Μια διαφορική 1-μορφή (differential 1-form) (ή συναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο) είναι μια απεικόνιση ω η οποία σε κάθε p U αντιστοιχεί ένα διάνυσμα ω p T p R n, δηλαδή ω : U Tp R n, p ω p Tp R n. p U Παρατηρήσεις. 1) Η ένωση p U T p R n αποτελείται από ξένα μεταξύ τους υποσύνολα. 2) Μια διαφορική 1-μορφή θα ονομάζεται απλώς 1-μορφή. 3) Οι 1-μορφές είναι αντικείμενα δυϊκά των διανυσματικών πεδίων στο U, δεδομένου ότι ένα διανυσματικό πεδίο X στο U μπορεί να θεωρηθεί ως μια απεικόνιση X : U T p M, p X p T p M. p U Ορισμός 1.7. Εστω f : U R n R λεία. Το διαφορικό της f είναι η 1-μορφή df που ορίζεται ως εξής: Εστω p U, X p T p U. Τότε (df) p (X p ) = X p f. Παρατήρηση. Η παράγωγος κατά κατεύθυνση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο p ως προς τη διεύθυνση ενός εφαπτόμενου διανύσματος X p, ορίζει μια διγραμμική απεικόνιση (ζευγάρωμα) T p R n C p (R n ) R, (X p, f) X p, f = X p f. Αν θεωρήσουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα ως μια συνάρτηση της δεύτερης μεταβλητής X p,, τότε το διαφορικό (df) p της f στο p είναι μια συνάρτηση της πρώτης μεταβλητής (df) p =, f. Πρόταση 1.8. Εστω x 1,..., x n οι κανονικές συντεταγμένες του R n και p R n. Τότε το σύνολο {(dx 1 ) p,..., (dx n ) p } αποτελεί μια βάση του συνεφαπτόμενου χώρου Tp R n, δυϊκή της βάσης { p,... p x 1 x } n του T p R n. Απόδειξη. Εξ ορισμού είναι (dx i ) p ( x j p ) = x j p (x i ) = δ i j.

Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων 13 Λόγω της παραπάνω πρότασης η τιμή μιας 1-μορφής ω σε ένα σημείο p U R n είναι ω p = α i (p)(dx i ) p, α i (p) R. Καθώς το p μεταβάλλεται στο U, ορίζονται οι συναρτήσεις α i : U R, άρα μπορούμε να γράψουμε ω = α i dx i. Παράδειγμα. Αν x, y, z είναι οι συντεταγμένες του R 3, τότε οι dx, dy, dz είναι οι 1-μορφές στον R 3 και κάθε 1-μορφή ω στον R 3 γράφεται ως ω = α 1 (x, y, z)dx + α 2 (x, y, z)dy + α 3 (x, y, z)dz. Με την παρακάτω πρόταση θα δούμε ότι μπορούμε να δώσουμε νοήμα σε μια έκφραση του διαφορικού την οποία είχαμε γνωρίσει (συμβολικά) στον λογισμό πολλών μεταβλητών. Πρόταση 1.9. Εστω U ανοικτό υποσύνολο του R n και f : U R n R λεία. Τότε df = f x i dxi. Απόδειξη. Λόγω της Πρότασης 1.8, σε κάθε p U έχουμε ότι (df) p = α i (p)(dx i ) p, α i (p) R. Συνεπώς, df = α i dx i (1.6) για κάποιες πραγματικές συναρτήσεις α i : U R. Προκειμένου να βρούμε τις α i εφαρμόζουμε και τα δύο μέλη της (1.6) στο διανυσματικό πεδίο x j : f x j = df( x j ) = α i dx i ( x j ) = α i δj i = α j, όπου η πρώτη ισότητα προκύπτει από τον ορισμό του διαφορικού. Πόρισμα 1.1. Αν η f είναι λεία τότε και η 1-μορφή df είναι λεία. Παράδειγμα. Οι διαφορικές 1-μορφές εμφανίζονται κατά φυσικό τρόπο ακόμα και αν μελετάμε μόνο διανύσματα X p T p R n. Πράγματι, αν X p = b i (X p ) x i p, b i (X p ) R τότε σύμφωνα με το παράδειγμα της σελίδας 7 είναι b i (X p ) = (dx i ) p (X p ), συνεπώς, όταν το p μεταβάλλεται, προκύπτει η ισότητα συναρτήσεων b i = dx i. Προχωράμε τώρα στον ορισμό μιας k-μορφής, Ορισμός 1.8. Μια διαφορική μορφή βαθμού k (ή k-μορφή) ω σε ένα ανοικτό U R n είναι μια απεικόνιση ω η οποία σε κάθε p U αντιστοιχεί μια εναλλάσσουσα k-γραμμική συνάρτηση του T p R n, δηλαδή ω p A k (T p R n ). Γνωρίζουμε ότι μια βάση του χώρου A k (T p R n ) είναι το σύνολο {dx I p = dx i 1 p dx i k p : 1 i 1 < < i k n}, συνεπώς για κάθε p U η μορφή ω p γράφεται ως ω p = α I (p)dx I p, 1 i 1 < < i k n, α I (p) R

14 Ο Ευκλείδειος Χώρος ή ω p = Άρα κάθε k-μορφή ω γράφεται ως 1 i 1 < <i k n α i1 i k (dx i 1 p dx i k p ). ω = α I dx I, α I : U R. Η ω ονομάζεται λεία, εάν οι συναρτήσεις α I είναι λείες. Συμβολίζουμε με Ω k (U) τον διανυσματικό χώρο όλων των λείων k-μορφών στο ανοικτό U R n. Παρατηρούμε ότι Ω 0 (U) = F(U). Επιπλέον, σε ένα ανοικτό U R n κάθε διαφορική μορφή βαθμού μεγαλύτερου του n είναι μηδέν. Πράγματι, επειδή ο βαθμός της dx I είναι μεγαλύτερος του n, στην έκφραση dx I τουλάχιστον δύο από τις 1-μορφές dx ia πρέπει να είναι ίσες, οπότε dx I = 0. Ορισμός 1.9. Εστω ω Ω k (U), ϕ Ω l (U). Το εξωτερικό γινόμενο (ή σφηνοειδές) (wedge product) ορίζεται σημειακά ως (ω ϕ) p = ω p ϕ p, p U. Αν ω = I α Idx I και ϕ = J b Jdx J, τότε ω ϕ = (α I b J )dx I dx J. I,J Συνεπώς, αν οι ω, ϕ είναι λείες τότε και η ω ϕ είναι λεία. Ετσι το εξωτερικό γινόμενο είναι η διγραμμική απεικόνιση : Ω k (Ω) Ω l (Ω) Ω k+l (Ω). Αν k = 0, τότε (f ω) p = f(p) ω p = f(p)ω p. Λόγω των ιδιοτήτων των εναλλασσουσών μορφών το εξωτερικό γινόμενο ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: 1) (ω ϕ) τ = ω (ϕ τ) 2) ω ϕ = ( 1) kl (ϕ ω) 3) ω (ϕ + τ) = ω ϕ + ω τ. Παραδείγματα. 1. Εστω x, y, z οι συναρτήσεις συντεταγμένων του R 3. Η γενική μορφή των λείων 0-μορφών, 1-μορφών, 2-μορφών και 3-μορφών στον R 3 είναι η εξής: 0-μορφές: f : R 3 R λεία συνάρτηση 1-μορφές: fdx + gdy + hdz 2-μορφές: fdx dy + gdx dz + hdy dz 3-μορφές: fdx dy dz,

Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων 15 όπου f, g, h : R 3 R είναι λείες συναρτήσεις. 2. Εστω x 1, x 2, x 3, x 4 οι συναρτήσεις συντεταγμένων του R 4. Μια βάση του διανυσματικού χώρου A 3 (T p R 4 ) είναι το σύνολο {(dx 1 dx 2 dx 3 ) p, (dx 1 dx 2 dx 4 ) p, (dx 1 dx 3 dx 4 ) p, (dx 2 dx 3 dx 4 ) p }. Το σύνολο Ω (U) = k=0 Ωk (U) αποτελεί μια βαθμωτή, αντιμεταθετική άλγεβρα επί του R και είναι επιπλέον ένα F(U)-πρότυπο. Μια διαφορική 1-μορφή δρα σε ένα διανυσματικό πεδίο ως εξής: Εστω ω μια λεία 1-μορφή και X ένα λείο διανυσματικό πεδίο στο ανοικτό U R n. συνάρτηση ω(x) : U R με τύπο ω(x) p = ω p (X p ), p U. Σε τοπικές συντεταγμένες, αν ω = α i dx i και X = b j x j για α i, b j F(U), τότε ω(x) = ( αi dx i)( b j ) = αi x j b i, άρα η συνάρτηση ω(x) είναι λεία στο U. Συνεπώς, κάθε λεία 1-μορφή ορίζει μια απεικόνιση Ορίζουμε τη ω : X(U) F(U), X ω(x). Η απεικόνιση αυτή είναι F(U)-γραμμική, δηλαδή ω(fx) = fω(x), f F(U). Πράγματι, έστω p U. Τότε (ω(fx)) p = ω p (f(p)x p ) = f(p)ω p (X p ) = (fω(x)) p. Παρόμοια, μια k-μορφή ω στο U ορίζει μια k-γραμμική απεικόνιση Παραδείγματα. ω : X(U) X(U) }{{} k φορές F(U) (X 1,..., X k ) ω(x 1,..., X k ). 1. Αν ω Ω 2 (R 3 ) και ϕ Ω 1 (R 3 ), τότε ω ϕ Ω 3 (R 3 ). Άρα για κάθε X, Y, Z X(R 3 ) είναι (ω ϕ)(x, Y, Z) = ω(x, Y )ϕ(z) ω(x, Z)ϕ(Y ) + ω(y, Z)ϕ(X). 2. Εστω ω = fdx dy + gdx dz + hdy dz Ω 2 (R 3 ) και ϕ = adx + bdy + cdz Ω 1 (R 3 ). Τότε ω ϕ = (fdx dy + gdx dz + hdy dz) (adx + bdy + cdz Ω 1 (R 3 )) fadx dy dx + fbdx dy dy + fcdx dy dz + + hcdy dz dz = A(x, y, z)dx dy dz 3. Εστω ω = x 2 dx + e xy dy + ydz Ω 1 (R 3 ) και X = y x + y x2 y z X(R3 ). Τότε ω(x) = x 2 y + e xy x 2 y 2 F(R 3 ).

16 Ο Ευκλείδειος Χώρος Παρατήρηση. Είναι dx i dx i = 0, αλλά για ω Ω k (R n ) δεν ισχύει γενικά ότι ω ω = 0 (εκτός εάν k περιττός). Για παράδειγμα, έστω ω = dx 1 dx 2 + 2dx 3 dx 4 Ω 2 (R 4 ). Τότε ω ω = 4dx 1 dx 2 dx 3 dx 4 0. Εστω ω μια διαφορική k-μορφή σε ένα ανοικτό υποσύνολο U R n. Θα ορίσουμε μια διαφορική (k + 1)-μορφή dω στο U την οποία θα ονομάσουμε εξωτερική παράγωγο της ω. Πρώτα θα την ορίσουμε για 0-μορφές. Αν f F(U), ορίζουμε την εξωτερική παράγωγο της f ως το διαφορικό df Ω 1 (U) df = n i=1 f x i dxi. Ορισμός 1.10. Εστω k 1 και ω = I α Idx I Ω k (U). Η εξωτερική παράγωγος (exterior derivative) της ω είναι η (k + 1)-μορφή Παραδείγματα. dω = I dα I dx I = I ( J α I x j dxj) dx I Ω k+1 (U). 1. Εστω ω = fdx + gdy Ω 1 (R 2 ) όπου f, g λείες συναρτήσεις στο R 2. Συμβολίζουμε με f x = f x, f y = f y. Τότε dω = df dx + dg dy = (f x dx + f y dy) dx + (g x dx + g y dy) dy = (g x f y )dx dy. 2. Εστω ω = xyzdx + yzdy + (x + z)dz Ω 1 (R 3 ). Επιβεβαιώστε ότι dω = xzdx dy + (1 xy)dx dz ydy dz Ω 2 (R 3 ). Η εξωτερική παράγωγος είναι μια απεικόνιση της μορφής d : Ω (U) Ω (U) και ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: 1) Είναι αντιπαραγώγιση βαθμού 1, δηλαδή ισχύει d(ω τ) = (dω) τ + ( 1) degω ω dτ 2) d d d 2 = 0 3) Για κάθε f F(U) και X X (U) ισχύει (df)(x) = Xf. Οι παραπάνω τρεις ιδιότητες χαρακτηρίζουν κατά μοναδικό τρόπο την εξωτερική παράγωγο σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του R n, όπως φαίνεται στην παρακάτω πρόταση.

Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων 17 Πρόταση 1.10. Εστω D : Ω (U) Ω (U) μια αντιπαραγώγιση βαθμού 1, τέτοια ώστε D 2 = 0 και (Df)(X) = Xf για κάθε f F(U) και X X (U). Τότε D = d. Απόδειξη. Επειδή κάθε k-μορφή είναι άθροισμα όρων της μορφης fdx i 1 dx i k, λόγω της γραμμικότητας αρκεί να δείξουμε την ισότητα D = d για μια τέτοια k-μορφή. Από την υπόθεση, για κάθε λεία συνάρτηση είναι Df = df και επιπλέον Ddx i = DDx i = 0. Χρησιμοποιώντας το ότι η D είναι αντιπαραγώγιση και επαγωγή επί του k, προκύπτει ότι για κάθε πολυδείκτη I μήκους k θα είναι D(dx I ) = D(dx i 1 dx i k) = 0. Λόγω των ιδιοτήτων του τελεστή D και του ορισμού της εξωτερικής παραγώγου, προκύπτει ότι για κάθε k-μορφή fdx I ισχύει ότι D(fdx I ) = (Df) dx I + fd(dx I ) = (df) dx I = d(fdx I ). Άρα D = d στο Ω (U). Ορισμός 1.11. Μια k-μορφή ω στο U ονομάζεται κλειστή (closed) εάν dω = 0 και ακριβής (exact) εάν υπάρχει μια (k 1)-μορφή τ ώστε ω = dτ στο U. Προφανώς κάθε ακριβής μορφή ω είναι κλειστή, λόγω του ότι d(dτ) = 0. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Πράγματι, η 1-μορφή ω στο R 2 \ {(0, 0)} με τύπο είναι κλειστή, αλλά όχι ακριβής. ω = 1 x 2 ( ydx + xdy), + y2 Σημειώνουμε ότι η παραπάνω ορολογία συνδέεται με τις ονομαζόμενες ακριβείς διαφορικές εξισώσεις με τρόπο που αφήνουμε στον αναγνώστη να διερευνήσει. Ορισμός 1.12. Μια συλλογή διανυσματικών χώρων {V k } k=0 μαζί με γραμμικές απεικονίσεις d k : V k V k+1 ονομάζεται ένα διαφορικό σύμπλεγμα (differential complex) ή και συναλλοίωτο σύμπλεγμα (cochain complex) εάν ισχύει d k+1 d k = 0. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για κάθε ανοικτό U R n η εξωτερική παράγωγος d εφοδιάζει τον διανυσματικό χώρο Ω (U) των λείων μορφών στο U με δομή διαφορικού συμπλέγματος, το οποίο ονομάζεται σύμπλεγμα του de Rham στο U: 0 Ω 0 (U) d Ω 1 (U) d Ω 2 (U). Οι κλειστές μορφές στο U είναι ακριβώς τα στοιχεία του πυρήνα της d και οι ακριβείς μορφές είναι ακριβώς τα στοιχεία της εικόνας της d. Ο χώρος πηλίκο H k (U) = Kerd k /Imd k 1 ονομάζεται k-τάξης συνομολογία de Rham του U. 1.3.3 Εφαρμογές στον διαφορικό λογισμό Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό δίνοντας μια ενοποιημένη παρουσίαση των βασικών θεωρημάτων του διανυσματικού λογισμού, χρησιμοποιώντας διαφορικές μορφές. Θυμίζουμε ότι μια διανυσματική συνάρτηση στο ανοικτό U R n έχει τη μορφή F = (P, Q, R) : U R 3, p F p R 3 = Tp R 3.

18 Ο Ευκλείδειος Χώρος Συνεπώς, μια διανυσματική συνάρτηση είναι ένα διανυσματικό πεδίο. Θυμίζουμε τους τρείς βασικούς τελεστές της διανυσματικής ανάλυσης κλίση (grad), στροβιλισμό (curl) και απόκλιση (div), με πεδία ορισμού και τιμών όπως φαίνεται παρακάτω: {πραγ. συναρτήσεις} grad {διαν. συναρτήσεις} curl {διαν. συναρτήσεις} div {πραγμ. συναρτήσεις} gradf = ( x, y, z )f = (f x, f y, f z ) curl(p, Q, R) = ( x, y, z ) (P, Q, R) = (R y Q z, (R x P z ), Q x P y ) div(p, Q, R) = ( x, y, ), (P, Q, R) = P x + Q y + R z. z Μπορούμε να ταυτίσουμε τις 1-μορφές στο U με διανυσματικά πεδία στο U μέσω της P dx+qdyrdz (P, Q, R), τις 2-μορφές στο U με διανυσματικά πεδία στο U μέσω της P dx dz +Qdz dx+rdx dy (P, Q, R) και τις 3-μορφές στο U με συναρτήσεις στο U μέσω της fdx dy dz f. Οι ταυτίσεις αυτές επάγουν αντίστοιχες ταυτίσεις των εξωτερικών παραγωγίσεων μιας 0-μορφής f, μιας 1-μορφής και μιας 2-μορφής με τους γνωστούς τελεστές ως εξής: df = f f f dx + dy + dz ( f x y z x, f y, f z ) = gradf, d(p dx + Qdy + Rdz) = (R y Q z )dy dz (R x P z )dz dx + (Q x P y )dx dy (R y Q z, (R x P z ), Q x P y ) = curl(p, Q, R), d(p dx dz + Qdz dx + Rdx dy) = (P x + Q y + R z )dx dy dz P x + Q y + R z = div(p, Q, R). Συνοψίζοντας τα παραπάνω, οι τελεστές grad, curl και div είναι αντίστοιχα η εξωτερική παράγωγος d όταν αυτή δρα σε 0-μορφές, 1-μορφές και 2-μορφές. Το παρακάτω διάγραμμα περιγράφει τις ταυτίσεις αυτές σε ένα ανοικτό υποσύνολο του R 3 : Ω 0 (U) d Ω 1 (U) d Ω 2 (U) d Ω 3 (U) = F(U) grad = X(U) curl = X(U) div = F(U) Σύμφωνα με τις ταυτίσεις αυτές, ένα διανυσματικό πεδίο (P, Q, R) του R 3 ισούται με την κλίση μιας λείας συνάρτησης f εάν και μόνο εάν η αντίστοιχη 1-μορφή P dx + Qdy + Rdz ισούται με df. Από τον διανυσματικό λογισμό γνωρίζουμε τα παρακάτω θεμελιώδη θεωρήματα: Θεώρημα 1.2. curl(gradf) = (0, 0, 0). Θεώρημα 1.3. div(curl(p, Q, R)) = 0 Θεώρημα 1.4. Ενα διανυσματικό πεδίο F του R 3 ισούται με την κλίση κάποιας βαθμωτής συνάρτησης f (δηλαδή το πεδίο είναι συντηρητικό) εάν και μόνο εάν curlf = 0.

Ασκήσεις 19 Τα θεωρήματα αυτά διατυπώνονται σε γλώσσα διαφορικών μορφών ως εξής (άσκηση). Θεωρήματα 1.2 και 1.3. d 2 = 0 Θεώρημα 1.4 Μια 1-μορφή του R 3 είναι ακριβής εάν και μόνο εάν είναι κλειστή. Η γενίκευση του Θεωρήματος 1.4 για διαφορικές μορφές στον R n είναι το παρακάτω σημαντικό αποτέλεσμα. Θεώρημα 1.5. (Λήμμα του Poincaré.) Για κάθε k 1, κάθε κλειστή k-μορφή στον R n είναι ακριβής, δηλαδή H k (R n ) = 0. Η αιτία της αποτυχίας του αντιστρόφου του Θεωρήματος 1.4 έγκειται στην τοπολογία του χώρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα: Παράδειγμα. Εστω U = R 3 \{άξονας z} και το διανυσματικό πεδίο του R 3, F = ( y x 2 + y 2, x x 2 + y 2, 0). Τότε curlf = 0, αλλά το πεδίο F δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλίση μιας λείας συνάρτησης f F(U). Πράγματι, αν υπήρχε τέτοια συνάρτηση f, τότε από γνωστό θεώρημα των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων θα είχαμε γ y x 2 + y 2 dx + x x 2 + y 2 dy = 0 για κάθε κλειστή καμπύλη γ του επιπέδου. Αλλά, αν πάρουμε ως γ τον κύκλο {(x, y) : x = cos t, y = sin t, 0 t 2π}, τότε το παραπάνω ολοκλήρωμα ισούται με γ ydx + xdy = 2π 0 sin t d(cos t) + cos t d(sin t) = 2π 0. Με άλλα λόγια, η 1-μορφή ω = y x 2 + y 2 dx + x x 2 dy είναι κλειστή αλλά όχι ακριβής στο U. + y2 Παρατηρείστε ότι το σύνολο U δεν είναι απλά συνεκτικό 3 ενώ ο R n είναι απλά συνεκτικός. 1.4 Ασκήσεις 1. Εστω το διανυσματικό πεδίο X = x x + y2 y και η συνάρτηση f(x, y, z) = x2 + e y + z 2. Υπολογίστε τη συνάρτηση Xf και το διανυσματικό πεδίο fx. 2. Μια άλγεβρα επί ενός σώματος K είναι ένας διανυσματικός χώρος A επί του K εφοδιασμένος με έναν πολλαπλασιασμό µ : A A A, που συμβολίζεται και ως µ(a, b) = a b, τέτοιος ώστε για κάθε a, b, c A και k K να ισχύουν οι εξής ιδιότητες: (α) (a b) c = a (b c) (προσεταιριστικότητα), (β) (a + b) c = a c + b c και a (b + c) = a b + a c (επιμεριστικότητα), 3 Ενα υποσύνολο του R n συρρικνωθεί σε ένα σημείο. ονομάζεται απλά συνεκτικό (simply connected), εάν κάθε απλή κλειστή καμπύλη μπορεί να

20 Ο Ευκλείδειος Χώρος (γ) k(a b) = (ka) b + a (kb) (ομογένεια). Μια άλγεβρα A ονομάζεται μεταθετική εάν για κάθε a, b A ισχύει a b = b a. Ορίστε πράξεις πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού και βαθμωτού πολλαπλασιασμού στο σύνολο Cp αποδείξτε ότι αυτό είναι μια μεταθετική άλγεβρα. και 3. Αποδείξτε ότι το σύνολο D p R n αποτελεί έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο. 4. Αποδείξτε την Πρόταση 1.2. 5. Εστω V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n. Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις α 1,..., α n όπως ορίστηκαν στην (1.5) αποτελούν μια βάση του V 6. Αποδείξτε ότι, αν σ, τ S k, f L k (V ), τότε τ(σf) = (τσ)f. 7. Αποδείξτε ότι οι Sf, Af είναι συμμετρική και αντισυμμετρική πολυγραμμική συνάρτηση αντίστοιχα. 8. Αποδείξτε τη μεταθετικότητα και την προσεταιριστικότητα του εξωτερικού γινομένου. 9. Εστω f μια k-γραμμική μορφή στον διανυσματικό χώρο V. Αποδείξτε ότι η f είναι εναλλάσσουσα εάν και μόνο εάν ισχύει f(v 1,..., v k ) = 0 οποτεδήποτε δύο από τα διανύσματα v 1,..., v k είναι ίσα. 10. Εστω α 1,..., α k γραμμικές μορφές σε έναν διανυσματικό χώρο V. Αποδείξτε ότι α 1 α k 0 εάν και μόνο εάν τα α 1,..., α k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του V. 11. Εστω ω η 1-μορφή z 2 dx xdz και X το διανυσματικό πεδίο y x + x y του R3. Υπολογίστε τη συνάρτηση ω(x) και τη μορφή dω. 12. Εστω ω η 1-μορφή xdx ydy+zdz και X το διανυσματικό πεδίο cos(x+y+z) x +sin(x+y+z) y +ey z του R 3. Υπολογίστε την τιμή ω p (X p ), όπου p = (1, 1, 1). 13. Συμβολίζουμε τις κανονικές συντεταγμένες του R 3 με ρ, φ, θ και θέτουμε x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ και z = ρ cos φ. Εκφράστε τις μορφές dx, dy, dz και dx dy dz συναρτήσει των μορφών dρ, dφ και dθ. 14. Μια συνάρτηση f : R 3 R ονομάζεται ομογενής βαθμού k (k μη αρνητικός ακέραιος) εάν για κάθε (x, y, z) R 3 και για κάθε t R ισχύει f(tx, ty, tz) = t k f(x, y, z). Αποδείξτε ότι εάν η f : R 3 R είναι ομογενής βαθμού k, τότε ικανοποιεί την ταυτότητα του Euler xf x + yf y + zf z = kf. Υπόδειξη. Παραγωγίστε και τα δύο μέλη της f(tx, ty, tz) = t k f(x, y, z) ως προς t και θέστε t = 1. 15. Εστω V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης 3 με {e 1, e 2, e 3 } μια βάση του και δυϊκή βάση {α 1, α 2, α 3 }. Αντιστοιχούμε στη μορφή α = a 1 α 1 +a 2 α 2 +a 3 α 3 το διάνυσμα v α = (a 1, a 2, a 3 ) R 3 και στην διγραμμική εναλλάσσουσα συνάρτηση γ = c 1 α 2 α 3 + c 2 α 3 α 1 + c 3 α 1 α 2 A 2 (V ) το διάνυσμα v γ = (c 1, c 2, c 3 ) R 3. Αποδείξτε ότι μέσω αυτών των αντιστοιχίσεων ισχύει η σχέση v α β = v α v β,

Ασκήσεις 21 όπου β = b 1 α 1 + b 2 α 2 + b 3 α 3. Αυτό σημαίνει ότι στους τρισδιάστατους διανυσματικούς χώρους, το εξωτερικό (σφηνοειδές) γινόμενο εναλλασσουσών γραμμικών συναρτήσεων, δηλαδή στοιχείων του A 1 (V ), αντιστοιχεί στο εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων του R 3.

22 Ο Ευκλείδειος Χώρος

Βιβλιογραφία [1] S.S. Chern, W.H. Chen and K.S. Lam, Lectures on Differential Geometry, World Scientific, Singapore, 2000. [2] M. P. do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer, 1994. Μετάφραση: Διαφορικές Μορφές και Εφαρμογές, Leader Books, 2010. [3] T.A. Ivey and I.M. Landsberg, Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems, American Mathematical Society, Rhode Island, 2003. [4] J.E. Marsden and M.J. Hoffman, Elementary Classical Analysis, 2nd ed., W.H. Freeman, New York, 1993. [5] J.E. Marsden and A.J. Tromba, Vector Calculus, 6th ed., Macmillan Higher Education, 2011. Μετάφραση 3ης έκδ: Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1992. [6] R.W. Sharpe, Differential Geometry. Cartan s Generalization of Klein s Erlangen Program, Springer, New York 1997. [7] M. Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1965. Μετάφραση: Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1994. [8] L. Tu, An Introduction to Manifolds, 2nd ed., Springer, New York, 2011. 23