Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται: f X x) f X,Y x,y)dy xy x)dy x x) [ y x x) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ Y ϑα είναι: ] x ydy x) 6x x) f Y y) f X,Y x,y) y xy x) y [ x x x y y ) y 6 y ϐ) Για να είναι οι τ.µ X,Y ανεξάρτητες ϑα πρέπει να ισχύει: Εχουµε ότι: f X,Y x,y) f X x)f Y y), x,y,) x x) x f X x)f Y y) 6x x) y xy x) f X,Y, x,y,) Εποµένως, οι X,Y είναι ανεξάρτητες τ.µ. γ) i) Η µέση τιµή της τ.µ X γίνεται: ] E[X] x f X x) 6 Για την µέση τιµή της τ.µ Y έχουµε: E[Y] yf Y y)dy x 6x x) 6 [ x x x 6 x y dy [y ] x x) ] 6 )
ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 ii) Η διασπορά της τ.µ X γίνεται: var[x] E[X ] E[X]) Υπολογίζουµε τη ϱοπή δεύτερης τάξης E[X ] ως εξής: E[X ] Εποµένως, έχουµε: x f X x) x 6x x) 6 [ x 6 x5 5 ] 6 [ 5 x x) 6 ] x x var[x] E[X ] E[X]) Αντίστοιχα, η διασπορά της τ.µ Y γίνεται: ) var[y] E[Y ] E[Y]) y f Y y)dy ) y ydy 9 y dy [ 9 y ] 9 9 8 δ) Στο ϐ) ερώτηµα δείξαµε ότι οι τ.µ X,Y είναι ανεξάρτητες. Εποµένως, η συνδιασπορά τους ϑα είναι ίση µε µηδέν, covx, Y). Ασκηση. α) Για την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των τ.µ. X,Y ισχύει: f X,Y x,y)dy c x + xy [c x y + x y )dy ] c x + x ) c x + x [c x + x c + c+ c ] ϐ) Για να ϐρούµε τη Ϲητούµενη πιθανότητα ϑεωρούµε την ευθεία: ǫ : x + y, όπως ϕαίνεται στο σχήµα.
ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 Σχήµα : Η Ϲητούµενη πιθανότητα: PX + Y ) Εποµένως, έχουµε ότι: x y PX +Y ) x + xy ) dy [x y + xy ] x y x x x + x x x) x x) ) 6 [ x ] + [ x ] [ x ] [ x ] + x x+x ) 6 + + x x +x 6 + [ x 6 x + x 6 65 7 γ) Οι περιθωριακές σ.π.π της f X,Y είναι: ] f X x) f X,Y dy [ xy x y + ] x + xy ) dy x + c x x + x, x [,] Εποµένως, η περιθωριακή σ.π.π της τ.µ. Χ γίνεται: { x f X x) + x, x,, αλλού Επίσης έχουµε: f Y y) [ x f X,Y + y x ] x + xy ) Εποµένως, η περιθωριακή σ.π.π της τ.µ. Y γίνεται: { +y f Y y) 6, y,, αλλού + y + y 6 +y, y [,] 6
ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 δ) Για να είναι οι τ.µ X,Y ανεξάρτητες ϑα πρέπει να ισχύει: f X,Y x,y) f X x)f Y y), x [,], y [,] Χρησιµοποιώντας ένα αντιπαράδειγµα, παρατηρούµε ότι οι τ.µ X,Y δεν είναι ανεξάρτητες. f.,.) f X.)f Y.) ε) Υπολογίζουµε τη Ϲητούµενη µέση τιµή ως εξής: E[e x cosy] [ e x e x cosy)f X,Y x,y)dy cosy x + xy )dy ] e x cosy)x + xy )dy [e x x cosy + x ] y cosy)dy e x[ x siny + x ] y siny +cosy) e x x sin+ x sin+cos) x ) sin x e x + sin+cos x e x x e x sin e x x ) sin+cos x e x + ) sin+cos sin e x e x + ) e e x ) [ sin e e e x )] sin+cos + ) e e x ) sin e )+ sin+cos e sin sin+cos ).78 ) x e x ) e x στ) Για τη συνδιασπορά των τ.µ X,Y έχουµε: covx,y) E[X E[X]) Y E[Y])] E[X Y] E[X] E[Y] Υπολογίζουµε ξεχωριστά τις ποσότητες E[X Y] x y f X,Y x,y)dy x x y x + xy [x y + x y ) dy ] x + 8x 9 [ x + 8 9 x x x y + x ) y dy x x + x 8 ) ] 5 E[X] και x f X,Y x,y)dy x x x + x y )dy [x y + x y ] x x + x [ x + x x + x y dy x x + x ) ] + 9 8
ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 5 E[Y] y f X,Y x,y)dy y x + x y )dy x y + x y dy x + 8 x [ x + 8 9 x [x y + x ] y ] + 9 9 Εποµένως, έχουµε: covx,y) E[X Y] E[X] E[Y] 5 8 9. Ασκηση. Γνωρίζουµε ότι οι τ.µ X,Y είναι ανεξάρτητες, οπότε ϑα ισχύει: α) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται: P[X > Y] y f X,Y x,y) f X x)f Y y) e x/ e y/ dy e y/ e y/ dy /+/ +/ /5 [ + ] e y/ e x/ dy e y/ e y/ dy y e y/+y/) dy ϐ) Παρατηρούµε ότι οι τ.µ X,Y ακολουθούν εκθετική κατανοµή µε παραµέτρους, λ X /, και λ Y /, αντίστοιχα. Χρησιµοποιώντας τους τύπους που γνωρίζουµε για την µέση τιµή της εκθετικής κατανοµής, ϐρίσκουµε ότι: και: E[X] λ X / E[Y] λ Y / Επίσης γνωρίζουµε ότι οι τ.µ X,Y είναι ανεξάρτητες, οπότε για την συσχέτισή τους ισχύει: E[X Y] E[X] E[Y] 6 γ) Η συνδιασπορά των τ.µ X,Y ϑα είναι µηδέν, διότι οι τ.µ X,Y είναι ανεξάρτητες. covx,y) E[XY] E[X] E[Y] 6 6
ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 6 Ασκηση. Θα υπολογίσουµε πρώτα την α.σ.κ της τ.µ. Ζ και έπειτα ϑα την παραγωγίσουµε για να ϐρούµε την σ.π.π. Ορίζουµε a X X και έχουµε, F Z a) P X X a) PX ax ) ax λ λ λ e λ x e λ x [ λ λ e λ x ] e λ ax x λ e λ x e λ ax ) ) λ e λ x e x λ +λ a) [ ] λ λ +λ a e x λ +λ a) e λ x [ λ ] λ +λ λ λ +λ λ a λ +λ a Για να ϐρεθεί η σ.π.π. f Z a) παραγωγίζουµε την F Z a). Εποµένως, f Z a) F Z df a) da λ λ λ a+λ ) Τέλος, η PX < X ισούται µε PX < X ) P X X < ) λ λ +λ Ασκηση 5. Γιαx <, η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είναι, και γιαx > είναι. Για τιµές τουxµεταξύ και, µπορούµε να ϐρούµε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα ολικής πιθανότητας: F X x) PX x) PX x,h)+px x,t) /PX x H)+PX x T)) /PU x )+PU x ) { / x)), x, /x ), < x για x Οπότε, X U[,], δηλαδή η X κατανέµεται οµοιόµορφα µεταξύ και.
ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 7 Ασκηση 6. Εστω X και Y οι αποστάσεις των ϐολών του Κώστα και της Μαρίας, αντίστοιχα. Οι ϐολές είναι ανεξάρτητες, οπότε η κοινή τους συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ϑα ισούται µε: y f X,Y x,y) f X x)f Y y) 6 e 6, X,Y, αλλιώς Θα έχουµε: α) ϐ) γ) Είναι: E[X] 5,E[Y] 6. PY > ) PX 75) 75 75 6 e y 6 dy e 6,889 δ) Θέλουµε να ϐρούµε την πιθανότητα PX > Y) και να την συγκρίνουµε µε την πιθανότητα PX < Y). Για να το κάνουµε αυτό, εξετάζουµε το κοινό δειγµατικό χώρο του σχήµατος. Σχήµα : Η πιθανότητα P X > Y) Εποµένως, ϑα έχουµε: x x PX > Y) f X,Y x,y)dy y 6 e 6dy,5 Παροµοίως ϐρίσκουµε ότι: PY > X) PX > Y),867. Απλώς κοιτάζοντας τις αναµενόµενες τιµές των ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών, ϑα έλεγε κανείς ότι είναι πιο πιθανό η Μαρία να ϱίξει πιο µακριά. Οµως, τελικά ϐρήκαµε ότι η πιθανότητα ότι ο Κώστας ϑα ϱίξει παραπάνω είναι ελαφρώς υψηλότερη.
ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 8 ε) Είναι: f Y X y/75) f Y y) διότι οι τ.µ. X και Y είναι ανεξάρτητες. στ) Εστω W Y X. Πρώτα, ϐρίσκουµε τη κοινή συνάρτηση κατανοµής της W : Το γεγονός ϕαίνεται στο σχήµα. Για W έχουµε: F W w) Για W έχουµε: F W w) PW w) PY X w) PY X +w) x+w w f X,Y x,y)dy 6e 6 w+) +w+) x+w w 6 e y 6 dy F W w) x+w f X,Y x,y)dy x+w 6 e y 6 dy 5 e w 6 e 5 )+ Εν τέλει, διαφορίζοντας τις προηγούµενες εξισώσεις παίρνουµε ότι: f W w) d e 6 w+) ), w dw F Ww) e 6 e w 5 ), w, αλλιώς
ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 9 Σχήµα : περιπτώσεις για τις τιµές της F W w)