Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 6 185 ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / / 0 1 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις στις συναρτήσεις Ασκήσεις συναρτήσεων για Α Λυκείου Πεδία ορισμού Να βρεις τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : 144. f () 9 1444. f 1 8 1445. f 6 1446. f 1 f 1 4 4 f 5 4 4 1 1 f 1 017 10 1 f 1 f f 1 1 9 f 1 1 16 1 f 1 1447. 1448. 1449. 1450. 1451. () 145. 145. 1454. 1 Πεδίο ορισμού : h() f ()() 0 g g () f ()()() g0 g
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1455. 1456. 1457. f 1 f () 6 1 4 f 4 5 1458. 1459. f () 6 16 1460. f () 1 4 1461. f () 9 4 146. f () 1 146. 1464. 1465. 1466. 1467. f () f () f () f () f 6 1 017 4 1 10 () 4 1468. f () 4 f 4 4 1469. f 4 1470. 1471. f () 147. f 147. f () 1 1 017 4 1474. 1475. 1 f 9 1 f 6 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1476. f () 1 4 1477. f () f 8 1478. f 1479. 1480. f 10 1481. Δίνεται συνάρτηση f () υπολόγισε : 0, 1, 1,,, 1, f f f f f f f f 148. Δίνεται συνάρτηση πεδίο ορισμού και f () 4 υπολόγισε : f 0, f, f 1, f, f, f 1, f f Να λύσεις την εξίσωση : f () 6 148. Δίνεται συνάρτηση f () υπολόγισε : πεδίο ορισμού και f 0, f, f 1, f, f, f 1, f f Να λύσεις την εξίσωση : f () 5, 0 1484. Δίνεται συνάρτηση f () υπολόγισε : 7, 0 πεδίο ορισμού και f f f f 0,, 1,, Να λύσεις την εξίσωση : f () 1485. Δίνεται συνάρτηση πεδίο ορισμού και 1, 1 f (),1 0, 1 f 1, f 5, f, f, Να λύσεις την εξίσωση : f (), 1 1486. Δίνεται συνάρτηση f () υπολόγισε :, 1 πεδίο ορισμού και 1 f 0, f, f 1, f, f υπολόγισε :
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Να λύσεις την εξίσωση : f () 4 1487. Δίνεται συνάρτηση πεδίο ορισμού και f f f f 0,, 1,, f, f, f Να λύσεις την εξίσωση : f () f () 4 5 υπολόγισε : Να λύσεις την ανίσωση : f f 1488. Δίνεται συνάρτηση πεδίο ορισμού και f f f f 0,, 1,, f, f, f Να λύσεις την εξίσωση : f () f () 4 υπολόγισε : Να λύσεις την ανίσωση : f f 1 10 1489. Δίνεται συνάρτηση Να βρεις τα α,β f () a b a 1 f 0, f, f, f, Να λύσεις την εξίσωση : f () 1490. Δίνεται συνάρτηση f f f f f 1 f f f 0 f (), 0 1, 0 4 όπου f f, να λύσεις τις εξισώσεις : 1491. Δίνεται συνάρτηση f () 1, 1,0,1 149. Δίνεται συνάρτηση με τετμημένη, να βρεις : Πεδίο ορισμού Την τιμή του α Να αποδείξεις ότι 1, 1 : βρεις σύνολο τιμών a a 6 f (), 1 f () 8 1 a, η οποία τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 149. Δίνεται η συνάρτηση f () Να βρεις πεδίο ορισμού Να βρεις τα α,β Να βρεις που τέμνει άξονες Να δείξεις ότι f () 1 a b 1 1494. Δίνεται συνάρτηση f () 7, να βρεις : Πεδίο ορισμού f 1, f Να λύσεις 7 f, η οποία διέρχεται από τα σημεία : A,5, B 4, 1495. Δίνεται συνάρτηση f () a, η οποία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα σε σημείο με τεταγμένη, να βρεις : Την τιμή του α Πεδίο ορισμού 1496. Δίνεται συνάρτηση Πεδίο ορισμού f 1, f Να λύσεις f 7 f () 16, να βρεις : 1497. Δίνεται συνάρτηση f () 5, να αποδείξεις ότι : f y f f y 5 f f y f y 1498. Αν f f f 5 8 4 ; 1499. Αν f f f f f 1500. Αν f f 6 f, f ; 1501. Αν f y f y f f 0 ; 1 6, 1 0, 1 ; 150. Δίνεται συνάρτηση f (), να αποδείξεις ότι : f f 4y f y 150. Δίνεται συνάρτηση f () 5, να αποδείξεις ότι : f f y f y 1504. Δίνεται συνάρτηση 1505. f (), να αποδείξεις ότι : y f f y f 4 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1506. Δίνεται συνάρτηση f (), να αποδείξεις ότι : y f f y f 1507. Δίνεται συνάρτηση α,β f, f f f () a 1, b, όπου f f 1 5, να βρεις : Η συνάρτηση y=a+b 1508. Να σχεδιάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες y 1& y.ποια η σχέση μεταξύ τους ; 1509. Να βρεις τα σημεία τομής των αξόνων με τις ευθείες : y y y 6 y 1510. Να σχεδιάσεις τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f 1, f 4, f, 1511. Να βρεις τη γωνία που σχηματίζουν οι παρακάτω ευθείες με τον οριζόντιο άξονα : y 017 y 4 y 1 y y 5 y 6y 1 151. Να βρεις για ποια τιμή του α οι ευθείες σχηματίζουν γωνία με τον χχ : y a a 10 017 Αμβλεία : 6
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 y a 5 016 Οξεία : 151. Να βρεις το α ώστε y a 5 / / y 4 1 1 y 6 / / y a y a 016 / / y 5 a 1 1514. Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από A4,0 & B 0, A, 4 & B1, 5 A0, & B, 1 1515. Να βρεις την ευθεία που είναι παράλληλη στην y=- και διέρχεται από Α(1,) 1516. Να βρεις την ευθεία που σχηματίζει 45 με χχ και διέρχεται από Α(1,) 1517. Να αποδείξεις ότι είναι συνευθειακά τα σημεία : A1,, B,, C,7 1518. Να βρεις το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει με τους άξονες η ευθεία : y 4 1519. Να βρεις το α, αν η ευθεία 150. Δίνεται η ευθεία y a 4a Να βρεις το α Να βρεις που τέμνει άξονες y a a 8 διέρχεται από την αρχή των αξόνων που διέρχεται από το σημείο A1, 4 Να βρεις το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει με άξονες Και το είδος της γωνίας που σχηματίζει με οριζόντιο άξονα a 151. Να βρεις το α όταν : f () διέρχεται από το σημείο A1, 15. Να βρεις το α όταν : y a 6 a 1 διέρχεται από το σημείο A,0 15. Να βρεις το α όταν : 154. Να βρεις το α όταν : y a 6 017 είναι παράλληλη στον χχ y a a 1 σχηματίζει45 με χχ 155. Να βρεις το α όταν : y a τέμνει χχ, yy στα σημεία Α,Β ώστε : AB 5 156. Να σχεδιάσεις τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f f f 5, 1,, 1, 1 1, 1 1, 1 7
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88, f 1, 1, 0 f 1, 0 1, f 4, 1 4, 1 157. Να παραστήσεις γραφικά τις συναρτήσεις : f () 1 f () 1 Καρτεσιανές Συντεταγμένες 158. Να βρεις τα α,β ώστε το σημείο, 1 Aa, a 1 A a b b O A a, b a Oy ' να ανήκει στο ο τεταρτημόριο 159. Να βρεις τα α,β ώστε το σημείο A a 6, b O ', 4 Aa 6,a A b a Oy να ανήκει στο ο τεταρτημόριο 150. Να βρεις τα α, β ώστε το σημείο Aa b, b 1 Aa, b a Aa,b 1 να ανήκει σε 1 ο τεταρτημόριο να ανήκει σε 4 ο τεταρτημόριο να ανήκει στο ο τεταρτημόριο 151. Δίνεται σημείο M a a 15, a M O M Oy ' M O ' M Oy, να βρεις το α ώστε 15. Να βρεις το συμμετρικό του A4, 5 ως προς ' yy ' 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Oo, o y 15. Να βρεις το συμμετρικό του A, ως προς ' yy ' Oo, o y 154. Να βρεις το συμμετρικό του A016, 017 ως προς ' yy ' Oo, o y 155. Να βρεις το συμμετρικό του A, ως προς ' yy ' Oo, o y 156. Να βρεις τις αποστάσεις των σημείων : A,4 & B5,6 A, & B4, A,4 & B 5,6 A, & B1, 157. Να βρεις τις αποστάσεις των σημείων : A0,0 & B, A, 4 & B 1, 1 A1,1 & B, A5, 6 & B, 4 158. Να βρεις το είδος του τριγώνου με κορυφές A,, B,, 1,1 159. Να βρεις το είδος του τριγώνου με κορυφές A5,, B1,, 4, 1540. Να βρεις το είδος του τριγώνου με κορυφές A,, B1,1, 4, 1541. Να βρεις το είδος του τριγώνου με κορυφές A,, B,,, 154. Να βρεις το είδος του τριγώνου με κορυφές A1,4, B 5,,, 9
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 154. Να βρεις το είδος του τριγώνου με κορυφές A5,, B1,, 4, 1544. Να βρεις το χ και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ : 1545. Αν Μ(-,0) και Α του Oy, να βρεις το Α ώστε το ΟΑΜ να είναι ισοσκελές Το ΟΑΜ να έχει εμβαδόν 4 ΑΜ= A,6, B,, AB 10 ; 1546. Αν 1547. Να βρεις σημείο του χχ που απέχει από Α(,6) απόσταση 10 1548. Να βρεις σημείο του ψψ που απέχει από Α(-,1) απόσταση 1 1549. Δίνονται τα σημεία A,, B1,5 Να βρεις την απόσταση ΑΒ Να αποδείξεις ότι το ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές Να βρεις το εμβαδόν του ΑΒΟ A 4, 1, B,, M yy ', MA MB M ; 1550. Αν 1551. Αν 155. Αν 155. Αν 1554. Αν A 4,0, B 0,, 0, AB 5 A 5,7, B 1,5, M ' M ; ώστε να ισαπέχει από Α,Β A,, B 1,, AB 5 ; A,, B,, AB 10 ; A 4,1, B,5, AB 5 ; Μονοτονία 1555. Να βρεις τη μονοτονία των συναρτήσεων : f () 5 f () f 4 () 5 f () a 1 8 f () 6 :() f a 7 1556. Να βρεις την τιμή του α για να είναι Μονοτονία : Έστω 1 και δούλεψε κατασκευαστικά για να καταλήξεις στη σχέση ; f f 1 f () a 5 a 6 1 1557. Για ποια τιμή του α, η συνάρτηση είναι σταθερή : 1558. Να βρεις τη μονοτονία της f (), 1, 1559. Να βρεις τη μονοτονία της f () 1, να κάνεις και γραφική παράσταση 10
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1560. Αν συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και διέρχεται από τα σημεία A,5, B,1, να βρεις Μονοτονία Να λύσεις την εξίσωση : f () 1 Να λύσεις την εξίσωση : f Να λύσεις την ανίσωση : f () 5 Να λύσεις την ανίσωση : f f 4 0 Ακρότατα 5 5 Ακρότατα : Ψάξε για θετική ποσότητα όπως,, και άρχισε να κατασκευάζεις τη συνάρτηση 1561. Να βρεις τα ακρότατα των συναρτήσεων : f () 5 4 1 f () f () 1 (υπόδ: ν.δ.ο. 1 ) 1 (υπόδ: ν.δ.ο. 1 ) f () 5 f () 5 1 6 f () f () f () 4 7 156. Δίνεται συνάρτηση 156. Δίνεται συνάρτηση,1 1,, 1564. Δίνεται συνάρτηση Πεδίο ορισμού Μονοτονία Ακρότατα f () 4 4 5 4 f () f () 9, να αποδείξεις ότι έχει για ελάχιστο το και μέγιστο το, να βρεις μονοτονία και ακρότατα όταν χ ανήκει :, να βρεις : 1565. Δίνεται συνάρτηση f () a, f:,4 Την τιμή του α Τα ακρότατα της συνάρτησης, γνησίως φθίνουσα, να βρεις : 11
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1566. Δίνεται συνάρτηση f () a, η οποία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο σημείο με τεταγμένη, να βρεις : Την τιμή του α Πεδίο ορισμού Μονοτονία Ακρότατα 1567. Αν f να συγκρίνεις τους αριθμούς f (),() f &(1,),(1, f 4) f f (015),(016) f & f, f, 1 1568. Αν f να συγκρίνεις 1569. Να μελετήσεις τη μονοτονία των συναρτήσεων : f () 6 g() 6 f () 4, 4 4, 4 1570. Να βρεις την τιμή του α ώστε να είναι γνησίως φθίνουσες οι συναρτήσεις : f () a 7 f () a a 016 1571. Δίνεται συνάρτηση Την τιμή του α Πεδίο ορισμού f () 4 a Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης Μονοτονία 157. Να βρεις τα ακρότατα των συναρτήσεων : 7 f (), 0 f () 1 f () 4 1 f () 4 4 5, f :, να βρεις : 157. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση f () έχει ελάχιστη τιμή -1 και μέγιστη τιμή 1 1 1574. Δίνεται συνάρτηση f (), να βρεις μονοτονία και ακρότατα όταν χ ανήκει :,, 1,,1 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1575. Δίνεται η συνάρτηση προκύπτει από μετατοπίσεις της f () : Κατά μονάδες αριστερά Κατά μονάδες προς τα κάτω Κατά 1 μονάδα δεξιά και μονάδες πάνω f () 4 5, να βρεις τον τύπο της συνάρτησης g() Κατά μονάδες αριστερά και 7 μονάδες κάτω a b, 1576. Δίνεται συνάρτηση f (), η οποία διέρχεται από τα σημεία A(,),(, B ) Να βρεις τα α,β Να γίνει γραφική παράσταση Να βρεις μονοτονία Να βρεις ακρότατα bc4a, f : 1,,() f a1 1 a, να βρεις : 1577. Δίνεται συνάρτηση Μονοτονία Αν έχει ελάχιστο το -8 και μέγιστο το 7, να βρεις την τιμή του α 1578. Δίνεται συνάρτηση από A, 1, να βρεις : Την τιμή του α 1579. Δίνεται να βρεις : η οποία f () a 1 a, γνησίως φθίνουσα και η γραφική παράσταση περνάει Αν Β το σημείο όπου η γραφική παράσταση της f έχει τεταγμένη το -4 και οποία διέρχεται και αυτή από το σημείο Β, να βρεις : Την τετμημένη του Β Να δείξεις ότι α=0 g άρτια ή περιττή Να δείξεις ότι g έχει ελάχιστο το -5 και μέγιστο το 5 Την τιμή του α Πεδίο ορισμού g() a 1 0 η 4 f () a a όπου η γραφική παράσταση της f περνάει από το Μ(4,1), Γραφική παράσταση της συνάρτησης Μονοτονία Ακρότατα 1580. Δίνεται συνάρτηση M,18, να βρεις : Την τιμή του α Άρτια ή περιττή Μονοτονία f () a όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Άρτια ή περιττή συνάρτηση 1581. Να εξετάσεις ποιες συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές 4 f () 5, 158. f () 1 158. f () 1 1584. 1585. 1586. 1587. 1588. 1589. 1590. f () f () f () f () f 5 1 1 () 5 4 f () f () 1591. f () 4 159. f () 159. f () 4 1594. f () 4 Άρτια : ()() Περιττή : ()() f f f f Το νου σου : θα πρέπει A A f Γεωμετρική ερμηνεία : στην άρτια έχεις συμμετρία ως προς ψψ ενώ στην περιττή έχεις συμμετρία ως προς αρχή των αξόνων f 1595. 1596. 1597. f () 4 f () 9 () 1 f 1598. f () 1599. 1600. 1601. f () f () 1 1 1 1 160. f () 7 f () 1 1 14
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 160. 1604. 1605. 1606. 1607. () 1608. 1609. 1610. 1611. 161. 161. 1614. 1615. 1 f () f () log f () f 4 () 17 f f () f () f () f () f () f () f () f () 1 1 4 4 9 5 1 4 1616. f () 4 4 1617. f () 1 1618. Δίνεται συνάρτηση f : g() g() f ()() f f ()() f, να αποδείξεις ότι : είναι άρτια είναι περιττή 1619. Δίνεται συνάρτηση :,()(),, f (0) Συμμετρία της συνάρτησης Συμμετρία : Η άρτια έχει συμμετρία ως προς yy Η περιττή έχει συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων f f y f f y y, να βρεις : 15
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 160. 161. 16. 16. Ποια η συμμετρία των συναρτήσεων; f () f () f () f () 5 1 164. f () 165. f () 5 4, 0 166. f (), 0 f (), 0, 0 16