Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 0 /

Transcript

1 Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 58 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα Kgllykos..gr 5 / / 8 εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε όλες τις επόμενες ασκήσεις ) είναι η αρχική (παράγουσα) της () 57. Έστω συνάρτηση :, συνεχής, άρτια με παράγουσα F G( ) ) είναι παράγουσα της 58. Έστω συνάρτηση :, συνεχής, περιττή με παράγουσες F ) G( ) H( ) είναι παράγουσα της :,, () 9, αρχική της όπου 59. Δίνεται συνάρτηση F βρεις τον τύπο της 5. Δίνεται συνάρτηση :, ( ) και τις αρχικές της συνάρτησης : g ( ), να αποδείξεις ότι η,g, να αποδείξεις ότι η ) ( ), να, παραγωγίσιμη με () e, F η αρχική της και e ) ( ), να βρεις τον τύπο της συνάρτησης και το σύνολο τιμών της e e 5. Δίνεται συνάρτηση :, (), ) ( ),, να αποδείξεις ότι : Η συνάρτηση είναι σταθερή : g( ) ) ) Να βρεις τον τύπο της συνάρτησης Να βρεις τις παράγουσες της h ( ) ( ) e 5. Δίνεται συνάρτηση :, ) 5, ) 5, ( ) ),, να αποδείξεις ότι : F F ( ) ( ) 6

3 ( ) ; 6 5. Έστω F η αρχική της 5. Έστω F η αρχική της ( ) ( ) e ) ) lim ;,, F F ( ), g( ), g ή a, Τον αριθμό α Την εφαπτομένη της g στο σημείο με τετμημένη a, y 55. Έστω F η αρχική της ( ) ln, G( ) F ) Πεδίο ορισμού της G Μονοτονία της G A G, 56. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, ), ), να αποδείξεις ότι η εξίσωση ( ) ) έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,) 57. Δίνεται παραγωγίσιμη :,, g( ) a) b), g(6) g(7) g( ) ; 58. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, ) ) ) ), να, : ' αποδείξεις ότι 59. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση ), () Ν.δ.ο., : ' Ν.δ.ο. η εξίσωση :, F ) :, ),lim '() ( ) ) '( ), έχει τουλάχιστο μία λύση στο (,) 5. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, () 6, ) & y η εφαπτομένη της ) στο σημείο με τετμημένη ), () Ν.δ.ο. η εξίσωση : ( ) ( ) ) '( ) ( ) έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο (,)

4 , 5. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη :, ) ) ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστον ένα, : '( ) ) ( ) :,, ) ) ), να αποδείξεις ότι υπάρχει 5. Δίνεται παραγωγίσιμη ) τουλάχιστο ένα, : '( ) ( ) 5. Δίνεται συνάρτηση ( ) Μονοτονία Ακρότατα Ασύμπτωτες lim F F lim F F 5. Δίνεται συνεχής :, (), ( ) ( ) Τύπο της συνάρτησης Μονοτονία lim F F :,, (), '( ), συνεχής συνάρτηση 55. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g:,,, G() και συνάρτηση h( ) ( ) g( ), H() H ( ),, G ( ),, H( ) G() G( ) H(),, H( ) ln lim ; G( ) e 56. Δίνεται συνεχής συνάρτηση, να δείξεις ότι : 6 :,,, (), ( ) F ( ) ; 57. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, ( y) ( ) ( y)

5 () Ν.δ.ο. y) ) ( y) y) ) Αν () ( ) ;, 58. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ( ) lim ( ) ; Να λύσεις την εξίσωση : F e F 59. Να βρεις : 5. Να βρεις : ln lim lim t t dt dt t t,, ), ( ) ) :, ν.δ.ο. 5. Αν συνεχής συνάρτηση :[,], ( ) 7, ), ν.δ.ο. έχει μοναδική ρίζα στο (,) η εξίσωση : F ( ) 5 5. Να βρεις : 5. Αν ) ) lim ( ) F ( ), ( ), αν γνωρίζεις ότι η συνάρτηση () είναι πολυώνυμο ου βαθμού ) lim ( ) b b b '( ) ( ) e ( ) '( ) d, d, '( ) e d ( ) και το 5. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : ( ) b '( ) ( ) I d d a a b a a a ( t) dt, y dy d, dt d Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : 5 ( t) dt,5, Αν συνεχής συνάρτηση :, ( ) ( y) dy d 6 ( ) d 9, να υπολογίσεις :

6 ( ) d, ( t) dt d 57. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση, ' Υπάρχει, : '( ) k Υπάρχει k, : '( k) 58. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο : d, να αποδείξεις ότι : :, () 6, '( ) d d ( ) d () Υπάρχει k, : ( k) 8 Υπάρχουν m n, : '( m) '( n) 59. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, (), ( ) ( t) dt () d ( ) () d ( ) d () Υπάρχει, να αποδείξεις ότι : k, : '( k) ( k) 5. Δίνονται συναρτήσεις ( ), g :,, g( ) F F g'( ) d 5. Δίνεται παραγωγίσιμη :, (), ), '( ) ( ) ( ) ) d 5

7 5. Δίνεται συνάρτηση ( ), ) F d ; * 5. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη :, () (), '( ) ( ), να αποδείξεις ότι : ( ) Αν (), ) ( ) ; 5. Δίνεται F d ; e e, I v v I v I v v S I I I I I 5 v * d, v, να αποδείξεις ότι : Δίνεται :, ( y) ( ) ( y) 6y () Ν.δ.ο. a ( ) ( ) 6 Αν ( ) d 6 a ;, a 56. Δίνεται συνάρτηση 6 ( ) d ( ) 57. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, ( ) ( ) 5 ( ), (), lim ( ), lim ( ) 6

8 , Να ορίσεις την 5 5 ( ) d 58. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, ν.δ.ο. ( ) d 6 ( ) d Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, να υπολογίσεις d Ν.δ.ο. : ( ) ( ) d 55. Δίνεται συνάρτηση συνεχής :[,], ( ), ( ) ( t) dt d ( ) d, να υπολογίσεις : ( ) d a ( ) 55. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, a d a ( ), να :[,], ( ) d '( ) d 55. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο αποδείξεις ότι () () 55. Δίνεται συνεχής συνάρτηση, ( ) ( ) d : ( ) d 55. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, ( ) d 5, να αποδείξετε ότι : 7 ( ) 6 8 ( ) ( ) d Δίνεται συνάρτηση ( ) e, να αποδείξεις ότι e d 6 7

9 d 556. Δίνεται συνάρτηση ( ) ln ln 557. Να αποδείξεις ότι : ln d e ln, e d e ln k k k k d k d k 558. Δίνεται συνάρτηση 559. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ( ) 6 d ( ) :[,] [,6] d Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[, ], ( ) ( ) ( ) e d ( ) e e d d e 56. Δίνονται συνεχείς, :[,], ( ) ( ) g g d d g d g :,, (), () και 56. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο ( ) ''( ) d '() '() 8 ( ) ; 8