.8 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 97 0 A µάδας. Στα αρακάτω σχήµατα δίννται ι γραφικές αραστάσεις δύ συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα ία αυτές δεν είναι συνεχείς. 3 3,5 3 - εν είναι συνεχής στ αφύ ( ) = ( ) = Πρσχή, στ 3,5 δεν ρίζεται = αφύ εν είναι συνεχής στ = ( ) = ( ) = 3 Πρσχή, στ 3 δεν ρίζεται.i) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια στ < ( ) = ( ) = 4 = 8, Άρα 4, 3, ( ) αν = τη συνάρτηση = () συνεχής στ = 3 3 ( ) = = 8 και () = = 8.
.ii) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια στ τη συνάρτηση, < ( ) = αν = 3, ( ) = =, Άρα ( ) = () συνεχής στ = ( ) = 3 = και () = 3 =.iii) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια στ ( ) =, 3, = ( ) = = Άρα συνεχής στ ( )( ) = = αν τη συνάρτηση = ( ) = = 3 = ( )
3 3.i) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια τη συνάρτηση ( ) = και µετά να χαράξετε τη γραφική της αράσταση. Ο τύς της συνάρτησης γράφεται ( ) =,, < ή > Στ διάστηµα (, ) είναι ( ) =, συνεχής σαν λυωνυµική. Στα διαστήµατα (, ), (, ) είναι ( ) = ( ) = = Άρα η δεν είναι συνεχής στ ( ) = Άρα συνεχής στ ( ) = =, = ( ) = ( ) = = = ( ) =, >, -5-5 - συνεχής σαν ρητή. = =, ( ) = 3.ii) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια τη συνάρτηση ( ) = και µετά να χαράξετε τη γραφική της αράσταση. Για, τύς της συνάρτησης γράφεται ( ) = ( )( 3) = 3 Στ (, ) (, ) είναι ( ) = 3, συνεχής σαν λυωνυµική. 5 5,= 5 6, ( ) = ( 3) = 3 = ( ) = 5 Άρα η δεν είναι συνεχής στ = -
4 3.iii) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια τη συνάρτηση () = και µετά να χαράξετε τη γραφική της αράσταση. Στ διάστηµα (, ) είναι ( ) = συνεχής σαν λυωνυµική. Στ διάστηµα (, ) είναι ( ) = ln συνεχής σαν λγαριθµική ( ) = ( ) = =, ( ) = ln= 0, ln = ln= 0 Άρα η δεν είναι συνεχής στ = 4 -, < ln, 5 3.iv) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια τη συνάρτηση ( ) = > e, 0, 0 και µετά να χαράξετε τη γραφική της αράσταση. Στ διάστηµα (, 0) είναι ( ) = e, συνεχής σαν εκθετική. Στ διάστηµα (0, ) είναι ( ) =, συνεχής σαν λυωνυµική. 0 ( ) = 0 e = 0 e = 0 ( ) = 0 ( 0 ) = 0 = Άρα η είναι συνεχής στ ( ) = 0 = = 0
5 4.i) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια τη συνάρτηση ( ) = Στ διάστηµα (, ) είναι ( ) = ( = ) 3,, > ( )( ) = = συνεχής. Στ διάστηµα (, ) είναι ( ) = 3 συνεχής. ( ) = ( ) = ( 3) = 3 = ( ) = = Άρα η δεν είναι συνεχής στ = 4.ii) Να µελετήσετε ως ρς τη συνέχεια τη συνάρτηση ( ) = και µετά να χαράξετε τη γραφική της αράσταση. ηµ, < 0 συν, 0 ηµ Στ διάστηµα (, 0) είναι ( ) =, συνεχής σαν ηλίκ συνεχών. Στ διάστηµα (0, ) είναι ( ) = συν, συνεχής. ηµ 0 ( ) = 0 = ( ) = συν = συν0 = και ( 0 ) = συν0 = 0 0 Άρα συνεχής στ = 0 5.i) Να αδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = ηµ(συν) είναι συνεχής. Πεδί ρισµύ τ R. Η είναι συνεχής σαν σύνθεση των συνεχών ηµ, συν
6 5.ii) Να αδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = ln ( ) είναι συνεχής. = 4 = 3 < 0 > 0 για κάθε R. Άρα Η είναι συνεχής σαν σύνθεση των συνεχών ln, D = R 5.iii) Να αδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = ηµ( ) είναι συνεχής. Πεδί ρισµύ τ R. Η είναι συνεχής σαν σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ηµ, 5.iv) Να αδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = Πεδί ρισµύ τ R. e ηµ Η είναι συνεχής σαν σύνθεση των συνεχών είναι συνεχής. e, ηµ 5.v) Να αδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = ln ( ln ) είναι συνεχής. Πρέει ln > 0 ln > ln >. Εµένως εδί ρισµύ είναι τ διάστηµα (, ) Η είναι συνεχής σαν σύνθεση των συνεχών ln, ln 6. Να αδείξετε ότι η εξίσωση ηµ = 0 έχει µία τυλάχιστν λύση στ διάστηµα (0, ) Θεωρύµε τη συνάρτηση ( ) = ηµ, η ία είναι συνεχής στ διάστηµα [0, ] µε (0) () = (ηµ0 0 )( ηµ ) = ( ) = < 0. Κατά τ θεώρηµα Bolzano, η εξίσωση ( ) = 0, δηλαδή η εξίσωση ηµ = 0 έχει µία τυλάχιστν λύση στ διάστηµα (0, )
7 7. Για κάθε µία αό τις αρακάτω λυωνυµικές συναρτήσεις, να βρείτε έναν ακέραι α τέτιν, ώστε στ διάστηµα (α, α ) η εξίσωση ( ) = 0 να έχει µία τυλάχιστν ρίζα. 3 5 i) ( ) = ii) ( ) = 4 iii) ( ) = 4 iv) ( ) = 3 Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στ R σαν λυωνυµικές. Αναζητάµε κατάλληλη τιµή τυ α, ώστε να ικανιείται η συνθήκη (α) (α ) < 0 τυ θεωρήµατς Bolzano i) Είναι (0) = < 0 και (0 ) = () = = > 0 άρα α = 0 ii) Είναι (0) = > 0 και ( ) = = < 0 άρα α = iii) Είναι () = 4 = < 0 και () = 6 4 4 = 6 > 0 άρα α = iv) Είναι () = = > 0 και () = 8 = 4 < 0 άρα α = 8. Να αδείξετε ότι η εξίσωση α( µ)( ν) β( λ)( ν) γ(( λ)( µ) = 0, όυ α, β, γ > 0 και λ < µ < ν, έχει δύ ρίζες άνισες, µια στ διάστηµα (λ, µ) και µια στ (µ, ν). Θεωρύµε τη συνάρτηση ( ) = α( µ)( ν) β( λ)( ν) γ(( λ)( µ) συνεχής στ R (τριώνυµ αν κάνυµε τις ράξεις και διατάξυµε ως ρς ) (λ) = α(λ µ)(λ ν) 0 0 = α(λ µ)(λ ν) > 0 () αφύ α > 0, λ < µ και λ < ν (µ) = 0 β(µ λ)(µ ν) 0 = β(µ λ)(µ ν) < 0 () (), () (λ) (µ) < 0 Κατά τ θεώρηµα Bolzano, η εξίσωση ( ) = 0 έχει µία τυλάχιστν ρίζα στ διάστηµα (λ, µ) Οµίως, η εξίσωση ( ) = 0 έχει µία τυλάχιστν ρίζα στ διάστηµα (µ, ν) Εειδή, όµως, η ( ) είναι τριώνυµ, έχει τ λύ δύ ρίζες, τις,.
8 9.i) Να βρείτε τ ρόσηµ της συνάρτησης για όλες τις ραγµατικές τιµές τυ, όταν 3 ( ) = συνεχής. ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) = ( )( )( ) Ρίζες :,, Πίνακας ρσήµυ της ιάστηµα (, ) (, ) (, ) (, ) Αριθµός 3 3/ 0 ( ) 8 5/8 Πρόσηµ της 9.ii) Να βρείτε τ ρόσηµ της συνάρτησης για όλες τις ραγµατικές τιµές τυ, όταν 4 ( ) = 9 συνεχής. ( ) = ( 9) = ( 3)( 3) Ρίζες : 3, 0, 3 Πίνακας ρσήµυ της ιάστηµα (, 3) ( 3, 0) (0, 3) (3, ) Αριθµός 4 4 ( ) 8 8 Πρόσηµ της
9 9.iii) Να βρείτε τ ρόσηµ της συνάρτησης για όλες τις ραγµατικές τιµές τυ, όταν ( ) = εφ 3, (, ) συνεχής στ (, ) (, ) (, ) Ρίζες : ( ) = 0 εφ 3 = 0 εφ = 3 = ή = 3 3 Πίνακας ρσήµυ της ιάστηµα (, 3 ) (, 3 ) (, 3) (, 3 ), ) Αριθµός 3 7 0 5 3 4 4 ( ) 3 3 3 Πρόσηµ της 9.iv) Να βρείτε τ ρόσηµ της συνάρτησης για όλες τις ραγµατικές τιµές τυ, όταν ( ) = ηµ συν, [0, ] συνεχής Ρίζες : ( ) = 0 ηµ συν = 0 ηµ = συν ηµ συν εφ = = 3 ή = 7 4 4 Πίνακας ρσήµυ της ιάστηµα 0, 3 3 4 ) (, 7 4 4 ) ( 7 4, Αριθµός 0 ( ) Πρόσηµ της
0 0.i) Να βρείτε τ σύνλ τιµών της συνάρτησης ( ) = ln, [, e] συνεχής και γν. αύξυσα στ [, e]. Άρα ( [, e] ) = [ ( ), ( e ) ] Αλλά () = ln = 0 = και ( e ) = lne = = 0 Οότε ( [, e] ) = [, 0] 0.ii) Να βρείτε τ σύνλ τιµών της συνάρτησης ( ) συνεχής και γν. φθίνυσα στ (0, ). 0 ( ) = ( ) = 0 ( ) = 0 = ( ) = = 0 Άρα ((0, )) = (0, ) =, (0, ) 0.iii) Να βρείτε τ σύνλ τιµών της συνάρτησης ( ) = ηµ, 0, 6 ) συνεχής και γν. αύξυσα στ 0, 6 ). ( 0 ) = ηµ0 = ( ) = ( 6) = ηµ = 6 = 6 ( ) Άρα 0, 6 ) = [, ) 0.iv) Να βρείτε τ σύνλ τιµών της συνάρτησης ( ) συνεχής και γν. αύξυσα στ (, 0) ( ) = (e ) = 0 = ( 0 ) = e 0 = = Άρα ((, 0)) = (, ] = e, (, 0]
Β µάδας. ( κ )( κ), Αν ( ) = κ5, > είναι συνεχής στ =. συνεχής στ = ( ) =, να ρσδιρίσετε τ κ, ώστε η να ( κ ) = 4 κ = κ 5 = 4 κ ( ) = () (κ 5) = κ κ = 0 κ = κ. α β <, Αν ( ) = 5, = α β, > ίες η να είναι συνεχής στ συνεχής στ = =., να βρείτε τις τιµές των α, β R για τις ( ) = ( ) = () α ( α Για α = 4 έχυµε β = 5 4 = Για α = 3 έχυµε β = 5 3 = 8 β ) = β = α β = 5 α β = 5 και α β = 5 α β = 5 και β = 5 α α 5 α = 5 και (α β) = 5 β = 5 α α α = 0 α = 4 ή α = 3 και β = 5 α
3. i) Έστω µία συνάρτηση η ία να είναι συνεχής στ = 0. Να βρείτε τ (0), αν για κάθε R ισχύει ( ) = συν. ii) Οµίως, να βρείτε τ g(0) για τη συνάρτηση g υ είναι συνεχής στ = 0 0 και για κάθε R ισχύει g( ) ηµ i) Η υόθεση ( ) = συν ( ) = συνεχής στ ii) g( ) ηµ = 0 (0) = Για κάθε > 0 η () ηµ ( ) συν. ( ) = 0 0 g( ) ηµ ηµ g( ) ηµ Αλλά 0 = 0 = και Αό τ κριτήρι αρεµβλής θα έχυµε Εειδή g συνεχής στ συν = 0 g( ) 0 = 0, θα είναι g(0) = 0 ηµ () ηµ ηµ = 0 = ( ) g( ) = 0 g( ) = 4. Αν ι συναρτήσεις, g είναι ρισµένες και συνεχείς στ [0, ] και ληρύν τις σχέσεις (0) < g(0) και () > g(), να αδείξετε ότι υάρχει ένα τυλάχιστν ξ (0, ) τέτι ώστε (ξ) = g(ξ). Θεωρύµε τη συνάρτηση h() = () g( ) στ [0, ] συνεχής σαν διαφρά συνεχών. h(0) = (0) g(0) < 0 και h() = () g() > 0 h(0) h() < 0. Αό τ θεώρηµα Bolzano, θα υάρχει ένα τυλάχιστν ξ (0, ) τέτι ώστε h(ξ) = 0 (ξ) g(ξ) = 0 (ξ) = g(ξ)
3 5.i) Να αδείξετε ότι η εξίσωση 4 6 = 0 έχει µία τυλάχιστν ρίζα στ (, ). 4 6 Αρκεί η εξίσωση ( )( ) ( )( ) = 0 να έχει µία τυλάχιστν ρίζα στ (, ). 4 6 Θεωρύµε τη συνάρτηση h() = ( )( ) ( )( ) συνεχής σαν λυωνυµική στ (, ). h() = ( 4 )( ) 0 = ( ) = 6 h() = 0 ( )( ) = (64 ) = 65 Άρα h() h() < 0 Αό τ θεώρηµα Bolzano, η εξίσωση h() = 0 θα έχει µία τυλάχιστν ρίζα στ διάστηµα (, ) 5.ii) Να αδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στ (, ). Η εξίσωση γίνεται Θεωρύµε τη συνάρτηση h() = e ln e ( ) ln ( ) = 0 = 0 έχει µία τυλάχιστν e ( ) ln ( ), συνεχής σαν άθρισµα συνεχών στ (, ). h() = e ( ) ln ( ) = e < 0 h() = e ( ) ln ( ) = ln > 0 Άρα h() h() < 0 Αό τ θεώρηµα Bolzano, η εξίσωση h() = 0 θα έχει µία τυλάχιστν ρίζα στ διάστηµα (, )
4 6.i) Να αδείξετε ότι ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = g( ) = D =R και έχυν ακριβώς ένα κινό σηµεί. Dg =R Αρκεί η εξίσωση ( ) = g( ), δηλαδή η εξίσωση ρίζα στ R Εειδή, όµως, στ (0, ) e > 0, θα είναι και Θεωρύµε τη συνάρτηση h() = ( ) g( ) = διαφρά συνεχών. Αδεικνύυµε ότι η h είναι γνησίως αύξυσα: Έστω < τυχαία e < e και e = e και να έχει ακριβώς µία > 0 άρα > 0, ότε αναζητάµε τη ρίζα e > στ (0, ), συνεχής σαν e < e και < (ρσθέτυµε) e < e h( ) < h( ) Βρίσκυµε τ σύνλ τιµών της h : h() = 0 ( ) 0 e = e 0 0 = 0 e = h() = ( e ) = e = 0 = Άρα h(a) = (, ) To 0 h(a) και αφύ h γν. αύξυσα, η εξίσωση h() = 0, δηλαδή η εξίσωση ( ) g( ) = 0 θα έχει ακριβώς µία ρίζα.
5 6.ii) Να αδείξετε ότι ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = ln και g( ) = D = (0, ) και έχυν ακριβώς ένα κινό σηµεί. Dg =R Αρκεί η εξίσωση ( ) = g( ), δηλαδή η εξίσωση ρίζα στ (0, ) ln = Θεωρύµε τη συνάρτηση h() = ( ) g( ) = ln συνεχής σαν διαφρά συνεχών. Αδεικνύυµε ότι η h είναι γνησίως αύξυσα: Έστω < τυχαία ln < ln και ln < ln και > < να έχει ακριβώς µία στ (0, ) η ία είναι ln < ln Βρίσκυµε τ σύνλ τιµών της h : h() = 0 ( ) 0 ln = ln 0 = 0 = h() = ( ln ) = ln = 0 = Άρα h(α) = (, ) h( ) < h( ) To 0 h(a) και αφύ h γν. αύξυσα, η εξίσωση h() = 0, δηλαδή η εξίσωση ( ) g( ) = 0 θα έχει ακριβώς µία ρίζα.
6 7. i) Έστω µια συνεχής συνάρτηση στ διάστηµα [, ], για την ία ισχύει () = για κάθε [, ]. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( ) = 0. β) Να αδείξετε ότι η διατηρεί τ ρόσηµό της στ διάστηµα (, ). γ) Πις µρεί να είναι τύς της και ια η γραφική της αράσταση ; ii) Με ανάλγ τρό να βρείτε τν τύ της συνεχύς συνάρτησης στ σύνλ R, για την ία ισχύει () = για κάθε R. i) α) () = για κάθε [, ] () = ( ) = 0 για κάθε [, ] () () = 0 () = 0 = ή = ι ρίζες. β) Η είναι συνεχής στ (, ) και δε µηδενίζεται σ αυτό, άρα διατηρεί τ ρόσηµo της. γ) Αφύ η διατηρεί ρόσηµ, λόγω της () θα είναι ( ) = στ (, ) ή ( ) = Εειδή είναι ρίζα της () = 0 = Η () ( ) = ( ) = 0 = () = 0 = ( ) = 0 = στ (, ) () και στ [, ] ή ( ) = ( ) και και ( ) στ [, ] Εµένως η C είναι τ ηµικύκλι µε κέντρ την αρχή Ο και ακτίνα ρ =, υ ανήκει στα τεταρτηµόρια ή στα 3 4. ii) α) () = ( ) = 0 για κάθε R ( ) = ή ( ) =, R (3) () = 0 (3) = 0 = 0 µναδική ρίζα. β) Η είναι συνεχής στ (, 0) και δε µηδενίζεται σ αυτό διατηρεί τ ρόσηµό της στ (, 0) Οµίως στ (0, ) γ) Αφύ η διατηρεί ρόσηµ στ (, 0), λόγω της (3) θα είναι ( ) = ή ( ) = στ (, 0). Και εειδή τ 0 είναι ρίζα, δηλαδή (0) = 0, θα είναι ( ) = ή ( ) = στ (, 0] Οµίως ( ) = ή ( ) = στ [0, ) Πρκύτυν ι συνδυασµί
7 (Α) η έχει ρόσηµ () στ (, 0) και () στ (0, ) ότε ( ) =, 0, 0 (Β) η έχει ρόσηµ () στ (, 0) και ( ) στ (0, ) ότε ( ) =, 0, 0 ( ) = στ R (Γ) η έχει ρόσηµ ( ) στ (, 0) και () στ (0, ) ότε ( ) =, 0, 0 ( ) = στ R ( ) η έχει ρόσηµ ( ) στ (, 0) και ( ) στ (0, ) ότε ( ) =, 0, 0 -
8 8. ίνεται τ τετράγων ΟΑΒΓ τυ διλανύ σχήµατς και µία συνεχής στ [0, ] συνάρτηση, της ίας η γραφική αράσταση βρίσκεται λόκληρη µέσα στ τετράγων αυτό και µε σύνλ τιµών τ [0, ]. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων τυ τετραγώνυ και ii) Να αδείξετε, µε τ θεώρηµα τυ Bolzano, ότι η C τέµνει και τις Γ(0, ) B(, ) A(, 0) δύ διαγώνιες. i) Εξίσωση της ΟΒ : =, [0, ] Εξίσωση της AΓ : 0= ( ) =, [0, ] ii) Είναι 0 ( ) στ [0, ] () Θεωρύµε τη συνάρτηση g() = ( ) στ [0, ], συνεχής σαν διαφρά συνεχών. g(0) = ( 0 ) 0 = ( 0 ) 0 και g() = ( ) () 0 άρα g(0)g() 0 Οότε αν g(0) = 0 (0) = 0 ή g() = 0 () = τότε η C τέµνει την διαγώνι ΟΒ στα σηµεία Ο η Β αντίστιχα Αν g(0) g() < 0 τότε κατά τ θεώρηµα Bolzano, υάρχει ένα τυλάχιστν (0, ) ώστε g( ) = 0 ( ) ( ) = 0 = Άρα η C τέµνει τη διαγώνι ΟΒ σε σηµεί (, ) Συνεώς σε όλες τις εριτώσεις η C τέµνει τη διαγώνι ΟΒ Θεωρύµε τη συνάρτηση h() = ( ) ( ) = ( ) στ [0, ], συνεχής σαν διαφρά συνεχών. h(0) = ( 0 ) 0 = ( 0 ) () 0 και h() = ( ) = ( ) () 0 άρα h(0)h() 0 Οότε αν h(0) = 0 (0) = ή h() = 0 () = 0 τότε η C τέµνει την διαγώνι ΓΑ στα σηµεία Γ η Α αντίστιχα Αν h(0) h() < 0 τότε κατά τ θεώρηµα Bolzano, υάρχει ένα τυλάχιστν ) = 0 (0, ) ώστε h( ( ) ( ) = = 0 Άρα η C τέµνει τη διαγώνι ΑΓ σε σηµεί (, ) Συνεώς σε όλες τις εριτώσεις η C τέµνει τη διαγώνι ΑΓ
9 Παρατήρηση : Αν η C τέµνει την διαγώνι ΟΒ στ Ο δεν µρεί να τέµνει την ΓΑ στ Γ ενώ αν τέµνει την διαγώνι ΟΒ στ Β δεν µρεί να τέµνει την ΑΓ στ Α 9. Στ διλανό σχήµα η καµύλη C είναι η γραφική αράσταση µιας συνάρτησης υ είναι συνεχής στ [α, β] και τ M (, ) είναι σηµεί τυ ειέδυ. i) Να βρείτε τν τύ της αόστασης d() = ( M M) τυ σηµείυ M (, ) αό τ σηµεί Μ(, ()) M 0 ( 0, 0 ) Ο M(, ()) A(α, (α)) α Β(β, (β)) της C για κάθε [α, β]. ii) Να αδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στ [α, β] και στη συνέχεια ότι υάρχει ένα τυλάχιστν σηµεί της C υ αέχει αό τ M λιγότερ αό ότι αέχυν τα υόλια σηµεία της και ένα τυλάχιστν σηµεί της C υ αέχει αό τ M ερισσότερ αό ότι αέχυν τα υόλια σηµεία της. i) d() = ( ) ( ( ) ), [α, β]. 0 0 ii) Η συνάρτηση d είναι συνεχής σαν ρίζα αθρίσµατς συνεχών συναρτήσεων στ [α, β]. Άρα θα έχει ελάχιστ και µέγιστ, δηλαδή θα υάρχυν, [α, β] τέτια, ώστε d( ) d() d( ) για κάθε [α, β]. β