ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΤΑ ΤΗ 18 ΑΪ Υ 2016 ΑΤΕΥΘΥ ΣΗΣ ( Α Α ΣΥΣΤΗ Α) ,β), τότε να αποδείξετε ότι το f(x

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΤΑ ΤΗ 18 ΑΪ Υ 2016 ΑΤΕΥΘΥ ΣΗΣ ( Α Α ΣΥΣΤΗ Α) ,β), τότε να αποδείξετε ότι το f(x"

Ζηναις Θεοτόκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΑ Α ΑΕΑΔΕΣ ΕΕΤΑΣΕΣ Γ ΤΑΗΣ ΗΕΗΣΥ ΓΕΥ ΥΕΥ Α ΕΑ (ΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΤΗ 8 ΑΪΥ 6 ΕΕΤΑΖΕ ΑΘΗΑ: ΑΘΗΑΤΑ ΣΑΑΤΣΥ (Ε ΣΥΣΤΗΑ) ΑΤΕΥΘΥΣΗΣ (ΑΑ ΣΥΣΤΗΑ) ΣΥ ΣΕΔΩ: ΤΕΣ (3) A. Έστω μια συνάρτηση f αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημεί τυ, στ ί όμως η f είναι συνεχής. Αν f() > στ (α, ) και f() < στ (,β), τότε να αδείξετε ότι τ f( ) είναι τικό μέγιστ της f. νάδες 7 A. Πότε δύ συναρτήσεις f, g λέγνται ίσες; νάδες 4 A3. Να διατυώσετε τ θεώρημα μέσης τιμής τυ διαφρικύ λγισμύ και να τ ερμηνεύσετε γεωμετρικά. νάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις ρτάσεις υ ακλυθύν, γράφντας στ τετράδιό σας, δίλα στ γράμμα υ αντιστιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθς, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[α,β], αράγυσα της f β α αν G είναι μια στ [α,β], τότε τ f(t)dt = G(α) G(β). β) Αν ι συναρτήσεις f,g έχυν όρι στ και ισχύει f() g() κντά στ, τότε f() g(). γ) Κάθε συνάρτηση f, για την ία ισχύει f() = για κάθε (α, ) (,β), είναι σταθερή στ (α, ) (,β). δ) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόν αν, για κάθε στιχεί y τυ συνόλυ τιμών της, η εξίσωση y ρς. = f() έχει ακριβώς μια λύση ως ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΑ Β ε) Αν η f είναι συνεχής στ [α,β], τότε η f αίρνει στ [α,β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m. Δίνεται η συνάρτηση f() =, +. νάδες B. Να βρείτε τα διαστήματα στα ία η f είναι γνησίως αύξυσα, τα διαστήματα στα ία η f είναι γνησίως φθίνυσα και τα ακρότατα της f. νάδες 6 B. Να βρείτε τα διαστήματα στα ία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα ία η f είναι κίλη και να ρσδιρίσετε τα σημεία καμής της γραφικής της αράστασης. B3. Να βρεθύν ι ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της f. νάδες 9 νάδες 7 B4. Με βάση τις ααντήσεις σας στα ερωτήματα Β, Β, Β3 να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f. (Η γραφική αράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) νάδες 3 ΘΕΑ Γ Γ. Να λύσετε την εξίσωση e =,. Γ. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: σχέση f() = ( e ) νάδες 4 υ ικανιύν την για κάθε και να αιτιλγήσετε την αάντησή σας. νάδες 8 Γ3. Αν f() = e,, να αδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. νάδες 4 Γ4. Αν f είναι η συνάρτηση τυ ερωτήματς Γ3, να λυθεί η εξίσωση: όταν [, + ). f( ημ + 3) f( ημ ) = f( +3) f() νάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f ρισμένη και δύ φρές αραγωγίσιμη στ, με συνεχή δεύτερη αράγωγ, για την ία ισχύει ότι: ( ) f ( ) = f()+f () ημ d = και f() ( ) = ημ e f() + = f f() + e για κάθε. Δ. Να δείξετε ότι f() = (μνάδες 4) και f() = (μνάδες 3). νάδες 7 Δ. α) Να δείξετε ότι η f δεν αρυσιάζει ακρότατα στ. (μνάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξυσα στ. (μνάδες ) Δ3. Να βρείτε τ ημ + συν f() + νάδες 6. νάδες 6 Δ4. Να δείξετε ότι e f(ln) < d <. νάδες 6 ΔΗΓΕΣ (για τυς εξεταζμένυς). Στ εξώφυλλ τυ τετραδίυ να γράψετε τ εξεταζόμεν μάθημα. Στ εσώφυλλ άνω-άνω να συμληρώσετε τα ατμικά στιχεία μαθητή. Στην αρχή των ααντήσεών σας να γράψετε άνω-άνω την ημερμηνία και τ εξεταζόμεν μάθημα. α μην αντιγράψετε τα θέματα στ τετράδι και να μη γράψετε υθενά στις ααντήσεις σας τ όνμά σας.. Να γράψετε τ νματεώνυμό σας στ άνω μέρς των φωταντιγράφων αμέσως μόλις σας αραδθύν. Τυχόν σημειώσεις σας άνω στα θέματα δεν θα βαθμλγηθύν σε καμία ερίτωση. Κατά την αχώρησή σας να αραδώσετε μαζί με τ τετράδι και τα φωταντίγραφα. 3. Να ααντήσετε στ τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόν με μλε ή μόν με μαύρ στυλό με μελάνι υ δεν σβήνει. Μλύβι ειτρέεται, μόν αν τ ζητάει η εκφώνηση, και μόν για ίνακες, διαγράμματα κλ. 4. Κάθε αάντηση ειστημνικά τεκμηριωμένη είναι αδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανμή των φωταντιγράφων. 6. Χρόνς δυνατής αχώρησης:..μ. ΣΑΣ ΕΥΧΑΣΤΕ KΑΗ ΕΤΥΧΑ ΤΕΣ ΗΥΑΤΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΤΕΤΑΡΤΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέµα Α Α Παραµή στ σχλικό βιβλί σελίδα 6. Α Παραµή στ σχλικό βιβλί σελίδα 4. Α3 Παραµή στ σχλικό βιβλί σελίδα 46 µε 47. Α4 α) Λάθς β) Σωστό γ) Λάθς δ) Σωστό ε) Σωστό ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ

5 Θέµα Β Β. f()= +, R Η f αραγωγίσιµη ως ρητή µε f()= ( ) ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + ) 3 + = = ( ) ( + ) ( + ) Ειλύυµε τυχαία f()> ( +) > ( + ) > > > Πρκύτει ίνακας µντνίας Εειδή η f είναι συνεχής στ R τότε: η f είναι γνησίως φθίνυσα στ, ( ]. [ ). η f είναι γνησίως φθίνυσα στ, + τ = είναι η θέση ελαχίστυ µε f min = f()=. ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ

6 Β. H f είναι αραγωγίσιµη στ D f = R ως ρητή µε f ()= = + ( + ) ( = ) + ( ) ( + ) ( + ) = ( + ) 4 ( )[ ( + ) 8 ] = ( + ) 4 = + = = 6 ( ) 3 ( + ) ( ) ( + ) = ( + ) 4 ( ) ( ) = 3 + ( +) 3 > Ειλύυµε τυχαία f ()> ( 3 )> 3 < 3 < < 3 < < < 3 3 Πρκύτει ίνακας ρσήµυ της f. Η f είναι κίλη στ, 3 3. Η f είναι κυρτή στ 3 3, 3 3. ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ 3

7 Η f είναι κίλη στ 3 3, +. Η f αρυσιάζει σηµεία καµής στις θέσεις = 3 3, = 3 3, τα σηµεία Α 3 3,f 3 3, δηλαδή Α 3 3, 4 Β 3 3,f 3 3, δηλαδή Β 3 3, 4 Β3. Αό τ D f ρκύτει ότι θα αναζητηθύν ι λάγιες ριζόντιες ασύµτωτες στ ±. Αναζήτηση στ +. = f() = = ( f() )= + = 3 + = + = = 3 = Άρα η f δέχεται ριζόντια ασύµτωτη στ + την ευθεία y =. Αναζήτηση στ f() = + = 3 + = 3 = = ( f() )= + = = Άρα η f δέχεται ριζόντια ασύµτωτη στ την ευθεία y =. ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ 4

8 Β4. Αό τις ααντήσεις των ερωτηµάτων Β,Β,Β 3 ρκύτει ίνακας µεταβλών ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ 5

9 Θέµα Γ Γ. Η e = έχει ρφανής ρίζα την = =. Θεωρύµε h() = e, R αραγωγίσιµη ως ράξεις αραγωγίσιµων συναρτήσεων στ R µε ( ) h()= e = e Εξ ρισµύ ελαχίστυ R ισχύει h() h() h(). Άρα = µναδική διλή ρίζα. Γ. Γνωρίζυµε ότι f() = e f() = h() h() R f() = h() ότε f()= h() ή f()= h() δηλαδή f()= e ή f()= e άρα υάρχυν τέσσερις συναρτήσεις, δύ χωρίς αόλυτ και δύ δίκλαδες διότι η συνάρτηση h() = e έχει µναδική ρίζα =. Γ3. Γνωρίζυµε ότι f()= ( e ) = ( e ) αφύ η f είναι αραγωγίσιµη ως ράξη και σύνθεση αραγωγίσιµων συναρτήσεων. ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ 6

10 Η f()αραγωγίσιµη ως ράξεις αραγωγίσιµων συναρτήσεων µε f ()= ( e )+ e f ()= e + 4 e = 4 e + e = 4 e + ( e ) Άρα η f είναι κυρτή R και f γνησίως αύξυσα R. Γ4. Θεωρύµε g() = f(+ 3) f(), R µε g αραγωγίσιµη στ R αφύ η f(+ 3) αραγωγίσιµη ως σύνθεση αραγωγίσιµων συναρτήσεων στ R και η f αραγωγίσιµη στ R µε g()= f(+ 3) ( + 3) f() g()= f(+ 3) f() f Γνωρίζυµε ότι + 3 > f(+ 3) > f() f(+ 3) f()> g()> και η g() είναι συνεχής άρα η g είναι γνησίως αύξυσα για κάθε R άρα η g είναι στ R. Αό εκφώνηση f( ηµ + 3) f( ηµ) = f(+ 3) f() g ( ηµ )= g() ηµ = > ηµ = και σύµφωνα µε τ σχλικό βιβλί (σελίδα 7) ρκύτει ότι =. ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ 7

11 Θέµα f()ηµd+ f ()ηµd = f()ηµd+ f() ( ) ηµd = f()ηµd+ f()ηµ [ ] f() ( συν ) d + f()ηµ [ f() ( συν) ] + [ ] f()συνd= f()συνd+ f()ηµ f()+ f()+ f()ηµ f()ηµ= f()= διότι f() ηµ = ότε f()= f()συνd= [ ] f()συνd= f() ηµ = Εειδή f()= έχυµε f() f() ηµ = ηµ =, Θεωρύµε u()= τότε f() f() f() f() f() f() f() f() ηµ = u() ηµ = f()= f()= = f() u() ηµ για µε u()= ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ 8

12 α) Είναιe f() + = f(f())+ e Η f είναι δύ φρές αραγωγίσιµη και η f(f()) είναι αραγωγίσιµη ως σύνθεση αραγωγίσιµων συναρτήσεων. Καθώς και η e,f() είναι αραγωγίσιµες τότε e f() αραγωγίσιµη ως σύνθεση αραγωγίσιµων συναρτήσεων. Άρα e f() + και η f(f())+ e την ισότητα ( e f() + ) = ( f(f())+ e ) e f() f()+ = f(f()) f()+ e είναι αραγωγίσιµες ότε αραγωγίζυµε Έστω ότι υάρχει εσωτερικό τυ R τέτι ώστε f( ) = () Άρα για = :e f( ) f( ) + = f(f( )) f( ) + e = e = όµως f()= αό ερώτηµα είναι Άτ Αφύ αό σχέση () είναι f()= β) Αφύ η αραγωγίσιµη f:r R δεν αρυσιάζει ακρότατ σηµαίνει f() R και ως συνεχής διατηρεί σταθερό ρόσηµ και f()= > άρα f()> R και η f συνεχής ότε f γνησίως αύξυσα στ R. 3 Αφύ η f γνησίως αύξυσα στ R και συνεχής γνωρίζυµε ότι ( ) f(r) = R = f(), άρα f()=+ f() Οότε αν λ()= λ() = f() ηµ + συν f() ( ηµ + συν) = f() λ() f(),d λ = R { R /f()= }και f() ( ηµ + συν) f() f() = f() = f() = = ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ 9

13 Αφύ f()=+ f() Αφύ f()=+ = f() = f() = = Άρα αό κριτήρι αρεµβλής λ()= e f(ln) 4 Ι = d Θέτυµε u = ln = τ u = = e τ u = du = ( ln) d = d Άρα I = f(u)du Είσης, αό < u < f f()< f(u)< f() < f(u)< du < I < du < Ι < u [ ] ( ) < Ι < < Ι < Ειµέλεια ααντήσεων των θεµάτων: Τµέας Μαθηµατικών Αξιλόγηση θεµάτων Τα θέµατα χαρακτηρίζνται ως ιτικά, διατυωµένα µε σαφήνεια και µε κλιµακύµενη δυσκλία. ΝΕΑ ΠΑΙ ΕΙΑ

Σχετικά έγγραφα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ