Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Αρκετά τρόφιμα περιέχου το ιχοτοιχείο ελήιο το οποίο, ότα προλαμβάεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική επίδραη τη υγεία Έας φοιτητής του τμήματος Επιτήμης Τροφίμω και Διατροφής του Αθρώπου του Γεωποικού Παεπιτημίου Αθηώ, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας, πρέπει α μελετήει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες μέω της διατροφής τους ε δύο υγκεκριμέες περιοχές της χώρας, έτω Α και Β, όπου κατεξοχή κατααλώοται τρόφιμα τοπικής παραγωγής (η περιεκτικότητα τω τροφίμω ε ελήιο ποικίλει αάλογα με τη περιοχή παραγωγής τους) Η ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάει ο άθρωπος από τις τροφές είαι προφαώς τυχαία μεταβλητή και από τη βιβλιογραφία ο φοιτητής γωρίζει ότι αυτή ακολουθεί καοική καταομή Δε γωρίζει όμως τις τιμές τω παραμέτρω της, τόο για τη περιοχή Α όο και για τη περιοχή Β και ειδικότερα για τους εήλικες αυτώ τω περιοχώ Δηλαδή, α Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α και Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Β, ο φοιτητής γωρίζει ότι ~ N( μ, ) και Y ~ N( μ, ) όμως δε γωρίζει τις τιμές τω παραμέτρω τους μ, και μ,, ατίτοιχα Για το κοπό αυτό, με μια τυχαία διαδικαία, επέλεξε 6 εήλικες από κάθε περιοχή και για καθέα υπολόγιε/μέτρηε (με κάποια μέθοδο) τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάει μέω της διατροφής του Μετά τη επεξεργαία τω δεδομέω που υγκέτρωε, προέκυψε ότι o δειγματικός μέος και η δειγματική τυπική απόκλιη για το δείγμα από τη περιοχή Α είαι x = 75μgr και s = 84μgr και για το δείγμα από τη περιοχή Β, είαι y = 87μgr και s = 9μgr Με βάη τα ευρήματα ε αυτά τα δύο τυχαία δείγματα, τι μπορεί α υμπεράει ο φοιτητής για τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, για τη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες τη περιοχή Α, και για τη, άγωτη επίης, μέη τιμή μ, αλλά και για το πώς αυτές υγκρίοται, δηλαδή, α είαι ίες ή διαφέρου και ποια είαι μεγαλύτερη (και πόο) α διαφέρου Επίης, τι μπορεί α υμπεράει για τις άγωτες διακυμάεις και και για το πώς αυτές υγκρίοται Αυτά τα ερωτήματα είαι τυπικά παραδείγματα ερωτημάτω τα οποία δίει απατήεις η Στατιτική Στη εότητα αυτή, θα δούμε ( επιτέλους) πώς, για παράδειγμα, ο φοιτητής μπορεί, με βάη τα ευρήματα το τυχαίο δείγμα από τη περιοχή Α, α «πει κάτι» για τη μέη τιμή μ της τυχαίας μεταβλητής Χ της οποίας δε γωρίζει επακριβώς τη καταομή (γωρίζει μόο τη οικογέεια καταομώ τη οποία αήκει) ή τι μπορεί α πει για το α οι μέες τιμές μ και μ είαι ίες ή διαφέρου (και πόο) και ατίτοιχα για τις διακυμάεις και Θα δούμε επίης, τι απατήεις μπορεί α δώει ε αυτά τα ερωτήματα α δε γωρίζει ε ποια οικογέεια καταομώ αήκει η καταομή της τυχαίας μεταβλητής Χ (και της Υ) Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 39
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Έα από τα γεικότερα θέματα που τίθεται με τα ερωτήματα που απαχολού το φοιτητή, είαι το εξής: πώς μπορούμε α εκτιμήουμε μία ή περιότερες άγωτες παραμέτρους της καταομής μιας τυχαίας μεταβλητής με βάη έα τυχαίο δείγμα από αυτή Εφόο θεωρούμε ότι το τυχαίο δείγμα που έχουμε τη διάθεή μας είαι έα ατιπροωπευτικό δείγμα τω δυατώ τιμώ της τυχαίας μεταβλητής που μελετάμε, είαι λογικό α εκτιμήουμε τις άγωτες παραμέτρους της μέω «κατάλληλω» τατιτικώ υαρτήεω που θα κατακευάουμε και θα μπορούμε (όπως έχουμε εξηγήει) α υπολογίουμε από το δείγμα Για παράδειγμα, για α εκτιμήουμε τη άγωτη μέη τιμή μ μιας τυχαίας μεταβλητής, έτω Χ, είαι λογικό α χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο που είαι μια υάρτηη του δείγματος και μπορεί α υπολογιθεί από αυτό Κάθε τατιτική υάρτηη που χρηιμοποιείται για τη εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού (δηλαδή, της καταομής μιας τμ) οομάζεται εκτιμήτρια υάρτηη ή εκτιμήτρια (estmator) της άγωτης παραμέτρου Η τιμή της εκτιμήτριας για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, οομάζεται εκτίμηη (estmaton) της άγωτης παραμέτρου Έτι, το παράδειγμά μας, α ως εκτιμήτρια της άγωτης μέης τιμής μ, της 6 τυχαίας μεταβλητής Χ, επιλέξουμε το δειγματικό μέο =, τότε, η τιμή 6 x = 75μgr της, για το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα που πήρε ο φοιτητής από τη περιοχή Α, μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής μ της Χ, δηλαδή, της άγωτης μέης ημερήιας ποότητας εληίου που προλαμβάου οι εήλικες τη περιοχή Α μέω της διατροφής τους Ατίτοιχα, η 6 τιμή y = 87μgr του δειγματικού μέου Y = Y, μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως 6 = μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής μ Σημειακή εκτίμηη Η εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού μέω της τιμής μιας εκτιμήτριας (για υγκεκριμέη πραγματοποίηη εός τυχαίου δείγματος από τo πληθυμό), οομάζεται ημειακή εκτίμηη (pont estmaton) της παραμέτρου και η εκτιμήτρια, οομάζεται ημειακή εκτιμήτρια (pont estmator) Είαι προφαές, ότι από κάθε πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, παίρουμε μια διαφορετική (ε γέει) ημειακή εκτίμηη της άγωτης παραμέτρου του πληθυμού Έτι, α ο φοιτητής έπαιρε έα άλλο τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 από τη περιοχή Α και εύρικε, για παράδειγμα, δειγματικό μέο x = 745μgr, αυτή θα ήτα μια άλλη ημειακή εκτίμηη της μέης τιμής μ του πληθυμού Επίης, α ως εκτιμήτρια της άγωτης πληθυμιακής μέης τιμής, ο φοιτητής δε επέλεγε το δειγματικό μέο, αλλά κατακεύαζε μια άλλη τατιτική υάρτηη, για παράδειγμα, τη mn + T = max, = Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 30
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης δηλαδή, το ημιάθροιμα της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος, προφαώς, θα έπαιρε μια διαφορετική ημειακή εκτίμηη από αυτή που πήρε, για τη ίδια πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, από το δειγματικό μέο Γεώται, επομέως, δύο εύλογα ερωτήματα α) Υπάρχει κάποια μέθοδος για α καθορίζουμε/κατακευάζουμε εκτιμήτριες με βάη κάποια κριτήρια και όχι αυθαίρετα; β) Ποιο είαι το «φάλμα της εκτίμηης» που κάουμε, δηλαδή, πόο κοτά τη πραγματική τιμή της παραμέτρου βρίκεται η τιμή της εκτιμήτριας που υπολογίζουμε από τη πραγματοποίηη εός τυχαίου δείγματος; Σε ότι αφορά το πρώτο ερώτημα, η απάτηη (αφαλώς) είαι αι Μια πολύ γωτή μέθοδος κατακευής εκτιμητριώ είαι η μέθοδος μέγιτης πιθαοφάειας (method of maxmum lkelhood) που προτάθηκε από το Ronald A Fsher (9) Μια άλλη, επίης πολύ γωτή μέθοδος/τεχική εκτίμηης, είαι η μέθοδος τω ροπώ (method of moments) που προτάθηκε από το Karl Pearson (894) Επίης, για τις εκτιμήτριες έχου οριθεί επιθυμητές ιδιότητες, ή αλλιώς, κριτήρια «καλής υμπεριφοράς» τους, όπως, αμεροληψία, υέπεια και αποτελεματικότητα Ας δούμε αυτές τις τρεις ιδιότητες (τις μεθόδους εκτίμηης δε θα ααφερθούμε) Ιδιότητες τω εκτιμητριώ Είαι προφαές, ότι μια εκτιμήτρια μπορεί α χαρακτηριθεί «καλή» ή όχι, δηλαδή, μπορούμε α θεωρήουμε ότι έχει ή δε έχει «καλές» ιδιότητες, αάλογα με τη υμπεριφορά της ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες (από δείγμα ε δείγμα), η οποία περιγράφεται από τη καταομή της, ή αλλιώς, από τη δειγματοληπτική καταομή Έτι, μια επιθυμητή/καλή ιδιότητα μιας εκτιμήτριας θα μπορούε α είαι η εξής: ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες, κατά μέο όρο α εκτιμά ωτά τη άγωτη παράμετρο, δηλαδή, ούτε α τη υπερεκτιμά ούτε α τη υποεκτιμά υτηματικά Η ιδιότητα αυτή οομάζεται αμεροληψία (unbasedness) Μια εκτιμήτρια, έτω θˆ, μιας παραμέτρου θ, οομάζεται αμερόληπτη (unbased), α η μέη τιμή της είαι ίη με τη αληθή/πραγματική τιμή της παραμέτρου, δηλαδή, α E [ ˆ] θ = θ Στο Σχήμα, η καταομή (α) είαι η καταομή μιας εκτιμήτριας μιας παραμέτρου θ και η καταομή (β) είαι η καταομή μιας άλλης εκτιμήτριας της ίδιας παραμέτρου θ Προφαώς, η (α) είαι καταομή αμερόληπτης εκτιμήτριας της παραμέτρου θ εώ η (β), που είαι μετατοπιμέη προς τα αριτερά της αληθούς τιμής της θ, είαι καταομή μη αμερόληπτης εκτιμήτριας της θ και τείει α υποεκτιμά τη θ Σχήμα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 3
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Στο Σχήμα, δίουμε τη έοια της αμεροληψίας πιο παρατατικά Σκεφθείτε ότι έας κοπευτής τοχεύει με βέλη προς έα τόχο και θεωρείτε ότι ο τόχος είαι η αληθής/πραγματική τιμή μιας παραμέτρου θ και ο κοπευτής είαι η εκτιμήτρια Οι επααλαμβαόμεες ρίψεις του βέλους, κατ ααλογία, ατιτοιχού τις επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες και το ημείο πρόπτωης του βέλους, τη εκτίμηη της θ, που φυικά εξαρτάται από το κοπευτή (τη εκτιμήτρια) Στη περίπτωη του κοπευτή-εκτιμήτριας (α), το ημείο πρόπτωης του βέλους (η εκτίμηη), τις επααλαμβαόμεες ρίψεις (δειγματοληψίες), βρίκεται υτηματικά μακριά από το τόχο ε υγκεκριμέη περιοχή (πάω δεξιά), εώ τη περίπτωη (β) βρίκεται γύρω/κοτά το τόχο (τη αληθή τιμή της παραμέτρου) Ας δούμε α ο δειγματικός μέος Σχήμα = = είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής, μ, εός πληθυμού, δηλαδή, α κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μέη τιμή του πληθυμού Στο Πόριμα 55 δείξαμε ότι E ( ) = μ = μ Επομέως, για οποιοδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διακύμαη, ο δειγματικός μέος = = (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος ) είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ Επίης, για οποιοδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διακύμαη, αποδεικύεται ότι η δειγματική διακύμαη S = ( ) = (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος ) είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής διακύμαης Πράγματι, E [ S ] = E ( ) = E = = = = E [ ] E[ ] = ( μ + ) ( Var( ) + ( E[ ]) = = ) = Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 3
( μ = + ) μ = Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Σημείωη : Στη προηγούμεη απόδειξη χρηιμοποιήαμε τη γωτή από το Α Μέρος χέη Var( ) = E[ ] ( E[ ]), ή αλλιώς, = E [ ] μ, καθώς και το ότι, όπως δείξαμε το Πόριμα 55, για οποιοδήποτε πληθυμό με μέη τιμή μ και διακύμαη, η διακύμαη του δειγματικού μέου (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος) είαι ίη με, δηλαδή, Var ( ) = = Σημείωη : Α ως εκτιμήτρια της διακύμαης, χρηιμοποιήουμε τη τατιτική υάρτηη S = ( * ) = εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι E [ S* ] = δηλαδή, η S * δε είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμαης όρο υποεκτιμά τη, εός πληθυμού, αφού κατά μέο Αυτός είαι και ο λόγος που τη Περιγραφική Στατιτική, ως δειγματική διακύμαη ορίαμε τη τατιτική υάρτηη S = ( ) = και όχι τη S *, που θα ήτα και πιο «λογικό» Σημείωη 3: Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί (δείτε το ως άκηη) ότι α η πληθυμιακή μέη τιμή μ είαι γωτή τότε η τατιτική υάρτηη = ( μ) είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμαης Ο δειγματικός μέος, όπως αποδείξαμε, είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ Όμως, και η τατιτική υάρτηη + T = α χρηιμοποιηθεί ως εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ, θα τη εκτιμά κατά μέο όρο ωτά, αφού, + E [ T ] = E = ( E[ ] + E[ ]) = ( μ + μ) = μ δηλαδή, είαι και αυτή μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της μ Παρατηρείτε επίης, ότι για οποιουδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, =,,, με α =, η τατιτική υάρτηη = Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 33
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης T = = a μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής μ, οποιουδήποτε πληθυμού (δείτε το ως μια απλή άκηη) Άραγε, μεταξύ αμερόληπτω εκτιμητριώ της ίδιας παραμέτρου εός πληθυμού, έχει ημαία ποια θα επιλέξουμε ή μήπως δε έχει; Η απάτηη είαι ότι έχει Η αμεροληψία δε είαι η μόη επιθυμητή ιδιότητα για μια εκτιμήτρια Δείτε το Σχήμα 3 τη υάρτηη πυκότητας μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας ˆ θ μιας παραμέτρου θ και τη υάρτηη πυκότητας μιας άλλης, αμερόληπτης επίης, εκτιμήτριας ˆ θ της ίδιας παραμέτρου θ Η εκτιμήτρια ˆ θ έχει προφαώς μικρότερη διακύμαη από τη εκτιμήτρια ˆ θ Όπως φαίεται από το χήμα, για οποιοδήποτε ε > 0, P ( θ ε ˆ θ ) ( ˆ θ + ε > P θ ε θ θ + ε ) δηλαδή, η ˆ θ έχει μεγαλύτερη πιθαότητα από τη ˆ θ α πάρει τιμή που α βρίκεται ε απόταη το πολύ ε από τη αληθή τιμή της παραμέτρου θ Επομέως, η εκτιμήτρια ˆ θ υμπεριφέρεται καλύτερα από τη ˆ θ γιατί έχει μικρότερη διακύμαη Έτι, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια, είαι επιθυμητό (δείτε και το Σχήμα 4) α έχει μικρή διακύμαη (αυτό, τεκμηριώεται και με τη αιότητα Chebyshev) Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ μιας παραμέτρου θ, οομάζεται πιο αποτελεματική (more effcent) από μια άλλη αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ της ίδιας παραμέτρου θ, α Var ˆ θ ) < Var( ˆ ) ( θ Σχήμα 3 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 34
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Σχήμα 4 Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι από τις εκτιμήτριες T = a, με α = = της μέης τιμής μ εός πληθυμού, τη μικρότερη διακύμαη έχει αυτή για τη οποία α =, =,,,, δηλαδή, ο δειγματικός μέος = = = Προφαώς, είαι εδιαφέρο και φυικά επιθυμητό, από όλες τις αμερόληπτες εκτιμήτριες μιας παραμέτρου α προδιορίουμε εκείη με τη ελάχιτη διακύμαη, δηλαδή, α προδιορίουμε τη αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιτης διαποράς (διακύμαης) της παραμέτρου Όμως, για το α και πώς μπορούμε α προδιορίουμε μια τέτοια εκτιμήτρια δε θα επεκταθούμε περιότερο Ολοκληρώουμε αυτή τη ύτομη ααφορά ε κάποιες από τις επιθυμητές ιδιότητες τω εκτιμητριώ, με τη ιδιότητα της υέπειας (consstency) η οποία κατατάεται τις ιδιότητες που ααφέροται τη αυμπτωτική υμπεριφορά τω εκτιμητριώ, δηλαδή, το πώς υμπεριφέρεται μια εκτιμήτρια ότα το μέγεθος του δείγματος αυξάεται (θεωρητικά ότα + ) Δε θα ααφερθούμε εκτεώς, ούτε θα δώουμε το αυτηρό οριμό της υέπειας Θα κάουμε μόο μια ύτομη ααφορά το όημά της και θα δώουμε έα παράδειγμα Ότα, προηγουμέως, ααφερθήκαμε τη ιδιότητα της αποτελεματικότητας, προπαθήαμε α εξηγήουμε γιατί είαι επιθυμητό α έχει μια αμερόληπτη εκτιμήτρια μικρή διακύμαη Μπορεί α αποδειχθεί ότι α η διακύμαη μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας (ακριβέτερα, μια ακολουθίας αμερόληπτω εκτιμητριώ) υγκλίει το μηδέ ότα το μέγεθος του δείγματος αυξάεται ( + ), τότε αυξάεται η πιθαότητα η εκτίμηη α βρίκεται «κοτά» τη τιμή της παραμέτρου Αυτή η ιδιότητα οομάζεται υέπεια Μια εκτιμήτρια οομάζεται υεπής (consstent) α, καθώς αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, η εκτίμηη γίεται καλύτερη/ακριβέτερη, δηλαδή, οι τιμές της εκτιμήτριας πληιάζου (υγκλίου τοχατικά) τη τιμή της παραμέτρου Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι ο δειγματικός μέος είαι υεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής (αρκεί α θυμηθούμε ότι είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής και ότι η διακύμαη της,, τείει το μηδέ ότα + και εφόο, φυικά, η πληθυμιακή διακύμαη,, είαι πεπεραμέη) Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 35
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Δηλαδή, όο αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, αυξάεται η πιθαότητα οι τιμές του δειγματικού μέου,, α βρίκοται κοτά, α υγκλίου, τη πληθυμιακή μέη τιμή, μ Σημειώουμε, τέλος, ότι και η αμερόληπτη δειγματική διακύμαη, S, είαι υεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής διακύμαης Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε α απατήουμε το δεύτερο από τα δύο ερωτήματα που θέαμε τη αρχή αυτής της εότητας, δηλαδή, για το τι μπορούμε α πούμε για το φάλμα που κάουμε, ότα εκτιμάμε μια άγωτη παράμετρο εός πληθυμού με βάη τη πληροφορία που παίρουμε από έα τυχαίο δείγμα τιμώ του 3 Εκτίμηη με διάτημα Μια ημειακή εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού, όπως είδαμε, είαι έας υγκεκριμέος αριθμός (η υγκεκριμέη τιμή της εκτιμήτριας για μια υγκεκριμέη πραγματοποίηη εός τυχαίου δείγματος από το πληθυμό) Όπως επίης είδαμε, με τις επιθυμητές ιδιότητες τω εκτιμητριώ, ουιατικά, ζητάμε οι τιμές της εκτιμήτριας (ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες) α βρίκοται με μεγάλη πιθαότητα κοτά τη πραγματική/αληθή τιμή της παραμέτρου, δηλαδή, το φάλμα της εκτίμηης α είαι μικρό, με μεγάλη πιθαότητα Μπορούμε όμως α κάουμε κάτι ακόμη, έα επιπλέο βήμα Με βάη πάτα τη πληροφορία που παίρουμε από έα τυχαίο δείγμα, ατί α δίουμε έα μόο αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη) ως εκτίμηη της άγωτης παραμέτρου του πληθυμού, α δίουμε έα διάτημα εμπιτούης, δηλαδή, έα διάτημα το οποίο α περιέχει, με δεδομέη εμπιτούη (πιθαότητα), τη εκτιμώμεη παράμερο Μια τέτοια εκτίμηη λέγεται εκτίμηη με διάτημα (nterval estmaton) Έα 00( διάτημα εμπιτούης (confdence nterval) ( 0 < α < ), για μια παράμετρο εός πληθυμού, είαι έα διάτημα που υπολογίζεται από έα τυχαίο δείγμα από το πληθυμό και έχει πιθαότητα α α περιέχει τη πραγματική τιμή της παραμέτρου Η πιθαότητα α οομάζεται υτελετής εμπιτούης (confdence coeffcent) του διατήματος Έτι, κατακευάζοτας για μια άγωτη παράμετρο εός πληθυμού, έα 00( διάτημα εμπιτούης, δίουμε ως εκτίμηή της, όχι έα αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη) αλλά δύο αριθμούς που ορίζου έα διάτημα το οποίο περιέχει τη άγωτη παράμετρο με οριμέη πιθαότητα, ίη με α Η πιθαότητα αυτή αφαλώς ορίζεται α είαι μεγάλη (υήθως, ίη με 090 ή 095 ή 098 ή 099) Διευκριίζουμε και επιημαίουμε, ότι λέγοτας, «το διάτημα εμπιτούης υπολογίζεται από έα τυχαίο δείγμα», εοούμε ότι τα άκρα του είαι τατιτικές υαρτήεις (υαρτήεις του δείγματος που δε περιέχου άγωτες παραμέτρους), δηλαδή, μπορεί α υπολογιθεί αποκλειτικά από το υγκεκριμέο δείγμα που, κάθε φορά, έχουμε τη διάθεή μας Είαι προφαές, ότι από πραγματοποίηη ε πραγματοποίηη του δείγματος, το διάτημα εμπιτούης, ε γέει, μεταβάλλεται, είαι δηλαδή, τυχαία μεταβλητή Πρι εξηγήουμε πώς κατακευάζεται, ας δούμε πώς πρέπει α ερμηεύεται έα 00( διάτημα εμπιτούης Σύμφωα με το οριμό που δώαμε προηγουμέως, έα 00( διάτημα εμπιτούης μιας παραμέτρου εός πληθυμού, περιέχει τη τιμή της παραμέτρου με πιθαότητα α Αυτό, ύμφωα με τη ερμηεία της πιθαότητας ως οριακή χετική υχότητα (οριμός της πιθαότητας κατά von Mses), ημαίει/έχει τη έοια ότι: ε μεγάλο αριθμό επααλήψεω του πειράματος «παίρω έα τυχαίο Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 36
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης δείγμα μεγέθους από το πληθυμό και κατακευάζω για τη άγωτη παράμετρο έα 00( διάτημα εμπιτούης», ποοτό α τω δειγμάτω, θα δώου διάτημα που θα περιέχει τη τιμή της παραμέτρου και ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που δε θα περιέχει τη τιμή της παραμέτρου Βέβαια, ότα πάρουμε έα υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα, ποτέ δε είματε βέβαιοι/δε ξέρουμε α το διάτημα εμπιτούης που θα κατακευάουμε από αυτό, περιέχει/εγκλωβίζει ή όχι τη τιμή της παραμέτρου (εκτός α γωρίζαμε τη τιμή της παραμέτρου) Αυτό, φυικά, δε μειώει τη αξία εός διατήματος εμπιτούης Η εμπιτούη μας τη εκτίμηη της παραμέτρου με αυτό, είαι ίη με α, είαι αφώς οριμέη και έχει τη έοια που εξηγήαμε προηγουμέως Ας δούμε και μια πιο παρατατική ερμηεία της εκτίμηης με διάτημα εμπιτούης που πιτεύουμε ότι θα βοηθήει τη καταόηη Σκεφθείτε ότι προπαθείτε, πετώτας έα λάο, α «εγκλωβίετε» έα πακτωμέο/ταθερό πάαλο (α περάετε τη θηλιά του λάου το πάαλο) Ο πάαλος ααπαριτά τη παράμετρο που θέλετε α εκτιμήετε και η θηλιά του λάου το διάτημα εμπιτούης Κάθε φορά που πετάτε το λάο προς το πάαλο, ελπίζετε ότι θα καταφέρετε α το «εγκλωβίετε» Όμως αυτό, κάποιες φορές υμβαίει και κάποιες όχι Κατ ααλογία, κάθε φορά που παίρετε έα τυχαίο δείγμα και κατακευάζετε από αυτό έα διάτημα εμπιτούης για α εκτιμήετε μια παράμετρο, ελπίζετε ότι θα «εγκλωβίετε» τη παράμετρο το διάτημα που κατακευάατε, αλλά όπως υμβαίει με τη θηλιά και το πάαλο, κάποιες φορές επιτυγχάετε και κάποιες αποτυγχάετε Το ποοτό τω «επιτυχιώ» ας, ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες, είαι ο υτελετής εμπιτούης Παρατήρηη : Κάποιος θα μπορούε α δώει τη εξής ερμηεία για έα 00( διάτημα εμπιτούης: η παράμετρος έχει α πιθαότητα α βρίκεται το υγκεκριμέο διάτημα που κατακευάαμε Προφαώς μια τέτοια ερμηεία δε ευταθεί, είαι λάθος, γιατί η παράμετρος είαι, άγωτη με, αλλά ταθερός αριθμός και επομέως ή αήκει ή δε αήκει το υγκεκριμέο διάτημα (πιθαότητες αποδίδουμε τις τιμές τυχαίω μεταβλητώ) Ας δούμε τώρα, πώς μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός πληθυμού Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ως εκτιμήτρια της μέης τιμής μ θα χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο αφού όπως διαπιτώαμε έχει καλές ιδιότητες και επιπλέο, όπως είδαμε το 0 ο Κεφάλαιο, υπάρχου αποτελέματα της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιτικής που μας δίου επακριβώς ή με ικαοποιητική προέγγιη τη καταομή της Για αυτές τις περιπτώεις (που γωρίζουμε επακριβώς ή με ικαοποιητική προέγγιη τη καταομή της ), ας δούμε πώς μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη εκτίμηη της μέης τιμής μ εός πληθυμού Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 37
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι γωτή Έτω τυχαίο δείγμα,, K,, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο), από έα καοικό πληθυμό με άγωτη μέη τιμή μ (τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε) και με γωτή διακύμαη Επειδή ~ N( μ, ), =,,,, από τη θεωρία πιθαοτήτω γωρίζουμε ότι η καταομή του δειγματικού μέου είαι καοική με μέη τιμή μ και διακύμαη, δηλαδή ( μ) n ~ N( μ, ) και επομέως = Z ~ N(0,) Επίης γωρίζουμε, ότι για τη τυποποιημέη καοική καταομή μπορούμε α ορίουμε έα υμμετρικό γύρω από τη μέη τιμή της (από το 0) διάτημα, το οποίο η Ζ παίρει τιμές με δοθεία πιθαότητα α (θυμηθείτε πώς ορίζουμε και υμβολίζουμε έα άωα -ποοτιαίο ημείο τη τυποποιημέη καοική καταομή) Έτι, όπως φαίεται και το Σχήμα 5, η Ζ παίρει τιμές το υμμετρικό διάτημα z α, z ] με πιθαότητα α Δηλαδή, [ α P ( z Z ) = α α zα Σχήμα 5 Επομέως, ( μ) P ( zα zα ) = α και επειδή ( μ) z α zα z α μ zα zα μ + zα zα μ + zα τα εδεχόμεα ( μ) zα zα και zα μ + zα υμβαίου με τη ίδια πιθαότητα, έτι P ( zα μ + zα ) = α Αυτό ημαίει, ότι το τυχαίο διάτημα, ± z α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 38
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθαότητα α και επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Έτι, κάθε φορά που έχουμε τη διάθεή μας μια υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,, K,, υπολογίζουμε τη τιμή, x, της και αφού καθορίουμε έα επιθυμητό υτελετή εμπιτούης α, μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης, αφού η διακύμαη,, του πληθυμού μάς είαι γωτή και η τιμή z α δίεται από το πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής (με ατίτροφη αάγωη) Κατακευάζοτας για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, με βάη μια υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος, έα υγκεκριμέο 00( διάτημα εμπιτούης x ± z α δε είματε ποτέ βέβαιοι, όπως ήδη έχουμε εξηγήει, α το διάτημα αυτό περιέχει ή όχι τη άγωτη μέη τιμή μ Γωρίζουμε όμως, ότι η πιθαότητα α υμβεί αυτό είαι α και έχει τη έοια, όπως επίης εξηγήαμε, ότι α επααλάβουμε τη προηγούμεη διαδικαία πολλές φορές, ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που θα περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού και ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που δε θα τη περιέχει Στο Σχήμα 6, δείχουμε πιο παρατατικά αυτό ακριβώς Θεωρείτε ότι επααλάβαμε τη προηγούμεη διαδικαία 80 φορές και κατακευάαμε (για υγκεκριμέο/γωτό και υγκεκριμέο μέγεθος δείγματος ) 80 διατήματα εμπιτούης με 095 υτελετή εμπιτούης το καθέα, x ±96 Τα τέερα ( 0 05 80 = 4 ) από αυτά περιμέουμε α μη περιέχου τη πληθυμιακή μέη τιμή μ Στο χήμα φαίοται κάποια από αυτά τα 80 διατήματα Σχήμα 6 Παρατηρείτε ότι τα κέτρα τω διατημάτω που δε περιέχου τη μ (το χήμα φαίοται από τα 4 που περιμέουμε), είαι αρκετά απομακρυμέα από το κέτρο της δειγματοληπτικής καταομής (της καταομής της ) Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 39
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Παρατήρηη : Όπως φαίεται και το Σχήμα 6, το πλάτος τω 00( διατημάτω εμπιτούης, x ± z α, από δείγμα ε δείγμα του ιδίου μεγέθους δε αλλάζει, παραμέει ταθερό και είαι ίο με z α Αυτό υμβαίει γιατί το τύπο αυτό (του μήκους του διατήματος υγκεκριμέου υτελετή εμπιτούης) δε εμφαίζεται κάποια ποότητα που μεταβάλλεται από δείγμα ε δείγμα του ιδίου μεγέθους (η τυπική απόκλιη του πληθυμού, είαι έας μοαδικός/ταθερός αριθμός) Περιθώριο φάλματος (margn of error) Ότα εκτιμάμε τη μέη τιμή μ εός πληθυμού με το δειγματικό μέο, το φάλμα της εκτίμηης (error of estmaton) που κάουμε, για υγκεκριμέο κάθε φορά δείγμα, είαι μ x και προφαώς, από δείγμα ε δείγμα αυτό αλλάζει Είαι δηλαδή, τυχαία μεταβλητή ( μ ) Δίοτας ως εκτίμηη της πληθυμιακής μέης τιμής μ, έα 00( διάτημα εμπιτούης, x ± z α, ουιατικά δίουμε με προκαθοριμέη πιθαότητα ίη με α, έα περιθώριο φάλματος της εκτίμηης ίο με z α Α και είαι προφαές τι εοούμε με τη όρο περιθώριο φάλματος, καθώς και γιατί τη περίπτωη που εξετάζουμε αυτό είαι z α (με πιθαότητα α ), ας δούμε πώς ορίζεται και πώς τα προηγούμεα προκύπτου πιο «φορμαλιτικά» Ως περιθώριο φάλματος (margn of error) της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής μ από το δειγματικό μέο, ορίζουμε το μέγιτο φάλμα, με πιθαότητα α, που μπορεί α κάουμε Δηλαδή, έα θετικό αριθμό d, τέτοιο ώτε P ( μ d) = α Επομέως, ιοδύαμα, έχουμε d d P ( d μ d) = α ή P ( Z ) = α Άρα d = zα d = zα Έτι, εκτιμώτας τη άγωτη μέη τιμή μ με έα, για παράδειγμα, 95% διάτημα εμπιτούης, το περιθώριο φάλματος, με πιθαότητα 095, είαι 96 Δηλαδή, ο δειγματικός μέος, με πιθαότητα 095, βρίκεται ε απόταη το πολύ ίη με 96 (αριτερά ή δεξιά) από τη πληθυμιακή μέη τιμή Σημείωη : Όπως διαπιτώαμε, η τυπική απόκλιη, =, του δειγματικού μέου, υδέεται άμεα με το φάλμα της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής από το δειγματικό μέο Έτι εξηγείται γιατί η τυπική απόκλιη, οομάθηκε τυπικό φάλμα (standard error) Εμπιτούη vs ακρίβεια και επιλογή μεγέθους δείγματος Είαι φαερό ότι όο μεγαλύτερο υτελετή εμπιτούης ορίζουμε, δηλαδή, όο μεγαλύτερη θέλουμε α είαι η πιθαότητα το διάτημα που θα κατακευάουμε α περιέχει τη πληθυμιακή μέη τιμή, τόο το πλάτος/εύρος του διατήματος, έτω l, γίεται μεγαλύτερο Επομέως, αυξάοτας το υτελετή εμπιτούης, αυξάεται το Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 330
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης περιθώριο φάλματος, ή αλλιώς, μειώεται η ακρίβεια της εκτίμηης Παρατηρείτε το τύπο που δίει το διάτημα εμπιτούης Το πλάτος/εύρος του διατήματος είαι l = zα = d δηλαδή, καθορίζεται από το περιθώριο φάλματος Α αυξήουμε το υτελετή εμπιτούης, α, η τιμή z α θα μεγαλώει γιατί είαι αύξουα υάρτηη του α (ή αλλιώς, φθίουα υάρτηη του α ) και επειδή το είαι ταθερό/μοαδικό για το πληθυμό και το είαι καθοριμέο, το περιθώριο φάλματος και επομέως το πλάτος του διατήματος, ααπόφευκτα, θα μεγαλώει και θα χάουμε ε ακρίβεια Εφόο ότα απαιτούμε μεγαλύτερη εμπιτούη αυξάεται το περιθώριο φάλματος (χάουμε ε ακρίβεια), για α ελέγξουμε και τα δύο αυτά μεγέθη, μπορούμε α κάουμε το εξής Στη φάη χεδιαμού της έρευας, δηλαδή, πρι πάρουμε το δείγμα, καθορίζουμε, τόο το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούης, α, όο και το αεκτό περιθώριο φάλματος, d Έτι, χρηιμοποιώτας το τύπο d = z α λύουμε ως προς το μέγεθος του δείγματος, z α zα = ή = d l και με αυτό το τρόπο βρίκουμε το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος, για α πετύχουμε, το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούης,το αεκτό περιθώριο φάλματος Πρι υεχίουμε με άλλες περιπτώεις υπολογιμού διατημάτω εμπιτούης, ας δούμε έα παράδειγμα Παράδειγμα : Μια αυτόματη μηχαή υκευάζει καλαμπόκι ε τουβάλια τω 5kg Το βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι είαι τυχαία μεταβλητή, έτω Χ, η οποία, ύμφωα με το κατακευατή της μηχαής, ακολουθεί μια καοική καταομή με διακύμαη = 5 Kg Ο υπεύθυος παραγωγής αμφιβάλλει για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι και προκειμέου α το εκτιμήει, επέλεξε τυχαία 5 τουβάλια από τη παραγωγή μιας ημέρας, τα ζύγιε και βρήκε ότι έχου μέο βάρος 4 8kg Με βάη τη πληροφορία από το τυχαίο δείγμα που πήρε ο υπεύθυος παραγωγής, τι μπορούμε α υμπεράουμε για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή; Ως μια εκτίμηη (ημειακή) της μέης τιμής μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ μπορούμε προφαώς, α χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο x = 4 8kg και α υμπεράουμε ότι η τιμή της μ είαι περίπου ίη με 48kg Βέβαια, έα άλλο τυχαίο δείγμα του ιδίου μεγέθους δε περιμέουμε α δώει ακριβώς τη ίδια εκτίμηη, μπορεί α δώει 5kg, ή 5kg ή 45kg ή κάποια άλλη εκτίμηη Γωρίζουμε όμως ότι ο δειγματικός μέος έχει καλές ιδιότητες, όπως, ότι ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μ και ότι όο αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, παίρει τιμές κοτά τη πραγματική τιμή της μ με μεγάλη πιθαότητα Επιπλέο μπορούμε α κατακευάουμε έα διάτημα εμπιτούης με ικαοποιητική εμπιτούη, για παράδειγμα 095, δηλαδή έα διάτημα το οποίο με πιθαότητα 095 α περιέχει τη πραγματική τιμή της μέης τιμής, μ Επειδή το Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 33
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης δείγμα μας προέρχεται από καοικό πληθυμό με γωτή διακύμαη = 5 kg, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή, μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή, είαι 5 5 x ± z 005 ή 48 ± z 0 05 ή 4 8 ± 96 ή 4 8 ± 0 76 5 5 Μπορούμε επομέως, α υμπεράουμε ότι το διάτημα [ 404, 556] περιέχει με πιθαότητα 095, το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή Το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης, με πιθαότητα 095, είαι 076kg Α θέλουμε α έχουμε μεγαλύτερη εμπιτούη τη εκτίμηή μας, ας πούμε 099, κατακευάζουμε από το ίδιο δείγμα έα 99% διάτημα εμπιτούης Έτι, παίρουμε 5 5 x ± z 00 ή 48 ± z 0 005 ή 4 8 ± 58 ή 4 8 ± 5 5 Συεπώς, τώρα μπορούμε α υμπεράουμε ότι το διάτημα [ 38, 58] περιέχει με πιθαότητα 099, το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή Όμως, το περιθώριο φάλματος αυτής της εκτίμηης με πιθαότητα 099, είαι kg, δηλαδή, μεγάλωε και επομέως χάαμε ε ακρίβεια εκτίμηης Παρατηρείτε ότι το πλάτος του 99% διατήματος εμπιτούης είαι kg = kg εώ του 95% διατήματος εμπιτούης είαι 076kg = 5kg (δείτε και το Σχήμα 7) Σχήμα 7 Α θέλουμε η εμπιτούη τη εκτίμηή μας για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή α είαι 099 και το φάλμα της εκτίμηης α είαι, για παράδειγμα, το πολύ ± 05kg, δηλαδή, το περιθώριο φάλματος με πιθαότητα 099 α είαι d = 0 5kg (καθοριμέο εκ τω προτέρω), τότε το απαιτούμεο μέγεθος του δείγματος που πρέπει α επιλέξουμε είαι z 5 0005 α z = = 60 d 05 Στις περιπτώεις που ακολουθού, δίουμε μόο τους τύπους υπολογιμού τω διατημάτω εμπιτούης Η μέθοδος που εφαρμόζουμε για α κατακευάουμε αυτά τα διατήματα εμπιτούης είαι αάλογη με αυτή που εφαρμόαμε προηγουμέως Φυικά, αξιοποιούμε τα ατίτοιχα, κατά περίπτωη, αποτελέματα τω Πιθαοτήτω και της Στατιτικής για τις δειγματοληπτικές καταομές που ααφέραμε το 0 ο Κεφάλαιο (για δείγματα από καοική καταομή ή για μεγάλα δείγματα) Σημειώουμε επίης, ότι όα προηγουμέως ααφέραμε για το πώς επηρεάζεται η ακρίβεια της εκτίμηης από το επίπεδο εμπιτούης, ιχύου και τις περιπτώεις που ακολουθού Μόο οι χετικοί τύποι αλλάζου Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι άγωτη Στη προηγούμεη παράγραφο υπολογίαμε το τύπο που δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός καοικού πληθυμού του οποίου Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 33
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης γωρίζουμε τη διακύμαη Όμως, ε πρακτικά προβλήματα, η διακύμαη του πληθυμού, υήθως δε είαι γωτή Έτω λοιπό, τυχαίο δείγμα,, K, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο) από μια καοική καταομή με άγωτη μέη τιμή μ (τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε) και με άγωτη διακύμαη Στη περίπτωη αυτή, εκτιμάμε τη άγωτη πληθυμιακή διακύμαη από τη αμερόληπτη δειγματική διακύμαη S = ( ) = και επειδή (όπως είδαμε το 0 ο Κεφάλαιο) η τυχαία μεταβλητή ( μ) T = S όπου S = S, ακολουθεί τη t-καταομή με βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή ( μ) T = ~ t S εργαζόμεοι όπως τη Παράγραφο, εύκολα μπορούμε α αποδείξουμε ότι το τυχαίο διάτημα S ± t ; α, περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθαότητα α και επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Υπεθυμίζουμε, ότι με t ; α υμβολίζουμε το άω α -ποοτιαίο ημείο της t- καταομής με βαθμούς ελευθερίας, το οποίο για διάφορες τιμές του α και του, δίεται από χετικό πίακα (δείτε και το Σχήμα 8) Σχήμα 8 Παρατηρείτε, ότι το τυχαίο διάτημα S ± t ; α από δείγμα ε δείγμα (του ιδίου μεγέθους) μεταβάλλεται, ε γέει, όχι μόο ως προς τη τιμή του δειγματικού μέου, αλλά και ως προς τη τιμή της δειγματικής τυπικής απόκλιης S Δηλαδή, το πλάτος/εύρος S l = t ; α, τω 00( διατημάτω εμπιτούης που κατακευάζουμε είαι τυχαία μεταβλητή αφού από δείγμα ε δείγμα μεταβάλλεται (εώ τη περίπτωη της Παραγράφου, όπως είδαμε είαι ταθερό) Έτι, και ο προδιοριμός κατάλληλου μεγέθους δείγματος για α πετύχουμε προκαθοριμέο περιθώριο Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 333
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης φάλματος (το επιθυμητό υτελετή εμπιτούης), δε μπορεί α γίει όπως τη Παράγραφο Λύη το πρόβλημα αυτό έχει δώει ο Charles Sten (945), με μια διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας (Sten s two-stage scheme), όμως δε θα επεκταθούμε περιότερο Ας επαέλθουμε τώρα τα ερωτήματα που απαχολού το φοιτητή (το ειαγωγικό παράδειγμα της εότητας) Παράδειγμα : Το τυχαίο δείγμα μεγέθους = 6 που πήρε ο φοιτητής από τη περιοχή Α, προέρχεται από καοικό πληθυμό με άγωτη μέη τιμή μ και άγωτη διακύμαη Δηλαδή, για τη τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, έχουμε ~ N( μ, ) Επειδή ο δειγματικός μέος και η δειγματική τυπική απόκλιη είαι ατίτοιχα, x = 75μgr και s = 84μgr, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α μ, είαι 84 84 75 ± t 5;0 05 ή 75 ± 3 ή 75 ± 4 475 6 6 Επομέως, μπορούμε α υμπεράουμε ότι με πιθαότητα 095 το διάτημα [ 705, 7948] περιέχει τη άγωτη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, μ Το εύρος αυτού του διατήματος είαι ίο με 4 475 μgr Α θέλουμε, για το ίδιο υτελετή εμπιτούης, καλύτερη ακρίβεια (διάτημα μικρότερου εύρους) πρέπει α πάρουμε μεγαλύτερου μεγέθους δείγμα Για α υπολογίουμε το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται για α πετύχουμε, ε δεδομέο επίπεδο εμπιτούης έα προκαθοριμέο αεκτό εύρος για το διάτημα εμπιτούης, μπορούμε α εφαρμόουμε τη διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας Sten Βέβαια, όπως εξηγήαμε τα προηγούμεα, μπορούμε α βελτιώουμε τη ακρίβεια της εκτίμηης α από το ίδιο δείγμα κατακευάουμε έα διάτημα εμπιτούης με μικρότερο υτελετή εμπιτούης, για παράδειγμα, 090 Πράγματι, το 90% διάτημα εμπιτούης που παίρουμε από το υγκεκριμέο δείγμα, είαι 84 84 75 ± t 5;0 05 ή 75 ± 753 ή 75 ± 3 68 6 6 και το εύρος τώρα είαι μικρότερο (είαι ίο με 368μgr ) Εργαζόμεοι με το ίδιο τρόπο μπορούμε α δώουμε εκτίμηη με διάτημα εμπιτούης και για τη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Β, μ (δείτε το ως άκηη) 3 Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή Α το τυχαίο δείγμα,, K, προέρχεται από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική), με μέη τιμή μ και διακύμαη, τότε όπως είδαμε το Α Μέρος (ΚΟΘ), για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 30 ), κατά προέγγιη έχουμε ~ N( μ, ) Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 334
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Επομέως, τη περίπτωη αυτή, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη, x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, όπως τη περίπτωη, δίεται από το τύπο, x ± z α Βέβαια, επειδή η καταομή της δε είαι καοική αλλά προεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καοική, το διάτημα αυτό είαι υτελετή εμπιτούης α κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθαότητα περίπου α, α περιέχει τη άγωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ 4 Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη Α το δείγμα,, K, προέρχεται από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική), με μέη τιμή μ και διακύμαη, τότε (όπως είδαμε το 0 ο Κεφάλαιο) για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 30 ), κατά προέγγιη έχουμε ( μ) ~ N(0,) S Επομέως, τη περίπτωη αυτή, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,, K,, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, δίεται από το τύπο s x ± zα Βέβαια, όπως και τη Παράγραφο 3, το διάτημα αυτό είαι υτελετή εμπιτούης α κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθαότητα περίπου α, α περιέχει τη άγωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ Για διευκόλυή μας, υοψίζουμε τις προηγούμεες περιπτώεις, το Πίακα 00( Διατήματα Εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού από έα τυχαίο δείγμα μεγέθους Πληθυμός Καοικός Οποιοδήποτε Οποιοδήποτε Διακύμαη του πληθυμού ( ) Μέγεθος του δείγματος ( ) 00( α )% Δ Ε για τη μέη τιμή, μ, του πληθυμού Γωτή Οτιδήποτε ± z α () Γωτή Μεγάλο Άγωτη Μεγάλο Καοικός Άγωτη Οτιδήποτε S ± zα () S ± t ; α (3) Όχι Καοικός Γωτή ή Άγωτη Μικρό? Πίακας Σημείωη : α) Είαι προφαές, όμως το επιημαίουμε, ότι ε κάθε περίπτωη το δείγμα θεωρείται τυχαίο β) Για μεγάλο δείγμα από καοική καταομή με άγωτη διακύμαη, μπορεί α εφαρμοθεί ή ο τύπος () ή ο τύπος (3) αφού τη περίπτωη Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 335
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης αυτή δίου ίδιο διάτημα (για μεγάλα, t ; α zα ) Όμως, για μικρό δείγμα από καοική καταομή με άγωτη διακύμαη, το διάτημα (3) αποτελεί μοαδική επιλογή μας γ) Ο τύπος (3) (Παράγραφος ), παρότι πρέπει α εφαρμόζεται με τη προϋπόθεη ότι ο πληθυμός είαι καοικός, ετούτοις, έχει διαπιτωθεί ότι τη πράξη δίει καλά αποτελέματα ακόμη και ότα ο πληθυμός δε είαι καοικός Δηλαδή, η πιθαότητα το διάτημα αυτό α περιέχει τη πληθυμιακή μέη τιμή δε απέχει πολύ από α Αρκεί βέβαια, ο πληθυμός α μη απέχει δραματικά από το α είαι καοικός (οβαρή αυμμετρία, πολυκόρυφη, κτλ) και το δείγμα α μη είαι πολύ μικρό 3 Διάτημα εμπιτούης για το διωυμικό ποοτό Α,, K, τυχαίο δείγμα από πληθυμό που ακολουθεί καταομή Bernoull με παράμετρο p (πιθαότητα επιτυχίας) και επομέως με μέη τιμή μ = p και διακύμαη = p( p) Στο 0 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι για τη τυχαία μεταβλητή + + + η οποία εκφράζει το ποοτό τω επιτυχιώ το δείγμα Pˆ, για μεγάλα, κατά προέγγιη έχουμε ˆ + + + p( p) P = ~ N p, Η προέγγιη αυτή είαι ικαοποιητική α p 5 και ( p) 5 ή p( p) 0 (θυμηθείτε ότι το πόο μεγάλο πρέπει α είαι το εξαρτάται και από το p) Επομέως, κατά προέγγιη, έχουμε Pˆ p P ( zα zα ) = α p( p) και χρηιμοποιώτας ως εκτιμήτρια της άγωτης διακύμαης = p( p), τη Pˆ ( Pˆ), εύκολα προκύπτει ότι το διάτημα ˆ Pˆ( Pˆ) P ± zα είαι έα κατά προέγγιη 00( διάτημα εμπιτούης για τη παράμετρο p (ποοτό το πληθυμό) Έτι, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,,, με ποοτό επιτυχιώ το δείγμα p ˆ = ( x + x + K, + x ), το, διάτημα pˆ( pˆ) pˆ ± zα είαι έα κατά προέγγιη 00( διάτημα εμπιτούης για το ποοτό p το πληθυμό, εφόο, pˆ 5 και ( pˆ) 5 Σημείωη 3: Α το μέγεθος του δείγματος δε είαι μεγάλο, η καοική προέγγιη που χρηιμοποιήαμε δε μπορεί α εφαρμοθεί Στη περίπτωη αυτή μπορεί α χρηιμοποιηθεί η ακριβής καταομή της τατιτικής υάρτηης Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 336
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης ˆ + + = P ~ B(, p) Όμως, τη πράξη, ε προβλήματα εκτίμηης ποοτού, υήθως δε ατιμετωπίζουμε πρόβλημα μικρώ δειγμάτω Ας δούμε έα παράδειγμα Παράδειγμα 3: Έας ερευητής, προκειμέου α εκτιμήει το ποοτό τω ατόμω ε έα πληθυμό που έχει ομάδα αίματος Α, επέλεξε με βάη έα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας 00 άτομα από το πληθυμό αυτό και βρήκε ότι ομάδα αίματος Α έχου τα 89 Προφαώς, πρόκειται για δειγματοληψία από έα πληθυμό Bernoull με παράμετρο p (μέη τιμή), τη οποία ο ερευητής θέλει α εκτιμήει με βάη έα τυχαίο δείγμα,,, 00, μεγέθους 00 Η τιμή του δειγματικού μέου (δειγματικού ποοτού) ˆ + + + 00 P = 00 για τη υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος είαι 89 p ˆ = = 0445 00 και επειδή pˆ = 00 0445 = 89 5 και ( pˆ) = 00 0555 = 5, το διάτημα 0445 0555 0445 ± z 0 05 ή 0445 ± 96 0 035 ή 0 445 ± 0 0686 00 είαι έα κατά προέγγιη 95% διάτημα εμπιτούης για τη παράμετρο p (ποοτό το πληθυμό) Επομέως, με πιθαότητα 095, το διάτημα [ 0376, 054] περιέχει το ποοτό τω ατόμω το πληθυμό που έχει ομάδα αίματος Α Παρατήρηη 3: Το εύρος, z ˆ α pˆ( p), εός 00( διατήματος εμπιτούης για το διωυμικό ποοτό p, προφαώς δε είαι ταθερό από δείγμα ε δείγμα Όμως, για p ˆ =, το γιόμεο pˆ ( pˆ ) γίεται μέγιτο και επομέως το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης με πιθαότητα α είαι d = zα ή d = zα 4 Εύκολα προκύπτει ότι α προκαθορίουμε έα αεκτό περιθώριο φάλματος d, με πιθαότητα α, τότε για τη εκτίμηη του ποοτού το πληθυμό, απαιτείται μέγεθος δείγματος z α = 4 d Α έχουμε λόγους α πιτεύουμε ότι το άγωτο πληθυμιακό ποοτό είαι περίπου ίο με κάποια τιμή, έτω p *, τότε, το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος είαι zα *( *) = p p d Έτι, α το παράδειγμά μας θέλουμε το φάλμα της εκτίμηης, με πιθαότητα 095, α μη ξεπερά, για παράδειγμα, το 003, τότε πρέπει α πάρουμε δείγμα μεγέθους 96 = = 067 068 4 003 Α εκτιμάμε/θεωρούμε ότι το ποοτό το πληθυμό είαι περίπου 040, τότε το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος είαι Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 337
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης zα 96 = p* ( p* ) = 040 060 05 d 003 4 Διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού Έτω,, K, τυχαίο δείγμα από καοικό πληθυμό, δηλαδή, ~ N( μ, ) για κάθε =,, K, Στο 0 ο Κεφάλαιο είδαμε ότι για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος ( ) S ~ χ όπου S = ( ) = η αμερόληπτη δειγματική διακύμαη Επομέως (δείτε και το Σχήμα 9), ( ) S P ( χ ; α χ ; α ) = α ή ιοδύαμα P S S = α χ α χ ; ; α Αυτό ημαίει ότι για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, το διάτημα s, s χ ; α χ ; α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη του πληθυμού Σχήμα 9 Προφαώς, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη τυπική απόκλιη του πληθυμού είαι s, s χ ; α χ ; α Υπεθυμίζουμε ότι με χ και ; α χ ; α υμβολίζουμε, ατίτοιχα, το άω α και το άω α ποοτιαίο ημείο της καταομής χ τα οποία δίοται, για διάφορες τιμές του α και του από χετικό πίακα (δείτε και το Σχήμα 9) Παράδειγμα (υέχεια): Επειδή για τη τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, έχουμε ότι ~ N( μ, ) και η δειγματική τυπική απόκλιη είαι Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 338
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης s = 84μgr, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη διακύμαη,, της Χ, είαι το διάτημα 5 χ 5;005 84, 5 χ 5;0975 84 ή 5 7488 84, 5 84 66 ή [ 385, 690] Επομέως, μπορούμε α υμπεράουμε ότι με πιθαότητα 095, το διάτημα [ 385, 690] περιέχει τη άγωτη διακύμαη της Χ Επίης, μπορούμε α υμπεράουμε ότι με πιθαότητα 095, το διάτημα [ 385, 690] ή [ 6, 3] περιέχει τη άγωτη τυπική απόκλιη της Χ Ως άκηη, μπορείτε α κατακευάετε έα 99% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη διαπορά της Υ Σημείωη 4: Το διάτημα εμπιτούης που δώαμε για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού, όπως είδαμε, κατακευάθηκε «αδιαφορώτας» για τη μέη τιμή του πληθυμού μ Α η μέη τιμή του πληθυμού μ, είαι γωτή, χρηιμοποιώτας τη τυχαία μεταβλητή, S, όπου, S = ( μ) = (ατί τη ( ) S ), με αάλογο τρόπο (επειδή, S ~ χ ) προκύπτει ότι για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, το διάτημα s, s χ ; α χ ; α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη του πληθυμού Συχά απαιτείται α εκτιμήουμε τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ ή το λόγο τω διακυμάεώ τους Ας δούμε πώς μπορούμε α κατακευάουμε διατήματα εμπιτούης για αυτές τις περιπτώεις 5 Διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ Σε μια μελέτη για τη περιεκτικότητα τω ζαχαρότευτλω ε άκχαρα, πρέπει α εκτιμήουμε πόο διαφέρει η μέη περιεκτικότητα ε άκχαρα μιας ποικιλίας ζαχαρότευτλω από τη μέη περιεκτικότητα μιας άλλης ποικιλίας ζαχαρότευτλω Μια ερευητική ομάδα πρέπει α εκτιμήει πόο διαφέρει η μέη μείωη της υτολικής πίεης ότα χρηιμοποιείται το φαρμακευτικό κεύαμα Α από τη μέη μείωη της υτολικής πίεης ότα χρηιμοποιείται έα άλλο φαρμακευτικό κεύαμα Β Ο φοιτητής το ειαγωγικό παράδειγμα αυτού του κεφαλαίου εδιαφέρεται α εκτιμήει πόο διαφέρει η μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες μέω της διατροφής τους τις δύο περιοχές Α και Β Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου μιας παραγωγικής μοάδας εδιαφέρεται α εκτιμήει πόο διαφέρει το ποοτό τω ελαττωματικώ προϊότω που παράγοται από τη γραμμή παραγωγής Α από το ποοτό τω ελαττωματικώ προϊότω που παράγοται από τη γραμμή παραγωγής Β Για α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ εργαζόματε όπως εργαθήκαμε τα προηγούμεα για Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 339
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Με μια βέβαια διαφορά Ατί για έα δείγμα χρηιμοποιούμε δύο, έα από κάθε πληθυμό Ας δούμε έα παράδειγμα που δόθηκε από το Student (τη εργαία The probable error of a mean, Bometrka, 6, -5, 908) Παράδειγμα 4: Σε δέκα αθεείς που πάχου από αϋπία δόθηκε μια φαρμακευτική αγωγή, έτω Α, και για καθέα καταγράφηκε η παράταη του ύπου (ε ώρες) Στους ίδιους αθεείς δόθηκε και μια άλλη φαρμακευτική αγωγή, έτω Β, και επίης καταγράφηκε η παράταη του ύπου για κάθε αθεή (ε ώρες) Ας υμβολίουμε με Χ τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη παράταη του ύπου ε ώρες ότα οι αθεείς παίρου τη φαρμακευτική αγωγή Α και με Υ τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη παράταη του ύπου ε ώρες ότα οι αθεείς παίρου τη φαρμακευτική αγωγή Β Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που υγκετρώθηκα Αύξω αριθμός αθεούς () Παράταη ύπου (ε ώρες) υπό τη φαρμακευτική αγωγή Α ( x ) Παράταη ύπου (ε ώρες) υπό τη φαρμακευτική αγωγή Β ( y ) 3 4 5 6 7 8 9 0 9 08 0-0 44 55 6 46 34 07-6 -0 - -0 34 37 08 00 0 Α μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπου αθεώ που πάχου από αϋπία ότα παίρου τη αγωγή Α και μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπου αθεώ που πάχου από αϋπία ότα παίρου τη αγωγή Β, το ζητούμεο είαι α κατακευάουμε, από τα τυχαία δείγματα,,, 0 και Y, Y,, Y0 έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ μ, της διαφοράς Y τω τυχαίω μεταβλητώ Χ και Υ Είαι εύλογο, ως εκτιμήτρια της διαφοράς μ μ, α χρηιμοποιήουμε τη διαφορά Y τω ατίτοιχω δειγματικώ μέω, όμως δε μπορούμε α αξιοποιήουμε τα χετικά αποτελέματα της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιτικής για τη καταομή της Y που παρουιάαμε το 0 ο Κεφάλαιο γιατί τα δύο δείγματα δε έχου ληφθεί το έα αεξάρτητα από το άλλο Βέβαια, τα ζεύγη (, Y ), (, Y ), K,( 0, Y0 ) είαι μεταξύ τους αεξάρτητα αφού ααφέροται ε διαφορετικούς αθεείς τυχαία επιλεγμέους, όμως τα και Y ετός του ίδιου ζεύγους δε είαι αεξάρτητα (δε μπορού α θεωρηθού αεξάρτητα) αφού ααφέροται το ίδιο αθεή Για α κατακευάουμε, επομέως, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ από δύο δείγματα, έα από κάθε πληθυμό, πρέπει α διακρίουμε τη περίπτωη που τα δύο δείγματα είαι αεξάρτητα από τη περίπτωη που τα δύο δείγματα δε είαι αεξάρτητα Υπεθυμίζουμε ότι τη πράξη, η αεξαρτηία (είτε εδεχομέω, είτε μεταβλητώ, είτε πειραμάτω) υήθως ααγωρίζεται και διαπιτώεται από τη περιγραφή τω μεταβλητώ και από τις υθήκες εκτέλεης τω πειραμάτω και δε απαιτείται α ελεγχθού/αποδειχθού οι ατίτοιχες υθήκες αεξαρτηίας (ξααδείτε τη Εότητα 55) Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 340
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης 5 Με δύο εξαρτημέα δείγματα (με ζευγαρωτές παρατηρήεις) Έτω ότι από κάθε δειγματοληπτική ή πειραματική μοάδα παίρουμε έα ζεύγος παρατηρήεω, Y ), =,, K,, δηλαδή, έτω ότι από τα δύο δείγματα (,, K, και Y, Y, K, Y δημιουργούται ζεύγη παρατηρήεω, (, Y ), (, Y ), K,(, Y ), τα οποία είαι μεταξύ τους αεξάρτητα, όμως τα και Y ετός του ίδιου ζεύγους δε είαι αεξάρτητα Σε επόμεα κεφάλαια (το ο και το 3 ο ) θα εξηγήουμε πολύ ααλυτικά ε ποιες περιπτώεις (και γιατί) εδείκυται α εργαζόματε με τέτοια δείγματα τα οποία τη βιβλιογραφία ααφέροται ως ζευγαρωτές παρατηρήεις (pared samples, matched samples, dependent samples,) αλλά και πώς/με ποια κριτήρια πρέπει α δημιουργούται τα ζεύγη Στο ημείο αυτό ααφέρουμε μόο ότι έα ζεύγος παρατηρήεω μπορεί α ληφθεί από τη ίδια πειραματική ή δειγματοληπτική μοάδα πρι και μετά από κάποια επέμβαη ή υπό δύο διαφορετικές επεμβάεις ε κάποια χροική απόταη (όπως το προηγούμεο παράδειγμα), αλλά και από δύο όμοιες ή χεδό όμοιες μοάδες Παίροτας για κάθε ζεύγος (, Y ) τη διαφορά D = Y (η οποία το παράδειγμά μας εκφράζει τη διαφορά τω επιδράεω τω δύο φαρμάκω το αθεή ), δημιουργούμε έα τυχαίο δείγμα, D, D, K, D, το οποίο μπορούμε α θεωρήουμε ότι προέρχεται από έα (θεωρητικό) πληθυμό, το πληθυμό τω διαφορώ, με μέη τιμή μ D = μ μ, όπου μ η μέη τιμή της Χ και μ η μέη τιμή της Υ και επομέως, για τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή μ D = μ μ ιχύει ό,τι έχουμε ααφέρει για τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού από έα δείγμα Έτω για παράδειγμα, ότι ο πληθυμός τω διαφορώ είαι καοικός με άγωτη διακύμαη D, και μέη τιμή μ D = μ μ τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε με έα 00( διάτημα εμπιτούης Έτω επίης D = Y και S D = ( D D) = ο μέος και η αμερόληπτη διακύμαη του δείγματος τω διαφορώ D, D, K, D ατίτοιχα Τότε με βάη όα ααφέραμε τα προηγούμεα, το διάτημα S D ± t D ; α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ D του πληθυμού τω διαφορώ δηλαδή για τη διαφορά μ μ Επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη ( x, y), ( x, y ), K,( x, y ) τω, Y ), (, Y ), K,(, Y ), το διάτημα ( s D d ± t ; α ή x y ± t ; α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά μ μ τω μέω τιμώ τω δύο πληθυμώ με ζευγαρωτές παρατηρήεις Ας επαέλθουμε τώρα το Παράδειγμα 4 s D Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 34
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Παράδειγμα 4 (υέχεια): Για κάθε ζεύγος ( x, y ), =,,, 0 υπολογίζουμε τη διαφορά, d = x y, η οποία εκφράζει τη διαφορά τω επιδράεω τω δύο φαρμάκω το αθεή Αύξω αριθμός αθεούς () 3 4 5 6 7 8 9 0 x 9 08 0-0 44 55 6 46 34 d y 07-6 -0 - -0 34 37 08 00 0 x y = 4 3 3 00 0 8 08 46 4 Η τιμή d του δειγματικού μέου D = Y και η τιμή s D της δειγματικής διαποράς 0 S D = ( D D) 9 = για τη υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος τω διαφορώ D, D, K D, είαι ατίτοιχα d και, 0 0 d = + 4 + K = 0 0 = + 46 + 4 = 0 58 = 58 0 ( d 58) = ( 58) + (4 58) + K+ (4 58) sd = = = 5 9 9 Έτι, με τη παραδοχή ότι ο πληθυμός τω διαφορώ είαι καοικός, το διάτημα s D 3 d ± t ;0 05 ή 58 ± t 9;0 05 ή 58 ± 6 0 39 ή 58 ± 0 88 0 είαι έα 95 % διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά μ μ με βάη τα υγκεκριμέα δείγματα Επομέως, για α κατακευάουμε διατήματα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ μ μ, με ζευγαρωτές παρατηρήεις, εργαζόματε με έα δείγμα, αυτό τω διαφορώ, D, D, K, D, και ιχύει ό,τι έχουμε ααφέρει για τη κατακευή διατημάτω εμπιτούης για τη μέη τιμή, μ, εός πληθυμού με έα δείγμα Ας δούμε τώρα πώς εργαζόματε ότα τα δύο δείγματα λαμβάοται το έα αεξάρτητα από το άλλο, όπως το ειαγωγικό παράδειγμα 5 Με δύο αεξάρτητα δείγματα Έτω δύο πληθυμοί Α και Β, με μέη τιμή και διακύμαη, μ, και μ,, ατίτοιχα Έτω επίης, δύο αεξάρτητα τυχαία δείγματα,, K, και Y, Y, K, Y (μεγέθους και ατίτοιχα), έα από κάθε πληθυμό Ας υμβολίουμε με και S το μέο και τη διακύμαη του δείγματος,, K, από το πληθυμό Α και με Y και S το μέο και τη διακύμαη του δείγματος Y, Y, K, Y από το πληθυμό Β Δηλαδή, Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 34
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης =, S = ( ) και Y = Y j, S = = = j ( Y j Y ) = j= Προφαώς, ως εκτιμήτρια της διαφοράς μ μ, θα χρηιμοποιήουμε τη ατίτοιχη διαφορά Y, τω δειγματικώ μέω για τη καταομή της οποίας μπορούμε α αξιοποιήουμε τα χετικά αποτελέματα τω της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιτικής που ααφέραμε το 0 ο Κεφάλαιο αφού τα δύο δείγματα είαι μεταξύ τους αεξάρτητα Με βάη όα ααφέραμε το 0 ο Κεφάλαιο και εργαζόμεοι όπως εργαθήκαμε για τη κατακευή διατημάτω εμπιτούης για τη μέη τιμή ή τη διακύμαη εός πληθυμού από έα τυχαίο δείγμα, εύκολα παίρουμε κατά περίπτωη τα ακόλουθα διατήματα εμπιτούης (Πίακας ) 00( Διατήματα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ από δύο αεξάρτητα δείγματα μεγέθους και ατίτοιχα Διακυμάεις Μεγέθη 00( Δ Ε Πληθυμοί τω πληθυμώ τω δειγμάτω μ τω μέω,, για τη διαφορά τιμώ τω πληθυμώ μ Καοικοί Γωτές Οτιδήποτε ( Y ) ± zα + () Οποιοιδήποτε Γωτές Μεγάλα Οποιοιδήποτε Άγωτες Μεγάλα Καοικοί Όχι Καοικοί Άγωτες και ίες Γωτές ή άγωτες (ίες ή άιες) Οτιδήποτε ( S S ( Y ) ± zα + Y ) ± () t ; α S + + (3) Όπου, = και S = ( ) S Μικρά? Πίακας + ( ) S + Σημείωη 5: α) Σε κάθε περίπτωη, τα δείγματα πρέπει α είαι τυχαία β) Για μικρά δείγματα από καοικούς πληθυμούς με άγωτες διακυμάεις, έχει προταθεί προεγγιτικός τύπος που δε προϋποθέτει ότι οι άγωτες διακυμάεις είαι ίες, όμως δε το ααφέρουμε, γιατί α και χρηιμοποιείται, δε είαι γεικής αποδοχής γ) Ο τύπος () και ο τύπος () (ότα οι πληθυμοί δε είαι καοικοί) δίου 00( διατήματα εμπιτούης κατά προέγγιη Ας δούμε πάλι το ειαγωγικό παράδειγμα Παράδειγμα (υέχεια): Το τυχαίο δείγμα μεγέθους = 6 που πήρε ο φοιτητής από τη περιοχή Α, προέρχεται από καοικό πληθυμό με άγωτη μέη τιμή μ και άγωτη διακύμαη, δηλαδή,,,, 6 ~ N( μ, ) και ατίτοιχα, το τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 που πήρε από τη περιοχή Β = Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 343