Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων

Transcript

1 Δεσμευμέη πιθαότητα και Αεξαρτησία εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας 4 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος 4 Το θεώρημα ολικής πιθαότητας 44 Το θεώρημα Bayes 45 Αεξαρτησία εδεχομέω 46 Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω 47 Προβλήματα και ασκήσεις

2 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 06

3 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε για τη εμφάιση εός εδεχομέου, είαι δυατό α ααθεωρηθεί και α προσαρμοσθεί κατάλληλα, α σε κάποιο στάδιο του στοχαστικού πειράματος που μελετάμε προκύψου πρόσθετες πληροφορίες για τη έκβασή του Μια τέτοια πληροφορία, μπορεί μάλιστα α είαι ότι κάποιο άλλο εδεχόμεο ήδη έχει εμφαισθεί Χαρακτηριστικό είαι το ακόλουθο παράδειγμα Παράδειγμα 4: Στα συμπεράσματα μιας έρευας που πρόσφατα ολοκληρώθηκε ααφέρεται, μεταξύ άλλω, ότι το ποσοστό τω φορέω του βακίλου της φυματίωσης σε μια συγκεκριμέη περιοχή είαι 075% Αυτό σημαίει ότι α επιλέξουμε (τυχαία από τη περιοχή αυτή έα κάτοικο, η πιθαότητα α είαι φορέας του βακίλου της φυματίωσης είαι Α όμως ο κάτοικος υποβληθεί σε κάποιο σχετικό διαγωστικό ιατρικό τεστ, για παράδειγμα στο TB tne τεστ, τότε ότα το αποτέλεσμα του τεστ γίει γωστό, η πιθαότητα α είαι φορέας προφαώς ααθεωρείται και μάλιστα περιμέουμε α αυξηθεί α το αποτέλεσμα του τεστ είαι θετικό και α μειωθεί α το αποτέλεσμα είαι αρητικό Διευκριίζουμε ότι ακόμη και μετά το αποτέλεσμα του TB tne τεστ δε είμαστε βέβαιοι για το α ο εξεταζόμεος είαι ή δε είαι φορέας του βακίλου της φυματίωσης γιατί το τεστ αυτό δε κάει πάτοτε σωστή διάγωση Συγκεκριμέα, ότα το εξεταζόμεο άτομο είαι φορέας το TB tne τεστ κάει σωστή διάγωση με πιθαότητα 09 εώ ότα δε είαι φορέας κάει σωστή διάγωση με πιθαότητα 096 Ας θεωρήσουμε τα εδεχόμεα Β: ο κάτοικος είαι φορέας του βακίλου της φυματίωσης Θ: το αποτέλεσμα του τεστ είαι θετικό Δίεται ότι P ( , δηλαδή, δίεται ότι η πιθαότητα α είαι φορέας του βακίλου της φυματίωσης έας κάτοικος που επιλέξαμε τυχαία από τη συγκεκριμέη περιοχή, είαι Άραγε πώς επηρεάζεται αυτή η πιθαότητα α ο κάτοικος υποβληθεί στο TB tne τεστ και το αποτέλεσμα είαι θετικό; Δηλαδή, ποια είαι πλέο η πιθαότητα α πραγματοποιηθεί το εδεχόμεο Β δοθέτος ότι πραγματοποιήθηκε το εδεχόμεο Θ; Αυτή η εκ τω υστέρω πιθαότητα του Β, δηλαδή, η πιθαότητα πραγματοποίησης του εδεχομέου Β μετά τη πληροφορία ότι το αποτέλεσμα του τεστ είαι θετικό, οομάζεται δεσμευμέη πιθαότητα του Β δοθέτος του Θ και συμβολίζεται με P ( B Θ Ατίστοιχα, α το αποτέλεσμα του τεστ είαι αρητικό η εκ τω υστέρω πιθαότητα του Β οομάζεται δεσμευμέη πιθαότητα του Β δοθέτος του Θ και συμβολίζεται με P ( B Θ Παρατηρείστε ότι εκτός από τη εκ τω προτέρω πιθαότητα P ( του Β (δηλαδή τη πιθαότητα πραγματοποίησης του εδεχομέου Β πρι γίει γωστό το αποτέλεσμα του τεστ, μας δίοται και οι δεσμευμέες πιθαότητες P ( Θ και P ( Θ B που ααφέροται στη αξιοπιστία του τεστ Συγκεκριμέα, δίεται ότι P ( Θ 09 και P ( Θ B 0 96 Στη συέχεια θα δούμε πώς με βάση αυτά τα όπως εξάλλου συμβαίει σε αρκετές περιπτώσεις διαγωστικώ τεστ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 07

4 δεδομέα μπορούμε α υπολογίσουμε τις εκ τω υστέρω πιθαότητες P ( B Θ και P ( B Θ του Β που μας εδιαφέρου Θα δούμε επίσης πώς μπορούμε α χρησιμοποιήσουμε τις δεσμευμέες πιθαότητες P ( Θ και P ( Θ B για α υπολογίσουμε τη μη δεσμευμέη πιθαότητα P (Θ, δηλαδή, τη πιθαότητα το αποτέλεσμα του τεστ για έα κάτοικο που επιλέγουμε τυχαία α είαι θετικό Στα επόμεα θα διαπιστώσουμε ότι σε αρκετές περιπτώσεις η λύση σύθετω προβλημάτω υπολογισμού μη δεσμευμέω πιθαοτήτω απλοποιείται με τη εισαγωγή και χρήση κατάλληλω δεσμευμέω πιθαοτήτω και μάλιστα όχι μόο ότα έχουμε πρόσθετες πληροφορίες για τη έκβαση του πειράματος αλλά και ότα δε έχουμε! Χαρακτηριστικό είαι το παράδειγμα που ακολουθεί Παράδειγμα 4: Σε έα συρτάρι φαρμακείου βρίσκοται 7 κουτιά με συγκεκριμέο φαρμακευτικό σκεύασμα Σε από αυτά, το φαρμακευτικό σκεύασμα έχει λήξει Ο φαρμακοποιός δε γωρίζει ότι στο συρτάρι υπάρχου κουτιά με ακατάλληλο σκεύασμα και έτσι στο πρώτο πελάτη που του ζητάει έα κουτί με το συγκεκριμέο σκεύασμα δίει έα από τα 7 που το επιλέγει τυχαία Ότα και έας δεύτερος πελάτης ζητάει το συγκεκριμέο σκεύασμα, ο φαρμακοποιός του δίει έα που τυχαία επίσης επιλέγει από τα 6 που έχου απομείει στο συρτάρι Ας θεωρήσουμε τα εδεχόμεα Λ,, : για το -στό πελάτη επιλέγεται κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει Παρατηρείστε ότι εώ εύκολα βρίσκουμε ότι η πιθαότητα α δοθεί στο πρώτο πελάτη κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει είαι Λ 7 και ατίστοιχα ότι η πιθαότητα α του δοθεί κουτί με σκεύασμα που δε έχει λήξει είαι Λ Λ 4 7, για το υπολογισμό της πιθαότητας Λ (α δοθεί στο δεύτερο πελάτη κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει εώ γωρίζουμε ότι τα δυατά αποτελέσματα είαι 6, δε γωρίζουμε πόσα είαι τα ευοϊκά αποτελέσματα γιατί αυτό εξαρτάται από το αποτέλεσμα της πρώτης επιλογής Έτσι, α στο πρώτο πελάτη δόθηκε κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει τότε η πιθαότητα στο δεύτερο πελάτη α δοθεί κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει είαι προφαώς 6, δηλαδή, η δεσμευμέη πιθαότητα του Λ δοθέτος του Λ είαι Λ Λ 6 εώ α στο πρώτο πελάτη δόθηκε κουτί με σκεύασμα που δε έχει λήξει τότε Λ Λ 6 Στη συέχεια θα δούμε πώς μπορούμε α αξιοποιήσουμε αυτές τις δεσμευμέες πιθαότητες για α υπολογίσουμε τη μη δεσμευμέη πιθαότητα Λ που μας εδιαφέρει! (Παράδειγμα 4 Ας δούμε έα ακόμη παράδειγμα Παράδειγμα 4: Έας φίλος μας ρίχει έα αμερόληπτο ζάρι μια φορά και έστω ότι εδιαφέρεται για τη πιθαότητα εμφάισης του εδεχομέου A {,4,6 } Ο δειγματικός χώρος, Ω {,,,4,5,6 }, του πειράματος είαι πεπερασμέος με ισοπίθαα απλά εδεχόμεα και επομέως P ( 6, αφού τα ευοϊκά για τη πραγματοποίηση του Α αποτελέσματα είαι τρία, το, το 4 και το 6 (Σχήμα 4α Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 08

5 Ρωτάμε το φίλο μας α εμφαίσθηκε το Α αλλά δε μας απατάει ευθέως Μας λέει ότι το αποτέλεσμα είαι άρτιος αριθμός, δηλαδή, για τη έκβαση του πειράματος, έχουμε τη πληροφορία ότι έχει πραγματοποιηθεί το εδεχόμεο B {,4,6}(Σχήμα 4β Αυτό σημαίει ότι πλέο τα δυατά αποτελέσματα δε είαι έξι αλλά τρία, δηλαδή η πληροφορία που πήραμε για τη έκβαση του πειράματος, συρρίκωσε/περιόρισε το δειγματικό χώρο Ω {,,,4,5,6 } στο σύολο B {,4,6} Είαι ως α πρόκειται πλέο για έα έο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω B {,4,6} και τα ευοϊκά αποτελέσματα για τη πραγματοποίηση του Α α συρρικώοται/περιορίζοται στη τομή ΑΒ (Σχήμα 4γ Έτσι, η πιθαότητα εμφάισης του Α προκύπτει α δούμε το αριθμό (το πλήθος τω ευοϊκώ περιπτώσεω ως ποσοστό του αριθμού τω στοιχείω του έου δειγματικού χώρου, δηλαδή, η πιθαότητα εμφάισης του Α είαι πλέο ίση με N( A N( A N( Ω N( Για α υπολογίσουμε/ααθεωρήσουμε τη πιθαότητα εμφάισης του εδεχομέου Α με βάση τη πληροφορία ότι πραγματοποιήθηκε το εδεχόμεο Β, δηλαδή, για α υπολογίσουμε τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A, εύλογα εργασθήκαμε στο έο/συρρικωμέο δειγματικό χώρο Ω B {,4,6} Ατίστοιχα, το ίδιο κάαμε και στο Παράδειγμα 4 Βέβαια, έχει εδιαφέρο α δούμε α θα μπορούσαμε α υπολογίσουμε τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A στο πλαίσιο του αρχικού δειγματικού χώρου Ω {,,,4,5,6} Πράγματι μπορούμε, αφού N( A 6 N( A N( Ω A P ( A N( 6 N( N( Ω (α Ο αρχικός δχ και το εδεχόμεό του Α που περιέχει τα ευοϊκά αποτελέσματα (β Τα εδεχόμεα Α και Β (γ Ο έος δειγματικός χώρος Β και το εδεχόμεό του ΑΒ που περιέχει τα ευοϊκά αποτελέσματα για το Α Σχήμα 4 Η έοια της δεσμευμέης πιθαότητας του Α δοθέτος του Β Η συλλογιστική που οδήγησε στο τύπο P ( A A ισχύει και μπορεί α εφαρμοσθεί γεικότερα σε πεπερασμέους δειγματικούς χώρους με ισοπίθαα απλά εδεχόμεα Μπορεί επίσης α εφαρμοσθεί σε πεπερασμέους δειγματικούς χώρους με μη ισοπίθαα απλά εδεχόμεα αλλά και σε συεχείς δειγματικούς χώρους (συμφωεί δηλαδή και με τη έοια/ερμηεία της πιθαότητας ως οριακή σχετική Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 09

6 συχότητα Έτσι, εύλογα οδηγούμαστε στο ακόλουθο ορισμό της δεσμευμέης πιθαότητας Ορισμός 4 (δεσμευμέη πιθαότητα: Α Α και Β δύο εδεχόμεα του δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης και P ( > 0, τότε η δεσμευμέη πιθαότητα του Α δοθέτος του Β (condtonal probablty συμβολίζεται με A και δίεται από το τύπο A P ( A (4 Α P ( 0, η δεσμευμέη πιθαότητα P ( A δε ορίζεται Η πιθαότητα P ( οομάζεται εκ τω προτέρω πιθαότητα (pror probablty του Α, εώ η δεσμευμέη πιθαότητα P ( A οομάζεται εκ τω υστέρω πιθαότητα (posteror probablty του Α Σχήμα 4 Για τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A ο δειγματικός χώρος Ω περιορίζεται στο εδεχόμεο Β και το εδεχόμεο Α τω ευοϊκώ αποτελεσμάτω, περιορίζεται στο εδεχόμεο ΑΒ Η δεσμευμέη πιθαότητα του Β δοθέτος του Α (και εφόσο P ( > 0 δίεται από το τύπο A P ( B Σχήμα 4 Για τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( B ο δειγματικός χώρος Ω περιορίζεται στο εδεχόμεο Α και το εδεχόμεο Β τω ευοϊκώ αποτελεσμάτω, περιορίζεται στο εδεχόμεο ΑΒ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0

7 Ερώτηση: Τι διαφοροποιεί τις πιθαότητες P (A, P ( A και P ( B αφού και οι τρεις ααφέροται/αφορού στο ίδιο σύολο ευοϊκώ αποτελεσμάτω ΑΒ; Παράδειγμα 44: Το 5% τω κατοίκω μιας συγκεκριμέης περιοχής είαι άδρες (και το 49% γυαίκες Από πρόσφατη έρευα γωρίζουμε ότι το 4% τω κατοίκω αυτής της περιοχής πάσχει από αχρωματοψία Επίσης από τη ίδια έρευα γωρίζουμε ότι 4% τω κατοίκω της περιοχής αυτής είαι άδρες που πάσχου από αχρωματοψία Α επιλέξουμε τυχαία έα άτομο από αυτή τη περιοχή και είαι άδρας, ποια είαι η πιθαότητα α πάσχει από αχρωματοψία Απάτηση: Ας θεωρήσουμε τα εδεχόμεα Α: το άτομο πάσχει από αχρωματοψία Β: το άτομο είαι άδρας Δίεται ότι P ( 0 04, P ( 0 5 και P ( A 0 04 Ζητάμε τη πιθαότητα το άτομο που επιλέξαμε α πάσχει από αχρωματοψία δοθέτος ότι είαι άδρας, δηλαδή ζητάμε τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A Από το τύπο (4 παίρουμε A 004 P ( A Δηλαδή, α γίει γωστό ότι έα άτομο που επελέγη τυχαία από τη συγκεκριμέη περιοχή είαι άδρας, τότε η πιθαότητα το άτομο αυτό α έχει αχρωματοψία είαι 0 078, ή αλλιώς, η πιθαότητα έας άδρας (από τη συγκεκριμέη περιοχή α έχει αχρωματοψία είαι 0078 Με όρους ποσοστώ, η (εκ τω υστέρω πιθαότητα P ( A ερμηεύεται ως εξής: στη συγκεκριμέη περιοχή, το 78% τω αδρώ έχου αχρωματοψία (δες και Σχήμα 44 Παρατηρείστε ότι A (αφού Αυτό με όρους ποσοστώ σημαίει ότι το ποσοστό τω πασχότω από αχρωματοψία στους άδρες της συγκεκριμέης περιοχής διαφέρει από το ποσοστό τω πασχότω από αχρωματοψία στο «γεικό πληθυσμό» (στο σύολο τω κατοίκω της συγκεκριμέης περιοχής Δηλαδή, η πιθαότητα έα άτομο α πάσχει από αχρωματοψία επηρεάζεται/δε είαι αεξάρτητη από το α το άτομο είαι άδρας και μάλιστα αυξάεται αφού P ( A > Η ποσότητα A οομάζεται μεταβολή της πιθαότητας του Α δοθέτος του Β Έτσι, η μεταβολή της πιθαότητας έα άτομο α πάσχει από αχρωματοψία δοθέτος ότι είαι άδρας είαι P ( A Παρατηρείστε επίσης ότι και A 004 P ( B 095 > δηλαδή, εώ στο γεικό πληθυσμό το ποσοστό τω αδρώ είαι 5%, στους πάσχοτες από αχρωματοψία το ποσοστό τω αδρώ είαι 95% (δες Σχήμα 44 Επειδή η εμφάιση του εός από τα Α και Β αυξάει τη πιθαότητα α εμφαισθεί το άλλο, λέμε ότι τα εδεχόμεα αυτά είαι θετικά συσχετισμέα (δες και το Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos

8 Παράδειγμα 45 που ακολουθεί Στο τέλος του κεφαλαίου ότα θα μιλήσουμε για τη αεξαρτησία (και τη εξάρτηση εδεχομέω θα επαέλθουμε σε αυτό το θέμα Προς το παρό, ας ολοκληρώσουμε το παράδειγμα μας εξετάζοτας α το ποσοστό τω γυαικώ που πάσχου από αχρωματοψία διαφέρει από το ποσοστό τω ατόμω που πάσχου από αχρωματοψία στο γεικό πληθυσμό Σχήμα 44 Οι πιθαότητες P (A, P ( A και P ( B ως ποσοστά Ας υπολογίσουμε δηλαδή, τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A B Από το τύπο (4 έχουμε AB AB A B B 049 Η πιθαότητα του εδεχομέου A B εύκολα υπολογίζεται από τη σχέση A AB AB (δες Παρατήρηση Πράγματι, επειδή τα AB και A B είαι ξέα μεταξύ τους έχουμε P ( AB AB A + AB και επομέως P ( AB AB 000 Έτσι, η ζητούμεη πιθαότητα είαι AB 000 P ( A B Παρατηρείστε ότι A B, δηλαδή, το ποσοστό τω γυαικώ που πάσχου από αχρωματοψία διαφέρει από το ποσοστό τω ατόμω που πάσχου από αχρωματοψία στο γεικό πληθυσμό, και μάλιστα είαι μικρότερο ( P ( A B < Η μεταβολή αυτής της πιθαότητας, δηλαδή, η μεταβολή της πιθαότητας έα άτομο α πάσχει από αχρωματοψία δοθέτος ότι είαι γυαίκα είαι P ( A B Παράδειγμα 45: Έστω Α και Β δύο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με P ( > 0 και P ( > 0 Θα δείξουμε ότι α P ( A > τότε P ( B > και ατιστρόφως Δύο τέτοια εδεχόμεα λέγοται θετικά συσχετισμέα αφού η εμφάιση του εός αυξάει τη πιθαότητα εμφάισης του άλλου Ατιστοίχως, α P ( A < τότε P ( B < και ατιστρόφως Στη περίπτωση αυτή τα εδεχόμεα λέγοται αρητικά συσχετισμέα αφού η εμφάιση του εός μειώει τη πιθαότητα εμφάισης του άλλου Απάτηση: Α P ( A >, δηλαδή, α A > τότε προφαώς Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos

9 P ( A > και επομέως A P ( B > Το ατίστροφο αποδεικύεται ομοίως, όπως και η ισοδυαμία τω σχέσεω P ( A < και P ( B < Παράδειγμα 46: α Α Α, Β είαι δύο ξέα εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με P ( > 0 και P ( > 0 τότε P ( A 0 και P ( B 0 β Α Α, Β δύο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με B A τότε P ( A Απάτηση: α Πράγματι εφόσο τα εδεχόμεα Α, Β είαι ξέα θα έχουμε AB και επομέως A 0 A 0 P ( A 0 και P ( B 0 Πρόκειται για συμπέρασμα που ααμέαμε αφού, εφόσο τα Α, Β είαι ξέα, η γώση ότι εμφαίσθηκε το έα αποκλείει τη εμφάιση του άλλου β Πράγματι εφόσο B A θα έχουμε AB B και επομέως A P ( A Πρόκειται επίσης για έα συμπέρασμα που ααμέαμε αφού, εφόσο B A, α γωρίζουμε ότι εμφαίσθηκε το Β είαι βέβαιο ότι εμφαίσθηκε και το Α Παράδειγμα 47 (συέχεια του Παραδείγματος 6: α Α για το άδρα που επιλέξαμε διαπιστώσουμε ότι ο δείκτης Β βρίσκεται σε φυσιολογικό επίπεδο, ποια είαι η πιθαότητα και ο δείκτης Α α βρίσκεται σε φυσιολογικό επίπεδο και ποια α μη βρίσκεται σε φυσιολογικό επίπεδο; β Α για το άδρα που επιλέξαμε διαπιστώσουμε ότι ο δείκτης Β δε βρίσκεται σε φυσιολογικό επίπεδο ποια είαι η πιθαότητα ο δείκτης Α α βρίσκεται σε φυσιολογικό επίπεδο; γ Ποιο ποσοστό τω αδρώ ηλικίας 50 έως 70 ετώ που μέου μόιμα στο ΒΑ Αιγαίο και δε έχου το δείκτη Β σε φυσιολογικό επίπεδο, έχου το δείκτη Α σε φυσιολογικό επίπεδο; Απάτηση: Γωρίζουμε ότι P ( 0 45, P ( 0 0, P ( A 0 0, P ( AB 0 5 και P ( B 0 0 α Προφαώς ζητάμε τις δεσμευμέες πιθαότητες P ( A και P ( Από το τύπο (4 έχουμε A P ( A και P ( Παρατηρείστε ότι A Όπως θα δούμε στη Πρόταση 4 πρόκειται για ιδιότητα της δεσμευμέης πιθαότητας (η οποία επαληθεύεται και στο συγκεκριμέο παράδειγμα β Προφαώς ζητάμε τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A B επομέως έχουμε AB 05 P ( A B B 070 Παρατηρείστε ότι A B A Δηλαδή, γεικά δε είαι σωστή η σχέση A B A Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos

10 γ Πρόκειται για το ερώτημα (β διατυπωμέο με όρους ποσοστώ, επομέως η απάτηση είαι 50% Ας συμβολίσουμε με P ( B τη συολοσυάρτηση η οποία σε κάθε εδεχόμεο Α του Ω ατιστοιχίζει τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A Έστω δηλαδή, A P B ( A Από το τύπο (4 και τα τρία αξιώματα του αξιωματικού ορισμού της συάρτησης πιθαότητας P (, άμεσα προκύπτου για τη P ( B οι ακόλουθες ιδιότητες που είαι ατίστοιχες με τα τρία αξιώματα Δηλαδή, η P ( B ικαοποιεί τα τρία αξιώματα που πρέπει α ικαοποιεί μια συάρτηση πιθαότητας Πρόταση 4: Έστω Ω έας δειγματικός χώρος και Β έα εδεχόμεό του με P ( > 0 Ισχύου οι ακόλουθες ιδιότητες ( P ( A 0, για κάθε εδεχόμεο Α του συόλου τω εδεχομέω του Ω ( P ( Ω ( A A A A + A + + A + για οποιαδήποτε ακολουθία, A,,, A A,, ξέω αά δύο εδεχομέω του συόλου τω εδεχομέω του Ω Στη Πρόταση 4 που ακολουθεί δίουμε κάποιες ακόμη χρήσιμες ιδιότητες της δεσμευμέης πιθαότητας ατίστοιχες με αυτές της Πρότασης (και που αποδεικύοται αάλογα Πρόταση 4: Έστω Ω έας δειγματικός χώρος και Β έα εδεχόμεό του με P ( > 0 Για τη δεσμευμέη πιθαότητα ισχύου οι ακόλουθες ιδιότητες (α P ( 0 (β A (γ A Γ AΓ A AΓ (δ Α Γ A, τότε Γ A (ε A Γ A + Γ AΓ Παράδειγμα 48: Έστω Α και Β δύο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε (α η πιθαότητα α εμφαισθεί το Α αλλά όχι το Β είαι 05 (β η πιθαότητα α εμφαισθεί το Β αλλά όχι το Α είαι 0 και (γ η πιθαότητα α μη εμφαισθεί ούτε το Α ούτε το Β είαι 07 Ζητάμε τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A Απάτηση: Δίεται ότι P ( AB 0 5, P ( 0 και P [( A ] 0 7 Προφαώς (δείτε το Σχήμα 45 και θυμηθείτε τη Παρατήρηση A B AB AB B και επομέως P ( A AB + A + άρα P ( A + 0 A 005 Επίσης, B AB B και επομέως Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 4

11 A + P ( άρα η ζητούμεη πιθαότητα είαι A 005 P ( A 05 Σχήμα 45 Διαμέριση { A B, AB, B } της έωσης A B δύο εδεχομέω Α, Β Ολοκληρώουμε τα παραδείγματα που επιλέξαμε για εισαγωγή στη έοια της δεσμευμέης πιθαότητας, με έα πρόβλημα πιθαοτήτω από αυτά που εύκολα μπορεί α μας παρασύρου σε μια «προφαή και απλή» αλλά λάθος απάτηση Παράδειγμα 49: Επιλέγουμε τυχαία μια οικογέεια από το σύολο τω οικογεειώ που έχου δύο παιδιά και καταγράφουμε το φύλο τω παιδιώ Ποια είαι η πιθαότητα και τα δύο παιδιά της οικογέειας που επιλέξαμε α είαι αγόρια α γωρίζουμε ότι τουλάχιστο έα από τα δύο παιδιά είαι αγόρι; Απάτηση: Έας κατάλληλος δειγματικός χώρος του πειράματος είαι ο Ω { κκ, ακ, κα, αα} Ως αποτέλεσμα του πειράματος επιλέξαμε α καταγράφουμε το φύλο και τη σειρά γέησης τω παιδιώ Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα «κα» σημαίει ότι η οικογέεια έχει έα αγόρι και έα κορίτσι και ότι το πρώτο παιδί που γεήθηκε είαι κορίτσι και το δεύτερο αγόρι Ας θεωρήσουμε τα εδεχόμεα Α: και τα δύο παιδιά της οικογέειας είαι αγόρια Β: τουλάχιστο έα από τα δύο παιδιά της οικογέειας είαι αγόρια Προφαώς, A {αα} και B { ακ, κα, αα} Ζητάμε τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A Θα τη υπολογίσουμε θεωρώτας ότι τα τέσσερα απλά εδεχόμεα του Ω είαι ισοπίθαα ος τρόπος: Εργαζόμαστε στο αρχικό δειγματικό χώρο Ω Επειδή A B θα είαι AB A και επομέως P ( A Επίσης, επειδή ο δειγματικός χώρος του πειράματος είαι πεπερασμέος με ισοπίθαα απλά εδεχόμεα προφαώς έχουμε, P ( A και P ( οπότε 4 4 A 4 P ( A 4 ος τρόπος: Εργαζόμαστε απευθείας στο έο δειγματικό χώρο Ω B Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 5

12 Δεδομέου ότι τουλάχιστο έα από τα δύο παιδιά της οικογέειας είαι αγόρι, ο δειγματικός χώρος του πειράματος συρρικώεται/περιορίζεται στο σύολο B { ακ, κα, αα} και οι ευοϊκές περιπτώσεις περιορίζοται στη τομή AB {αα} (δες Σχήματα 46 Τα τρία απλά εδεχόμεα του έου δειγματικού χώρου Β είαι ισοπίθαα, επομέως P ( A Σχήματα 46 P ( A Η απάτηση επομέως στο ερώτημα που τέθηκε είαι / και όχι / που ίσως ήτα η πρώτη μας σκέψη!! Η χρήση κατάλληλης δεσμευμέης πιθαότητας μας βοήθησε α αποφύγουμε τη «παγίδα» της «προφαούς και απλής» αλλά λάθος απάτησης Σημειώουμε ότι θα μπορούσαμε στο αποτέλεσμα του πειράματος α μη δηλώουμε και τη σειρά γέησης τω παιδιώ, αλλά μόο το φύλο Έτσι, κατάλληλος δειγματικός χώρος είαι και o Ω { κκ, κα, αα} όπου το αποτέλεσμα «κα» δηλώει μόο το φύλο και όχι και τη σειρά γέησης όπως και ο Ω {0,, } όπου ως αποτέλεσμα καταγράφουμε το αριθμό τω αγοριώ της οικογέειας Α εργασθούμε με το δειγματικό χώρο Ω (ή με το Ω, τι λέτε, η απάτηση θα είαι και πάλι / ή μήπως θα αλλάξει; Επισημαίουμε ότι για α υπολογίσουμε μια δεσμευμέη πιθαότητα P ( A, μπορούμε α επιλέξουμε από δύο τρόπους: (α Να υπολογίσουμε στο αρχικό δειγματικό χώρο Ω τις πιθαότητες τω εδεχομέω AB και B και α εφαρμόσουμε το τύπο (4 (β Να εργασθούμε απευθείας στο έο δειγματικό χώρο Ω B Ας δούμε τώρα πώς, με τη εισαγωγή κατάλληλω δεσμευμέω πιθαοτήτω, μπορούμε α απλοποιήσουμε τη λύση προβλημάτω υπολογισμού μη δεσμευμέω πιθαοτήτω! 4 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος/όμος Ας θεωρήσουμε δύο εδεχόμεα Α, Β εός δειγματικού χώρου Ω Α P ( > 0, τότε από το τύπο A P ( A ορισμού της δεσμευμέης πιθαότητας P ( A προφαώς παίρουμε P ( A A (4 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 6

13 Επίσης, α P ( > 0, τότε από το τύπο A P ( B ορισμού της δεσμευμέης πιθαότητας P ( B παίρουμε P ( A B (4 Έτσι, α για δύο εδεχόμεα Α, Β μπορούμε α υπολογίσουμε (ή με κάποιο τρόπο γωρίζουμε τη δεσμευμέη πιθαότητα του εός δοθέτος του άλλου, τότε από το τύπο (4 (ή το (4 μπορούμε α υπολογίσουμε τη (μη δεσμευμέη πιθαότητα P (A της τομής τους ΑΒ (και εφόσο βέβαια γωρίζουμε ή μπορούμε α υπολογίσουμε τη πιθαότητα P ( ή P ( ατίστοιχα Ας δούμε έα τέτοιο παραδείγματα υπολογισμού της τομής δύο εδεχομέω Παράδειγμα 4 (συέχεια του Παραδείγματος 4: Θα υπολογίσουμε τη πιθαότητα α α δοθεί και στους δύο πελάτες κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει β α δοθεί και στους δύο πελάτες κουτί με σκεύασμα που δε έχει λήξει γ στο πρώτο πελάτη α δοθεί κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει και στο δεύτερο κουτί με σκεύασμα που δε έχει λήξει δ στο πρώτο πελάτη α δοθεί κουτί με σκεύασμα που δε έχει λήξει και στο δεύτερο κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει Απάτηση: Ας θεωρήσουμε τα εδεχόμεα Λ,, : για το -στό πελάτη επιλέγεται κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει α Ζητάμε τη πιθαότητα του εδεχομέου Λ Λ Επειδή, όπως εξηγήσαμε, Λ 7 και Λ Λ 6, για τη ζητούμεη πιθαότητα έχουμε Λ Λ P ( Λ Λ Λ β Ζητάμε τη πιθαότητα του εδεχομέου Λ Λ Επειδή, προφαώς Λ 4 7 και Λ Λ 6, για τη ζητούμεη πιθαότητα έχουμε 4 Λ ( Λ P Λ Λ Λ γ Ζητάμε τη πιθαότητα του εδεχομέου Λ Λ Επειδή προφαώς Λ 7 και Λ 4 Λ 6, για τη ζητούμεη πιθαότητα έχουμε 4 Λ ( Λ P Λ Λ Λ δ Ζητάμε τη πιθαότητα του εδεχομέου Λ Λ Επειδή προφαώς Λ 4 7 και Λ Λ 6, για τη ζητούμεη πιθαότητα έχουμε 4 Λ ( Λ P Λ Λ Λ Παρατηρείστε ότι οι πιθαότητες που υπολογίσαμε αθροίζου στο (σκεφθείτε γιατί Επίσης, ως άσκηση, βρείτε α τη πιθαότητα α δοθεί σε τουλάχιστο έα από τους δύο πελάτες κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει και β τη πιθαότητα α δοθεί μόο σε έα από τους δύο πελάτες κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει Σημειώουμε τέλος, ότι οι πιθαότητες που υπολογίσαμε μπορού α υπολογισθού και χωρίς τη χρήση δεσμευμέω πιθαοτήτω Δείτε το ως μια απλή άσκηση (Παρατηρείστε ότι το πείραμα έχει δυατά αποτελέσματα και για τις Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 7

14 ζητούμεες πιθαότητες το πλήθος τω ευοϊκώ αποτελεσμάτω, ατίστοιχα, είαι 6, 4, 4, 4 Με χρήση κατάλληλω δεσμευμέω πιθαοτήτω μπορούμε α υπολογίσουμε τη πιθαότητα της τομής και περισσότερω τω δύο εδεχομέω Ας δούμε τη πρόταση που ακολουθεί Πρόταση 4 (ο πολλαπλασιαστικός τύπος: Α δειγματικού χώρου Ω, με A A K 0, τότε A > A,, A, K A, εδεχόμεα εός A A K A A A A A A A K A A A K A (4 Ο τύπος αυτός οομάζεται πολλαπλασιαστικός τύπος ή πολλαπλασιαστικός όμος (multplcaton formula/rule Απόδειξη: Είαι απλή Εφαρμόζοτας το τύπο (4 για τις δεσμευμέες πιθαότητες που εμφαίζοται στο δεύτερο μέλος της (4 έχουμε A A A A A A K A A A K A A A A A A A A K A A L A A K A A A A A A K A Η συθήκη A A K A > 0 εξασφαλίζει ότι οι δεσμευμέες πιθαότητες που εμφαίζοται στο δεύτερο μέλος του πολλαπλασιαστικού τύπου ορίζοται Πράγματι, A A A K A A K A > 0 (αφού A A A K A A K A Οι τύποι (4 και (4 προφαώς αποτελού ειδική περίπτωση του τύπου (4 για Παράδειγμα 4 (συέχεια του Παραδείγματος 4: Θα υπολογίσουμε τη πιθαότητα, στους τρεις πρώτους πελάτες α δοθεί κουτί με σκεύασμα που δε έχει λήξει Απάτηση: Ας θεωρήσουμε τα εδεχόμεα Λ,,, : για το -στο πελάτη επιλέγεται κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει Ζητάμε τη πιθαότητα του εδεχομέου Λ Λ Λ Από το πολλαπλασιαστικό τύπο έχουμε 4 4 Λ ( Λ Λ P Λ Λ Λ Λ Λ Λ Σχόλιο 4: Ο πολλαπλασιαστικός τύπος, όπως φαίεται και από τα παραδείγματα που δώσαμε προηγουμέως, βοηθάει ιδιαίτερα σε περιπτώσεις προβλημάτω που αφορού σε οικογέειες εδεχομέω που μπορού α τοποθετηθού σε μια σειρά (χροολογική, λογική, ή άλλη Δείτε ως επιπλέο σχετικά παραδείγματα και τα Προβλήματα 40, 4 και 4 4 Το θεώρημα ολικής πιθαότητας Ότα μιλήσαμε για τις πράξεις μεταξύ εδεχομέω, δείξαμε ότι α { B, B, K, B } είαι μια διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης τότε για Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 8

15 οποιοδήποτε εδεχόμεο Α του Ω, τα εδεχόμεα AB, AB, K, AB αποτελού μια διαμέριση του Α, δηλαδή A AB AB K AB και (AB (AB j (για κάθε j Αυτό σημαίει ότι ότα πραγματοποιείται το εδεχόμεο Α, πραγματοποιείται σε συδυασμό με έα και μάλιστα με ακριβώς έα (μόο έα από τα B, B, K, B (δες Σχήμα 4 Έτσι έχουμε AB AB K AB και λόγω της ιδιότητας της πεπερασμέης προσθετικότητας, παίρουμε P ( AB + AB + K + AB Ο τύπος αυτός υπολογισμού της πιθαότητας εός εδεχομέου Α ως άθροισμα τω πιθαοτήτω τω ξέω αά δύο εδεχομέω AB, AB, K, AB τω οποίω η έωση είαι όλο το Α, οομάζεται τύπος της ολικής πιθαότητας (law of total probablty Α για όλα τα,, K,, είαι B > 0, τότε οι δεσμευμέες πιθαότητες P ( A B,,, K, ορίζοται και ο τύπος της ολικής πιθαότητας, σε συδυασμό με το πολλαπλασιαστικό τύπο P ( AB A B B,,, K, γράφεται + AB + K + AB A B B + A B B + K + A B B Αποδείξαμε έτσι, το θεώρημα ολικής πιθαότητας Θεώρημα 4 (το θεώρημα ολικής πιθαότητας: Α B, B, K, B } είαι μια { διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης, με B > 0 για όλα τα,, K,, τότε, για κάθε εδεχόμεο Α του Ω ισχύει ότι P ( AB A B B (4 Σχήμα 4 P ( AB AB AB P ( AB AB ( P A B B + A B B + + A B B Παράδειγμα 4: Οι εήλικες κάτοικοι ( 8 ετώ μιας περιοχής έχου ταξιομηθεί σε πέτε ηλικιακές ομάδες Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται το ποσοστό που κατέχει κάθε ηλικιακή ομάδα στο σύολο τω εηλίκω Επίσης φαίεται το ποσοστό Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 9

16 τω κατοίκω κάθε ηλικιακής ομάδας που πίου τουλάχιστο τρεις καφέδες ημερησίως Ποια είαι η πιθαότητα έας εήλικας αυτής της περιοχής που επιλέγεται τυχαία από το σύολο τω εηλίκω α πίει περισσότερους από τρεις καφέδες ημερησίως; Ηλικιακή Ομάδα Ποσοστό κατοίκω με καφέδες ( επί της ηλικιακής ομάδας Ποσοστό που κατέχει η ηλικιακή ομάδα ( επί του συόλου τω εηλίκω % 5% 0% 0% 5% 9% 0% % % 7% Απάτηση: Από τους εήλικες κατοίκους της περιοχής επιλέγουμε τυχαία έα Ο δειγματικός χώρος Ω αυτού του πειράματος τύχης είαι το σύολο όλω τω εηλίκω κατοίκω αυτής της περιοχής Ας θεωρήσουμε τα εδεχόμεα B: ο κάτοικος αήκει στη ηλικιακή ομάδα,,, K, 5 A: ο κάτοικος πίει τουλάχιστο καφέδες ημερησίως Μας δίεται ότι P ( A B 0 6, P ( A B 0 5, P ( A B 0 0, P ( A B4 00, P ( A B5 0 5, P ( B 0 09, P ( B 0 0, ( B 0 P, P ( B4 0 και P ( B5 0 7 και μας ζητείται η μη δεσμευμέη πιθαότητα P ( του εδεχομέου Α Τα εδεχόμεα B, B, K, B5 προφαώς αποτελού μια διαμέριση του δειγματικού χώρου του πειράματος αφού κάθε εήλικας κάτοικος 8 ετώ αήκει σε μια από τις πέτε ηλικιακές ομάδες και μάλιστα μόο σε μια, ή αλλιώς, οι πέτε ηλικιακές ομάδες καλύπτου όλες τις ηλικίες 8 ετώ, δηλαδή B B K Ω, και B5 B B j (για κάθε j Επομέως, για τη ζητούμεη πιθαότητα P (, μπορεί α εφαρμοσθεί ο τύπος (4 του θεωρήματος ολικής πιθαότητας Έτσι έχουμε A B B + A B B + K + A B5 B Επομέως, η πιθαότητα έας εήλικας κάτοικος της συγκεκριμέης περιοχής που επιλέγεται τυχαία, α πίει τουλάχιστο καφέδες ημερησίως είαι (περίπου 04 Ίσως παρατηρήσατε ότι η πιθαότητα του εδεχομέου Α, μέσω του τύπου της ολικής πιθαότητας εκφράσθηκε και υπολογίσθηκε ως ο σταθμισμέος μέσος όρος τω πιθαοτήτω του Α ετός κάθε ηλικιακής ομάδας, με συτελεστές στάθμισης 009, 00, 0, 0 και 07 που εκφράζου ατίστοιχα, τα σχετικά μεγέθη τω ηλικιακώ ομάδω Πράγματι έτσι είαι Έστω B, B, K, B } μια διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος { τύχης, με B > 0 για κάθε,, K, Με το τύπο (4 του θεωρήματος της ολικής πιθαότητας, η μη δεσμευμέη πιθαότητα P ( εός οποιουδήποτε εδεχομέου Α του Ω εκφράζεται ως ο σταθμισμέος μέσος όρος τω δεσμευμέω πιθαοτήτω P ( A B, με συτελεστές στάθμισης, ατίστοιχα, τις πιθαότητες P ( B Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0

17 Παράδειγμα 4 (συέχεια του Παραδείγματος 4: Α κάποιος υποβληθεί στο TB tne τεστ για α ελεγχθεί α είαι φορέας του βακίλου της φυματίωσης, το αποτέλεσμα δε είαι όπως είδαμε απόλυτο, δηλαδή, δε είαι πάτοτε σωστό Μπορεί δηλαδή, το αποτέλεσμα του τεστ α είαι θετικό εώ ο εξεταζόμεος δε είαι φορέας (ψευδώς θετικό Επίσης, μπορεί α είαι αρητικό εώ ο εξεταζόμεος είαι φορέας (ψευδώς αρητικό Βέβαια, από σχετικές μελέτες, η αξιοπιστία του τεστ μας είαι γωστή Έτσι, μας δίεται η πιθαότητα το αποτέλεσμα του τεστ α είαι αληθώς θετικό, δηλαδή α είαι θετικό ότα ο εξεταζόμεος είαι φορέας όπως και η πιθαότητα το αποτέλεσμα του τεστ α είαι αληθώς αρητικό, δηλαδή α είαι αρητικό ότα ο εξεταζόμεος δε είαι φορέας Συγκεκριμέα, μας δίεται ότι P ( Θ 09 και P ( Θ B 0 96 Υπεθυμίζουμε ότι με Θ και Β έχουμε ατίστοιχα συμβολίσει τα εδεχόμεα «το αποτέλεσμα του τεστ είαι θετικό» και «ο εξεταζόμεος είαι φορέας του βακίλου της φυματίωσης» Έα πρώτο εύλογο ερώτημα είαι το εξής: ποια είαι η πιθαότητα για έα κάτοικο που επιλέγεται τυχαία από τη συγκεκριμέη περιοχή και υποβάλλεται στο TB tne τεστ το αποτέλεσμα του τεστ α είαι θετικό, ή αλλιώς, τι ποσοστό τω κατοίκω στη συγκεκριμέη περιοχή δίει θετικό αποτέλεσμα Απάτηση: Επειδή τα εδεχόμεα Β και Β αποτελού μια διαμέριση του δειγματικού χώρου (αφού προφαώς B B Ω και B B και P ( > 0 άρα και P ( B 0995 > 0, από το τύπο (4 του θεωρήματος ολικής πιθαότητας έχουμε P ( Θ P ( Θ + Θ B B όπου, P ( Θ 0 9, P ( , P ( B και P ( Θ B η πιθαότητα το αποτέλεσμα του τεστ α είαι ψευδώς θετικό, δηλαδή α είαι θετικό ότα ο εξεταζόμεος δε είαι φορέας η οποία υπολογίζεται από τη σχέση P ( Θ B Θ B και επομέως έχουμε Θ Θ + Θ B B Έτσι, για έα κάτοικο από τη συγκεκριμέη περιοχή που επιλέγεται τυχαία και υποβάλλεται στο TB tne τεστ, η πιθαότητα το τεστ α δώσει θετικό αποτέλεσμα είαι Παρατηρείστε ότι η πιθαότητα αυτή είαι μεγαλύτερη (και μάλιστα αρκετά από τη P ( , δηλαδή από τη πιθαότητα έας κάτοικος α είαι φορέας Ασφαλώς, πρόκειται για κάτι ααμεόμεο Συμφωείτε; Παρατήρηση 4: Έστω Α και Β δύο εδεχόμεα του δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης με 0 < B < Τα εδεχόμεα Β και Β (δες και Σχήμα 4 αποτελού διαμέριση του Ω (αφού B B Ω και B B και επομέως, ο τύπος (4 της ολικής πιθαότητας για τη A με βάση τη διαμέριση { B, B }, γράφεται P ( A + A B B (4 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos

18 Σχήμα 4 P ( AB AB A + AB P ( A + A B B Σημειώουμε ότι οι δεσμευμέες πιθαότητες που εμφαίζοται στο τύπο (4 προφαώς ορίζοται αφού υποθέσαμε ότι B > 0 και < επομέως και B > 0 Παράδειγμα 4 (συέχεια του Παραδείγματος 4: Θα υπολογίσουμε τη πιθαότητα, Λ, α δοθεί στο δεύτερο πελάτη κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει Με απλή εφαρμογή του τύπου ολικής πιθαότητας παίρουμε 4 Λ ( ( Λ Λ P Λ + Λ Λ P Λ Παρατηρείστε ότι Λ Λ, δηλαδή, η πιθαότητα α δοθεί στο δεύτερο πελάτη κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει είαι ίση με τη πιθαότητα α δοθεί στο πρώτο πελάτη κουτί με σκεύασμα που έχει λήξει!!! 44 Το θεώρημα του Bayes Παράδειγμα 44 (συέχεια του Παραδείγματος 4: Στο Παράδειγμα 4 υπολογίσαμε, με βάση το θεώρημα της ολικής πιθαότητας, τη πιθαότητα του εδεχομέου Θ: το αποτέλεσμα του τεστ είαι θετικό και βρήκαμε P (Θ Έα ερώτημα που επίσης (και κυρίως εδιαφέρει είαι το εξής: α πραγματοποιηθεί το εδεχόμεο Θ, δηλαδή, α για έα τυχαία επιλεγμέο κάτοικο που υποβλήθηκε στο TB tne τεστ το αποτέλεσμα βρεθεί θετικό, ποια είαι η πιθαότητα ο εξεταζόμεος πράγματι α είαι φορέας του βακίλου της φυματίωσης και ποια α μη είαι; Απάτηση: Υπεθυμίζουμε ότι έχουμε ορίσει το εδεχόμεο Β: ο εξεταζόμεος είαι φορέας του βακίλου της φυματίωσης Ζητάμε τις δεσμευμέες πιθαότητες, P ( B Θ και P ( B Θ Από το τύπο (4 της δεσμευμέης πιθαότητας και αξιοποιώτας το πολλαπλασιαστικό τύπο, εύκολα παίρουμε BΘ Θ P ( B Θ 0480 Θ Θ οπότε P ( B Θ B Θ Δηλαδή, α για έα τυχαία επιλεγμέο κάτοικο που υποβλήθηκε στο TB tne τεστ το αποτέλεσμα βρεθεί θετικό, η πιθαότητα ο κάτοικος αυτός α είαι πράγματι φορέας του βακίλου της φυματίωσης είαι μόλις 0480 και η πιθαότητα α μη είαι Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos

19 φορέας είαι 0850 Απρόσμεο και εκ πρώτης όψεως περίεργο αποτέλεσμα, δε ομίζετε; (δείτε όμως το Σχόλιο 44 στη συέχεια Τη ζητούμεη εκ τω υστέρω πιθαότητα P ( B Θ τη υπολογίσαμε εφαρμόζοτας το θεώρημα/τύπο του Bayes (Bayes theorem/formula αφού πρώτα το αποδείξαμε! Πράγματι, από το τύπο ορισμού της δεσμευμέης πιθαότητας, φθάουμε στο θεώρημα/τύπο του Bayes έτσι απλά Θεώρημα 44 (το θεώρημα του Bayes: Α B, B, K, B } είαι μια διαμέριση του { δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης, με B > 0 για όλα τα,, K,, τότε, για κάθε εδεχόμεο Α του Ω με A > 0, ισχύει ότι A B B B,,, K, (44 A B B Απόδειξη: Ο τύπος (44 προκύπτει άμεσα από το τύπο ορισμού της δεσμευμέης πιθαότητας B B α ααλύσουμε το παραομαστή σύμφωα με το τύπο της ολικής πιθαότητας και ατικαταστήσουμε το αριθμητή με βάση το πολλαπλασιαστικό τύπο P B A B B ( Έτσι, για παράδειγμα, για τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( B παίρουμε A B B B A B B + A B B + K + A B B Παρατηρείστε ότι ο αριθμητής είαι έας από τους όρους της ολικής πιθαότητας που εμφαίζεται στο παραομαστή (Σκεφθείτε πώς σχετίζεται η δεσμευμέη πιθαότητα P ( B με τη πιθαότητα του σκιαγραφημέου εδεχομέου στο Σχήμα 44 Σχήμα 44 Διαμέριση { AB, AB, K, AB } του Α Επειδή (όπως μόλις διαπιστώσαμε ο τύπος του Bayes προκύπτει ως μια απλή εφαρμογή του πολλαπλασιαστικού τύπου και του θεωρήματος ολικής πιθαότητας, ίσως, εκ πρώτης όψεως, φαίεται α αποτελεί μια ήσσοος σημασίας επέκταση του τύπου ορισμού της δεσμευμέης πιθαότητας Όμως δε είαι έτσι Πρόκειται για έα αποτέλεσμα που έχει προκαλέσει μεγάλο και ζωηρό εδιαφέρο, αφεός γιατί δίει Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos

20 απάτηση σε εδιαφέροτα πρακτικά ερωτήματα και αφετέρου γιατί από μια ευρύτερη σκοπιά, θέτει βαθύτερα (και με φιλοσοφική διάσταση ζητήματα και ερωτήματα που μάλιστα οδήγησα στη δημιουργία «σχολής» και ιδιαίτερου κλάδου στη Στατιστική, τη Μπεϋζιαή Στατιστική Όμως, οι σχετικές συζητήσεις προκάλεσα και διαφωίες και «σχίσμα» μεταξύ τω στατιστικώ! Στη συέχεια, δε θα επεκταθούμε σε θέματα που τίθεται από τη σχετική συζήτηση Θα χρησιμοποιήσουμε το τύπο του Bayes για το σκοπό που αρχικά προοριζότα από το αιδεσιμότατο Thomas Bayes Για το υπολογισμό της «ατίστροφης πιθαότητας» Α για όλα τα,, K, γωρίζουμε τις δεσμευμέες πιθαότητες P ( A B, το θεώρημα του Bayes μας επιτρέπει α υπολογίσουμε δεσμευμέες πιθαότητες στη «ατίστροφη κατεύθυση», δηλαδή, α υπολογίσουμε τις B από τις P A B ( Πρέπει α διευκριίσουμε ότι το Θεώρημα του Bayes όπως διατυπώθηκε προηγουμέως, δημοσιεύθηκε το 8 από το Perre-Smon Laplace, στο οποίο οφείλεται και το όομα του, προς τιμή του Άγγλου ιερέα και μαθηματικού Thomas Bayes (70-76 του οποίου εργασία με το συγκεκριμέο αποτέλεσμα είχε δημοσιευθεί δύο χρόια μετά το θάατό του (An essay towards solvng a problem n the doctrne of chance, Phlosophcal Transactons of the Royal Socety, 5, 76 Παράδειγμα 44 (συέχεια του Παραδείγματος 4: Υπεθυμίζουμε ότι στο Παράδειγμα 4 έχουμε ορίσει τα εδεχόμεα B: ο κάτοικος αήκει στη ηλικιακή ομάδα,,, K, 5 A: ο κάτοικος πίει τουλάχιστο καφέδες ημερησίως Για καθέα,, K, 5 γωρίζουμε τη δεσμευμέη πιθαότητα P ( A B, δηλαδή, γωρίζουμε τη πιθαότητα έας εήλικας που επιλέγεται τυχαία α πίει τουλάχιστο τρεις καφέδες ημερησίως, δοθέτος ότι αήκει στη ηλικιακή ομάδα Μας είαι επίσης γωστές οι εκ τω προτέρω πιθαότητες P ( B τω εδεχομέω B Δηλαδή, γωρίζουμε τη εκ τω προτέρω (πρι τη εκτέλεση του πειράματος πιθαότητα έας εήλικας που επιλέγεται τυχαία α αήκει στη ηλικιακή ομάδα Θα χρησιμοποιήσουμε το τύπο του Bayes για α υπολογίσουμε για κάθε,, K, 5 τη «ατίστροφη» εκ τω υστέρω πιθαότητα B, δηλαδή, τη πιθαότητα έας εήλικας που επιλέγεται τυχαία α αήκει στη ηλικιακή ομάδα, δοθέτος ότι πίει τουλάχιστο τρεις καφέδες ημερησίως Απάτηση: Στο Παράδειγμα 4, χρησιμοποιώτας το τύπο της ολικής πιθαότητας, βρήκαμε 5 P ( A B 059 B Επομέως, από το τύπο του Bayes A B B B, 5 A B B παίρουμε A B B P ( B A B B 00,, K,5 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 4

21 A B B P ( B A B B A B B 00 0 P ( B A B B A B4 B P ( B A B 4 B A B5 B ( B A B 5 B P Έτσι, εώ οι εκ τω προτέρω πιθαότητες α επιλεγεί εήλικας από τις ηλικιακές ομάδες 8-4, 5-4, 5-49, και 65 ατίστοιχα είαι 009, 00, 0, 0 και 07, οι ατίστοιχες εκ τω υστέρω πιθαότητες, δοθέτος ότι ο εήλικας που επελέγη πίει τουλάχιστο τρεις καφέδες ημερησίως, είαι 00, 00, 0, 09 και 08 Παρατηρείστε τη μεγάλη μεταβολή της πιθαότητας α επιλεγεί εήλικας από τη ηλικιακή ομάδα 5-49 δοθέτος ότι πίει τουλάχιστο τρεις καφέδες ημερησίως ( P ( B B Αυτό συμβαίει γιατί επιλέγεται εήλικας που πίει τουλάχιστο τρεις καφέδες ημερησίως εώ το ποσοστό τω εηλίκω σε αυτή τη ηλικιακή ομάδα που πίει τουλάχιστο τρεις καφέδες ημερησίως, είαι μικρό σε σχέση με τις άλλες ομάδες (το μικρότερο Επίσης, μεγάλη μεταβολή παρατηρείται στη ηλικιακή ομάδα 5-4 αλλά στη ατίθετη κατεύθυση Σκεφθείτε γιατί (παρατηρείστε ότι σε αυτή τη ομάδα το ποσοστό τω εηλίκω που πίει τουλάχιστο τρεις καφέδες ημερησίως είαι το μεγαλύτερο Μια εδιαφέρουσα για τις εφαρμογές (και όχι μόο ερμηεία του θεωρήματος του Bayes είαι η εξής: Α τα εδεχόμεα B,,, K, θεωρηθού ως «αιτίες», ο τύπος του Bayes εκφράζει τη πιθαότητα, το «αποτέλεσμα» Α (δηλαδή, η εμφάιση του εδεχομέου Α α οφείλεται στη «αιτία» B Έτσι, ότα μας είαι γωστό το «αποτέλεσμα» Α, ο τύπος του Bayes μας επιτρέπει α οδηγηθούμε σε λογικά συμπεράσματα για τη «αιτία» που το προκάλεσε Για παράδειγμα, η εκ τω υστέρω πιθαότητα P ( B Θ που υπολογίσαμε προηγουμέως στο Παράδειγμα 44 μπορεί α ερμηευθεί ως εξής: Υπάρχει 48% πιθαότητα το αποτέλεσμα του τεστ α βγήκε θετικό επειδή το άτομο είαι φορέας Διευκριίζουμε ότι το «αποτέλεσμα» εδώ είαι ότι το τεστ (για το άτομο που επελέγη βγήκε θετικό και η εικαζόμεη «αιτία» είαι ότι το άτομο είαι φορέας Σκεφθείτε (για εξάσκηση πώς μπορού α ερμηευθού, αάλογα, οι εκ τω υστέρω πιθαότητες που υπολογίσαμε στο Παράδειγμα 44 Πρι δώσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα εφαρμογής του τύπου του Bayes, κρίουμε σκόπιμο α κάουμε έα σχόλιο για τη τιμή της εκ τω υστέρω πιθαότητας P ( B Θ που υπολογίσαμε στο Παράδειγμα 44 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 5

22 Σχόλιο 44: Το TB tne τεστ είαι έα πολύ αξιόπιστο τεστ, αφού κάει σωστή διάγωση με πιθαότητα 09 α ο εξεταζόμεος είαι φορέας και με πιθαότητα 096 α ο εξεταζόμεος δε είαι φορέας Επίσης, κάει ψευδώς θετική διάγωση, δηλαδή δίει θετικό αποτέλεσμα εώ ο εξεταζόμεος δε είαι φορέας, με μικρή πιθαότητα, ίση με 004 ( P ( Θ B Θ B Ετούτοις, βρήκαμε ότι P ( B Θ 0480, δηλαδή, βρήκαμε ότι από τα άτομα που το τεστ έχει δώσει θετικό αποτέλεσμα (ή αλλιώς, που το τεστ έχει διαγώσει ότι είαι φορείς, μόο το 48% είαι πράγματι φορείς, ή ισοδύαμα, από τα άτομα που το τεστ έχει δώσει θετικό αποτέλεσμα, το 85% δε είαι φορείς Ομολογουμέως πολύ παράξεο αποτέλεσμα Πώς εξηγείται τόσο μεγάλη αστοχία και φυσικά γεάται το ερώτημα, ποια η σκοπιμότητα εός τέτοιου διαγωστικού τεστ με τόσο μεγάλο ποσοστό λαθασμέω διαγώσεω Η εξήγηση βρίσκεται στο ότι το ποσοστό τω φορέω στο πληθυσμό είαι πολύ μικρό, μόλις 075% ( P ( και επομέως το ποσοστό όσω δε είαι φορείς είαι πολύ μεγάλο (995% με αποτέλεσμα α είαι πολλές οι θετικές διαγώσεις που οφείλοται σε λάθη του τεστ Θεωρείστε, για παράδειγμα, ότι στη συγκεκριμέη περιοχή υπάρχου 0000 κάτοικοι Φορείς ααμέεται α είαι μόλις 75 ( εώ ααμέεται α μη είαι φορείς 995 Έτσι, τo TB tne τεστ ααμέεται α δώσει 69 σωστές θετικές διαγώσεις (από τους 75 κατοίκους που είαι φορείς, , αλλά και 97 λάθος/ψευδώς θετικές διαγώσεις (από τους 995 κατοίκους που δε είαι φορείς, Δηλαδή, από τις συολικά θετικές διαγώσεις, οι συτριπτικά περισσότερες είαι ψευδώς θετικές, παρότι το τεστ δίει ψευδώς θετικό αποτέλεσμα με πολύ μικρή πιθαότητα (004 Παρατηρείστε ότι αυτό συμβαίει γιατί είαι πολύ περισσότεροι οι κάτοικοι που δε είαι φορείς, αφού είαι σπάιο το εδεχόμεο α είαι κάποιος φορέας Έτσι το ποσοστό τω σωστώ θετικώ διαγώσεω ααμέεται ίσο με , εώ τω ψευδώς θετικώ Δείτε επίσης στο πίακα που ακολουθεί πόσο πολύ επηρεάζεται η πιθαότητα P ( B Θ (δηλαδή, το ποσοστό τω σωστώ θετικώ διαγώσεω από τη πιθαότητα P ( ο εξεταζόμεος α είαι φορέας P ( B Θ Σε ότι αφορά τη σκοπιμότητα πραγματοποίησης του τεστ επισημαίουμε ότι η αξία του μπορεί α εκτιμηθεί καλύτερα α παρατηρήσουμε ότι μετά το θετικό αποτέλεσμα η εκ τω υστέρω πιθαότητα το άτομο α είαι φορέας, παρότι είαι μικρή (48%, ετούτοις είαι περίπου 0 φορές μεγαλύτερη από τη εκ τω προτέρω (πρι τη θετική διάγωση πιθαότητα α είαι φορέας (075% γεγοός το οποίο μπορεί α υποδεικύει τι είδους παρακολούθηση πρέπει α γίει στη συέχεια (επιπλέο εξετάσεις κτλ Βέβαια, για τη σκοπιμότητα πραγματοποίησης διαγωστικώ τεστ για σπάιες και ασυμπτωματικές ασθέειες λαμβάοται υπόψη και άλλες παράμετροι όπως για παράδειγμα α το τεστ έχει επιπτώσεις στη υγεία του εξεταζόμεου (α γίεται, πχ, χρήση ακτιοβολίας κά, όμως δε θα επεκταθούμε περισσότερο Ολοκληρώοτας, σημειώουμε ότι στις επιδημιολογικές αλλά και γεικότερα στις ιατρικές έρευες, για τη αξιοπιστία και τη διαγωστική αξία τω διαγωστικώ ελέγχω χρησιμοποιείται ειδική ορολογία Έτσι, α θεωρήσουμε τα εδεχόμεα Β: ο εξεταζόμεος είαι ασθεής Θ: το αποτέλεσμα του τεστ είαι θετικό, Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 6

23 η πιθαότητα P ( Θ το τεστ α κάει σωστή διάγωση ότα ο εξεταζόμεος είαι ασθεής οομάζεται ευαισθησία (senstvty του τεστ και η πιθαότητα P ( Θ B το τεστ α δώσει σωστό αποτέλεσμα ότα ο εξεταζόμεος δε είαι ασθεής οομάζεται ειδικότητα ή πιστότητα (specfcty του τεστ Η προβλεπτική ή διαγωστική αξία (predctve value του τεστ ορίζεται με τις εκ τω υστέρω (ότα γίει γωστό το αποτέλεσμα του τεστ πιθαότητες P (B Θ και P (B Θ που υπολογίζοται όπως είδαμε από το θεώρημα του Bayes με βάση τη ευαισθησία και τη ειδικότητα του τεστ (και τη διάδοση της ασθέειας στο πληθυσμό Παράδειγμα 44: Σε έα θερμοκήπιο έχει εγκατασταθεί σύστημα συαγερμού έκτακτης αάγκης Σύμφωα με τις προδιαγραφές του κατασκευαστή, ότα παρουσιασθεί κατάσταση έκτακτης αάγκης ο συαγερμός χτυπά με πιθαότητα 090 εώ χτυπά και ότα δε παρουσιάζεται κατάσταση έκτακτης αάγκης με πιθαότητα 00 Επίσης, έχει εκτιμηθεί ότι η πιθαότητα α παρουσιασθεί στο θερμοκήπιο κατάσταση έκτακτης αάγκης είαι 000 Α ο συαγερμός μόλις χτύπησε, ποια είαι η πιθαότητα α έχει πράγματι παρουσιασθεί κατάσταση έκτακτης αάγκης Απάτηση: Ας θεωρήσουμε τα εδεχόμεα Α: ο συαγερμός χτυπάει Β: στο θερμοκήπιο έχει παρουσιασθεί κατάσταση έκτακτης αάγκης Δίεται ότι 000, δηλαδή, μας είαι γωστή η εκ τω προτέρω πιθαότητα α παρουσιασθεί κατάσταση έκτακτης αάγκης και ζητείται α υπολογίσουμε τη εκ τω υστέρω πιθαότητα P ( B, δηλαδή, τη πιθαότητα α έχει παρουσιασθεί κατάσταση έκτακτης αάγκης δοθέτος ότι χτύπησε ο συαγερμός Δίεται επίσης ότι P ( A 090 και P ( A B 00 Από το τύπο του Bayes παίρουμε A B 058 A + A B B Δηλαδή, η πιθαότητα α χτύπησε ο συαγερμός επειδή υπάρχει κατάσταση έκτακτης αάγκης, είαι μόλις 58% Έτσι, όπως και στη περίπτωση του ιατρικού διαγωστικού τεστ που είδαμε προηγουμέως (δες Σχόλιο 44, παρά τις πολύ καλές προδιαγραφές του συαγερμού, α ακούσουμε α χτυπάει ο συαγερμός, η πιθαότητα α έχει συμβεί κατάσταση έκτακτης αάγκης είαι μόο 58% Άραγε, α στο θερμοκήπιο εγκαταστήσουμε ακόμη καλύτερο συαγερμό (και μάλλο πιο ακριβό θα αυξηθεί η P ( B ; Δηλαδή, θα αυξηθεί η πιθαότητα, ότα χτυπήσει ο συαγερμός η αιτία α είαι ότι υπάρχει κατάσταση έκτακτης αάγκης; Όπως φαίεται και στο πίακα που ακολουθεί, αυξάοτας τη ευαισθησία μόο του συαγερμού, η αύξηση της διαγωστικής ικαότητάς του είαι πολύ μικρή ή μηδεική Όπως εξηγήσαμε και στο Σχόλιο 44 το πρόβλημα βρίσκεται στο ότι το εδεχόμεο Β είαι σπάιο P ( A P ( B Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 7

24 Μια μοτέρα εφαρμογή του Θεωρήματος του Bayes Φίλτρα Spam που βασίζοται στο Θεώρημα του Bayes (Bayesan Spam Flters Τα Spam είαι αεπιθύμητα e-mals που κατακλύζου τα ηλεκτροικά malboxes δημιουργώτας προβλήματα στους χρήστες ηλεκτροικού ταχυδρομείου αλλά και στα συστήματα διαχείρισης ηλεκτροικού ταχυδρομείου Προέκυψε έτσι η αάγκη αάπτυξης εργαλείω λογισμικού τα οποία α φιλτράρου τα εισερχόμεα e-mals και α απορρίπτου τα Spam Πολλά από τα εργαλεία που ααπτύχθηκα για το σκοπό αυτό (όπως το SpamAssassn ή το ASSP βασίζοται στο Θεώρημα του Bayes!! Ας δούμε πώς Η βασική ιδέα για τη αάπτυξη αυτώ τω φίλτρω είαι ότι κάποιες λέξεις όπως «opportunty», «offer», «specal», ή συδυασμοί λέξεω όπως «enhance performance», μπορεί α μαρτυρού ότι έα μήυμα που περιέχει κάποια ή κάποιες από αυτές τις λέξεις είαι Spam Α επομέως απατηθεί το ερώτημα «ποια είαι η πιθαότητα, α είαι Spam έα μήυμα που διαπιστώσαμε ότι περιέχει μια ή περισσότερες τέτοιες λέξεις» και βρεθεί ότι η πιθαότητα αυτή είαι μεγάλη (μεγαλύτερη από κάποιο επίπεδο που θέτουμε πχ 95% τότε έα τέτοιο μήυμα μπορεί α απορριφθεί από το φίλτρο, δηλαδή, α θεωρηθεί Spam Βέβαια, έα τέτοιο φίλτρο μπορεί α κάει λάθη Δηλαδή, μπορεί έα μήυμα α το θεωρήσει Spam εώ δε είαι, καθώς επίσης έα μήυμα α μη το θεωρήσει Spam εώ είαι Αυτό που επιδιώκεται είαι α ελαχιστοποιείται η πιθαότητα α θεωρηθεί έα μήυμα Spam εώ δε είαι Είαι προφαές ότι τέτοια φίλτρα μπορού α βασίζοται σε μία ή περισσότερες λέξεις ή σε έα ή περισσότερους συδυασμούς λέξεω Ας δούμε έα απλό φίλτρο που βασίζεται σε μια μόο λέξη Έστω «w» μια τέτοια λέξη και ας υποθέσουμε ότι σε μια χροική περίοδο φθάει σε έα mal server έα σύολο μηυμάτω Κάθε μήυμα από αυτά είαι ή δε είαι Spam Έτσι, α S είαι το υποσύολο τω μηυμάτω που είαι Spam τότε προφαώς το S είαι το υποσύολο τω μηυμάτω που δε είαι Spam Μπορούμε α μετρήσουμε σε πόσα από τα μηύματα του υποσυόλου S και σε πόσα από τα μηύματα του υποσυόλου S εμφαίζεται η λέξη «w» και έτσι α εκτιμήσουμε αφεός τη πιθαότητα: έα μήυμα που είαι Spam α περιέχει τη λέξη «w» και αφετέρου τη πιθαότητα: έα μήυμα που δε είαι Spam α περιέχει τη λέξη «w» Επίσης, μπορούμε α εκτιμήσουμε τη πιθαότητα: έα μήυμα που φθάει στο mal server είαι Spam και τη πιθαότητα: έα μήυμα που φθάει στο mal server δε είαι Spam Έα μήυμα φθάει στο mal server και διαπιστώεται ότι περιέχει τη λέξη «w» Α E το εδεχόμεο: το μήυμα περιέχει τη λέξη «w», τότε όπως ααφέραμε προηγουμέως οι πιθαότητες P ( E / S P ( E / S, S και P (S μπορού α εκτιμηθού και επειδή τα εδεχόμεα S και S διαμερίζου το σύολο όλω τω μηυμάτω, από το Θεώρημα του Bayes έχουμε E / S S S / E E / S S + E / S S Ας δούμε έα αριθμητικό παράδειγμα Η ιδέα παρουσιάσθηκε για πρώτη φορά το 998 στο συέδριο AAAI από τους Saham, Dumas, Heckerman & Horvtz (A Bayesan approach to flterng junk e-mal και προσέλκυσε το εδιαφέρο μόλις από το 00 με τη δημοσίευση από το Paul Graham του άρθρου «A Plan for Spam» (wwwpaulgrahamcom/spamhtml Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 8

25 Παράδειγμα 444 (Μπεϋζιαά φίλτρα Spam: Βρέθηκε ότι από τα 000 μηύματα που έφθασα μια χροική περίοδο σε έα mal server, τα 000 είαι Spam και τα 000 δε είαι Spam Βρέθηκε επίσης ότι η λέξη «Rolex» εμφαίσθηκε σε 50 από τα 000 μηύματα που είαι Spam και σε 5 από τα 000 μηύματα που δε είαι Spam Έα μήυμα φθάει στο mal server και διαπιστώουμε ότι περιέχει τη λέξη «Rolex» Ποια είαι η πιθαότητα το μήυμα αυτό α είαι Spam Απάτηση: Θεωρώτας ότι ο αριθμός τω επααλήψεω του πειράματος (000 είαι αρκετά μεγάλος ώστε α έχει επιτευχθεί σταθεροποίηση τω σχετικώ συχοτήτω έχουμε P ( S 067, P ( S S 0, P ( E / S 0 5 και P ( E / S Επομέως η ζητούμεη πιθαότητα είαι P ( S / E Έτσι, α ως επίπεδο απόρριψης εός μηύματος που περιέχει τη λέξη «Rolex» θέσουμε το 095 τότε το μήυμα απορρίπτεται ως Spam Αάλογα υπολογίζουμε τις ατίστοιχες πιθαότητες για φίλτρα που ελέγχου περισσότερες από μια λέξεις 45 Αεξάρτητα εδεχόμεα Σε όλα τα προηγούμεα παραδείγματα, όπως διαπιστώσαμε, οι δεσμευμέες πιθαότητες διαφέρου από τις ατίστοιχες μη δεσμευμέες Για παράδειγμα, η εκ τω υστέρω (δεσμευμέη πιθαότητα α έχει έα άτομο αχρωματοψία δοθέτος ότι είαι άδρας διαφέρει, και μάλιστα είαι μεγαλύτερη, από τη εκ τω προτέρω (μη δεσμευμέη πιθαότητα έα άτομο α έχει αχρωματοψία (Παράδειγμα 44 Δηλαδή, α Α και Β τα εδεχόμεα, ατίστοιχα, «το άτομο πάσχει από αχρωματοψία» και «το άτομο είαι άδρας», τότε P ( A > εώ P ( A B <, δηλαδή, η εκ τω υστέρω πιθαότητα α έχει έα άτομο αχρωματοψία δοθέτος ότι είαι γυαίκα, είαι μικρότερη από τη ατίστοιχη εκ τω προτέρω Επίσης, στο Παράδειγμα 46 είδαμε ότι για δύο ξέα εδεχόμεα Α, Β (με P ( > 0 και P ( > 0 είαι P ( A 0 και P ( B 0, δηλαδή, η γώση ότι εμφαίσθηκε το έα από τα δύο, αποκλείει τη εμφάιση του άλλου (προφαώς ααμεόμεο για ξέα εδεχόμεα Στο ίδιο παράδειγμα δείξαμε επίσης ότι α για δύο εδεχόμεα Α, Β είαι B A, τότε P ( A (ααμεόμεο, επίσης, αφού η εμφάιση του Β συεπάγεται τη εμφάιση του Α Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 9

26 Σε όλες επομέως αυτές τις περιπτώσεις, η πιθαότητα εμφάισης του εδεχομέου που μας εδιαφέρει, επηρεάζεται από τη γώση ότι κάποιο άλλο εδεχόμεο συέβη (ή δε συέβη Υπάρχου όμως περιπτώσεις όπου P ( A A B δηλαδή, περιπτώσεις όπου η γώση ότι συέβη ή δε συέβη έα εδεχόμεο Β (με P ( > 0 δε δίει καμία πληροφορία για τη εμφάιση εός άλλου εδεχομέου Α, η αλλιώς, η πραγματοποίηση ή μη του Β δε έχει καμία επίδραση στη πραγματοποίηση του Α Λέμε τότε ότι το εδεχόμεο Α είαι αεξάρτητο από το εδεχόμεο Β Μάλιστα, εύκολα προκύπτει ότι τότε και P ( B (α P ( > 0, δηλαδή, και το εδεχόμεο Β είαι αεξάρτητο από το εδεχόμεο Α Πράγματι A P ( A A A B Δηλαδή, α η πραγματοποίηση του Β δε έχει καμία επίδραση στη πραγματοποίηση του Α τότε και η πραγματοποίηση του Α δε έχει καμία επίδραση στη πραγματοποίηση του Β Αυτό σημαίει ότι η αεξαρτησία εδεχομέω είαι μια συμμετρική σχέση και γι αυτό από τις παραπάω ισοδύαμες σχέσεις, για το ορισμό της επιλέχθηκε η P ( A που αποδίδει καλύτερα αυτή τη συμμετρικότητα (αλλά και γιατί αποφεύγοται οι συθήκες P ( > 0 και P ( > 0 Ορισμός 45 (αεξαρτησία δύο εδεχομέω: Δύο εδεχόμεα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης λέγοται αεξάρτητα ή στοχαστικά/στατιστικά αεξάρτητα (ndependent events α ισχύει P ( A (45 εώ α ισχύει A, τα εδεχόμεα Α και Β λέγοται εξαρτημέα (dependent events Mε βάση το όημα της αεξαρτησίας, α δύο εδεχόμεα είαι αεξάρτητα, λογικά, περιμέουμε και τα συμπληρώματά τους α είαι επίσης αεξάρτητα Πράγματι έτσι είαι Πρόταση 45: Α Α και Β είαι δύο αεξάρτητα εδεχόμεα του δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης τότε είαι αεξάρτητα και τα εδεχόμεα α Α και Β β Α και Β γ Α και Β Απόδειξη: (α Θα δείξουμε ότι α δύο εδεχόμεα Α και Β είαι αεξάρτητα τότε είαι αεξάρτητα και τα συμπληρώματά τους, Α και Β Για τη πιθαότητα της έωσης τω Α και Β έχουμε P ( B + B B Επίσης, (θυμηθείτε τους τύπους De Morgan ισχύει ότι B P[( A ] A και επομέως Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0