ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

Σχετικά έγγραφα
ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Περιεχόμενα. Ιδιότητες του cov(x, Y) Ιδιότητες των εκτιμητών Παράδειγμα. 1 Συσχέτιση Μεταβλητών. 2 Εκτιμητές και κατάλοιπα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

c(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων

Pr (a X b, c Y d) = c. f XY (x, y) dx dy, (15.1) Pr ((X, Y ) R) = f XY (x, y) dx dy. (15.2)

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Βιομαθηματικά BIO-156

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

x P (x) c P (x) = c P (x), x S : x c

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

3. Κατανομές πιθανότητας

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων. Κεφάλαιο 1. Κοκολάκης Γεώργιος

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 2010

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Μάθηµα 3 ο b. Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

P (M = 9) = e 9! =

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

Στατιστική Συμπερασματολογία

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Οι παρατηρήσεις του δείγματος, μεγέθους n = 40, δίνονται ομαδοποιημένες κατά συνέπεια ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται από τον τύπο:

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

II. Τυχαίες Μεταβλητές

Var(X 1 + X 2 ) = σ 2 X 1. E(Y ) = np (3) xf X (x) xp(x = x) (x 1 + x 2 )f X1 X 2. x 1 f X1 X 2. (x 1, x 2 ) + x 2 f X1 X 2. (x 1, x 2 ) + x 1,x 2

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας

Transcript:

Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}. f(x ) = = x ) = P(X 1 = x 1, X 2 = x 2,...,X k = x k ) ονοµάζεται P(X συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του τυχαίου διανύσµατος X ή από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X 1, X 2,...,X k. Ιδιότητες: (i) f(x i 0, i = 1, 2,..., (ii) ) Παρατήρηση: f(x ) = 1. f(x ) =... f(x 1,...,x k ). x 1 x k S S

Είδη τυχαίων διανυσµάτων Πολυωνυµική Κατανοµή Ενα τυχαίο διάνυσµα X = (X 1, X 2,...,X k ) ακολουθεί την πολυωνυµική κατανοµή, εάν η π.π. του τ.δ. είναι f(x ) = P(X = x ) = n! x 1!x 2!...x k! px1 1 px2 2...pxk k όπου x = (x 1, x 2,...,x k ), x 1 + x 2 +...+x k = n και 0 < p i < 1, i = 1, 2,...,k είναι πιθανότητες τ.ω. p 1 + p 2 +...+p k = 1. Συµβολισµός: X Π(n; p 1, p 2,...,p k ). Περιγραφή Τυχαίου Πειράµατος Θεωρούµε ότι έχουµε ένα τυχαίο πείραµα µε k δυνατά αποτελέσµατα, έστω A 1, A 2,...,A k, µε πιθανότητα εµφάνισης P(A i) = p i, i = 1, 2,...,k. Αν X i, i = 1, 2,...,k είναι η τ.µ. η οποία µετράει το πλήθος εµφάνισης του γεγονότος A i, τότε το τ.δ. X = (X 1, X 2,...,X k) Π(n; p 1, p 2,...,p k). Παρατήρηση: A 1 A 2... A k = S P(A 1)+P(A 2)+...+P(A k) = 1.

Είδη τυχαίων διανυσµάτων 2. Συνεχούς τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται συνεχές τυχαίο διάνυσµα αν υπάρχει f : R k R, τέτοια ώστε B ) = P(X B f(x )dx Αν B = B 1 B 2... B k και f(x ) = f(x 1, x 2,...,x k ), τότε =... f(x 1, x 2,...,x k )dx 1...dx k B f(x )dx B k B 1 f(x ) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του τ.δ. ή X από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. X 1, X 2,...,X k. Ιδιότητες: (i) f(x ) 0, x R k, (ii) = 1. R f(x )dx k

Συνάρτηση Κατανοµής Τυχαίου ιανύσµατος Ορισµός F(x ) = P(X x ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,...,X k x k ). Ιδιότητες (k = 2) 1 0 F(x 1, x 2 ) 1, x 1, x 2 R. 2 Η ολική µεταβολή της F, x ỹ = F(y 1, y 2 )+F(x 1, x 2 ) F(x 1, y 2 ) F(y 1, x 2 ) 0. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών αναφορικά µε κάθε συνιστώσα x 1, x 2. 4 lim F(x 1, x 2 ) = 0, lim F(x 1, x 2 ) = 1. x 1,x 2 x 1,x 2 +

Περιθώριες Κατανοµές Εστω X = (X 1, X 2 ) ένα τυχαίο διάνυσµα. lim F(x 1, x 2 ) = F(x 1,+ ) = F X1 (x 1 ) ονοµάζεται περιθώρια x 2 + συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. X 1. lim F(x 1, x 2 ) = F(+, x 2 ) = F X2 (x 2 ) ονοµάζεται περιθώρια x 1 + συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. X 2. Παρατήρηση (συνεχή περίπτωση) X τ.µ. τότε f(x) = df(x) dx. X = (X 1, X 2 ) τ.δ. τότε f(x 1, x 2 ) = 2 x 1 x 2 F(x 1, x 2 ). X = (X 1, X 2,...,X k ) τ.δ. τότε f(x 1, x 2,...,x k ) = k x 1... x k F(x 1,...x k ).

Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας Εστω X = (X 1, X 2 ) ένα τυχαίο διάνυσµα. f X1 (x 1 ) = df X 1 (x 1 ) dx 1 ονοµάζεται περιθώρια π.π. της τ.µ. X 1. f X2 (x 2 ) = df X 2 (x 2 ) dx 2 ονοµάζεται περιθώρια π.π. της τ.µ. X 2. Ορισµός (Περιθώρια π.π.) f(x 1, x 2 ) x 2, διακριτό τ.δ. X f X1 (x 1 ) = + f(x 1, x 2 )dx 2, συνεχές τ.δ. X

Ροπές συναρτήσεων τυχαίων µεταβλητών Αν X τ.µ. και g : R R Ορισµός Eg(X) = g(x)f(x) x + g(x)f(x)dx, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Αν X 1, X 2,...,X n τ.µ. µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,...,x n) και Y = g(x 1, X 2,...,X n), g : R n R τότε, Ορισµός EY = Eg(X 1,...,X n) =... g(x 1,...,x n)f(x 1,...,x n), διακριτό τ.δ. x n x 1 X + +... g(x 1,...,x n)f(x 1,...,x n)dx 1...dx n, X συνεχές τ.δ. Var(Y) = E(Y EY) 2.

Ροπές συναρτήσεων τυχαίων µεταβλητών Εστω g 1 και g 2 πραγµατικές συναρτήσεις των τ.µ. X 1, X 2,...,X n, τότε, Ιδιότητες - Μέση τιµή 1 E(ag 1 (X 1, X 2,...,X n )+bg 2 (X 1, X 2,...,X n )) = aeg 1 (X 1, X 2,...,X n )+beg 2 (X 1, X 2,...,X n ) 2 Eg 1 (X 1, X 2,...,X n ) E g 1 (X 1, X 2,...,X n ). Ιδιότητες - ιασπορά 1 Var(ag 1 (X 1, X 2,...,X n )+b) = a 2 Varg 1 (X 1, X 2,...,X n ) 2 Var(g 1 (X 1, X 2,...,X n )) = Eg 2 1 (X 1, X 2,...,X n ) (Eg 1 (X 1, X 2,...,X n )) 2

Συντελεστής Συσχέτισης ύο Τυχαίων Μεταβλητών Συντελεστής Συσχέτισης = E[(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] Var(X1 )Var(X 2 ) E[(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) = Cov(X 1, X 2 ) ονοµάζεται συνδιασπορά των τ.µ. X 1 και X 2. Παρατήρηση Ο συντελεστής συσχέτισης (όπως και η συνδιασπορά) µας λένε αν και πως σχετίζονται γραµµικά µεταξύ τους οι δύο τυχαίες µεταβλητές. 1 1 = 1, έχουµε αυστηρά ϑετική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις δύο τ.µ. = 1, έχουµε αυστηρά αρνητική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις δύο τ.µ. = 0, οι τ.µ. X 1 και X 2 ονοµάζονται ασυσχέτιστες.

Στοχαστική Ανεξαρτησία Ανεξάρτητα γεγονότα A, B ανεξάρτητα γεγονότα P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)P(B) Ανεξαρτησία τ.µ. Οι τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2,...,X k ονοµάζονται ανεξάρτητες P(X 1 A 1, X 2 A 2,...,X k A k ) = P(X 1 A 1 )P(X 2 A 2 )...P(X k A k ) Παρατήρηση Αν X 1, X 2,...,X k είναι ανεξάρτητες τ.µ., τότε αυτές είναι ανεξάρτητες ανά δύο, ανά τρεις κ.ο.κ. Παραγοντικό Θεώρηµα X 1, X 2,...,X k ανεξ. τ.µ. F X (x ) = F X1 (x 1 )...F Xk (x k ) = f X (x ) = f X1 (x 1 )...f Xk (x k ) = k F Xi (x i ) k f Xi (x i )

Στοχαστική Ανεξαρτησία Πόρισµα Αν X 1, X 2,...,X k είναι ανεξάρτητες τ.µ. και g 1, g 2,...,g k είναι αντίστοιχα συναρτήσεις των X 1, X 2,...,X k, τότε E(g 1 (X 1 )g 2 (X 2 )...g k (X k )) = E(g 1 (X 1 ))E(g 2 (X 2 ))...E(g k (X k )) Παρατήρηση 1 Αν X 1, X 2 είναι ανεξάρτητες τ.µ. E(X 1 X 2 ) = E(X 1 )E(X 2 ) E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) = 0 Cov(X 1, X 2 ) = 0 X 1, X 2 είναι ασυσχέτιστες τ.µ. Παρατήρηση 2 Αν X 1, X 2,...,X k είναι ανεξάρτητες τ.µ. Var(X 1 + X 2 +...+X k ) = Var(X 1 )+Var(X 2 )+...+Var(X k ).

Αναπαραγωγικές Ιδιότητες Θεωρούµε X 1, X 2,...,X k ανεξάρτητες τ.µ. k k 1 X i B(n i, p), i = 1, 2,...,k X i B( n i, p) k k 2 X i P(λ i ), i = 1, 2,...,k X i P( λ i ) k k k 3 X i N(µ i,σi 2), i = 1, 2,...,k X i N( µ i, σ 2 i ) k k 4 X i G(a i,β), i = 1, 2,...,k X i G( a i,β) k 5 X i E(λ) G(1, 1/λ), i = 1, 2,...,k X i G(n,λ)

Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) Κ.Ο.Θ. Εστω X 1, X 2,...,X n ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές, µε E(X i ) = µ και VarX i = σ 2, i = 1, 2,...,n, τότε n n X i E( X i ) n Var( X i ) Z N(0, 1).

εσµευµένες Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός ( εσµευµένη Πυκνότητα Πιθανότητας) f X1 X 2 (x 1 x 2) = f X2 X 1 (x 2 x 1) = f(x1, x2) f X2 (x 2) f(x1, x2) f X1 (x 1) ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X1 δοθείσης της X2. ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X2 δοθείσης της X1. Ορισµός( εσµευµένη Μέση Τιµή της X 1 δοθείσης της X 2) x 1 f X1 X 2 (x 1 x 2), X 1 διακριτή τ.µ. x 1 E(X 1 X 2) = + x 1 f X1 X 2 (x 1 x 2)dx 1, X 1 συνεχής τ.µ. Παρατήρηση E(X 1 X 2) = φ(x 2) είναι µια τ.µ. και ορίζει µια καµπύλη στο επίπεδο, η οποία ονοµάζεται καµπύλη παλινδρόµησης.

εσµευµένες Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός ( εσµευµένη Πυκνότητα Πιθανότητας) f X1 X 2 (x 1 x 2) = f X2 X 1 (x 2 x 1) = f(x1, x2) f X2 (x 2) f(x1, x2) f X1 (x 1) ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X1 δοθείσης της X2. ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X2 δοθείσης της X1. Ορισµός( εσµευµένη Μέση Τιµή της X 2 δοθείσης της X 1) x 2 f X2 X 1 (x 2 x 1), X 2 διακριτή τ.µ. x 2 E(X 2 X 1) = + x 2 f X2 X 1 (x 2 x 1)dx 2, X 2 συνεχής τ.µ. Παρατήρηση E(X 2 X 1) = φ(x 1) είναι µια τ.µ. και ορίζει µια καµπύλη στο επίπεδο, η οποία ονοµάζεται καµπύλη παλινδρόµησης.

εσµευµένες Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός( εσµευµένη Μέση Τιµή της X 1 δοθείσης της X 2 ) Var(X 1 X 2 ) = E(X 1 E(X 1 X 2 )) 2 Ορισµός( εσµευµένη Μέση Τιµή της X 2 δοθείσης της X 1 ) Var(X 2 X 1 ) = E(X 2 E(X 2 X 1 )) 2 Ιδιότητες 1 E(E(X 1 X 2 )) = EX 1 2 E(E(X 1 X 2 X 2 )) = X 2 E(X 1 X 2 ) 3 Var(X 1 X 2 ) = E(X1 2 X 2) (E(X 1 X 2 )) 2