Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}. f(x ) = = x ) = P(X 1 = x 1, X 2 = x 2,...,X k = x k ) ονοµάζεται P(X συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του τυχαίου διανύσµατος X ή από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X 1, X 2,...,X k. Ιδιότητες: (i) f(x i 0, i = 1, 2,..., (ii) ) Παρατήρηση: f(x ) = 1. f(x ) =... f(x 1,...,x k ). x 1 x k S S
Είδη τυχαίων διανυσµάτων Πολυωνυµική Κατανοµή Ενα τυχαίο διάνυσµα X = (X 1, X 2,...,X k ) ακολουθεί την πολυωνυµική κατανοµή, εάν η π.π. του τ.δ. είναι f(x ) = P(X = x ) = n! x 1!x 2!...x k! px1 1 px2 2...pxk k όπου x = (x 1, x 2,...,x k ), x 1 + x 2 +...+x k = n και 0 < p i < 1, i = 1, 2,...,k είναι πιθανότητες τ.ω. p 1 + p 2 +...+p k = 1. Συµβολισµός: X Π(n; p 1, p 2,...,p k ). Περιγραφή Τυχαίου Πειράµατος Θεωρούµε ότι έχουµε ένα τυχαίο πείραµα µε k δυνατά αποτελέσµατα, έστω A 1, A 2,...,A k, µε πιθανότητα εµφάνισης P(A i) = p i, i = 1, 2,...,k. Αν X i, i = 1, 2,...,k είναι η τ.µ. η οποία µετράει το πλήθος εµφάνισης του γεγονότος A i, τότε το τ.δ. X = (X 1, X 2,...,X k) Π(n; p 1, p 2,...,p k). Παρατήρηση: A 1 A 2... A k = S P(A 1)+P(A 2)+...+P(A k) = 1.
Είδη τυχαίων διανυσµάτων 2. Συνεχούς τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται συνεχές τυχαίο διάνυσµα αν υπάρχει f : R k R, τέτοια ώστε B ) = P(X B f(x )dx Αν B = B 1 B 2... B k και f(x ) = f(x 1, x 2,...,x k ), τότε =... f(x 1, x 2,...,x k )dx 1...dx k B f(x )dx B k B 1 f(x ) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του τ.δ. ή X από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. X 1, X 2,...,X k. Ιδιότητες: (i) f(x ) 0, x R k, (ii) = 1. R f(x )dx k
Συνάρτηση Κατανοµής Τυχαίου ιανύσµατος Ορισµός F(x ) = P(X x ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,...,X k x k ). Ιδιότητες (k = 2) 1 0 F(x 1, x 2 ) 1, x 1, x 2 R. 2 Η ολική µεταβολή της F, x ỹ = F(y 1, y 2 )+F(x 1, x 2 ) F(x 1, y 2 ) F(y 1, x 2 ) 0. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών αναφορικά µε κάθε συνιστώσα x 1, x 2. 4 lim F(x 1, x 2 ) = 0, lim F(x 1, x 2 ) = 1. x 1,x 2 x 1,x 2 +
Περιθώριες Κατανοµές Εστω X = (X 1, X 2 ) ένα τυχαίο διάνυσµα. lim F(x 1, x 2 ) = F(x 1,+ ) = F X1 (x 1 ) ονοµάζεται περιθώρια x 2 + συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. X 1. lim F(x 1, x 2 ) = F(+, x 2 ) = F X2 (x 2 ) ονοµάζεται περιθώρια x 1 + συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. X 2. Παρατήρηση (συνεχή περίπτωση) X τ.µ. τότε f(x) = df(x) dx. X = (X 1, X 2 ) τ.δ. τότε f(x 1, x 2 ) = 2 x 1 x 2 F(x 1, x 2 ). X = (X 1, X 2,...,X k ) τ.δ. τότε f(x 1, x 2,...,x k ) = k x 1... x k F(x 1,...x k ).
Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας Εστω X = (X 1, X 2 ) ένα τυχαίο διάνυσµα. f X1 (x 1 ) = df X 1 (x 1 ) dx 1 ονοµάζεται περιθώρια π.π. της τ.µ. X 1. f X2 (x 2 ) = df X 2 (x 2 ) dx 2 ονοµάζεται περιθώρια π.π. της τ.µ. X 2. Ορισµός (Περιθώρια π.π.) f(x 1, x 2 ) x 2, διακριτό τ.δ. X f X1 (x 1 ) = + f(x 1, x 2 )dx 2, συνεχές τ.δ. X
Ροπές συναρτήσεων τυχαίων µεταβλητών Αν X τ.µ. και g : R R Ορισµός Eg(X) = g(x)f(x) x + g(x)f(x)dx, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Αν X 1, X 2,...,X n τ.µ. µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,...,x n) και Y = g(x 1, X 2,...,X n), g : R n R τότε, Ορισµός EY = Eg(X 1,...,X n) =... g(x 1,...,x n)f(x 1,...,x n), διακριτό τ.δ. x n x 1 X + +... g(x 1,...,x n)f(x 1,...,x n)dx 1...dx n, X συνεχές τ.δ. Var(Y) = E(Y EY) 2.
Ροπές συναρτήσεων τυχαίων µεταβλητών Εστω g 1 και g 2 πραγµατικές συναρτήσεις των τ.µ. X 1, X 2,...,X n, τότε, Ιδιότητες - Μέση τιµή 1 E(ag 1 (X 1, X 2,...,X n )+bg 2 (X 1, X 2,...,X n )) = aeg 1 (X 1, X 2,...,X n )+beg 2 (X 1, X 2,...,X n ) 2 Eg 1 (X 1, X 2,...,X n ) E g 1 (X 1, X 2,...,X n ). Ιδιότητες - ιασπορά 1 Var(ag 1 (X 1, X 2,...,X n )+b) = a 2 Varg 1 (X 1, X 2,...,X n ) 2 Var(g 1 (X 1, X 2,...,X n )) = Eg 2 1 (X 1, X 2,...,X n ) (Eg 1 (X 1, X 2,...,X n )) 2
Συντελεστής Συσχέτισης ύο Τυχαίων Μεταβλητών Συντελεστής Συσχέτισης = E[(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] Var(X1 )Var(X 2 ) E[(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) = Cov(X 1, X 2 ) ονοµάζεται συνδιασπορά των τ.µ. X 1 και X 2. Παρατήρηση Ο συντελεστής συσχέτισης (όπως και η συνδιασπορά) µας λένε αν και πως σχετίζονται γραµµικά µεταξύ τους οι δύο τυχαίες µεταβλητές. 1 1 = 1, έχουµε αυστηρά ϑετική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις δύο τ.µ. = 1, έχουµε αυστηρά αρνητική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις δύο τ.µ. = 0, οι τ.µ. X 1 και X 2 ονοµάζονται ασυσχέτιστες.
Στοχαστική Ανεξαρτησία Ανεξάρτητα γεγονότα A, B ανεξάρτητα γεγονότα P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)P(B) Ανεξαρτησία τ.µ. Οι τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2,...,X k ονοµάζονται ανεξάρτητες P(X 1 A 1, X 2 A 2,...,X k A k ) = P(X 1 A 1 )P(X 2 A 2 )...P(X k A k ) Παρατήρηση Αν X 1, X 2,...,X k είναι ανεξάρτητες τ.µ., τότε αυτές είναι ανεξάρτητες ανά δύο, ανά τρεις κ.ο.κ. Παραγοντικό Θεώρηµα X 1, X 2,...,X k ανεξ. τ.µ. F X (x ) = F X1 (x 1 )...F Xk (x k ) = f X (x ) = f X1 (x 1 )...f Xk (x k ) = k F Xi (x i ) k f Xi (x i )
Στοχαστική Ανεξαρτησία Πόρισµα Αν X 1, X 2,...,X k είναι ανεξάρτητες τ.µ. και g 1, g 2,...,g k είναι αντίστοιχα συναρτήσεις των X 1, X 2,...,X k, τότε E(g 1 (X 1 )g 2 (X 2 )...g k (X k )) = E(g 1 (X 1 ))E(g 2 (X 2 ))...E(g k (X k )) Παρατήρηση 1 Αν X 1, X 2 είναι ανεξάρτητες τ.µ. E(X 1 X 2 ) = E(X 1 )E(X 2 ) E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) = 0 Cov(X 1, X 2 ) = 0 X 1, X 2 είναι ασυσχέτιστες τ.µ. Παρατήρηση 2 Αν X 1, X 2,...,X k είναι ανεξάρτητες τ.µ. Var(X 1 + X 2 +...+X k ) = Var(X 1 )+Var(X 2 )+...+Var(X k ).
Αναπαραγωγικές Ιδιότητες Θεωρούµε X 1, X 2,...,X k ανεξάρτητες τ.µ. k k 1 X i B(n i, p), i = 1, 2,...,k X i B( n i, p) k k 2 X i P(λ i ), i = 1, 2,...,k X i P( λ i ) k k k 3 X i N(µ i,σi 2), i = 1, 2,...,k X i N( µ i, σ 2 i ) k k 4 X i G(a i,β), i = 1, 2,...,k X i G( a i,β) k 5 X i E(λ) G(1, 1/λ), i = 1, 2,...,k X i G(n,λ)
Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) Κ.Ο.Θ. Εστω X 1, X 2,...,X n ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές, µε E(X i ) = µ και VarX i = σ 2, i = 1, 2,...,n, τότε n n X i E( X i ) n Var( X i ) Z N(0, 1).
εσµευµένες Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός ( εσµευµένη Πυκνότητα Πιθανότητας) f X1 X 2 (x 1 x 2) = f X2 X 1 (x 2 x 1) = f(x1, x2) f X2 (x 2) f(x1, x2) f X1 (x 1) ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X1 δοθείσης της X2. ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X2 δοθείσης της X1. Ορισµός( εσµευµένη Μέση Τιµή της X 1 δοθείσης της X 2) x 1 f X1 X 2 (x 1 x 2), X 1 διακριτή τ.µ. x 1 E(X 1 X 2) = + x 1 f X1 X 2 (x 1 x 2)dx 1, X 1 συνεχής τ.µ. Παρατήρηση E(X 1 X 2) = φ(x 2) είναι µια τ.µ. και ορίζει µια καµπύλη στο επίπεδο, η οποία ονοµάζεται καµπύλη παλινδρόµησης.
εσµευµένες Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός ( εσµευµένη Πυκνότητα Πιθανότητας) f X1 X 2 (x 1 x 2) = f X2 X 1 (x 2 x 1) = f(x1, x2) f X2 (x 2) f(x1, x2) f X1 (x 1) ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X1 δοθείσης της X2. ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X2 δοθείσης της X1. Ορισµός( εσµευµένη Μέση Τιµή της X 2 δοθείσης της X 1) x 2 f X2 X 1 (x 2 x 1), X 2 διακριτή τ.µ. x 2 E(X 2 X 1) = + x 2 f X2 X 1 (x 2 x 1)dx 2, X 2 συνεχής τ.µ. Παρατήρηση E(X 2 X 1) = φ(x 1) είναι µια τ.µ. και ορίζει µια καµπύλη στο επίπεδο, η οποία ονοµάζεται καµπύλη παλινδρόµησης.
εσµευµένες Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός( εσµευµένη Μέση Τιµή της X 1 δοθείσης της X 2 ) Var(X 1 X 2 ) = E(X 1 E(X 1 X 2 )) 2 Ορισµός( εσµευµένη Μέση Τιµή της X 2 δοθείσης της X 1 ) Var(X 2 X 1 ) = E(X 2 E(X 2 X 1 )) 2 Ιδιότητες 1 E(E(X 1 X 2 )) = EX 1 2 E(E(X 1 X 2 X 2 )) = X 2 E(X 1 X 2 ) 3 Var(X 1 X 2 ) = E(X1 2 X 2) (E(X 1 X 2 )) 2