ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες της Παραγώγου Συνάρτηση Πολλών Μεταβλητών Μερική Παράγωγος ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Καμπύλες και Ταχύτητα Παράγωγος κατά Κατεύθυνση Παραγώγιση στον Τρισδιάστατο Χώρο Ο Τελεστής Stathis STILIARIS, UoA 06-07
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Τα εισαγωγικά κεφάλαια των παρακάτω βιβλίων αποτελούν μέρος μόνο της πλούσιας διαθέσιμης βιβλιογραφίας που υπάρχει για τα θέματα που θίγονται στα επόμενα. J. Madsen & A. Tomba: Διανυσματικός Λογισμός (Vecto Calculus), d Edition, Απόδοση στα Ελληνικά Α. Γιαννόπουλος, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης (99) ISBN: 978 960709457. Susan J. Colle: Vecto Calculus, Peason 4 th Edition (0) ISBN: 978 078065. Adian Banne: The Calculus Lifesae, Pinceton Uniesit Pess, st (007) ISBN: 978 0690880. Edition Stathis STILIARIS, UoA 06-07
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Επιπέδου Το σημείο P του επιπέδου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας και της γωνίας θ: P(,θ) cosθ sinθ όπου 0 < 0 θ < π Stathis STILIARIS, UoA 06-07
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σχέση Πολικών & Καρτεσιανών Συντεταγμένων cosθ sinθ όπου 0 < 0 θ < π θ atan d cosθ d sinθ dθ Ο γεωμετρικός d sinθ d cosθ dθ γεωμετρικός τόπος const. στις πολικές συντεταγμένες είναι ένας κύκλος. Stathis STILIARIS, UoA 06-07 4
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Κυλινδρικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές cosθ sinθ Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Κυλινδρικές Ο γεωμετρικός τόπος const. στις κυλινδρικές συντεταγμένες είναι η επιφάνεια κυλίνδρου. θ atan Το σημείο P του χώρου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας, της γωνίας θ και της καρτεσιανής συντεταγμένης : P(, θ,, ) Stathis STILIARIS, UoA 06-07 5
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σφαιρικές Συντεταγμένες Ο γεωμετρικός τόπος ρconst. στις σφαιρικές συντεταγμένες είναι η επιφάνεια σφαίρας. ρsinφ cosθ ρsinφsinθ ρ cosφ όπου 0 ρ < 0 θ < π 0 φ π Το σημείο P του χώρου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας ρ και των γωνιών θ και φ: P(ρ, θ, φ) Stathis STILIARIS, UoA 06-07 6
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σφαιρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές ρsinφ cosθ ρsinφsinθ ρ cosφ Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Σφαιρικές ρ θ atan φ atan acos ( ρ) Stathis STILIARIS, UoA 06-07 7
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σχέση Κυλινδρικών & Σφαιρικών Συντεταγμένων P(, θ,, ) ρsinφ θ θ ρcosφ ρ θ θ φ P(ρ, θ, φ) ( ) atan Stathis STILIARIS, UoA 06-07 8
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Παράδειγμα Το σημείο του χώρου P με Καρτεσιανές Συντεταγμένες (,, ) έχει: Κυλινδρικές Συντεταγμένες P θ atan ( ) (- ) 7π 4 Σφαιρικές Συντεταγμένες ρ φ θ ρ θ atan ( ) (- ) acos(/ 7π 4 ) 54.7 o Stathis STILIARIS, UoA 06-07 9
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Παράγωγος Συνάρτησης Μιας Μεταβλητής df f () lim d Δ 0 f( Δ) f() Δ Μερική Παράγωγος Συνάρτησης Πολλών Μεταβλητών Εάν η συνάρτηση έχει περισσότερες μεταβλητές {,, i n }, τότε η μερική παράγωγος της συνάρτησης αυτής ως προς μια μεταβλητή i ορίζεται ως το όριο: f i lim Δ 0 f(,,... i Δ... n ) f( Δ,,... i... n ) Δηλαδή, ελέγχεται η μεταβολή της συνάρτησης f μόνο ως προς την μεταβλητή i, θεωρώντας όλες τις άλλες μεταβλητές της σταθερές. Παράδειγμα f f(, ) f, Stathis STILIARIS, UoA 06-07 0
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Πολλών Μεταβήτών Ηπαράγωγοςτηςσύνθετηςσυνάρτησηςf (, ) ως προς την μεταβλητή t, όταν (t) και (t) δίνεται από τον κανόνα της αλυσίδας: df df((t), (t)) f d f d Αντίστοιχα το διαφορικό df δίνεται από τη σχέση: df f d f d Παράδειγμα f(, ) (t) t (t) t df f d f d d Επαλήθευση d t (t )t t 4 5t 4 4t df 5 4 4 f(t) (t ) (t ) t t 5t 4t Stathis STILIARIS, UoA 06-07
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Διάνυσμα Θέσης Δ Δ Δ ( Δ ( ) ( ) ) ( Δ Μετατόπιση Δ ) ( ) a Δ Δt Δ Μέση Ταχύτητα Δ Δt Δ Δ Δt Δ Δt Δ Δt lim Δt 0 Δ Δt d d Ταχύτητα ( ) Stathis STILIARIS, UoA 06-07 d d d
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ d d d ) ( d d Ταχύτητα Ταχύτητα t t a a Δ Δ Δ Μέση Μέση Επιτάχυνση Επιτάχυνση d d d ) ( d d a t lim a 0 t Δ Δ Δ Επιτάχυνση Επιτάχυνση a a a a a a a a Stathis STILIARIS, UoA 06-07
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ T Κατά τη κίνηση του σώματος από το Α στο Β η μετατόπιση Δs πάνω στην καμπύλη δίνεται από το τόξο ΑΒ. Δ Δ lim lim Δt 0 Δt Δt 0 Δs Δ lim lim Δs 0 Δs Δt 0 Δs Δt Δs Δt Στο όριο αυτό το Δs γίνεται ίσο με το μέτρο Δ, οπότε ο πρώτος όρος αντιπροσωπεύει ένα μοναδιαίο διάνυσμα, εφαπτόμενο στη διαδρομή (καμπύλη) που περιγράφει την κίνηση του σώματος. Δ d lim ut s 0 Δs Δ ds ut ut Δs ds lim Δt 0 Δt Stathis STILIARIS, UoA 06-07 4
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ a T a N a C Σώμα κινείται στην τροχιά C και τη χρονική στιγμή t έχει ταχύτητα και επιτάχυνση a. Η επιτάχυνση a έχει πάντα κατεύθυνση προς τα κοίλα της τροχιάς. Μπορούμε να αναλύσουμε την επιτάχυνση σε δύο κάθετες συνιστώσες: Σε μια εφαπτομενική στην τροχιά και σε μια κάθετη συνιστώσα. a T Εφαπτομενική Επιτάχυνση: Αλλαγή στο μέτρο της ταχύτητας a N Κάθετη Επιτάχυνση: Αλλαγή στη διεύθυνση της ταχύτητας Stathis STILIARIS, UoA 06-07 5
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ u T u T ' a d a d (u T ) u T d du T u N dφ u T u T ' du T Όταν η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα u T αλλάζει κατεύθυνση, οπότε χρειάζεται να υπολογισθεί η παράγωγός του ως προς τον χρόνο. Στο αντίστοιχο κεφάλαιο της Κινηματικής θα αποδειχθεί πως du T u N ρ όπου το μοναδιαίο διάνυσμα u N είναι κάθετο στην εφαπτομενική διεύθυνση της τροχιάς και ρ ηακτίνακαμπυλότητας. Stathis STILIARIS, UoA 06-07 6
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Η έννοια της παραγώγισης ενός βαθμωτού ή διανυσματικού πεδίου στον χώρο διευκολύνεται με την εισαγωγή του τελεστή (Ανάδελτα ή Nabla), ο οποίος ορίζεται ως: Διακρίνονται οι τρεις παρακάτω περιπτώσεις, ανάλογα με το εάν το πεδίο (η συνάρτηση) στο οποίο ο τελεστής αυτός επιδρά είναι βαθμωτό ή διανυσματικό: ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΟΡΙΣΜΑ ΤΡΟΠΟΣ ΔΡΑΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ Κλίση (gad) Απόκλιση (di) Στροβιλισμός (cul) Βαθμωτό Διανυσματικό Διανυσματικό f Διανυσματικό Βαθμωτό Διανυσματικό Stathis STILIARIS, UoA 06-07 7
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΒΑΘΜΩΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Ως κλίση ενός βαθμωτού πεδίου (συνάρτησης) f(,,) ορίζεται ως το διανυσματικό πεδίο: gad f f f f f Τοgadf δίνει την παράγωγο του βαθμωτού πεδίου ανά κατεύθυνση. Προφανώς το εσωτερικό γινόμενο ( f ) e είναι το μέγεθος της παραγώγου (μεταβολή του πεδίου) ως προς την κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος e. Stathis STILIARIS, UoA 06-07 8
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΒΑΘΜΩΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ gadf f f f f f(, ) gadf f f(, ) gadf f Stathis STILIARIS, UoA 06-07 9
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΒΑΘΜΩΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ gadf f f f f Stathis STILIARIS, UoA 06-07 0
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ( ) di Παράδειγμα Η απόκλιση (diegence) ενός διανυσματικού πεδίου είναι βαθμωτό μέγεθος. Προσομοιώνει την ροή υποθετικού ρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτοντας πως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζει την ταχύτητα του ρευστού. Στο παράδειγμα αυτό έχουμε σταθερή (θετική) ροή (εκροή) σε κάθε σημείο του χώρου. Stathis STILIARIS, UoA 06-07
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ( ) di Παράδειγμα 0 0 0 Η απόκλιση (diegence) ενός διανυσματικού πεδίου είναι βαθμωτό μέγεθος. Προσομοιώνει την ροή υποθετικού ρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτοντας πως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζει την ταχύτητα του ρευστού. Στο παράδειγμα αυτό έχουμε μηδενική ροή σε κάθε σημείο του χώρου (το ρευστό μόνο στροβιλίζεται). Stathis STILIARIS, UoA 06-07
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ cul ( ) Η στροβιλισμός (cul) ενός διανυσματικού πεδίου είναι διανυσματικό μέγεθος. Δείχνει τον στροβιλισμό υποθετικού ρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτοντας πως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζει την ταχύτητα του ρευστού. Όταν ένα διανυσματικό πεδίο έχει μηδενικό στροβιλισμό αποκαλείται αστρόβιλο πεδίο. Ένας πρακτικός τρόπος για να βρεθεί ο στροβιλισμός ενός πεδίου σε κάποιο σημείο του είναι να μελετηθεί η στροφική κίνηση υποθετικού επίπεδου δίσκου φερόμενου στο σημείο αυτό. Stathis STILIARIS, UoA 06-07
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ( ) cul Παράδειγμα 0 Stathis STILIARIS, UoA 06-07 4
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ cul ( ) Z X Stathis STILIARIS, UoA 06-07 5
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ( ) cul X Z Stathis STILIARIS, UoA 06-07 6
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ( ) cul Αριθμητικό Παράδειγμα ) ( ) ( ) ( Stathis STILIARIS, UoA 06-07 7
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Σχηματικό παράδειγμα κίνησης ενός κλαδιού δέντρου στο υδάτινο ρεύμα μιας λίμνης. Το κλαδί ακολουθεί την πορεία που καθορίζει το διάνυσμα της ταχύτητας του ρευστού στην επιφάνεια της λίμνης. Εάν ο προσανατολισμός του κλαδιού δεν αλλάζει (αριστερά), τότε δεν υπάρχει στροβιλισμός στο πεδίο των ταχυτήτων (cul0). Στην αντίθετη περίπτωση ύπαρξης στροβιλισμού (δεξιά), το κλαδί πέραν από την μεταφορική εκτελεί και περιστροφική κίνηση. cul 0 cul 0 Stathis STILIARIS, UoA 06-07 8