Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας ΙΙ ( ) Σχεδιασμός Συστήματος Ελέγχου Ανάστροφου Εκκρεμούς

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας ΙΙ (8.3.60.9) Σχεδιασμός Συστήματος Ελέγχου Ανάστροφου Εκκρεμούς 2016-2017 Γεώργιος Παπαλάμπρου Στην άσκηση αυτή ένα εκκρεμές είναι τοποθετημένο σε ένα βαγονέτο. Σχεδιάζεται σύστημα ελέγχου που διατηρεί το εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση, ενώ το βαγονέτο κινείται οριζόντια. Σχήμα 1: Το ανάστροφο εκκρεμές στο Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Το φυλλάδιο αυτό είναι διαθέσιμο στον ιστότοπο του μαθήματος: http://www.lme.ntua.gr:8080/academic-info-1/ prospheromena-mathemata/ergasterio-nautikes-mekhanologias-ii, με τίτλο αρχείου: lab_invpend_enmii_2016.pdf. 1

Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο email: george.papalambrou@lme.ntua.gr http://www.lme.ntua.gr ενημέρωση: 22/12/2016 ΓΠ XƎL A TEX Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 4 1.1 Περιγραφή της εργαστηριακής διάταξης............... 4 1.2 Παράμετροι του συστήματος..................... 5 2 Μαθηματικό Μοντέλο 5 2.1 Εξισώσεις συστήματος........................ 5 2.2 Συναρτήσεις μεταφοράς........................ 7 2.3 Εξισώσεις χώρου κατάστασης.................... 7 3 Το Σύστημα Ελέγχου 8 3.1 Στόχος των συστημάτων ελέγχου.................. 8 3.2 Σύστημα ελέγχου ανεστραμμένου εκκρεμούς............ 9 3.3 Ανάλυση συστήματος ανοιχτού βρόχου............... 9 3.4 Προδιαγραφές απόκρισης....................... 10 3.5 Ελεγκτής Ανατροφοδότησης Καταστάσεων............. 10 3.6 Βέλτιστος έλεγχος.......................... 11 3.7 Παράδειγμα.............................. 12 4 Εκτέλεση Δοκιμής 13 4.1 Προετοιμασία Δοκιμής........................ 13 4.2 Συνδέσεις............................... 14 4.3 Αρχεία................................. 14 4.4 Πειραματική Δοκιμή......................... 14 5 Απαιτήσεις Εργαστηριακής Άσκησης 15 6 Απαιτήσεις Εργαστηριακής Έκθεσης 15 2

7 Υποδείξεις και Βοήθεια 16 8 Σημειώσεις και Αναφορές 17 3

1 Εισαγωγή Το ανάστροφο εκκρεμές (inverted pendulum) είναι ένα κλασσικό πρόβλημα στη δυναμική και στα συστήματα ελέγχου. Αποδεικνύει ότι με ανατροφοδότηση σταθεροποιείται ένα ασταθές σύστημα ανοιχτού βρόχου. Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο MIT 1 το 1960 και προσομοίαζε το πρόβλημα σταθεροποίησης ενός πυραύλου κατά την εκτόξευση. Το διάγραμμα ενός ανάστροφου εκκρεμούς φαίνεται στο Σχήμα 2. Inverted pendulum m θ 2l Center of gravity M Pivot Cart x Σχήμα 2: Διάγραμμα ανάστροφου εκκρεμούς Το εκκρεμές σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το σημείο Pivot. Αποτελείται από μάζα m, και έχει μήκος 2l. Το βαγονέτο μάζας M κινείται στον οριζόντιο άξονα. Θεωρούμε ότι το κέντρο μάζας του εκκρεμούς βρίσκεται σε απόσταση l από το σημείο περιστροφής. Σε αντίθεση με το απλό εκκρεμές, το ανάστροφο εκκρεμές έχει τη μάζα του πάνω από το σημείο περιστροφής. Στόχος της άσκησης είναι ο σχεδιασμός συστήματος ελέγχου που θα διατηρεί το ανάστροφο εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση (προς τα επάνω), ενώ το βαγονέτο κινείται οριζόντια (balancing problem). 1.1 Περιγραφή της εργαστηριακής διάταξης Το σύστημα αποτελείται από ένα ανάστροφο εκκρεμές (inverted pendulum) τοποθετημένο σε ένα βαγονέτο (cart). Το βαγονέτο μπορεί να ολισθαίνει οριζόντια σε γλίστρες. Η διάταξη ανάστροφου εκκρεμούς με δύο βαθμίδες φαίνεται στο Σχήμα 3. Η κίνηση κατά τον οριζόντιο άξονα, γινεται με την βοήθεια σερβοκινητήρα (servo motor) και οδοντωτών ιμάντων (timing belts). Ο σερβοκινητήρας περιλαμβάνει αισθητήριο μέτρησης γωνιακής θέσης του άξονα κίνησης (rotary encoder). Ένας Η/Υ (control computer) εξοπλισμένος με κάρτα επεξεργασίας δεδομένων και DSP 2 θα χρησιμοποιηθεί για την υλοποίηση του συστήματος ελέγχου. Ο ελεγκτής σχεδιάζεται στο περιβάλλον MATLAB/Simulink και υλοποιείται σε 1 Massachusetts Institute of Technology, USA 2 Digital Signal Processor 4

Inverted pendulum Power electronics Control Computer Control computer Rotary encoder Servo motor Cart Timing belt Σχήμα 3: Η εργαστηριακή διάταξη με το ανάστροφο εκκρεμές. πραγματικό χρόνο στην πλατφόρμα Real Time του MATLAB. Ο σερβοκινητήρας οδηγείται από τα ηλεκτρονικά ισχύος, που βρίσκονται στο κουτί power electronics. Η διάταξη είναι κατασκευασμένη από την εταιρεία Googol Technology. 1.2 Παράμετροι του συστήματος Για το σύστημα αναστρόφου εκκρεμούς μίας βαθμίδας, οι παράμετροι φαίνονται στον Πίνακα 1. 2 Μαθηματικό Μοντέλο 2.1 Εξισώσεις συστήματος Στόχος είναι να διατυπωθούν οι διαφορικές εξισώσεις της κίνησης ανάστροφου εκκρεμούς μίας βαθμίδας. Δημιουργείται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος (ΔΕΣ) για το βαγονέτο και το εκκρεμές, τοποθετώντας τις δυνάμεις, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4. 5

Πίνακας 1: Παράμετροι αναστρόφου εκκρεμούς μίας βαθμίδας Παράμετρος Περιγραφή, μονάδες M Μάζα βαγονέτου (cart mass), 1.096 kg m Μαζα εκκρεμούς (pendulum mass), 0.109 kg b Συντελεστής τριβής βαγονέτου (cart friction coefficient), 0.1 N/m/s l Απόσταση κέντρου περιστροφής από κέντρο μάζας (pendulum gravity center), 0.25 m 2l Μήκος εκκρεμούς (pendulum length), 0.5 m J Ροπή αδράνειας εκκρεμούς (pendulum inertia), 0.0034 kg m 2 θ Γωνία με την κατακόρυφο (pendulum angle), rad x Μετατόπιση βαγονέτου (cart position), m Cart P Inverted pendulum θ l θ F N M Pivot bẋ Center of gravity mg l θ 2 x P N x ẍ Pivot x ẍ Σχήμα 4: Διάγραμμα ελευθέρου σώματος για το βαγονέτο και το εκκρεμές. Για το βαγονέτο, η ισορροπία δυνάμεων στον άξονα xx δίνει Mẍ = F bẋ N (1) Για το εκκρεμές, η ισορροπία δυνάμεων στον άξονα x x δίνει P sinθ + Ncosθ mg sinθ = ml θ + mẍ cosθ (2) Για το εκκρεμές, η ισορροπία δυνάμεων στον οριζόντιο άξονα xx δίνει N = m +ml θ cosθ ml θ 2 sinθ (3) Για το εκκρεμές, το άθροισμα των ροπών στο κέντρο μάζας δίνει (με θετική την ωρολογιακή φορά) N cosθ l P sinθ l = J θ (4) Με τις εξισώσεις 2, 4 εξαλείφονται οι δυνάμεις P, N και έτσι έχουμε (J + ml 2 ) θ mg l sinθ = mlẍ cosθ (5) Με τις εξισώσεις 1, 3 εξαλείφεται η δύναμη N και έτσι έχουμε (M + m)ẍ + bẋ + ml θ cosθ ml θ 2 sinθ = F (6) 6

2.2 Συναρτήσεις μεταφοράς Κατά το σχεδιασμό ελεγκτών, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την συνάρτηση μεταφοράς εισόδου-εξόδου. Σε περίπτωση που γνωρίζουμε τις διαφορικές εξισώσεις του συστήματος, κάνουμε γραμμικοποίηση και κατόπιν λαμβάνουμε μετασχηματισμό Laplace. Η εξίσωση 5 γραμμικοποιείται ως εξής. Θέτουμε sinθ = ϕ και cosθ = 1, οπότε γίνεται (J + ml 2 ) θ mg l ϕ = mlẍ (7) Λαμβάνοντας μετασχηματισμό Laplace, έχουμε για την εξίσωση 7 (J + ml 2 )Φs 2 mg l Φ = mlxs 2 (8) ((J + ml 2 )s 2 mg l) Φ = mlxs 2 (9) Η συνάρτηση μεταφοράς γωνίας-μετατόπισης είναι Φ X = mls 2 (J + ml 2 )s 2 mg l (10) Θεωρώντας v = ẍ και τον αντίστοιχο μετασχηματισμό Laplace, η συνάρτηση μεταφοράς γωνίας-επιτάχυνσης είναι Φ V = ml (J + ml 2 )s 2 mg l (11) Λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές του Πίνακα 1 για το ανάστροφο εκκρεμές 1 βαθμίδας, η εξίσωση 10 δίνει G 1 (s) = Φ X = 0.02725 s 2 0.0102125 s 2 0.26705 (12) και η εξίσωση 11 δίνει G 2 (s) = Φ V = 0.02725 0.0102125 s 2 0.26705 (13) 2.3 Εξισώσεις χώρου κατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης έχουν τη μορφή ẋ = Ax + Bu (14) y = Cx + Du (15) και παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 5 Θεωρούμε διάνυσμα μεταβλητών κατάστασης το x = [x ẋ θ θ] T. 7

D u B Σ ẋ dt x C Σ y A Σχήμα 5: Γράφική παράσταση των εξισώσεων κατάστασης, με πλήρη ανατροφοδότηση καταστάσεων. Μετά τη μετατροπή των ΔΕ κίνησης σε εξισώσεις κατάστασης και τις αριθμητικές αντικαταστάσεις, με είσοδο ελέγχου u την επιτάχυνση του βαγονέτου, οι εξισώσεις κατάστασης είναι d dt x ẋ θ θ = [ ] x y = = θ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 29.4 0 [ 1 0 0 0 0 0 1 0 ] x ẋ θ θ x ẋ θ θ + + [ 0 0 0 1 0 3 u (16) ] u (17) Η παράσταση αυτή με τους συγκεκριμένους πίνακες χώρου κατάστασης δεν είναι μοναδική. 3 Το Σύστημα Ελέγχου 3.1 Στόχος των συστημάτων ελέγχου Στόχος των συστημάτων ελέγχου με ανατροφοδότηση είναι να εξασφαλίζουν ότι το σύστημα κλειστού βρόχου έχει επιθυμητή συμπεριφορά στη μεταβατική και μόνιμη κατάσταση. Ένα τέτοιο σύστημα είναι αποδεκτό όταν 1. είναι ευσταθές 2. οι διαταραχές απορρίπτονται 3. επιτυγχάνονται αλλαγές στην είσοδο αναφοράς 4. το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ελαττώνεται 5. η δράση ελέγχου παραμένει εντός των ορίων λειτουργίας 6. το σύστημα είναι εύρωστο, δηλ. αλλαγές στο μοντέλο συστήματος και σε συνθήκες λειτουργίας δεν επηρεάζουν την απόδοσή του 8

3.2 Σύστημα ελέγχου ανεστραμμένου εκκρεμούς Στο σύστημα ανεστραμμένου εκκρεμούς εμφανίζονται δύο προβλήματα ελέγχου, όπως φαίνονται στο Σχήμα 6. Διατήρηση του ανάστροφου εκκρεμούς σε κατακόρυφη θέση (balancing) Το ανάστροφο εκκρεμές πρέπει να κινηθεί από μία άλλη θέση προς την κατακόρυφη θέση (swing-up) Σχεδιάζονται δύο ελεγκτές που και στις δύο περιπτώσεις κινούν το βαγονέτο. Συνήθως το σύστημα τίθεται σε λειτουργία και ο ελεγκτής στην περιοχή swing-up αναλαμβάνει να τοποθετήσει το ανάστροφο εκκρεμές κοντά στην περιοχή balancing. Μόλις αυτό επιτευχθεί, γίνεται μετάπτωση απο τον ένα ελεγκτή στον άλλο και προσπάθεια διατήρησης της κατακόρυφης θέσης. Balancing Swing-up Σχήμα 6: Περιοχές balancing και swing-up στο σύστημα ανεστραμμένου εκκρεμούς. Στόχος του συγκεκριμένου συστήματος ελέγχου είναι να διατηρεί το ανάστροφο εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση, ενώ το βαγονέτο κινείται οριζόντια. Θα σχεδιαστεί έτσι ελεγκτής σε κλειστό βρόχο με αρνητική ανατροφοδότηση, οποίος θα μπορεί να διατηρεί το ανάστροφο εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση, παρουσία διαταραχών όπως είναι μικρές αλλαγές στην γωνία. Θα χρησιμοποιηθούν έννοιες από το μάθημα Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο. Στην αρχή θα γίνει ανάλυση του συστήματος ανοιχτού βρόχου, δηλ. χωρίς την παρουσία ελεγκτή. Θα ακολουθήσει ο υπολογισμός του ελεγκτή και η προσομοίωσή του στο MATLAB/Simulink, προκειμένου να αξιολογηθεί η απόδοση (performance) του συνολικού συστήματος. Όταν η απόδοση κριθεί ικανοποιητική, ο ελεγκτής θα δοκιμαστεί στην εργαστηριακή διάταξη. 3.3 Ανάλυση συστήματος ανοιχτού βρόχου Γίνεται η εύρεση πόλων της συνάρτησης μεταφοράς προκειμένου να αξιολογηθεί η συμπεριφορά του συστήματος ανοικτού βρόχου. Στο MATLAB σχετικές εντολές είναι οι: pole, pzmap. 9

3.4 Προδιαγραφές απόκρισης Οι προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης βαθμίδας συστημάτων 2ης τάξης σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας φαίνονται στο Σχήμα 7. Σχήμα 7: Προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης συστημάτων 2ης τάξης. Τα χαρακτηριστικά είναι τα ακόλουθα. t r : χρόνος ανύψωσης (rise time), t p : χρόνος κορυφής (peak time), M p : μέγιστη υπερακόντιση (maximum overshoot), t s : χρόνος αποκατάστασης (settling time), με κριτήριο 1%, 2% ή 5%, 3.5 Ελεγκτής Ανατροφοδότησης Καταστάσεων Είναι επιθυμητό να σχεδιαστεί ελεγκτής με πλήρη ανατροφοδοτηση καταστάσεων (full state feedback), με την προυπόθεση ότι όλες οι καταστάσεις μπορούν να μετρηθούν. Θεωρούμε πλήρη ανατροφοδότηση των καταστάσεων της μορφής u = r Kx, με u την είσοδο ελέγχου, r την είσοδο αναφοράς, K τα κέρδη του ελεγκτή, x τις μεταβλητές κατάστασης, όπως δείχνει το Σχ. 8. Σ u x y ẋ = Ax + Bu C K Σχήμα 8: Ελεγκτής με πλήρη ανατροφοδότηση καταστάσεων. Το κέρδος K μπορεί να υπολογιστεί 10

με τη μέθοδο τοποθέτησης πόλων (pole placement), όπου τοποθετούνται οι πόλοι κλειστού βρόχου σε επιθυμητές θέσεις ανάλογα με τις προδιαγραφες μεταβατικής απόκρισης ή με τη μέθοδο βέλτιστου ελέγχου (optimal control), που θα δούμε παρακάτω. 3.6 Βέλτιστος έλεγχος Στον κλασικό έλεγχο προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα e = y r σε καθορισμένα χρονικά σημεία, π.χ. σφάλμα μόνιμης κατάστασης, υπερακόντιση, κλπ. Στη μέθοδο βέλτιστου ελέγχου, επιδιώκουμε το σφάλμα να ελαχιστοποιείται παντού, όπου προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε ένα δείκτη λειτουργικής απόδοσης. Ο βέλτιστος έλεγχος εισήχθη το 1960, ταυτόχρονα σε ΗΠΑ και πρώην Σοβιετική Ένωση, την εποχή που παρουσίαζε ενδιαφέρον η έρευνα για καθοδήγηση (guidance) και ελιγμούς (maneuvering), κυρίως για στρατιωτικές και διαστημικές εφαρμογές. Συνάρτηση κόστους ή δείκτης λειτουργικής απόδοσης (ΔΛΑ-performance index) μπορεί να είναι 1. Tο ολοκλήρωμα σφάλματος J 1 που ορίζεται ως J 1 = e 2 (t)dt (18) 2. Το ολοκλήρωμα απόλυτης τιμής σφάλματος J 2 που ορίζεται ως J 2 = e(t) dt (19) Σημαντικό πλεονέκτημα της μεθόδου θεωρείται η δυνατότητα εφαρμογής σε συστήματα με πολλές εισόδους/πολλές εξόδους (ΜΙΜΟ). Για γραμμικό μοντέλο και τετραγωνική συνάρτηση σφάλματος, το πρόβλημα ελέγχου ρύθμισης είναι γνωστό ως Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής (Linear Quadratic Regulator-LQR). Η συνάρτηση κόστους ορίζεται ως J = 1 (x T Qx + u T Ru)dt (20) 2 όπου Q > 0, R > 0, είναι συμμετρικοί πίνακες καταλλήλων διαστάσεων. Ο βέλτιστος ελεγκτής προσπαθεί να φέρει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης κοντά στο σημείο ισορροπίας χωρίς υπερβολική χρήση δράσης ελέγχου, αποτελώντας έτσι ένα συμβιβασμό (tradeoff) μεταξύ των δύο. Ο βέλτιστος νόμος ελέγχου (Linear Quadratic Regulator-LQR) προκύπτει με ανατροφοδότηση κατάστασης 11

Το κέρδος του ελεγκτή δίνεται ως όπου P είναι λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Riccati u = Kx(t) (21) K = R 1 B T P (22) A T + P A P BR 1 B T P + Q = 0 (23) Οι πίνακες βάρους Q, R αποτελούν επιλογή του μηχανικού και επιδρούν στις μεταβλητές x, u. Συνήθως έχουν διαγώνια μορφή (q ii, r ii 0), και τα στοιχεία τους καθορίζουν τη συμμετοχή των μεταβλητών κατάστασης και εισόδων ελέγχου στη συνολική συνάρτηση κόστους, ενώ η ενέργεια του συστήματος σχετίζεται με τον παράγοντα x T Qx. Κατά τη μεταβατική κατάσταση, πρέπει η ενέργεια να πέφτει γρήγορα στο μηδέν. Η μέγιστη τιμή της σχετίζεται με την υπερακόντιση, ενώ ο χρόνος μείωσης της ενέργειας στο μηδέν σχετίζεται με τον χρόνο αποκατάστασης (settling time). Η ενέργεια ελέγχου σχετίζεται με τον παράγοντα u T Ru. Ακολουθεί οι κανόνας ρύθμισης παραμέτρων Q, R σύμφωνα με τον A. Bryson. Θεωρούμε μέγιστες επιτρεπόμενες τιμές x imax, u imax Αρχικά θέτουμε q i = 1 (x imax ) 2 και r i = 1 (u imax ) 2 Τροποιούμε τις τιμές αυτές μέχρι να επιτευχθεί ικανοιποιητικό αποτέλεσμα 3.7 Παράδειγμα Παράδειγμα 3.1 Σχεδιασμός βέλτιστου ελεγκτή LQR για σύστημα διπλού ολοκληρωτή. Δίνεται σύστημα διπλού ολοκληρωτή, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = 1 s 2. Θεωρούμε ότι x = [x 1 x 2 ]. Σε μορφή εξισώσεων χώρου κατάστασης έχουμε A = [ 0 1 0 0 ] [ 0 ; B = 1 ] [ 0 ; C = 1 ] ; D = [ 0 ] (24) Ζητείται να σχεδιαστεί βέλτιστος ελεγκτής LQR. Ο βέλτιστος ελεγκτής LQR στο MATLAB υλοποιείται με την εντολή [k,m,e]=lqr(a,b,q,r), όπου k είναι το κέρδος του ελεγκτή, m είναι η λύση της εξίσωσης Riccati και e είναι οι ιδιοτιμές. Ακολουθεί ο κώδικας MATLAB. Οι καταστάσεις λαμβάνουν αρχικές τιμές x 0 = [1 0]. 12

A=[0 1;0 0]; B=[0;1]; C=[1 0];D=[0]; % system matrices Q=[1 0 ; 0 0] R=0.016 % R=0.016, 0.05, 0.5, 10 [K,M,E]=lqr(A,B,Q,R) % calculate controller K sys1=ss(a-b*k,b,c,d) % form closed loop system [y1,t1,x1]=initial(sys1,[1 0]'); % simul. closed loop sys. with initial states x0 u=-k*x1 % calculate control action plot(t1,x1(:,1)) % plot results Στα διαγράμματα 9 και 10 παρουσιάζονται οι μεταβλητές κατάστασεις (states) και η εντολή ελέγχου αντίστοιχα. Η κατάσταση x 1 ξεκινά από την αρχική τιμή 1 και καταλήγει στο 0. Σχήμα 9: Γράφημα μεταβλητών κατάστασης. Σχήμα 10: Γράφημα εντολής ελέγχου u. 4 Εκτέλεση Δοκιμής 4.1 Προετοιμασία Δοκιμής Μελετήστε το παρόν φυλλάδιο. Χρειάζεται να εκτελέστε τις ενέργειες υπολογισμού του ελεγκτή και τη δοκιμή για να συλλέξετε τα πειραματικά αποτελέσματα. Μεταφέρετε τα αποτελέσματα και τις παρατηρήσεις στη γραπτή έκθεση που θα παραδώσετε. 13

4.2 Συνδέσεις Οι ηλεκτρικές συνδέσεις της εργαστηριακής συσκευής φαίνονται στο Σχήμα 11. Οι γωνιακές θέσεις μετρώνται με τη βοήθεια rotary encoders, που δίνουν ως σήμα τετραγωνικές παλμοσειρές στον μετρητή (counter). Ο μετρητής τροφοδοτεί τον επεξεργαστή (DSP), ο οποίος περιέχει τον αλγόριθμο ελέγχου. Η τελική εντολή δίνεται στον ενισχυτή και κατόπιν μεταβιβάζεται στον σερβοκινητήρα. Μέσω του ιμάντα μετακινείται οριζόντια το βαγονέτο ώστε να ισορροπεί η ράβδος του εκκρεμούς. Encoder Counter Motor Cart Encoder DSP Amplifier Controller invpend.ipe Σχήμα 11: Διάγραμμα ηλεκτρικών συνδέσεων εργαστηριακής συσκευής. 4.3 Αρχεία Σκοπός είναι να δημιουργηθεί εφαρμογή στο MATLAB/Simulink, με τα δομικά διαγράμματα του συστηματος ελέγχου. 1. Τα απαραίτητα αρχεία της άσκησης υπάρχουν στον υποκατάλογο του MATLAB/Simulink Googol Real Time. Εδώ θα μετατρέψετε το αρχικό αρχείο σύμφωνα με το δικό σας περιεχόμενο και ρυθμίσεις. 2. Πρέπει να υπάρχει δυνατότητα αποθήκευσης των διαφόρων παραμέτρων για την εκτέλεση των διαγραμμάτων αποκρίσεων για τις διάφορες περιπτώσεις. 3. Μετατρέψτε την εφαρμογή σε εκετελέσιμο κώδικα και κατεβάστε την εφαρμογή στον ΗΥ ελέγχου. Αυτά γίνονται με την επιλογή Build στη γραμμή εργαλείων. 4. Στο τέλος κάθε δοκιμής πρέπει να σώσετε τα αποτελέσματα σε αρχείο αποτελεσμάτων. Με τη σχετική εντολή save filename variables, οι μεταβλητές variables αποθηκέυονται στο αρχείο filename.mat. 4.4 Πειραματική Δοκιμή Αρχικά δουλέψτε στο MATLAB, υπολογίζοντας τον ελεγκτή. Όταν νομίζετε ότι οι τιμές του ελεγκτή είναι ικανοποιητικές, μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμα στην εργαστηριακή διάταξη. Θα μεταφέρετε τις τιμές του στον 14

ελεγκτή ανατροφοδότησης καταστάσεων στην εφαρμογή ελέγχου σε πραγματικό χρόνο. Πραγματοποιήστε τη δοκιμή, φέρνοντας το εκκρεμές με το χέρι στην κατακόρυφη θέση ισορροπίας αξιολογώντας την απόκριση του συστήματος ελέγχου σε διαταραχή (εκτροπή από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας). 5 Απαιτήσεις Εργαστηριακής Άσκησης Για την συγκεκριμένη άσκηση ζητούνται: 1. Εξοικείωση με υλοποίηση του Παραδείγματος με τον διπλό ολοκληρωτή στο Simulink και δημιουργία γραφημάτων με μεταβολές καταστάσεων και σήματος ελέγχου. 2. Προσομοίωση στο MATLAB/Simulink του ανάστροφου εκκρεμούς με έλεγχο LQ όπου θα φαίνεται η απόκριση του συστήματος ελέγχου σε αρχικές συνθήκες θ = 10 deg., x = ẋ = θ = 0, εκτίμηση Q, R και υπολογισμός κέρδους Κ, δημιουργία γραφημάτων με μεταβολές καταστάσεων και σήματος ελέγχου. Υπολογισμός των πόλων ανοιχτού και κλειστού βρόχου και διάγραμμα αυτών. 3. Δοκιμή στην πειραματική διάταξη όπου θα εξετάζεται η απόκριση του συστήματος ελέγχου σε διαταραχή (εκτροπή από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας). Θα φτιάξετε κατάλληλο αρχείο στο Simulink με τα blocks της πειραματικής διάταξης. Θα κάνετε χρήση του ελεγκτή LQ που σχεδιάστηκε στο προηγούμενο βήμα. Τα αποτελέσματα πρέπει να αποθηκευτούν σε αρχείο mat, που θα αντιγράψετε από τον Η/Υ πειράματος. Διαγράμματα φάσεων (phase portraits) για τα μεγέθη x ẋ και θ θ κατά την δοκιμή σε πραγματικό χρόνο. 4. Γραπτή έκθεση (στο σπίτι) που θα περιλαμβάνει: α) Το παράδειγμα διπλού ολοκληρωτή, β) Την προσομοίωση του ανάστροφου εκκρεμούς, γ) Τα αποτελέσματα της πειραματικής δοκιμής: την απεικόνιση με τα blocks, τους υπολογισμούς ελεγκτή, τα γραφήματα με μετρήσεις των καταστάσεων και σήματος ελέγχου, δ) το σχολιασμό 6 Απαιτήσεις Εργαστηριακής Έκθεσης 1. Η εργαστηριακή έκθεση γράφεται στο σπίτι, με αποτελέσματα που λήφθηκαν κατά την εκτέλεση της εργαστηριακής δοκιμής. Λάβετε υπόψη σας τις Υποδείξεις που ακολουθούν. 2. Η εργαστηριακή έκθεση είναι ατομική και περιγράφει την εργασία του κάθε φοιτητή. Κατά την εκτέλεση της δοκιμής οι φοιτητές ανά δύο άτομα (ομάδες των 2 ατόμων). 3. Η εργαστηριακή έκθεση δεν θα υπερβαίνει τις 4 σελίδες (μονής όψης). Θα παραδίδεται στον διδάσκοντα (ΓΠ), τυπωμένη σε χαρτί (όχι φωτοτυπία). 15

4. Τροπος βαθμολόγησης εργαστηριακή έκθεσης: Η έκθεση αξιολογείται από τον διδάσκοντα (ΓΠ), και βαθμολογείται ως εξής: Δεν υποβλήθηκε εργαστηριακή έκθεση Αποδεκτή Μη Αποδεκτή Αποδεκτή με πλεονέκτημα 7 Υποδείξεις και Βοήθεια Προτείνονται τα εξής (όπου εφαρμόζονται): 1. Προτιμάται να υπάρχουν Πίνακας περιεχομένων, Εισαγωγή, Συμπεράσματα 2. Γράφετε με σαφήνεια και δίνετε απαντήσεις/σχόλια μόνον σε ότι ζητείται. Μην αναφέρεστε στο θεωρητικό κομμάτι, εφόσον τις περισσότερες φορές έχει ήδη παρουσιασθεί 3. Δώστε έμφαση στη δική σας συνεισφορά και εμπειρία που αποκομίσατε 4. Εξηγείστε τις διάφορες επιλογές παραμέτρων/ρυθμίσεων που κάνατε 5. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Εξηγείστε τυχόν αποκλίσεις από την επιθυμητή συμπεριφορά. Συγκρίνετε τα διαφορετικά σενάρια δοκιμών 6. Γραφικές παραστάσεις αποτελεσμάτων: Προτιμάται να υπάρχουν διαφορετικές γραμμές (συνεχείς, διακεκομένες, κα) παρά χρωματιστές Χρησιμοποιείστε την εντολή plot αντί του screenshot των Simulink scopes Χρησιμοποιείστε labels στους άξονες, με τα μεγέθη και τις μονάδες. Σχετικές είναι οι εντολές: plot, xlabel, ylabel, title, legend, grid Για διπλό διαγράμμα θα χρησιμοποιηθούν κατάλληλα οι εντολές subplot(211), plot(),..., subplot(212), plot(),... 7. Παρουσιάσεις αποτελεσμάτων: δώστε έμφαση στην περιγραφή των μεταβλητών ελέγχου, ελεγχόμενων μεταβλητών. Μην εξηγείτε με λεπτομέρεια το μαθηματικό μοντέλο 8. Για σχετικές πληροφορίες και βοήθεια MATLAB/Simulink μπορείτε να δώσετε πχ >> help FFT 16

8 Σημειώσεις και Αναφορές Για την περιγραφή του αναστρόφου εκκρεμούς, τα στοιχεία βασίστηκαν στα [5] και [6] και σε στοιχεία από τον ιστότοπο http://www.googoltech.com. Για τη διατύπωση του μαθηματικού μοντέλου του αναστρόφου εκκρεμούς, περισσότερα στοιχεία υπάρχουν στα [7], [3]. Περισσότερα στοιχεία γενικά για συστήματα ελέγχου υπάρχουν στα: [1], [2], [3], [4]. Περισσότερα στοιχεία για βέλτιστο έλεγχο υπάρχουν στα: [7], [2], [3]. Αναφορές [1] Κρικέλης, Ν., Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο. Συμμετρία, 2000. [2] Dorf, R. and Bishop, R., Modern Control Systems. Ninth edition, Prentice Hall, 2001. [3] Franklin, G. and Powel, D. and Enami-Naeimi, A., Feedback Control of Dynamic Systems. Addison Wesley Longman, 5th edition, 2005. [4] Kuo, B., Digital Control Systems. Saunders College Publishing, 1992. [5] Googol Technology, Inverted Pendulum Instruction Manual, Suitable for GLIP Series Second Edition, April, 2006. [6] Googol Technology, Inverted Pendulum Experimental Manual, Suitable for GLIP Series. Second Edition, July, 2006. [7] Ogata, K., Modern Control Engineering, 3rd Edition, Prentice Hall, 1997. 17