Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση αx + β 0 ή αx + β 0 με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να αποδεικνύουμε και να χρησιμοποιούμε τις βασικές ιδιότητες διάταξης των πραγματικών αριθμών. 11
14 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού
Γραφική Επίλυση Εξίσωσης α Βαθμού Διερεύνηση Να ανοίξετε το αρχείο «Alyk_En1_GrafikiEpilysi1.ggb». (α) Να μετακινήσετε τους δρομείς και για να κατασκευάσετε τις ευθείες της 1 ης στήλης του πιο κάτω πίνακα. (β) Να επιλύσετε αλγεβρικά τις εξισώσεις της 2 ης στήλης. (γ) Να συνδέσετε τη γραφική παράσταση της = + με τη λύση της εξίσωσης + = 0 Εξίσωση ευθείας Λύση της εξίσωσης = +. + = ( ) = Εξίσωση: = 0 ( ) = + Εξίσωση: + = 0 ( ) = + Εξίσωση: + = 0 ( ) = Εξίσωση: 0 + = 0 ( ) = Εξίσωση: 0 + 0 = 0 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού 15
Μαθαίνω Για να βρούμε γραφικά τη λύση της εξίσωσης + = 0, κατασκευάζουμε την ευθεία με εξίσωση = +. Αν, η ευθεία τέμνει τον άξονα των σε ένα μόνο σημείο. Tο σημείο τομής με τον άξονα των, είναι το (, 0). Η λύση της εξίσωσης + = 0 είναι η τετμημένη =, 0 του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα των τετμημένων. Αν = και η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα των. Η αντίστοιχη εξίσωση + = 0 δεν έχει λύση (είναι αδύνατη). Αν = και = η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα των. Η αντίστοιχη εξίσωση + = 0 έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστη). Παραδείγματα 1. Να λύσετε την εξίσωση + = 0 και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα γραφικά. + = 0 = = Η ευθεία με εξίσωση = + τέμνει τον άξονα των στο σημείο (, 0). Η λύση της εξίσωσης είναι η τετμημένη του σημείου τομής της με τον άξονα των, δηλαδή = 16 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού
2. Για ποιες τιμές του η ευθεία με εξίσωση = ( ) ( + ) (α) δεν τέμνει τον άξονα των τετμημένων; (β) τέμνει τον άξονα των τετμημένων; (α) Η ευθεία με εξίσωση = ( ) ( + ) δεν τέμνει τον άξονα των τετμημένων, όταν = 0 ( + ) 0 =. (Για =, η ευθεία γίνεται = και είναι παράλληλη με τον άξονα των τετμημένων). (β) Αν 0 και η ευθεία με εξίσωση = ( ) ( + ) θα τέμνει το άξονα των τετμημένων στο σημείο με τετμημένη, =,. Δραστηριότητες 1. Να λύσετε την εξίσωση = και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα γραφικά. 2. Δίνεται η εξίσωση ( ) = + (α) Για ποια τιμή του, η εξίσωση είναι αδύνατη; (β) Ποια είναι η λύση της εξίσωσης: ( ) = +, όταν = (γ) Ποια είναι η θέση της ευθείας = ( ) ( + ) ως προς τον άξονα των, όταν i. = ii. = ; 3. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις : (α) Η ευθεία με εξίσωση = + δεν τέμνει το άξονα των τετμημένων. (β) Η εξίσωση ( ) = ( ) είναι αόριστη. (γ) Η ευθεία με εξίσωση = τέμνει τον άξονα των τετμημένων. (δ) Η ευθεία = ( + ) + + συμπίπτει με τον άξονα των τετμημένων, όταν =. (ε) Η ευθεία με εξίσωση = ( ) + + είναι παράλληλη με τον άξονα των τετμημένων, όταν =. (στ) H λύση της εξίσωσης + = είναι η τετμημένη του σημείου τομής των ευθειών = και =. (ζ) Η εξίσωση =,, έχει πάντα λύση. (η) Αν η εξίσωση = έχει λύση το = και το =,τότε είναι αόριστη. (θ) Αν η εξίσωση ( ) = + είναι αόριστη, τότε οι ευθείες = ( ) και = +, συμπίπτουν. ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού 17
4. Να βρείτε για ποια τιμή του, η ευθεία με εξίσωση = ( ) τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο (,0). 5. Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου, η ευθεία = ( ) ( + ) (α) τέμνει τον άξονα των τετμημένων σε ένα μόνο σημείο, (β) είναι παράλληλη με τον άξονα των, (γ) συμπίπτει με τον άξονα των τετμημένων. 6. Να αποδείξετε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των, η εξίσωση: ( + ) ( ) = ( + ) έχει πάντα λύση. 7. Nα λύσετε και να διερευνήσετε την εξίσωση + = για τις διάφορες τιμές το. 18 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού
Ιδιότητες Διάταξης πραγματικών αριθμών ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού 19
Διερεύνηση (1) Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο «AlykEn01_Anisotita1.ggb». (α) Να μετακινήσετε τους δρομείς και, για να δώσετε διάφορες τιμές στις διαστάσεις, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου όπου,,. (β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή: (i) της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου, (ii) του εμβαδού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου, (iii) της διαφοράς του πλάτους από το μήκος, (iv) τον λόγο του μήκους προς το πλάτος. (γ) Ποια βασική παρατήρηση κάνετε στις πιο πάνω απαντήσεις σας αναφορικά με την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή των και ; 20 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού
Διερεύνηση (2) Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών = και = +. Με τη βοήθεια των πιο πάνω γραφικών παραστάσεων, να μελετήσετε το πρόσημο των ( ) και ( + ) για τις διάφορες τιμές του. ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού 21
Μαθαίνω Ιδιότητα 1: Αν, για κάθε,, (Μεταβατική ιδιότητα). Για παράδειγμα, αν και, Ιδιότητα 2: Αν και, τότε + +. (Μπορούμε να προσθέτουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες, όταν έχουν την ίδια φορά). Προσοχή! (Δεν μπορούμε να αφαιρούμε ανισότητες κατά μέλη). Παράδειγμα: Από τις ανισώσεις και ισχύει + + ( ). Από τις ανισώσεις και δεν ισχύει ( ). Ιδιότητα 3: Αν 0 και 0, τότε. (Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισώσεις, όταν έχουν την ίδια φορά και είναι όλοι οι αριθμοί θετικοί) Προσοχή! Δεν μπορούμε να διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη. Παράδειγμα: Από τις ανισώσεις και ισχύει Από τις ανισώσεις και δεν ισχύει. Ιδιότητα 4: 0, για κάθε πραγματικό αριθμό. Για παράδειγμα ( ) 0,. Ιδιότητα 5: Αν, είναι ομόσημοι, τότε:. Παράδειγμα: (Αντιστρέφοντας δύο ομόσημους αριθμούς, αλλάζει η φορά της ανισότητας) Ιδιότητα 6: Αν, 0,, τότε:. Για παράδειγμα. 22 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού
Για τη γραφική λύση της ανίσωσης + 0, κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της ευθείας = + και επιλέγουμε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει 0 (το μέρος της ευθείας που βρίσκεται πάνω από τον άξονα των ). Για τη γραφική λύση της ανίσωσης + 0, κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της ευθείας = + και επιλέγουμε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει 0 (το μέρος της ευθείας που βρίσκεται κάτω από τον άξονα των ). Απόδειξη Ιδιοτήτων Ιδιότητα 1: Αν, για κάθε,, Απόδειξη: Αν, τότε 0 και αν, τότε 0, τότε + 0 0 ( το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι επίσης θετικό) Ιδιότητα 2: Αν και, τότε + + Απόδειξη: Αν, τότε 0 και αν, τότε 0, τότε + 0 + +. ( το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι επίσης θετικό) ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού 23
Ιδιότητα 3: Αν 0 και 0, τότε Απόδειξη: Αν 0 και 0, τότε και (γιατί ) Επομένως (Μεταβατική ιδιότητα) Ιδιότητα 4: 0, για κάθε πραγματικό αριθμό. Απόδειξη: Αν 0 τότε 0 = 0. Άρα, 0 Αν 0 0 Άρα, ( ) ( ) 0 0. Ιδιότητα 5: Αν, είναι ομόσημοι, τότε: Απόδειξη: Αφού, είναι ομόσημοι, τότε ισχύει 0. Άρα, ( διαιρoύμε και τα 2 μέλη της ανισότητας με τον θετικό αριθμό ) Παραδείγματα 1. Αν, να συγκρίνετε τις παραστάσεις (α) +, + (β),. (α) Αν + +. (β) Αν + + + + 24 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού
2. Δίνεται η παράσταση =, Να βρείτε για ποιες τιμές του, η αριθμητική τιμή της παράστασης είναι: (α) τουλάχιστον (β) το πολύ (γ) από μέχρι. (α) Θέλουμε να βρούμε τις τιμές του για τις οποίες. + 0 Άρα, η αριθμητική τιμή της παράστασης είναι τουλάχιστον, όταν:, ή, + ). (β) Θέλουμε να βρούμε τις τιμές του για τις οποίες. Άρα, η αριθμητική τιμή της παράστασης είναι το πολύ, όταν: ή (,. (γ) Θέλουμε να βρούμε τις τιμές του για τις οποίες. Άρα, η αριθμητική τιμή της παράστασης είναι από μέχρι, όταν: ή,. ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού 25
3. Να λύσετε γραφικά την ανίσωση + 0. Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της ευθείας = +. Παρατηρούμε ότι η ευθεία τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο (,0). Για να βρούμε τις λύσεις της ανίσωσης + 0, αναζητούμε εκείνες ακριβώς τις τιμές του, που αντιστοιχούν στο μέρος της ευθείας που είναι «από τον άξονα των τετμημένων και πάνω» δηλαδή 0. Επομένως,. 4. Αν και, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: (α) + (β) (γ) (δ) (α) { + ( ) + + ( ) +. Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο ανισότητες (β) { { + + ( ) +. Επειδή δεν μπορούμε να αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο ανισότητες, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη με ( ) και ακολούθως προσθέτουμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη. (γ) { { ( ) ( ) 0 0 Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη ανισότητα με ( ) και ακολούθως πολλαπλασιάζουμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη. (Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε δύο ανισότητες κατά μέλη, μόνο όταν όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί και οι δύο ανισότητες έχουν την ίδια φορά). Παρατήρηση: Αν το κάθε μέρος της ανισότητας πολλαπλασιαστεί με τότε η ανισότητα μετατρέπεται σε. 26 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού
(δ) { { { ( ). Επειδή δεν μπορούμε να διαιρούμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη ανισότητα με ( ) και αντιστρέφουμε τους όρους της. Ακολούθως πολλαπλασιάζουμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη και πολλαπλασιάζουμε ξανά με. Δραστηριότητες 1. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( + ), γράφοντας την απάντησή σας σε μορφή διαστήματος. 2. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση = +, Να υπολογίσετε για ποιες τιμές του, το έχει αριθμητική τιμή (α) Τουλάχιστον. (β) Το πολύ. (γ) Μεταξύ του και του. 3. Να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις (α) 0 και (β) + 0. 4. Δίνεται η συνάρτηση = + με Πεδίο Ορισμού το, ), να βρείτε το Πεδίο Τιμών της 5. Να γράψετε το σύνολο των κοινών λύσεων των πιο κάτω ανισώσεων. (α) { + ( ) + ( + ) (β) { (γ) 0 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού 27
6. Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: (α) Η ανίσωση δεν έχει λύση για κάθε (β) Η ανίσωση ( ) έχει άπειρες λύσεις. (γ) Η ανίσωση ( + ) ισχύει για κάθε (δ) Αν, τότε. (ε) Αν,, τότε. (στ) Αν { } και, τότε η λύση είναι πάντα. (ζ) Αν ισχύει, τότε το ανήκει στο διάστημα:, ). 7. Να συγκρίνετε τους πιο κάτω αριθμούς αν ισχύει 0,, : ( ) = 0, = 0 ( ) =, = ( ) = +, = + ( ) =, =. 8. Αν 0, να αποδείξετε ότι. 9. Αν, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις +,, και. 10. Nα δώσετε κατάλληλο αντιπαράδειγμα, για να δείξετε ότι δεν ισχύουν οι πιο κάτω προτάσεις: (α) Αν και, τότε ισχύει με,,, (β) Αν και τότε ισχύει,,,,με, 0 11. Να λύσετε τις ανισώσεις: (α) (β) 28 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού
Δραστηριότητες Ενότητας 1. Nα λύσετε και να διερευνήσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του. (α) 0 = + (β) ( ) + = ( + ) 2. Να βρείτε τη θέση των πιο κάτω ευθειών ως προς τον άξονα των τετμημένων, για (α) = ( ) + + (β) = ( ) + 3. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό, έτσι ώστε να ισχύει:,. 4. Αν, να βρείτε τις πιθανές τιμές του και του. 5. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης ( ), για τις διάφορες τιμές του ( ) 6. Στο πιο κάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της ευθείας = + Nα εξηγήσετε πώς θα βρείτε από τη γραφική παράσταση τη λύση της ανίσωσης + 0 7. Να λύσετε αλγεβρικά την ανίσωση + 0, όταν 0. (Nα εξετάσετε τις περιπτώσεις για 0 και για 0). 8. Αν 0, να διατάξετε από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αριθμούς,, 9. Δίνεται η παράσταση = ( ) ( + ). Να βρείτε για ποιες τιμές του, η παράσταση παίρνει τις ακόλουθες αριθμητικές τιμές: (α) Τουλάχιστον (β) Το πολύ ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού 29
Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό, για τον οποίο ισχύει:, 2. Δίνεται η εξίσωση = ( ) και η ανίσωση ( ) Να υπολογίσετε για ποιες τιμές του η λύση της εξίσωσης επαληθεύει την ανίσωση.. 3. (α) Να λύσετε την εξίσωση ( + ) = + ( + ) για τις διάφορες τιμές του. (β) Για ποιες τιμές του, η πιο πάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση που είναι μεγαλύτερη του 4. Να λύσετε την εξίσωση: + =. 5. Να λύσετε την ανίσωση ( ) + 0, όταν. 6. Να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις 0 και + 0 και να εξηγήσετε τον τρόπο που εργαστήκατε. 7. Να αποδείξετε ότι: αν η εξίσωση ( ) = + είναι αόριστη, τότε η εξίσωση ( + ) = είναι αδύνατη. 8. Αν 0, να δείξετε ότι + 9. Αν,, θετικοί αριθμοί με, να δείξετε ότι. 10. Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό, για τον οποίο ισχύει. 11. Αν 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς: ( ) =, =. (β) =, = (γ) =, =. 12. Αν, πραγματικοί αριθμοί με + =, να δείξετε ότι (α) (β) + 30 ENOTHTA 1: Εξισώσεις-Ανισώσεις α βαθμού