Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή

Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα µικρής µάζας m, η οποία είναι αρχικά σε κατάσταση ηρεµίας σε αρκετα µεγάλη απόσταση α από τον τοίχο. Η µπάλα ολισ θαίνει προς τον τοίχο, αναπηδά ελαστικά και στην συνέχεια προχωρά και συγκρούεται εκ νέου µε το σώµα, αναπη δώντας προς τα πίσω. i) Eάν L είναι η απόσταση από τον τοίχο του σηµείου µιας οποιασδή ποτε κρούσεως των µαζών Μ, m και V, v οι αντίστοιχες ταχύτητες των µαζών αυτών αµέσως µετά την κρούση αυτή, να δείξετε ότι η ποσότητα L(v-V) παραµένει αναλλοίωτη σε κάθε κρούση. ii) Πόσο κοντά θα πλησιάσει το σώµα προς τον τοίχο µετά τις αλλε πάλληλες κρούσεις του µε την µπάλα; ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι αµέσως µετά την πρώτη κρούση (t0) οι µάζες Μ και m αποκτούν αντίστοιχες ταχύτητες V, v (σχ. ). H αµέσως επόµενη κρούση ( η κρούση) θα συµβεί ύστερα από χρόνο t, στην διάρκεια του οποίου η Σχήµα µάζα Μ θα έχει µετατοπιστεί προς τα δεξιά κατα V t, ενώ η µάζα m θα έχει συνολικά διανύσει εµπρός-πίσω µήκος v t και θα ισχύει η σχέση:

V t + v t L t L V + v () Η απόσταση L του σηµείου της δεύτερης κρούσεως από τον τοίχο, είναι: () L L - V t L L - L V V + v ( ) L L V + L v - L V L v - V V + v V + v L ( V + v ) L ( v - V ) () Eξάλλου, εάν V, v είναι οι ταχύτητες των µαζών Μ και m αντιστοίχως αµέ σως µετά την δεύτερη κρούση από την θεωρία της µετωπικής ελαστικής κρού σεως γνωρίζουµε την σχέση: v + V v - V οπότε η () γράφεται: L ( v - V ) L ( v - V ) (3) Εάν εργασθούµε επαγωγικά µε τον ίδιο τρόπο για τις επόµενες κρούσεις θα φθάσουµε στις σχέσεις: L ( v - V ) L ( v - V )... L n ( v n - V n )... (4) ii) Mετά από πάρα πολλές κρούσεις (n + ) µπορούµε να ισχυρισθούµε ότι η ταχύτητα της µάζας Μ ουσιαστικά θα γίνει µηδέν και η συνολική κινητική ενέργεια του συστήµατος θα ανήκει στην µάζα m, δηλαδή όταν η µάζα Μ φθάσει στην εγγύτερη απόσταση L min από τον τοίχο η κινητική ενέργεια της µάζας m θα είναι ίση µε ΜV 0 /, που σηµαίνει ότι η ταχύτητά της v θα έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: mv MV 0 v V 0 M m (5) Όµως η (4) µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: (5) L ( v - V ) L min ( v - 0) ( v - V ) L min V 0 M/ m (6) Εξάλου από την πρώτη κρούση έχουµε τις σχέσεις: v MV 0 ( M + m και V M - m )V 0 M + m

οπότε η (6) γράφεται: " MV 0 ( M + m - M - m )V 0 % $ ' # $ M + m &' L min V 0 M m " M - M + m % M $ ' L # M + m min & m L m min M P.M. fysikos Δύο µικρές χάντρες της ίδια µάζας m διαπερνούν µια κυκλική στεφάνη µάζας Μ, η οποία εφάπτεται σε οριζόντιο έδα φος το δε επίπεδό της είναι κατακόρυφο. Οι χάντρες αρχικά βρίσκον ται στην κορυφή της στεφάνης και ωθούνται ελαφρώς η µία προς τα δεξιά και η άλλη προς τα αριστερά. i) Υπάρχει θέση του συστήµατος στην οποία το έδαφος δέχεται από την στεφάνη δύναµη ίση προς το βάρος της; ii) Να βρεθεί η µικρότερη τιµή του λόγου Μ/m, ώστε η στεφάνη να µην αναπηδά στην διάρκεια της κίνησης κάθε χάντρας. ΛΥΣΗ: i) Οι δύο χάντρες για λόγους συµµετρίας κινούνται ώστε, οι επιβατι κές ακτίνες τους ως προς το κέντρο Ο της στεφάνης να σχηµατίζουν την ίδια γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση που διέρχεται από το Ο, η δε στεφάνη σε πρώτο τουλάχιστον στάδιο παραµένει ακίνητη. Ας δεχθούµε ότι για µια ορισ µένη τιµή φ 0 της γωνίας φ η δύναµη επαφής που δέχεται το έδαφος από την στεφάνη είναι ίση µε το βάρος της M g. Τότε στην θέση αυτή του συστήµατος η Σχήµα δύναµη N που δέχεται η στεφάνη από το έδαφος είναι αντίθετη του βάρους M g, που σηµαίνει ότι οι δύο χάντρες δεν θα εξασκούν δύναµη πάνω στην στε φάνη αλλά ούτε και θα δέχονται δύναµη από αυτήν. Εστιάζοντας την προσοχή µας στην αριστερή χάντρα χ παρατηρούµε ότι η µοναδική δύναµη που δέχεται

είναι το βάρος της w (σχ. ), του οποίου η ακτινική συνιστώσα w r αποτελεί για την χάντρα κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση: w r mv 0 /R mg"#$ 0 mv 0 /R v 0 gr"#$ 0 () όπου v 0 η ταχύτητα της χάντρας. Εφαρµόζοντας για την χάντρα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως φ0 και της θέσεως φφ 0 παίρνουµε: mv 0 / + 0 mg( R - R"#$ 0 ) v 0 gr( - "#$ 0 ) () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () έχουµε: gr"#$ 0 gr( - "#$ 0 ) "#$ 0 /3 (3) H σχέση (3) εγγυάται ότι, υπάρχει θέση του συστήµατος στην οποία η στεφάνη καταπονεί το οριζόντιο έδαφος µε δύναµη ίση προς το βάρος της. ii) Εξετάζοντας τις χάντρες όταν φ>φ 0 παρατηρούµε ότι δέχονται από την στε φάνη τις δυνάµεις επαφής A, A µε φορά προς το κέντρο της Ο (σχ. 3), για δε την χάντρα χ µπορούµε να γράψουµε την σχέση: w r + A mv /R mg"#$+ A mv /R A mv /R - mg"#$ (4) Σχήµα 3 Σχήµα 4 όπου v η ταχύτητα της χάντρας. Εφαρµόζοντας πάλι για την χάντρα το θεώ ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως φ0 και της θέσεως φ>φ 0 παίρνουµε: mv / + 0 mg( R - R"#$ ) v gr( - "#$) (5) Η (4) λόγω της (5) γράφεται: A mgr( - "#$)v /R - mg"#$ mg( - 3"#$ ) (6)

Eξετάζοντας στην συνέχεια την στεφάνη (σχ. 4) παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος της M g, την δύναµη επαφής N από το έδαφος και τις δυνάµεις επαφής A, A από τις χάντρες χ και χ αντιστοίχως, που είναι αντίθετες των A, A (αξίωµα ισότητος δράσης-αντίδρασης) Οι οριζόντιες συνιστώσες A,x, A,x των δυνάµεων αυτών αλληλοαναιρούνται, ενώ οι κατακόρυφες συνιστώσες τους A,y A,y έχουν ίσα µέτρα για τα οποία ισχύει µε A,y A,y A "#$% A,y mg( - 3"#$% )"#$% mgf (% ) (7) f ( ) ( - 3"#$ )"#$ "#$ - 3"#$ 3"# $ - "#$ + f ( $ ) 0 (8) Η (8) αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς συνφ και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή η διακρίνουσά της είναι µη αρνητική, οπότε θα έχουµε την σχέση: 4 - f ( ) " 0 f ( ) " / 3 f ( ) max / 3 (9) H αντίστοιχη τιµή φ * της γωνίας φ θα προκύπτει από το γεγονός ότι το συνφ * είναι η διπλή ρίζα της (8), δηλαδή θα έχουµε "#$ * / 3. Εξάλλου από την (7) προκύπτει: ( A,y ) max mgf (" ) max mg/3 (0) Για να µη αναπηδά η στεφάνη πρέπει, την στιγµή που τα µέτρα των A,y A,y µεγιστοποιούνται να ισχύει Ν 0, δηλαδή πρέπει: (0) Mg - ( A,y ) max " 0 Mg - mg/3 0 M / m /3 ( M/ m) min /3 P.M. fysikos Ένα οµογενές σχοινί σταθερής διατοµής σε όλο το µήκος του στηρίζεται σε δύο κεκλιµένα επίπεδα που έχουν την ίδια κλίση φ ως προς τον ορίζοντα. Το σχοινί είναι τεντωµένο και το ένα µισό του είναι συµµετρικό του άλλου µισού ως προς την κατακόρυφη (y) που διέρχεται από το κατώτερο σηµείο του Ο, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής του σχοινιού µε τα κεκλιµένα επίπεδα είναι n, να βρεθεί ποιο είναι το µεγαλύτερο δυνατό κλάσµα του σχοινιού που δεν αγγίζει τα κεκλιµένα επίπεδα. Ποια γωνία φ επιτρέ πει την µέγιστη αυτή τιµή;

ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι το σχοινί ισορροπεί και τα δύο µισά τµήµατά του είναι συµµετρικά µεταξύ τους ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση (y) που διέρχεται από το κατώτερο σηµείο του Ο (σχ. 5). Εστιάζοντας την προσοχή µας στο αιωρούµενο τµήµα του σχοινιού, δηλαδή στο καµπύλο τµήµα που δεν αγγί ζει τα κεκλιµένα επίπεδα, παρατηρούµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του w του Σχήµα 5 οποίου ο φορέας διέρχεται από το Ο και τις δυνάµεις F, F από τα τµήµατα του σχοινιού που είναι σε επαφή µε τα κεκλιµένα επίπεδα, των οποίων οι φο ρείς βρίσκονται επί των επιπέδων αυτών (σχ. 5). Λόγω της ισορροπίας του τµήµατος αυτού, ισχύει η σχέση: F,y + F,y - w 0 F µ" + F µ" w # () όπου F,y, F,y οι κατακόρυφες συνιστώσες των F, F αντιστοίχως. Όµως οι οριζόν τιες συνιστώσες των F, F είναι ίσες κατα µέτρο, οπότε θα είναι και F F µε αποτέλεσµα η () να γράφεται: F µ" w # F xmg/µ" () όπου x το κλάσµα του µήκους του σχοινιού που αντιστοιχεί στο αιωρούµενο τµήµα του και m g το όλον βάρος του σχοινιού. Εξετάζοντας στην συνέχεια το τµήµα του σχοινιού που εφάπτεται του αριστερού κεκλιµένου επιπέδου, παρα τηρούµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w,x και στην κάθετη προς αυτό συνι στώσα w,y, την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην κάθε τη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος την δύναµη F από το αιωρούµενο τµήµα του σχοινιού, που είναι αντίθετη της F λόγω του αξιώµα τος της ισότητας δράσης-αντίδρασης (σχ. 6). Επειδή το τµήµα αυτό ισορροπεί θα ισχύουν οι σχέσεις: F + w,x - T 0" # N - w,x 0 $ T F + w µ" N w #$%" & ' (

Σχήµα 6 T N xmg/µ" + mg( - x)µ" / &( ' mg( - x)#$%" / )( (3) Στην κατάσταση οριακής ισορροπίας θα ισχύει Τ nn N, η οποία λόγω των (3) δίνει: x - xµ " + µ " µ"#$%" - xµ"#$%" µε x( + µ"#$%" - µ " ) µ"#$%" - µ " µ"#$%" - µ " x + µ"#$%" - µ " f " + f " f () "µ#$% - "µ ( ) ( ) /f (" ) + "µ + #$% - (4) (5) Από την (4) προκύπτει ότι το κλάσµα x παίρνει την µεγαλύτερη τιµή του όταν η ποσότητα /f(φ) γίνει ελάχιστη, ή όταν η f(φ) γίνει µέγιστη ή όταν: (µ" + #$%" - ) / max ή µ " + #$%" max ή µ " + µ (# / - " ) max ή $ µ & % " + # / - " ' $ ) *+,& ( % " - # / + " ' ) max ή ( # µ " & % $ 4' ( )*+ #, - " & % $ 4 ( max ή - " ' 4 0 ή " 8 Τότε θα είναι:

x max /f [ ] + ( ) max + / "µ (# / 4) + $%& (# / 4) - x max ( ) + / / + / - ( ) + / - - + P.M. fysikos Mια σχεδία µάζας M39 Kg, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V m/s. Kάποια στιγµή προσγειώνεται στο ένα άκ ρο της σχεδίας ένας γλάρος µάζας m Kg, µε οριζόντια ταχύτητα µέτρου v9 m/s, η οποία είναι οµόρροπη της V και ολισθαίνοντας πάνω στην σχεδία φθάνει στο άλλο άκρο αυτής µε µηδενική ταχύτη τα, ως προς την σχεδία. Eάν το µήκος της σχεδίας είναι L3 m, να βρείτε την µετατόπιση του γλάρου ως προς το ακίνητο νερό, στην διάρ κεια της κίνησής του πάνω στην σχεδία. H αντίσταση του νερού θεω ρείται αµελητέα. ΛYΣH: Oταν ο γλάρος ηρεµήσει ως προς την σχεδία, θα έχει αποκτήσει την ίδια ταχύτητα µε αυτήν, ως προς το ακίνητο νερό. Eάν V είναι η τελική ταχύ τητα γλάρου-σχεδίας, τότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής για το σύστηµα, θα ισχύει η σχέση: MV + mv (M + m)v V MV + mv M + m 6/5 m/s Σχήµα 7 H σχεδία δέχεται κατά την διεύθυνση κίνησής της δύναµη T από το γλάρο, η οποία είναι η αντίδραση της τριβής T που δέχεται ο γλάρος από την σχεδία. H δύναµη T επιταχύνει την σχεδία αυξάνοντας το µέτρο της ταχύτητάς της απο V σε V κ. Eφαρµόζοντας για την σχεδία κατά τον χρόνο της επιτάχυνσής της το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου παίρνουµε την σχέση:

MV - MV T x () όπου x' η µετατόπιση της σχεδίας ως προς το ακίνητο νερό. Eφαρµόζοντας το ίδιο θεώρηµα για τον γλάρο και για το ίδιο χρονικό διάστηµα, έχουµε: mv - mv -Tx () όπου x η αντίστοιχη µετατόπιση του γλάρου ως προς το ακίνητο νερό. Όµως ισχύει TT', λόγω του αξιώµατος της ισότητας δράσης-αντίδρασης, οπότε διαι ρώντας κατά µέλη τις σχέσεις () και () έχουµε: M(V - V ) m(v - V ) x x (3) Όµως ισχύει xl+x' οπότε η (3) γράφεται: M(V - V ) m(v - V ) x - L x M(V - V ) m(v - V ) - L x x L - M(V - V ) m(v - V ) 3 m - 39 " (6/5) - % $ # 9 - (6/5) ' & 3,8 m P.M. fysikos