6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Σχετικά έγγραφα
' ' ' ' ' ' ' e G G G G. G M ' ' ' ' G '

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

3.6 Μεικτά ορισμένα προβλήματα. 2. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q= 1,... Mσε διανυσµατική µορφή : G λ (3.30)

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

x 2 = x x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Βάσεις Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/ / 1

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

Transcript:

6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. Διανυσματικοί χώροι παραμέτρων και μετρήσεων. Θα δανειστούµε για µία ακόµη φορά έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας προκειµένου να δούµε πως µπορούµε να χειριστούµε τη λύση γραµµικών αντιστρόφων προβληµάτων µε µεγαλύτερη ευελιξία. Θεωρούµε το γραµµικό αντίστροφο πρόβληµα που ορίζεται από τη σχέση G = d. Ο διανυσµατικός χώρος των δεδοµένων (µετρήσεων) συµβολίζεται µε S( d) και κάθε διάνυσµα µετρήσεων d περιλαµβάνεται σε αυτόν. Αντίστοιχα, ο διανυσµατικός χώρος των παραµέτρων συµβολίζεται µε S( ) και κάθε διάνυσµα παραµέτρων περιέχεται σε αυτόν. Το µοντέλο που διέπει το γραµµικό αντίστροφο πρόβληµα και εκφράζεται µέσω της εξίσωσης G = d µπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει γραµµικό µετασχηµατισµό από το χώρο S( ) στον S( d ), ενώ η λύση από το χώρο S( d) στον S( ). µε τους πίνακες Gκαι τους πίνακες των αντίστοιχων γραµµικών µετασχηµατισµών. est g = G d εκφράζει ένα µετασχηµατισµό g G να αντιπροσωπεύουν Γνωρίζοµε επίσης ότι κάθε διάνυσµα που περιέχεται σε ένα διανυσµατικό χώρο εκφράζεται ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων µιας βάσης του χώρου. Έτσι για παράδειγµα ο διανυσµατικός χώρος των παραµέτρων που έχει διάσταση Μ παράγεται από ισάριθµα διανύσµατα βάσης και κάθε διάνυσµα εκφράζεται µέσω της βάσης από µία σχέση της µορφής : = = a (6.) Ας θεωρήσοµε τώρα δύο διαφορετικά διανύσµατα και που αποτελούν λύση του γραµµικού αντιστρόφου προβλήµατος G = d. Τότε θα ισχύει G = d και G = d, οπότε G( ) = 0 (6.) Η διαφορά ανήκει συνεπώς στο µηδενόχωρο του πίνακα G και η υπόθεση για µηδενόχωρο διάφορο του κενού, µας παραπέµπει αµέσως στην ανυπαρξία µοναδικής λύσης στο διακριτό αντίστροφο πρόβληµα. 56

Εάν q είναι η τάξη του µηδενόχωρου, par είναι µία µη µηδενική λύση του αντιστρόφου προβλήµατος G = d και είναι ένα διάνυσµα του µηδενόχωρου του G, µπορούµε να γράψουµε τη γενική λύση του αντίστροφου προβλήµατος µέσω της σχέσης q gen par = + a = (6.) Προφανώς για ένα πίνακα G, διαστάσεων x θα έχοµε 0 q. Παράδειγµα Ας θεωρήσοµε την απλή εξίσωση G = = (6.4) [ 4 4 4 4] [ d] 4 που σηµαίνει ότι µετρήσαµε τη µέση τιµή της παραµέτρου. Ο πίνακας G έχει διαστάσεις x 4 και η τάξη του είναι. Από την άλλη µεριά το οµογενές πρόβληµα G = 0, θα πρέπει να έχει (=Ν-Μ) γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις που παράγουν το µηδενόχωρο. Κατά τα γνωστά, µπορούµε να βρούµε τα διανύσµατα που αποτελούν βάση του µηδενόχωρου, βάζοντας τη τιµή κατά σειρά στις εξαρτηµένες µεταβλητές και µηδενίζοντας τις υπόλοιπες, ώστε να παραχθούν τα διανύσµατα = 0 0, 0 = 0, = (6.5) 0 0 Η γενική λύση του γραµµικού αντίστροφού προβλήµατος θα είναι τότε d d gen = + a d (6.6). = d 4 Ο υπολογισµός κάποιας συγκεκριµένης λύσης στο αντίστροφο πρόβληµα, περνά από την απόδοση τιµών στις παραµέτρους a. Επιλέγοντας την ελαχιστοποίηση της 57

νόρµας παίρνοµε λύση ελαχίστου µήκους και εύκολα διαπιστώνουµε ότι αυτή δίνει a = 0, =,, Συνεπώς η λύση ελαχίστου µήκους δεν περιλαµβάνει διανύσµατα του µηδενόχωρου του πίνακα G. 6. Γραμμικοί μετασχηματισμοί Συνεχίζοντας την αναφορά µας στους διανυσµατικούς χώρους, θα δούµε ορισµένα θέµατα που αφορούν γραµµικούς µετασχηµατισµούς που επιβάλλονται στα συστατικά ενός αντιστρόφου προβλήµατος προκειµένου να βελτιώσουν τη διαδικασία παραγωγής της λύσης του. Θεωρούµε τον πίνακα Τ ενός γραµµικού µετασχηµατισµού, που µετασχηµατίζει τα διανύσµατα των παραµέτρων ενός προβλήµατος αλλάζοντας ουσιαστικά τους άξονες αναφοράς (βάσεις του αντίστοιχου διανυσµατικού χώρου). = και = (6.7) Ένα γραµµικό αντίστροφο πρόβληµα µπορεί να αλλάξει λοιπόν βάση αναφοράς µέσω της διαδικασίας : d= G= GI= G = { G }{ } = G (6.8) όπου G είναι ο πίνακας του γραµµικού αντίστροφου προβλήµατος που ορίζεται για µία καινούργια βάση του. Εάν υποθέσοµε ότι το πρόβληµα είναι υπο-ορισµένο και θέλοµε να βρούµε λύση ελαχίστου µήκους, θα αναζητήσουµε την ελαχιστοποίηση του µήκους Το µήκος L εκφράζεται στο καινούργιο σύστηµα ως : L= [ ] [ ] [ ] L= = = (6.9) Εάν µπορέσουµε να βρούµε πίνακα Τ ώστε να ισχύει [ ] = I, η λύση ελαχίστου µήκους στα δύο συστήµατα θα έχει την ίδια µορφή και συνεπώς η ελαχιστοποίηση του είναι ισοδύναµη µε την ελαχιστοποίηση του Οι µετασχηµατισµοί αυτού του είδους που δεν αλλάζουν το µήκος των διανυσµάτων των παραµέτρων ονοµάζονται µοναδιαίοι (untary) και είναι ιδιαίτερα χρήσιµοι σε επιλύσεις αντιστρόφων προβληµάτων. Ας δούµε δύο παραδείγµατα : 58

6.. Υπο-ορισμένο πρόβλημα Υποθέτοµε ότι έχοµε ένα υπο-ορισµένο πρόβληµα της µορφής G = d µε τον πίνακα G διαστάσεων ΝxΜ και <. Εάν µε το µετασχηµατισµό οδηγηθούµε σε πίνακα Gτέτοιο ώστε να µπορούµε να γράψοµε αναλυτικά το µετασχηµατισµένο πρόβληµα στη µορφή : G 0 0 0... 0...... 0 d 0 0... 0...... 0 d G G G G G 0... 0...... 0 d......... =.................... G G G G 4... G 0... 0 d, (6.0) παρατηρούµε κατ αρχήν ότι µπορούµε να λύσουµε την εξίσωση ως προς τις πρώτες Ν τιµές του,,,... µέσω των άµεσων σχέσεων : = d / G est = d G / G est est = d G G / G est est est Η διαδικασία χαρακτηρίζεται ως ευθεία λύση (forward solvng). Εάν επιθυµούµε να παράγουµε λύση ελαχίστου µήκους, µπορούµε να θέσοµε τις est υπόλοιπες τιµές του ίσες µε 0 ( = 0, = +, ), αφού από τη µορφή του πίνακα G είναι φανερό ότι δεν επηρεάζουν τις τιµές του d. Η λύση µας στο αρχικό σύστηµα συντεταγµένων θα προκύψει από τη σχέση est est = που αποτελεί λύση ελαχίστου µήκους. Ένας µετασχηµατισµός αυτού του είδους που «τριγωνοποιεί» τον πίνακα Gχαρακτηρίζεται µετασχηµατισµός Householder. εν θα αναφερθούµε εδώ σε τρόπο υπολογισµού του. 6... Υπερ-ορισμένο πρόβλημα Ας θεωρήσοµε τώρα της µορφής G = d µε τον πίνακα G διαστάσεων ΝxΜ και <. Ζητάµε λύση που να ελαχιστοποιεί το «λάθος» E= e e. Εάν βρούµε ένα Δεν γνωρίζω κατάλληλο ελληνικό όρο για τον εν λόγω μετασχηματισμό. 59

µετασχηµατισµό τέτοιο ώστε επιδρώντας στο λάθος πρόβλεψης e e ( = ) e να οδηγεί σε ελαχιστοποίηση του E = e e όταν ελαχιστοποιείται και το Ε, και να µετασχηµατίζει τον πίνακα G στον πίνακα G που να έχει άνω τριγωνική µορφή, θα έχοµε που αναλυτικά γράφεται ως = = ( ) = = e e d G d G d G (6.) e G G G G. G e e e.. 0 0 0 0 0 0....... e 0 0 0 0 0 0 d.. d 4 0 G G G4. G d 0 0 G G4. G d........ = + 0 0 0 0 0 G d (6.) Στην περίπτωση αυτή βλέποµε ότι οποιαδήποτε επιλογή των est δεν επηρεάζει τις τελευταίες Ν-Μ εξισώσεις. Εποµένως µπορούµε να ζητήσοµε να µηδενίζονται οι πρώτες Μ τιµές του e οπότε ικανοποιούνται ακριβώς οι πρώτες Μ εξισώσεις του συστήµατος που παίρνουν τη µορφή d = G. Επί πλέον λόγω της µορφής του πίνακα G µπορούµε να λύσουµε το σύστηµα µε αντίστροφη διαδικασία o συνολικό λάθος λοιπόν είναι : = + = +. (6.) E = e = d Με το µετασχηµατισµό, διαχωρίσαµε το αντίστροφο πρόβληµα σε ένα µέρος το οποίο αφορά µετρήσεις που ικανοποιούνται επακριβώς και σε ένα άλλο µέρος που αφορά µετρήσεις που δεν µπορούν να ικανοποιηθούν. Η λύση επιλέγεται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το λάθος πρόβλεψης και συνεπώς είναι λύση ελαχίστων τετραγώνων. 60