Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,) d) v=(,-), v=(,,4) e) v=(,4,,), v=(4,-,-,), v=(,,,), v4=(,,,5) α) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Υπάρχουν μεθοδολογίες που μπορούμε να ακολουθήσουμε: i) Ξεκινούμε από την σχέση: v v v O,,, R Εκτελούμε τις πράξεις και προκύπτει ένα ομογενές σύστημα ως προς,, το οποίο πρέπει να επιλύσουμε. Αν το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση, τότε τα v,v,v είναι γραμμικά ανεξάρτητα, διαφορετικά αν έχει άπειρες λύσεις είναι γραμμικά εξαρτημένα Έχουμε λοιπόν: v v v O 7 4 6 7 4 6 7 4 6 O πίνακας των συντελεστών του συστήματος είναι ο 7 A 4 6 Όπως προκύπτει ο πίνακας αυτός δημιουργείται αν γράψουμε τα δοσμένα διανύσματα ως στήλες του. Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε: 7 U
(Με κόκκινο χρώμα δηλώνονται οι οδηγοί κάθε γραμμής) Επειδή δεν περιέχει κάθε στήλη οδηγό δηλ. έχουμε λιγότερους οδηγούς από τις άγνωστες μεταβλητές και επίσης επειδή το σύστημα είναι ομογενές, συνεπάγεται ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. (Διαφορετικά για να είχαμε μοναδική λύση θα έπρεπε το πλήθος των οδηγών να ήταν ίσο με το πλήθος των στηλών του πίνακα). Επομένως τα διανύσματα v,v,v είναι γραμμικά εξαρτημένα Παρατήρηση: Επειδή ο πίνακας Α είναι τετραγωνικός, αντί για απαλοιφή Gauss θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα, η οποία είναι ίση με μηδέν. Επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. (Αν ήταν γραμμικά ανεξάρτητα θα έπρεπε η ορίζουσα να βγει διάφορη του μηδενός) ii) Γράφουμε τα διανύσματα ως γραμμές ενός πίνακα Στη συνέχεια εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss παίρνοντας έναν άνω κλιμακωτό πίνακα U. Αν στον U υπάρχει γραμμή χωρίς οδηγό δηλ. μηδενική γραμμή τότε τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. Έχουμε λοιπόν: 4 6 A 7 Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον Α και παίρνουμε τελικά τον ισοδύναμο άνω κλιμακωτό πίνακα U: 4 6 U Επειδή υπάρχει μηδενική γραμμή, τα v,v,v είναι γραμμικά εξαρτημένα Προσοχή: Το τέχνασμα με τη μηδενική γραμμή ισχύει μόνον αν αρχικά τα διανύσματα γραφούν ως γραμμές του Α (Εναλλακτικά κοιτάζουμε αν κάθε γραμμή έχει οδηγό). Αν τα διανύσματα γραφούν ως στήλες του Α, τότε εξετάζουμε μόνο αν κάθε στήλη περιέχει οδηγό ή όχι (δηλ. σε αυτή την περίπτωση μπορεί να μην προκύψουν μηδενικές γραμμές παρόλο που τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα). b) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Επειδή η διάσταση του χώρου είναι και εμείς έχουμε διανύσματα, αυτά είναι οπωσδήποτε γραμμικά εξαρτημένα. Αυτό φαίνεται και αν πάρουμε τον πίνακα: 4 A που περιέχει τα διανύσματα v,v,v ως γραμμές και τον φέρουμε στην άνω 4 κλιμακωτή μορφή: 4 U 5 Επειδή υπάρχει μηδενική γραμμή, τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα.
Επίσης στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνουμε αν γράψουμε αρχικά τον πίνακα λαμβάνοντας τα διανύσματα v,v,v ως στήλες του: A 4 Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε: U 4 5 6 Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι μικρότερο από το πλήθος των στηλών, συνεπάγεται ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. ) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Τοποθετούμε τα διανύσματα σε ένα πίνακα ως γραμμές A 5 5 H απαλοιφή Gauss δίνει: U 8 Επειδή δεν υπάρχουν μηδενικές γραμμές τα διανύσματα v,v,v είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Στο ίδιο συμπέρασμα, βέβαια, καταλήγουμε και όταν ο πίνακας Α δημιουργείται από τα v,v,v ως στήλες: 5 5 A Σε αυτή την περίπτωση η απαλοιφή Gauss δίνει: 5 5 U 8 Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι ίσο με το πλήθος των στηλών συνεπάγεται ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. d) Πρόκειται για διανύσματα διαφορετικών χώρων (R και R ) και επομένως δεν μπορούμε να τα συγκρίνουμε e) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R 4 Επειδή ανάμεσά τους υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα, είναι γραμμικά εξαρτημένα.
Παράδειγμα 8 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα πινάκων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι α) A, A, A b) A 5, A, A 8 : a) Πρόκειται για στοιχεία του χώρου M ( R ) Ξεκινούμε από τη σχέση: A A A O,,, R Θα επιλύσουμε το ομογενές σύστημα που προκύπτει ως προς τις σταθερές,, Αν αυτό έχει μοναδική λύση (τη μηδενική) τότε οι δοσμένοι πίνακες είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. Έχουμε A A A O Ο πίνακας του συστήματος Αx= είναι ο A με x (Παρατηρούμε ότι οι στήλες του πίνακα Α είναι τα στοιχεία των πινάκων A,A,A γραμμένα με προτεραιότητα γραμμής, επομένως θα μπορούσαμε να σχηματίσουμε απ ευθείας τον πίνακα Α χωρίς να σχηματίσουμε προηγουμένως το ομογενές σύστημα) Με απαλοιφή Gauss ο Α γίνεται τελικά: 6 U Με κόκκινο χρώμα συμβολίζονται οι οδηγοί κάθε γραμμής. Επειδή κάθε στήλη έχει οδηγό και το σύστημα είναι ομογενές συνεπάγεται ότι υπάρχει μοναδική λύση (η μηδενική) Επομένως οι πίνακες A, A, A είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. 4
b) Πρόκειται για στοιχεία του χώρου M ( R ) Εργαζόμαστε όπως και στο (a) υποερώτημα: A A A O 5 8 5 8 O πίνακας συντελεστών του συστήματος είναι ο 5 A 8 Με απαλοιφή Gauss δίνει τελικά: 7 7 U Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι μικρότερο από τον αριθμό των στηλών συνεπάγεται πως το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Άρα το σύνολο των δοσμένων πινάκων είναι γραμμικά εξαρτημένο. Παράδειγμα 9 Δείξτε ότι οι συναρτήσεις f x f x e f x e ( ), ( ) x x, ( ) είναι γραμμικά ανεξάρτητες Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της Βρονσκιανής. f ( x) f ( x) f ( x) e e x x x x x ( ) '( ) '( ) '( ) x x f ''( x) f ''( x) f ''( x) e 4e W x f x f x f x e e e Επομένως οι δοσμένες συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες Παρατήρηση: Αν ήταν W(x)= για κάθε x, δεν θα μπορούσαμε να βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα και θα έπρεπε να καταφύγουμε στον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας. Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,4), v=(,4,-,6,8), v=(,,,,6), v4=(,4,5,,8), v5=(,7,,,9). a) Να βρεθεί μία βάση του W 5
b) Να επεκταθεί η προηγούμενη βάση ώστε να παράγει τον R 5 ) Να βρεθεί μία βάση του W, η οποία να αποτελείται αποκλειστικά από ένα υποσύνολο των δοθέντων διανυσμάτων a) Δημιουργούμε τον πίνακα ο οποίος αποτελείται από τα v,v,v,v4,v5 ως γραμμές 4 4 6 8 A 6 4 5 8 7 9 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα 4 5 4 5 U O υποχώρος που παράγεται από τα v,v,v,v4,v5 αποτελείται από όλους τους δυνατούς γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων αυτών. Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα δίνει και T ο χώρος γραμμών του πίνακα Α δηλ ο RA ( ) T Επειδή η απαλοιφή Gauss δεν επηρεάζει το χώρο γραμμών του πίνακα Α, o RA ( ) θα ισούται και με το χώρο γραμμών του U, επομένως μία βάση του U θα αποτελεί βάση και T του RA ( ) και κατά συνέπεια και του W span{ v, v, v, v4, v5} Η βάση αυτή αποτελείται από όλες τις μη μηδενικές γραμμές του U Επομένως η ζητούμενη βάση είναι η B=, 5, 4 / 4 5 / και ο W έχει διάσταση b) Απαιτούνται 5 διανύσματα για να κάνουν μία βάση του R 5, επομένως η επέκταση της βάσης B μπορεί να γίνει αν την συμπληρώσουμε με διανύσματα τέτοια ώστε το σύνολο να είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Αυτό επιτυγχάνεται γενικώς συμπληρώνοντας την βάση με διανύσματα που παίρνουμε από την κανονική βάση του R 5 και στη συνέχεια ελέγχοντας αν το νέο σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Αν δεν είναι, επιλέγουμε κάποια άλλα διανύσματα της κανονικής βάσης και επαναλαμβάνουμε τον έλεγχο. Στην περίπτωσή μας λόγω της μορφής του U είναι εύκολο να τον συμπληρώσουμε με διανύσματα της κανονικής βάσης φροντίζοντας να υπάρχει οδηγός σε κάθε στήλη (επομένως το σύνολο θα είναι γραμμικά ανεξάρτητο) Έχουμε λοιπόν: 6
4 5 4 5 U Άρα η ζητούμενη βάση του R 5 είναι η B=, 5, 4 /,, 4 5 / ) Η μεθοδολογία που ακολουθήσαμε στο ερώτημα (α) μας δίνει μία βάση του W, αλλά δεν αποτελείται αποκλειστικά από διανύσματα του συνόλου {v,v,v,v4,v5} Θα πρέπει να ακολουθήσουμε άλλη μεθοδολογία: Δημιουργούμε τον πίνακα ο οποίος αποτελείται από τα v,v,v,v4,v5 ως στήλες: 4 4 7 A 5 6 4 8 6 8 9 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα U 4 O υποχώρος W span{ v, v, v, v4, v5} αποτελείται από όλους τους δυνατούς γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων αυτών. Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα δίνει και ο χώρος στηλών του πίνακα Α δηλ ο RA ( ) Ο χώρος στηλών του πίνακα U δεν είναι ίδιος με τον RA ( ), αλλά οι στήλες στις οποίες υπάρχει οδηγός στον πίνακα U αντιστοιχούν στις γραμμικά ανεξάρτητες στήλες του πίνακα A. Έτσι ως τη ζητούμενη βάση παίρνουμε τα διανύσματα που βρίσκονται στις στήλες, και 5 του πίνακα Α δηλ: 7 B=,, { v, v, v5} 4 6 9 7
Παράδειγμα Να βρείτε το ομογενές σύστημα του οποίου το σύνολο λύσεων W παράγεται από τα,,,,,,,4,,,,5 διανύσματα v x, y, z, w W Έστω Δημιουργούμε ένα πίνακα γράφοντας τα δοσμένα διανύσματα ως γραμμές του και ως τελευταία γραμμή θέτουμε το διάνυσμα v : 4 A 5 x y z w Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον A : 4 r r r r r r r4 r4 xr A 5 5 x y z w x y z w x y z w r r r r4 r4 ( x y) r x y z x w x y z x w r r 4 x y z 5x y w x y z 5x y w Γίνεται φανερό πως η απαλοιφή Gauss στις πρώτες γραμμές δημιουργεί μία με μηδενικά, επομένως η dimw Για να ανήκει το διάνυσμα v στο W θα πρέπει η προσθήκη του να μην μεταβάλει τη διάσταση του χώρου γραμμών, επομένως θα πρέπει οι δύο τελευταίες γραμμές του τελικού πίνακα να είναι μηδενικές ή x y z 5x y w Αυτό είναι το ζητούμενο ομογενές σύστημα. Παράδειγμα Αν U, V, W υποχώροι κάποιου διανυσματικού χώρου, δείξτε ότι U V U W U V W Έστω u U V U W τότε αυτό γράφεται ως u u u u U W. με u U V και 8
Έχουμε λοιπόν u U V u U u V u U W u U u W Επομένως u, u u u u U () Επίσης u V και u U. Επειδή όμως το U είναι υποχώρος συνεπάγεται πως W. Άρα u u uv W () Από () και () συνεπάγεται πως u U V W 9