1 1 A = x 1 x 2 x 3. x 4. R 2 3 : a + b + c = x + y + z = 0. R 2 3 : a + x = b + y = c + z = 0

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα Ι Θέματα Εξετάσεων Ιανουαρίου 6. (α Υπολογίστε τον πίνακα X R και την ορίζουσα det(x 5 αν AX = B + C και ( ( ( 3 3 A = B = C =. 4 3 (β Θεωρούμε πίνακα A R n n τέτοιον ώστε A = 4A 4I n. (β Δείξτε ότι ο A είναι αντιστρέψιμος και ότι A = λa + µi n για κάποια λ µ R. (β Αν n = δείξτε ότι det(a = 4. 3 λ x. Εστω A = 3 λ λ και x = x x 3. λ λ λ λ x 4 (α Να υπολογίσετε την τάξη του πίνακα A για τις διάφορες τιμές του λ R. (β Να λύσετε το γραμμικό σύστημα Ax = για τις διάφορες τιμές του λ R. (γ Για ποια λ R υπάρχει πίνακας B R 4 τάξης τέτοιος ώστε AB = O; 3. Θεωρούμε τους υπόχωρους { ( a b c U = x y z και V = του διανυσματικού χώρου R 3. { ( a b c x y z R 3 : a + b + c = x + y + z = R 3 : a + x = b + y = c + z = (α Βρείτε μια βάση του U και μια βάση του V. Είναι οι χώροι U και V ισόμορφοι; (β Υπολογίστε τις διαστάσεις των U V και U + V. (γ Δώστε παράδειγμα στοιχείου του R 3 που δεν ανήκει στο U + V. 4. Δίνεται ο πίνακας A =. 3 (α Βρείτε μια βάση του πυρήνα και μια βάση της εικόνας της γραμμικής απεικόνισης T : R 4 R 4 με T (x = Ax για x R 4. (β Βρείτε αντιστρέψιμους πίνακες P R R 4 4 τέτοιους ώστε RAP =. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Να δικαιολογήσετε πλήρως τις απαντήσεις σας. Αθήνα 7//6 Καλή Επιτυχία

2 Γραμμική Άλγεβρα Ι Εξετάσεις Ιανουαρίου 6 Απαντήσεις. (α Αφού det(a = 5 ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος. Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά την ισότητα AX = B + C με A βρίσκουμε ότι ( ( 3 4 X = A (B + C = = ( ( 3 3/5 /5 =. 5 /5 /5 = 5 ( 3 Επίσης det(x = και συνεπώς det(x 5 = (det(x 5 = ( 5 =. ( 4 (β Από τη δοσμένη ισότητα παίρνουμε 4A A = 4I n και συνεπώς A (I n A/4 = (I n A/4 A = I n. Άρα ο A είναι αντιστρέψιμος με αντίστροφο A = I n A/4 δηλαδή ισχύει το ζητούμενο με λ = /4 και µ =. (β Εστω τώρα ότι n = και ότι A = ( a b c d. Από την ισότητα A = I n A/4 παίρνουμε ( d b = det(a c a ( a/4 b/4 c/4 d/4 και συμπεραίνουμε ότι det(a = 4 (και ότι a + d = 4 αν ένα τουλάχιστον από τα b c είναι διάφορο του μηδενός. Στην περίπτωση b = c = ο πίνακας A είναι διαγώνιος και από τη δοσμένη ισότητα A = 4A 4I βρίσκουμε ότι A = I οπότε και πάλι det(a = 4.. (α Υπολογίζουμε πρώτα ότι det(a = λ det 3 λ 3 λ λ = λ det 3 λ 3 λ λ = λ det λ λ λ 3 = λ(λ 3

3 και συμπεραίνουμε ότι det(a δηλαδή ότι ο A έχει τάξη 4 αν και μόνο αν λ 3. Παρατηρούμε επίσης ότι 3 3 ( det 3 = det 3 = det = και συμπεραίνουμε ότι rank(a 3 για κάθε λ R. Από τα προηγούμενα έπεται ότι rank(a = 3 για λ = και για λ = 3 και ότι rank(a = 4 για τις υπόλοιπες τιμές του λ R. (β Βρήκαμε στο (α ότι ο A είναι αντιστρέψιμος για λ 3. Κατά συνέπεια για αυτές τις τιμές του λ το ομογενές σύστημα Ax = έχει μόνο την τετριμμένη λύση x =. Για λ { 3 λύνοντας το σύστημα με τη γνωστή διαδικασία βρίσκουμε το σύνολο λύσεων για λ = και το { { µ µ µ : µ R = : µ R = για λ = 3. (γ Δεν υπάρχουν τέτοιες τιμές του λ. Πράγματι ένας πινακας B R 4 επαληθεύει την ισότητα AB = O αν και μόνο αν οι στήλες του είναι λύσεις του συστήματος Ax = και έχει τάξη αν και μόνο αν οι στήλες του είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του R 4. Αφού όπως βρήκαμε παραπάνω ο χώρος των λύσεων του Ax = έχει διάσταση μηδέν ή ένα ο χώρος αυτός δεν μπορεί να περιέχει δύο γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία και επομένως δεν υπάρχει πίνακας B με τις επιθυμητές ιδιότητες. 3. (α Παρατηρούμε ότι U = { ( a b a b x y x y = ( : a b x y R ( ( ( και ότι V = { ( a b c a b c = ( : a b c R ( (.

4 Με το γνωστό τρόπο επαληθεύουμε ότι οι τέσσερις πίνακες που βρήκαμε παραπάνω ότι παράγουν το χώρο U είναι γραμμικώς ανεξέρτητα στοιχεία του R 3 και συνεπώς αποτελούν τα στοιχεία μιας βάσης του U. Ομοίως για τους τρεις πίνακες που παράγουν τον υπόχωρο V. Επεται ότι dim(u = 4 και dim(v = 3 και ότι οι U και V δεν είναι ισόμορφοι (αφού έχουν διαφορετικές διαστάσεις. (β Βρίσκουμε ομοίως ότι { ( a b a b U V = : a b R a b a + b ( = ( και ότι dim(u V = οπότε dim(u + V = dim(u + dim(v dim(u V = = 5. (γ Θεωρούμε τον υπόχωρο W = { ( a b c x y z R 3 : a + b + c + x + y + z = του R 3 και παρατηρούμε ότι U W και ότι V W. Επεται ότι U + V W (και επιπλέον ότι U + V = W αφού dim(w = 5 = dim(u + V. Συνεπώς οποιοδήποτε στοιχείο του R 3 που δεν ανήκει στο W για παράδειγμα ο πίνακας δεν ανήκει ούτε στο χώρο U + V. ( 4. (α Λύνοντας το σύστημα Ax = βρίσκουμε λ + µ ker(t = { λ µ λ : λ µ R = µ Θέτοντας v = v 4 =. έχουμε τη βάση {v v 4 του πυρήνα ker(t. Επεκτείνουμε σε βάση {v v v 3 v 4 του R 4 για παράδειγμα επιλέγοντας v = v 3 =

5 σημειώνοντας ότι το σύνολο αυτό είναι πράγματι βάση του R 4 αφού det. Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι το είναι βάση της εικόνας της T. (β Θέτουμε {T (v T (v 3 = { w = T (v = 3 w 3 = T (v 3 = Επεκτείνουμε σε βάση {w w w 3 w 4 του R 4 για παράδειγμα επιλέγοντας w = w 4 = σημειώνοντας ότι το σύνολο αυτό είναι πράγματι βάση του R 4 αφού det. 3 Αφού T (v = w T (v = T (v 3 = w 3 και T (v 4 = ο πίνακας της T ως προς τις διατεταγμένες βάσεις (v v v 3 v 4 και (w w w 3 w 4 του R 4 είναι ο B =. Επομένως έχουμε Q AP = B όπου P = Q = 3 3..

6 Συμπεραίνουμε ότι RAP = B όπου R = Q = 3.