Άσκηση 2: Η τιμή ενός σήματος x(t) για τη χρονική στιγμή t=t θεωρείται ότι είναι τυχαία μεταβλητή Χ=x(t ) με κανονική κατανομή 0,. Να υπολογιστεί η πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής Y=y(t ) να έχει τιμή μεταξύ 3 και 5. Το σήμα y(t) είναι η έξοδος του γραμμικού συστήματος του παρακάτω σχήματος, όπου Β και C σταθερές. Χ BΧ Y=BX+C Β C Λύση: Εφόσον η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή 0, θα έχει μέση τιμή 0 και διασπορά. Συνεπώς η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ θα είναι: 2 2 Η έξοδος του γραμμικού συστήματος θα είναι: η οποία είναι κι αυτή μια τυχαία μεταβλητή.
Παρατηρούμε ότι η τυχαία μεταβλητή Υ είναι γραμμική συνάρτηση(γραμμικός συνδυασμός) της τυχαίας μεταβλητής Χ. Συνεπώς, θα ακολουθεί κι αυτή κανονική κατανομή με μέση τιμή: και διασπορά:. Συνεπώς, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ θα είναι:. H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Y να έχει τιμή μεταξύ 3 και 5 είναι: 3 5 2 Κάνοντας την αντικατάσταση πιθανότητα γράφεται ως εξής: στο παραπάνω ολοκλήρωμα η ζητούμενη 3 5 2 5 3
H συνάρτηση Φ(v) είναι η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής V που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διασπορά. 2 Το παραπάνω ολοκλήρωμα στη συνάρτηση Φ(v) δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά κι επομένως η Φ(v) δεν μπορεί να δοθεί σε κλειστή μορφή. Η Φ(v) όμως μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια μιας γνωστής συνάρτησης, της συνάστησης Q (Q function). Η συνάρτηση Q δεν υπάρχει ούτε αυτή σε κλειστή μορφή, και δίνεται από τη σχέση: 2 Οι τιμές όμως της συνάρτησης Q έχουν υπολογιστεί αριθμητικά και είναι διαθέσιμες σε πίνακες. Ένα παράδειγμα ενός τέτοιου πίνακα μπορείτε να δείτε στο τέλος της άσκησης. Όπως εύκολα μπορούμε να παρατηρήσουμε, η συνάρτηση Q μπορεί να συνδεθεί με τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής X που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διασπορά. 2 2 2 Συνεπώς η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διασπορά μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια της Q ως εξής:
. Eπανερχόμενοι, λοιπόν, στη ζητούμενη πιθανότητα της άσκησης, αυτή μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια της συνάρτησης Q ως εξής: 3 5 5 3 3 5 H ζητούμενη πιθανότητα μπορεί να εκφραστεί και με τη βοήθεια μιας άλλης γνωστής συνάρτησης που ονομάζεται συνάρτηση λάθους (error function) και συμβολίζεται erf. H erf ορίζεται από τη σχέση: erf 2 και συνδέεται με τη συνάρτηση Q με τη σχέση: 2 2 erf 2 Και πάλι μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση λάθους μπορεί να συνδεθεί με τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διασπορά.
2 2 2 2 Συνεπώς, η ζητούμενη από την άσκηση πιθανότητα μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια της συνάρτησης λάθους ως εξής: 3 5 2 5 3 erf erf erf erf Οι τιμές της συνάρτησης λάθους δίνονται από πίνακες παρόμοιους με αυτούς της συνάρτησης Q.
Πίνακας τιμών της συνάρτησης Q
Άσκηση 4: Το σήμα Χ με μοντέλο εκθετικής κατανομής περνάει από έναν κβαντιστή όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστεί ο μέσος όρος και η διασπορά της εξόδου Υ. Υ Χ Κβαντιστής Y 3 2 2 Χ 2 Σχήμα Λύση: Από τη μορφή που έχει η σχέση εισόδου εξόδου του συστήματος του κβαντιστή συμπεραίνουμε πως πρόκειται για ένα μη γραμμικό σύστημα. Η σχέση εισόδουεξόδου σε μαθηματική μορφή γράφεται ως εξής.
3, 2 2, 2, 0, 0 2, Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η έξοδος Υ είναι πλέον μια διακριτή τυχαία μεταβλητή. Αυτή άλλωστε είναι και η λειτουργία του κβαντιστή: να μετατρέπει ένα σήμα εισόδου που παίρνει συνεχείς τιμές σε ένα σήμα εξόδου το οποίο θα παίρνει διακριτές τιμές. Εφόσον η Υ είναι διακριτή τυχαία μεταβλητή, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής θα είναι:, όπου είναι οι δυνατές τιμές της Oι τιμές των πιθανοτήτων υπολογίζονται ως εξής: Για 2 έχουμε: 2 0 0
Για έχουμε: 0 0 0 Για έχουμε: 0 Για 2 έχουμε: 2 2 Για 3 έχουμε: 3 2 Συνεπώς η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της Υ θα είναι:
0, 2 0,,, 2, 3 ενώ η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ θα είναι: 2 3 H μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ είναι: 2 3 H διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Υ είναι: H μέση τετραγωνική τιμή της Υ είναι:
2 3 3 5 Συνεπώς η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Υ θα είναι: 3 5 2 2
Άσκηση 5: Η είσοδος σε έναν ανορθωτή είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ με κανονική κατανομή, μέσης τιμής και διασποράς. Να υπολογισθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εξόδου Υ όταν: α) Y X και β). Λύση: Εφόσν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή,, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής θα είναι: 2 α) Στην περίπτωση αυτή η σχέση εισόδου εξόδου του ανορθωτή είναι Χ, X 0 YgX X Χ, X 0 YgX y Χ Σχήμα
Ο ανορθωτής αυτός παρέχει πλήρη ανόρθωση. Επίσης παρατηρούμε ότι ισχύει Y 0. Εφόσον η τυχαία μεταβλητή Υ είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Χ, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ θα είναι: x, x 0 όπου x i είναι οι λύσεις της εξίσωσης: ygx x, x 0. Oι λύσεις αυτές είναι οι εξής:, y 0 και φαίνονται στο σχήμα. Η παράγωγος της συνάρτησης g(x) είναι: g, x 0 x, x 0 και g x, Άρα η θα είναι: 2 2 2
2 2 cosh, 0 β) Στην περίπτωση αυτή η σχέση εισόδου εξόδου του ανορθωτή είναι Χ, X 0 0, X 0. YgX y Χ Σχήμα 2 Ο ανορθωτής αυτός παρέχει απλή ανόρθωση. Από τη μορφή που έχει η σχέση εισόδου εξόδου του ανορθωτή συμπεραίνουμε ότι η τυχαία μεταβλητή Y παίρνει την τιμή Y0 για Χ0, ενώ για Χ 0 είναι YΧ0.
0, 0, 0 Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η Υ είναι μια τυχαία μεταβλητή μικτού τύπου. Για 0 (για το συνεχές κομμάτι της τυχαίας μεταβλητής Υ) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ θα είναι: όπου x i είναι οι λύσεις της εξίσωσης: ygx x 0. Για x 0 η συνάρτηση y=g(x) είναι y=x. Επομένως, οι λύσεις που ψάχνουμε θα είναι οι εξής: φαίνονται στο σχήμα 2., με y 0, όπως Η παράγωγος της συνάρτησης g(x) για x0 είναι g x : Επομένως η θα είναι: 2, 0 Για 0 (για το διακριτό κομμάτι της τυχαίας μεταβλητής Υ) θα πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα 0. Η πιθανότητα αυτή είναι: 0 0 2
Κάνοντας την αντικατάσταση στο παραπάνω ολοκλήρωμα θα έχουμε: 0 2 2 2 2 erf 2 2 Eπειδή για τη συνάρτηση Q ισχύει η ιδιότητα Q(x)= Q( x), η παραπάνω πιθανότητα μπορεί να γραφεί ως εξής: 0 2 erf 2 2 Άρα συνολικά για τη μικτού τύπου τυχαία μεταβλητή Υ η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα είναι: 2, 0, 0 0, 0
Άσκηση 8: Δίνεται η τυχαία μεταβλητή Χ με κανονική κατανομή μέσης τιμής 0 και διασποράς. Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή Υ=αX 2, με α>0. Να υπολογισθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Y (y) της τυχαίας μεταβλητής Y. Λύση: Εφόσον η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή 0, θα έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: 2 Από τη σχέση που ορίζει την τυχαία μεταβλητή Υ, συμπεραίνουμε ότι η Υ παίρνει τιμές 0 (επειδή, επιπλέον, α>0). y X Σχήμα
H συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια της σχέσης: όπου x i είναι οι λύσεις της εξίσωσης: ygx. Oι λύσεις αυτές είναι οι εξής:, με y 0, όπως φαίνονται στο σχήμα. Η παράγωγος της συνάρτησης g(x) είναι: g x 2 Άρα η θα είναι: 2 2 2 2 2, 0 Η μορφή της φαίνεται στο σχήμα 2.
f Y (y) y Σχήμα 2
Άσκηση : Οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Φ ακολουθούν κανονική και ομοιόμορφη κατανομή, αντίστοιχα: 2, 0 0, ύ Επίσης, οι Χ και Φ είναι στατιστικά ανεξάρτητες. Να υπολογισθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Ζ, όπου Ζ=Χ + α * cosφ. Λύση: Εφόσον οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Φ είναι στατιστικά ανεξάρτητες, η κοινή τους συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα είναι:,, π 2, 0 και 0, αλλού
Παρατηρούμε ότι η τυχαία μεταβλητή Ζ είναι συνάρτηση 2 τυχαίων μεταβλητών, των Χ και Φ. Άρα για να έχουμε ένα μετασχηματισμό από 2 τυχαίες μεταβλητές σε 2 νέες (μετασχηματισμός δύο διαστάσεων) ορίζουμε και μια βοηθητική τυχαία μεταβλητή, την W=Φ. Έτσι θα έχουμε τον εξής μετασχηματισμό: (Χ,Φ) (Ζ,W) Η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Ζ και W θα είναι:,,,,, οπου x i, φ i είναι οι λύσεις του συστήματος: Το παραπάνω σύστημα έχει μία λύση που είναι η εξής: Η Ιακωβιανή ορίζουσα του συστήματος που ορίζει το μετασχηματισμό (Χ,Φ) (Ζ,W) θα είναι:
, 0 Επομένως η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Ζ και W θα είναι:,, με 0 και H συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Ζ μπορεί εύκολα να προκύψει από την,, ως εξής: 2,, 2 2 π 2