Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Χρονικά αυτόµατα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Συστήµατα πραγµατικού Χρόνου ιακριτός και συνεχής χρόνος Χρονικά αυτόµατα Χρονική CTL ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-1

Συστήµατα πραγµατικού χρόνου Ηχρονική συµπεριφορά είναι κριτικής σηµασίας σε πολλά συστήµατα, όπως: ιασταυρώσεις τραίνων Ελεγκτές ροµπότ Ελεγκτές προσγείωσης αεροπλάνων Πρωτόκολλα επικοινωνίας Συστήµατα πραγµατικού χρόνου ονοµάζονται συστήµατα των οποίων η ορθότητα καθορίζεται τόσο από τις αλληλεπιδράσεις µε το περιβάλλον όσο και από τον χρόνο στον οποίο παρουσιάζονται οι αλληλεπιδράσεις αυτές. Θα µελετήσουµε µεθόδους εισαγωγής της έννοιας του χρόνου σε πρότυπα µοντελοποίησης και ανάλυσης συστηµάτων. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-2

Ο χρόνος ως ένα διακριτό πεδίο ιακριτός χρόνος: ο χρόνος µετριέται µέσω διακριτών τιµών και αυξάνεται µέσω διακριτών βηµάτων. Μοντελοποιείται µέσω θετικών ακεραίων. Συγκεκριµένα χρονικά γεγονότα tick χρησιµοποιούνται για να µοντελοποιήσουν το πέρασµα µιας µονάδας χρόνου. Γεγονότα µπορούν να συµβούν σε ακέραιες χρονικές στιγµές. Η διαφορά χρόνου ανάµεσα σε δύο γεγονότα είναι πάντα πολλαπλάσιο της βασικής µονάδας χρόνου. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-3

Φώτα της τροχαίας µε διακριτό χρόνο tick tick tick S o S 1 S 2 tick tick S 4 tick tick tick S 3 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-4

Πλεονέκτηµα: απλότητα ιακριτός Χρόνος Η επέκταση αφορά µόνο µία καινούρια ενέργεια για να µετρά τον χρόνο στο µοντέλο. Η χρονική λογική µπορεί να µείνει ανεπηρέαστη αφού ο τελεστής Χ µετρά το πέρασµα του χρόνου: G (red X X X yellow) Πάντα ισχύει ότι 3 µονάδες χρόνου µετά απότοκόκκινοτοφωςθαγίνει κίτρινο. G (red X green X X green X Χ X green X Χ X Χ green) Πάντα ισχύει ότι µέσα σε 4 µονάδες χρόνου από το κόκκινο το φως θα γίνει πράσινο. Πολλές εφαρµογές: συστήµατα των οποίων οι διεργασίες συγχρονίζονται βάσει ενός καθολικού ρολογιού (π.χ. συγχρονισµένα κυκλώµατα υλικού). ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-5

ιακριτός Χρόνος Περιορισµός: Πως καθορίζεται η διάρκεια της βασικής µονάδας χρόνου; Έτσι ώστε κάθε διαφορά στους χρόνους κάθε ζεύγους γεγονότων να είναι πολλαπλάσιο αυτής. Στην πράξη αυτό είναι δύσκολο/αδύνατο να καθοριστεί, και οποιαδήποτε παραδοχή περιορίζει την ακρίβεια του µοντέλου. Ακατάλληλο για ασύγχρονα συστήµατα, όπως κατανεµηµένα συστήµατα, πρωτόκολλα επικοινωνίας, κλπ. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-6

Ο χρόνος ως ένα συνεχές πεδίο Συνεχής χρόνος: ο χρόνος αυξάνεται συνεχόµενα. Μοντελοποιείται µέσω θετικών πραγµατικών αριθµών. Γεγονότα µπορούν να συµβούν σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή, και η διαφορά στους χρόνους των εµφανίσεων δύο γεγονότων µπορεί να είναι αυθαίρετα µικρή. Καλύτερη µοντελοποίηση της πραγµατικότητας, και κατάλληλη για ασύγχρονα συστήµατα. Επίσης, πιο πολύπλοκη! ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-7

Συνεχής χρόνος Αν ο χρόνος είναι συνεχής, τότε αλλαγή κατάστασης µπορεί να συµβεί σε οποιαδήποτε στιγµή. Για παράδειγµα η ενέργεια µοντελοποιείται ως Μέσα σε 4 µονάδες χρόνου t=0 t=0.75 t=2 t=3 t=4 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-8

Συνεχής χρόνος Πως µπορούµε να ελέγξουµε ιδιότητες όπως: όταν το φως είναι κίτρινο τελικά θα γίνει πράσινο µέσα σε 3 µονάδες χρόνου ; Για αντιµετώπιση των προβληµάτων που προκύπτουν από τη χρήση συνεχούς χρόνου έχουν γίνει οι εξής προτάσεις: Περιορισµός της γλώσσας ανάλυσης συστηµάτων (χρονικής λογικής) Η µοντελοποίηση συστηµάτων πραγµατικού χρόνου γίνεται συµβολικά και όχι ρητά [Χρονικά αυτόµατα - Alur & Dill, 1989] Υλοποίηση µιας διακριτής µορφής του µη-πεπερασµένου συστήµατος καταστάσεων σύµφωνα µε το µοντέλο και την ιδιότητα που θέλουµε να ελέγξουµε. [ αυτόµατα - Alur & Dill, 1991] ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-9

Χρονικά Αυτόµατα Ένα χρονικό αυτόµατο αποτελείται από καταστάσεις και ακµές. Κάθε κατάσταση συνοδεύεται από ατοµικές προτάσεις που ικανοποιούνται στη συγκεκριµένη κατάσταση. Κάθε ακµή µοντελοποιεί µια δυνατή εξέλιξη από µια κατάσταση σε µια άλλη. Οι µεταβάσεις δεν παίρνουν χρόνο. red gr ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-10

Χρονικά Αυτόµατα Ένα χρονικό αυτόµατο είναι εφοδιασµένο µε ένα σύνολο από ρολόγια, x, y, z,, τα οποία παίρνουν πραγµατικές τιµές, και αυξάνουν τις τιµές τους µε την ίδια ταχύτητα. Οι µεταβάσεις ενός αυτοµάτου ελέγχονται από περιορισµούς στις τιµές των ρολογιών, οι οποίοι ονοµάζονται φρουροί των µεταβάσεων. x < 2 red gr y < 4 x = 5 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-11

Χρονικά Αυτόµατα Οι τιµές των ρολογιών µπορούν να µηδενιστούν κατά την εκτέλεση µιας µετάβασης. Τα ρολόγια έχουν αρχική τιµή 0, και ξεκινούν ταυτόχρονα κατά την είσοδο στην αρχική κατάσταση. x < 2 red {y:=0} gr y < 4 x = 5 {x :=0} Μηδενισµοί ρολογιών ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-12

Χρονικά Αυτόµατα Μία συνθήκη κατάστασης είναι ένας περιορισµός ρολογιών που προσδιορίζει τον χρόνο που µπορεί να ξοδευτεί στην κατάσταση. Οι φρουροί µεταβάσεων προσδιορίζουν πότε είναι δυνατή µια µετάβαση, ενώ οι συνθήκες καταστάσεων εξαναγκάζουν την εκτέλεση µιας µετάβασης. x < 2 red {y} gr y < 4 [x 10] x = 5 [y 4] {x} ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-13

Παράδειγµα: Φώτα της τροχαίας [x 3] [x 4] x=3 true {x} S o S 1 S 2 x=8 {x} x=4 x=7 S 4 [x 8] S 3 [x 7] ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-14

Περιορισµοί Ρολογιών Το σύνολο περιορισµών ρολογιών πάνω στο σύνολο ρολογιών C είναι το µικρότερο σύνολο που ικανοποιεί τους εξής κανόνες: Αν c είναι ένα ρολόι από το σύνολο C και x ένας φυσικός αριθµός, τότε τα c< xκαι c x είναι περιορισµοί ρολογιών. Αν a είναι περιορισµός ρολογιών τότε και το a είναι περιορισµός ρολογιών. Αν a και b είναι περιορισµοί ρολογιών τότε και το a b είναι περιορισµός ρολογιών. Τα ρολόγια συγκρίνονται µόνο µε τους φυσικούς αριθµούς, διαφορετικά ο µοντελο-έλεγχος γίνεται µη-αποφασίσιµος (undecidable). ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-15

Χρονικά αυτόµατα Ένα χρονικό αυτόµατο είναι µια πλειάδα (C, L, l 0, Label, inar, E, clocks, guard) όπου C είναι ένα σύνολο ρολογιών L είναι ένα σύνολο από καταστάσεις µε αρχική κατάσταση την l 0 Label είναι µία συνάρτηση που αποδίδει σε κάθε κατάσταση ένα σύνολο από ατοµικές προτάσεις (που ικανοποιούνται στην κατάσταση) inar είναι µία συνάρτηση που αποδίδει σε κάθε κατάσταση µια συνθήκη κατάστασης E είναι ένα σύνολο από ακµές ανάµεσα στις καταστάσεις clocks είναι µια συνάρτηση που αποδίδει σε κάθε ακµή το σύνολο των ρολογιών που πρέπει να µηδενιστούν guard είναι µια συνάρτηση που αποδίδει σε κάθε ακµή το φρουρό της ακµής. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-16

Παράδειγµα Φρουροί (1) Αποτέλεσµαφρουρού µε κάτω φράγµα. x 5 {x :=0} Τιµή του x 5 5 10 15 20 Χρόνος ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-17

Παράδειγµα Φρουροί (2) Αποτέλεσµαφρουρού µε κάτω φράγµα και πάνω φράγµα. 5 x 10 {x :=0} Τιµή του x 10 5 5 10 15 20 25 Χρόνος ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-18

Παράδειγµα Φρουροί και συνθήκες Αποτέλεσµαφρουρού µε κάτω φράγµα και συνθήκη. x 10 x 5 x :=0 Τιµή του x 10 5 5 10 15 20 Χρόνος ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-19

Πολλαπλά ρολόγια Αποτέλεσµασυµπεριφοράς µε πολλαπλά ρολόγια. Παρατηρούµε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο να µοντελοποιηθεί σε πρότυπα διακριτού χρόνου. x 5 x :=0 Ρολόι x Ρολόι y y 5 y :=0 Τιµή ρολογιών 5 5 10 15 20 Χρόνος ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-20

Χρονικά Συστήµατα µεταβάσεων Ένα σύστηµα µεταβάσεων ορίζεται ως µια πλειάδα (S, s 0, ) όπου S είναι ένα αριθµήσιµο σύνολο από καταστάσεις s 0 είναι η αρχική κατάσταση είναι µία σχέση µεταβάσεων, όπου s s υπάρχει µετάβαση από την κατάσταση s στην κατάσταση s. Υπάρχουν δύο είδη µεταβάσεων σε ένα χρονικό αυτόµατο: Μετάβαση ακµής: µπορεί να σηµειωθεί πρόοδος µε τηδιάσχισηµίας ακµής του αυτοµάτου. Μετάβαση καθυστέρησης: µπορεί να σηµειωθεί πρόοδος µε τηνπάροδο χρόνου σε µία κατάσταση. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-21

Ερµηνεία χρονικών αυτοµάτων Τα χρονικά συστήµατα µεταβάσεων χρησιµοποιούνται για την ερµηνεία χρονικών αυτοµάτων ως εξής: Οι καταστάσεις ενός αυτοµάτου δίνονται ως ζεύγη (l,) όπου l είναι µια κατάσταση του αυτοµάτου και είναι µια συνάρτηση που περιέχει τις τιµές των ρολογιών τα οποία πρέπει να τηρούν τη συνθήκη κατάστασης inar(l). Η αρχική κατάσταση είναι η s 0 = (l 0, 0 ) και 0 (x)=0 για κάθε ρολόι x. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-22

Ερµηνεία χρονικών αυτοµάτων H σχέση µεταβάσεων ορίζεται ως εξής: Μετάβαση ακµής (l,) (l, ) υπάρχει αν: * Υπάρχει ακµή e από την κατάσταση l στην κατάσταση l. O φρουρός guard(e) ικανοποιείται από τα ρολόγια. (x) = 0 αν x clocks(e), διαφορετικά (x) = (x). Μετάβαση καθυστέρησης (l,) (l,+d) υπάρχει αν: d Για κάθε 0 d d η συνθήκη κατάστασης της l ικανοποιείται σε κάθε χρόνο +d. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-23

ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-24 Παράδειγµα red gr x 2 y = 9 {x,y} {x} [x 2] [y 9] x 2 {x} 9 9 7 7 4 3 3 0 2 0 0 2 0 4 1 0 3 0 2 0 )..., ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 * 8 2 7 * 6 3 5 1 4 * 3 3 2 * 1 2 0 red gr gr gr gr gr gr gr red red x y

Σύνθεση δύο αυτοµάτων Για να επιτρέψουµε τη συνθετική δηµιουργία συστηµάτων χρησιµοποιώντας χρονικά αυτόµατα, χρειαζόµαστε ένα τελεστή παράλληλης σύνθεσης. Ένας τρόπος για να το πετύχουµε είναι η επέκταση χρονικών αυτοµάτων µε ετικέτες (που προέρχονται από κάποιο σύνολο Σ) σε κάθε ακµή/µετάβαση και η απαίτηση ότι κατά το συνδυασµό δύο αυτοµάτων υπάρχει συγχρονισµός σε κάποιες από αυτές. Έστω δύο χρονικά αυτόµατα Α 1 = Σ 1, C 1, L 1, l 01, Label 1, inar 1, E 1, clocks 1, guard 1 και Α 2 = Σ 2, C 2, L 2, l 02, Label 2, inar 2, E 2, clocks 2, guard 2, όπου C 1 C 2 =. Ορίζουµε ως τοµή των δύο αυτοµάτων το αυτόµατο, Α = Α 1 Α 2 Α= Σ, C 1 C 2, L 1 L 2, (l 01,l 02 ), Label, inar, E,clocks, guard όπου Label(l 1 ) = Label 1 (l 1 ) Label 2 (l 2 ). inar (l 1 ) = inar 1 (l 1 ) inar 2 (l 2 ). ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-25

Σύνθεση δύο αυτοµάτων ((l 1 ), (l 1 )) E, αν ισχύει ένα από τα ακόλουθα: (l 1, l 1 ) E 1, Σ 1 (l 1, l 1 ) = a και (l 2 ) E 2, Σ 2 (l 2 ) = α, οπότε: Σ((l 1 ), (l 1 )) = a, clocks((l 1 ), (l 1 )) = clocks 1 (l 1, l 1 ) clocks 2 (l 2 ), και guard((l 1 ), (l 1 )) = guard 1 (l 1, l 1 ) guard 2 (l 2 ). (l 1, l 1 ) E 1, Σ 1 (l 1, l 1 ) = a και a Σ 2, οπότε: l 2 = l 2, Σ((l 1 ), (l 1 )) = a, clocks((l 1 ), (l 1 )) = clocks 1 (l 1, l 1 ), και guard((l 1 ), (l 1 )) = guard 1 (l 1, l 1 ). (l 2 ) E 2, Σ 2 (l 2 ) = a και a Σ 1, οπότε: l 1 = l 1, Σ((l 1 ), (l 1 )) = a, clocks((l 1 ), (l 1 )) = clocks 2 (l 2 ), και guard((l 1 ), (l 1 )) = guard 2 (l 2 ). ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-26

Παράδειγµα x 2 a, {x} 1 2 x=5 [x 3] b, {x} x 1 a, {x} A y 3 a, {y} y 1 c, {y} B [y 10] true a, {y} 1,A y 1 [y 10] c, {y} 1,B x=5 b, {x} x 2 y 3 a, {x,y} x 2 a, {x,y} x=5 b, {x} 2,A [x 3] x 1 y 3 a, {x,y} y 1 c, {y} 2,B [x 3 y 10] x 1 a, {x,y} ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-27

O Sender [x=0 y fail] true rack1 {x,y} [x timeout] s 0 w 1 y=fail To πρωτόκολλο ABP true rack1 {x,y} true rack0 {x,y} x = 0 send0 {x} x = timeout tout, {x} x = timeout tout, {x} x = 0 send1 {x} w 0 s 1 [x timeout] true rack0 {x,y} [x=0 y fail] y=fail Έστω timeout ο χρόνος πριν ξανασταλθεί ένα µήνυµα και fail ο µέγιστος χρόνος για τον οποίο επαναλαµβάνονται οι δοκιµές. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-28

To πρωτόκολλο ABP To µέσο µε απώλειες µηνυµάτων Medium1 Έστω DP η καθυστέρηση του µέσου. 0 u DP s1 0 u DP [u DP] m 0 true send0 m 0 {u} 0 u DP 0 u DP s0 m 1 true send1 m 1 {u} ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-29

Το πρωτόκολλο ΑΒP Παρόµοια µπορούν να διατυπωθούν αυτόµατα που περιγράφουν τη συµπεριφορά του Receier και του µέσου Medium2 που είναι υπεύθυνο για την επικοινωνία των acknowledgment. To σύστηµαδίνεται από τη σύνθεση των τεσσάρων αυτοµάτων, δηλαδή Sender Medium1 Receier Medium2. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-30

CTL (υπενθύµιση) Η CTL ορίζεται ως το µικρότερο σύνολο ιδιοτήτων που παράγονται ως εξής: Φ :: = p Φ Φ Ψ Α φ Ε φ φ :: = Χ Φ Φ U Ψ 1. Ιδιότητες κατάστασης Φ κάθε ατοµική πρόταση p είναι ιδιότητα κατάστασης Αν οι Φ και Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης, τότε και οι Φ και Φ Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης Αν η φ είναι µια ιδιότητα εκτέλεσης, τότε οι Α φ και η Ε φ είναι ιδιότητες κατάστασης 2. Ιδιότητες εκτέλεσης φ Αν οι Φ και Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης, τότε οι Χ Φ και Φ U Ψ είναι ιδιότητες εκτέλεσης ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-31

Χρονική CTL (TCTL) H χρονική CTL επεκτείνει τη CTL µε δύο νέες προτάσεις και αποκλείει τον τελεστή Χ : 1. Ιδιότητες κατάστασης Φ Κάθε περιορισµός ρολογιού είναι ιδιότητα κατάστασης Για κάθε ιδιότητα κατάστασης Φ και z ένα νέο ρολόι, η είναι ιδιότητα κατάστασης. z in Φ 2. Ιδιότητες εκτέλεσης φ Αν η Φ είναι ιδιότητα κατάστασης, τότε η Χ Φ δεν είναι ιδιότητα εκτέλεσης. Η ιδιότητα z in Φ ικανοποιείται σε κάποια κατάσταση s αν η Φ ικανοποιείται στην κατάσταση sµε το ρολόι z να ξεκινά στο 0. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-32

Έστω ακέραιος c. Τότε: Παραγόµενοι τελεστές Ε(Φ U c Υ) z in (Ε(Φ U (z c) Y)) Α(Φ U c Υ) z in (Α(Φ U (z c) Y)) ΕF c Φ Ε(true U c Φ) ΑG c Φ ΕF c Φ ΑF c Φ A(true U c Φ) EG c Φ AF c Φ ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-33

Παραδείγµατα Απαίτηση άµεσης ανταπόκρισης: προσδιορίζει τη µέγιστη επιτρεπτή καθυστέρηση ανάµεσα σε ένα γεγονός και τη ζητούµενη αντίδραση προς αυτό. Για παράδειγµα, µετά από τη µετάδοση κάθε µηνύµατος ακολουθεί απάντηση µέσα σε 4 µονάδες χρόνου : ΑG (send(m) ΑF 4 receie(r m )) Απαίτηση ακριβούς ανταπόκρισης: προσδιορίζει την ακριβή καθυστέρηση ανάµεσα σε ένα γεγονός και τη ζητούµενη αντίδραση προς αυτό. Για παράδειγµα, είναι δυνατόν η καθυστέρηση ανάµεσα στη µετάδοση ενός µηνύµατος και της απάντησης προς αυτό να είναι 11 µονάδες χρόνου : ΕG (send(m) ΑF =11 receie(r m )) ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-34

Παραδείγµατα Απαίτηση περιοδικότητας: προσδιορίζει ότι κάποιο γεγονός εµφανίζεται σε τακτά διαστήµατα. Για παράδειγµα, το µηχάνηµα βγάζει τρύπες τακτικά κάθε 10 µονάδες χρόνου: ΑG (ΑF =10 punchhole) Αυτό όµως επιτρέπει και τρυπήµατα ανάµεσα σε κάθε περίοδο. Για να το αποτρέψουµε προσδιορίζουµε ότι ΑG (punchhole Α ( punchhole U =10 punchhole) ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-35

Παραδείγµατα Απαίτηση ελάχιστης καθυστέρησης: προσδιορίζει την ελάχιστη καθυστέρηση ανάµεσα σε δύο γεγονότα. Για παράδειγµα, η διαφορά χρόνου ανάµεσα στις αφίξεις δύο αεροπλάνων στον αεροδιάδροµο πρέπει να είναι τουλάχιστον 100 µονάδες χρόνου. ΑG (arrie m Α ( arrie m U 100 arrie m )) Απαίτηση διαστήµατος καθυστέρησης: προσδιορίζει ότι ένα γεγονός πρέπει να εµφανίζεται µέσα σε κάποιο διάστηµα καθυστέρησης από κάποιο άλλο. Αεροπλάνα πρέπει να έχουν µέγιστη απόσταση 500 µονάδων χρόνου αλλά η ιδιότητα ασφάλειας πρέπει να διατηρείται. ΑG (arrie m ( Α ( arrie m U 100 arrie m ) Α ( arrie m U 500 arrie m ))) ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-36

Ερµηνεία της TCTL Για µια ιδιότητα της χρονικής CTL Φ και ένα χρονικό αυτόµατο Α γράφουµε Α = Φ αν και µόνο αν η ιδιότητα Φ ικανοποιείται στην κατάσταση (s 0, 0 ) του αυτοµάτου Α. Πως µπορούµε να απαντήσουµε αυτότοερώτηµα δεδοµένου ότι σύστηµα µεταβάσεων ενός αυτοµάτου είναι µη-πεπερασµένο (τα ρολόγια δυνατόν να πάρουν άπειρες τιµές). Λύση στο πρόβληµα δίνεται θεωρώντας τις περιοχές (regions) ενός αυτοµάτου. ύο καταστάσεις ανήκουν στην ίδια περιοχή αν είναι ισοδύναµες. Για περισσότερες πληροφορίες: Model-Checking in Dense Real-Time, Rajee Alur, Costas Courcoubetis, and Daid L. Dill. Information and Computation, 104(1):2-34, 1993. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-37