Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Transcript

1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών είναι εξαιρετικά χρήσιµες για τη µελέτη δυναµικών οικονοµικών προβληµάτων σε διακριτό χρόνο. Αφού παρουσιάσουµε πρώτα τους τελεστές χρονικής υστέρησης παρουσιάζουµε τη µέθοδο επίλυσης εξισώσεων διαφορών πρώτου και δεύτερου βαθµού. Π. Τελεστές Χρονικής Υστέρησης Οι εξισώσεις διαφορών είναι ένα εξαιρετικά χρήσιµο εργαλείο στη δυναµική οικονοµική. Για να τις αναλύσουµε πιο εύκολα, ορίζουµε τους τελεστές χρονικής υστέρησης. Ο τελεστής χρονικής υστέρησης L για µία µεταβλητή x ορίζεται από, Lx = x L x = x for =..., -, -,,,,... (Π.) Ο πολλαπλασιασµός της x µε το L δίνει την τιµή της x πριν από περιόδους. Παρατηρούµε ότι αν το είναι αρνητικό ( < ) o τελεστής χρονικής υστέρησης µετακινεί την x στο µέλλον, δηλαδή µετά από περιόδους. Ο ορισµός αυτός είναι µαθηµατικά κάπως χαλαρός. Πιο αυστηρά, ας υποθέσουµε µία ακολουθία, { x } η οποία συνδέει ένα πραγµατικό αριθµό x µε κάθε ακέραιο αριθµό. Εφαρµόζοντας = στην ακολουθία αυτή τον τελεστή L, λαµβάνουµε µία νέα ακολουθία { y } = { x }. Ο τελεστής L προβάλλει την µία ακολουθία σε µία άλλη. Ας εξετάσουµε τώρα ένα πολυώνυµο στον τελεστή χρονικής υστέρησης. A(L) = + L + L +... = L (Π.) = = = Εφαρµόζοντας στη µεταβλητή x το πολυώνυµο A(L) λαµβάνουµε ένα κινητό άθροισµα των x σε διαφορετικές χρονικές περιόδους.

2 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα A(L) x = ( + L + L +... ) x = x (Π.3) = Θα περιοριστούµε σε ρητές συναρτήσεις, δηλαδή σε πολυώνυµα που µπορούν να εκφραστούν ως ο λόγος δύο πεπερασµένων πολυωνύµων στο L. Υποθέτουµε ότι, A(L) = B(L)/C(L) (Π.4) όπου, m B(L) = b L, C(L) = c L (Π.5) = = όπου τα b και c είναι σταθερές. Ο συνδυασµός των (Π.4) και (Π.5) επιβάλλει µια πιο οικονοµική και περιοριστική µορφή στα, χωρίς ωστόσο να υπάρχει µεγάλη απώλεια γενικότητας. Μια ειδική περίπτωση των (Π.4) και (Π.5) είναι το λεγόµενο γεωµετρικό πολυώνυµο το οποίο λαµβάνει τη µορφή, A(L) = (Π.6) Από τις ιδιότητες των γεωµετρικών προόδων, το γεωµετρικό πολυώνυµο µπορεί να αναπτυχθεί µε δύο τρόπους. A(L) = = + λl + λ L +... (Π.7) A(L) = = - [ + L + ( ) L +... ] (Π.8) λl λ λ Όπως θα δούµε παρακάτω, η ανάπτυξη (Π.7) χρησιµοποιείται όταν λ <, και η ανάπτυξη (Π.8) όταν το λ >. Αν πολλαπλασιάσουµε το γεωµετρικό πολυώνυµο (Π.6) µε κάποια µεταβλητή x, έχουµε, A(L) x = x (Π.9) Με την ανάπτυξη (Π.7) για το A(L) έχουµε, x = [ + λl + λ L +... ] x = x + λ x + λ x +... λ i x i= i = (Π.) I

3 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εάν το λ <, και το { x } = είναι µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, τότε και η (Π.) ορίζει µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Από την άλλη υπάρχει και η εναλλακτική ανάπτυξη της (Π.9). Χρησιµοποιώντας την (Π.8), έχουµε, x = - [ + L + ( ) L +... ]x λl λ λ = - x - ( ) x -... λ + + λ = - ( λ )i x +i i= (Π.) Εάν το λ >, και το { x } = είναι µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, τότε η (Π.) ορίζει µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, καθώς έχουµε ότι το /λ <. Επειδή σε πολλές περιπτώσεις στα οικονοµικά επιθυµούµε τη σύγκλιση σε κάποια ισορροπία, επιδιώκουµε την ανάλυση πεπερασµένων ακολουθιών. Με αυτή την έννοια επιλέγουµε την επέκταση «προς τα πίσω», όταν το λ <, και την επέκταση «προς τα εµπρός», όταν το λ >. Π. Εξισώσεις Διαφορών Πρώτου Βαθµού Ας θεωρήσουµε τώρα την πρωτοβάθµια γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές, y = +λ y (Π.) Η (Π.) µπορεί να γραφεί ως, (-λl) y = (Π.3) Διαιρώντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης µε (-λl) έχουµε, y = + cλ = + cλ (Π.4) λ όπου c είναι µία οποιαδήποτε σταθερά. Ο λόγος που περιλαµβάνουµε τον όρο cλ είναι ότι για οποιοδήποτε c, (-λl) cλ = cλ -λcλ =. Άρα, αν πολλαπλασιάσουµε την (Π.4) µε (-λl), επανερχόµαστε στην (Π.3). Η (Π.4) προσδιορίζει τη γενική λύση της πρωτοβάθµιας εξίσωσης διαφορών (Π.). Για να βρούµε µία «συγκεκριµένη» λύση, πρέπει να µπορούµε να προσδιορίσουµε το c. Ας υποθέσουµε ότι στο χρόνο =, η y είχε την τιµή y. Από την (Π.4) προκύπτει ότι, I3

4 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα c = y - λ (Π.5) Συνεπώς, η λύση της (Π.) δίνεται από, y = + λ ( y - ) (Π.6) λ λ Εάν η αρχική τιµή y = /(-λ), τότε η (Π.6) συνεπάγεται ότι y = y. Συνεπώς το /(-λ) είναι σηµείο ισορροπίας. Εάν επιπλέον λ <, η (Π.6) συνεπάγεται ότι, lim y = λ (Π.7) H (Π.7) συνεπάγεται ότι το σύστηµα είναι σταθερό, καθώς τείνει να προσεγγίσει τη µακροχρόνια ισορροπία µε την πάροδο του χρόνου. Εάν λ >, η µόνη λύση είναι η άµεση προσαρµογή του y στο µακροχρόνιο σηµείο ισορροπίας / (-λ). Η λύση αυτή συνεπάγεται c =, y = /(-λ). Π.3 Δευτεροβάθµιες Εξισώσεις Διαφορών Ερχόµαστε τέλος στη δευτεροβάθµια εξίσωση διαφορών I y = + by + cy (Π.8) H (Π.8) µπορεί να γραφεί ως, I ( bl cl )y = (Π.9) Η (Π.9) µπορεί να µετασχηµατιστεί σε, I ( λ L)( λ L)y = (Π.) όπου, I λ + λ = b (Π.) I λ λ = c (Π.) Από την (Π.), η γενική λύση της (Π.8) παίρνει τη µορφή, I y = (Π.3) ( λ L)( λ L) + d λ + d λ I4

5 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Οι λ και λ είναι οι δύο ρίζες της δευτεροβάθµιας εξίσωσης διαφορών, και οι d και d είναι δύο απροσδιόριστες σταθερές. Για να προσδιοριστούν χρειάζονται δύο αρχικές συνθήκες, ή µία αρχική και µία τελική συνθήκη, ανάλογα µε τις τιµές των δύο ριζών. Θα έχουµε σύγκλιση εάν λ <, και αν λ <. Στην περίπτωση αυτή για να προσδιορίσουµε τις δύο σταθερές d και d χρειαζόµαστε δύο αρχικές συνθήκες. Εάν οι δύο ρίζες κείνται εκατέρωθεν της µονάδας η ισορροπία θα είναι σαγµατικό σηµείο. Στην περίπτωση αυτή, για να προσδιορίσουµε τις δύο σταθερές d και d χρειαζόµαστε µία αρχική και µία τελική συνθήκη. I5