Ορισµός. Παρατηρήσεις. Σχόλιο

Transcript

1 Ορισµός Έστω Α, Β δύο µη κενά σύνολα A Συνάρτηση από το σύνολο A στο σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία, µε την οποία, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β Τις συναρτήσεις συµβολίζουµε µε τα γράµµατα, g, h, φ, F, G, H, Αν είναι µια συνάρτηση από το Α στο Β, γράφουµε: : A B Έστω η συνάρτηση : A Bτότε: Το Α λέγεται πεδίο ορισµού ή σύνολο ορισµού της συνάρτησης και συµβολίζεται A ή D, ενώ το Β λέγεται σύνολο αφίξεως Τα στοιχεία του πεδίου ορισµού Α λέγονται αρχέτυπα ή πρότυπα και τα παραστάνουµε µε το γράµµα που λέγεται ανεξάρτητη µεταβλητή Τα στοιχεία του συνόλου αφίξεως B τα παριστάνουµε µε το γράµµα ψ που λέγεται εξαρτηµένη µεταβλητή Αν το στοιχείο A αντιστοιχίζεται στο ψ Β γράφουµε: ψ ( ) ( ) λέγεται εικόνα του ή τιµή της συνάρτησης στο Παρατηρήσεις Ισχύει η συνεπαγωγή: ( ) ( ), για κάθε, A To ψ ή Ισχύουν τα επόµενα: Κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β Σε µερικά στοιχεία του Β µπορεί να µην αντιστοιχίζεται κανένα στοιχείο του Α ύο η περισσότερα στοιχεία του Α µπορεί να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο του Β ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω η συνάρτηση : A Bτότε: Αν Β R η λέγεται πραγµατική συνάρτηση Αν Α R και Β R η λέγεται πραγµατική συνάρτηση µιας πραγµατικής µεταβλητής Σχόλιο Στα επόµενα όταν θα λέµε ότι, µία συνάρτηση είναι πραγµατική θα εννοούµε ότι η είναι πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής Μπορούµε να ορίσουµε την πραγµατική συνάρτηση ως εξής: ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

2 Ορισµός Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α, µια διαδικασία, µε την οποία, κάθε στοιχείο Α αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο πραγµατικό αριθµό ψ Το ψ λέγεται τιµή της στο και συµβολίζεται µε ( ) ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A B Σύνολο τιµών της συνάρτησης : A Bλέγεται A που περιέχει όλα τα στοιχεία το σύνολο ( ) του Bτα οποία είναι εικόνες των στοιχείων του A δηλαδή A ψ Β / ψ µε A Β { } ( ) ( ) i (A) () Πολλές φορές δίνεται µόνο ο τύπος της συνάρτησης Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το «ευρύτερο» υποσύνολο του R µε τα στοιχεία του οποίου αν αντικαταστήσουµε την ανεξάρτητη µεταβλητή στον τύπο της συνάρτησης και κάνουµε πράξεις θα βρούµε έναν πραγµατικό αριθµό, δηλαδή A R / R Παρατηρήσεις { ( ) } Στα επόµενα θα ασχοληθούµε µε πραγµατικές συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισµού ένα διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων Η συνάρτηση µε τύπο ( ) συνάρτηση µε τύπο ( ) c, c R λέγεται σταθερή συνάρτηση και η λέγεται ταυτοτική συνάρτηση Η σταθερή και η ταυτοτική συνάρτηση έχουν πεδίο ορισµού το AR Παρατήρηση Είναι χρήσιµο να θυµηθούµε από το τριώνυµο ότι: Ισχύει: α + β + γ > 0 για κάθε R όταν α> 0και Ισχύει: α + β + γ 0 για κάθε R όταν α> 0και Ισχύει: α + β + γ < 0 για κάθε R όταν α< 0και Ισχύει: α + β + γ 0 για κάθε R όταν α< 0και < β αγ 0 β αγ 0 < β αγ 0 β αγ 0 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση Αν + για κάθε R, τότε το ( ) είναι: + Α Β 0 Γ Ε 5 Αν ( ) α + β +, α, β 0 και ( ) 7 5, τότε το ( 7) είναι: Α Β Γ Ε 5 Αν ( + ) για κάθε R και ( 5), τότε το ( ) ( ) είναι Α Β Γ Ε 5 Αν ( ) + ( + ) ( ) για κάθε R, το ( ) 5 Η συνάρτηση ( ) Α είναι Α 8 Β 8 Γ Ε 67 5 έχει πεδίο ορισµού το + R Β (,0) Γ [ 0,+ ) (,0] Ε ( ) 0,+ 6 Η συνάρτηση ( ) 9 + έχει πεδίο ορισµού Α [,] Β [0,] Γ [, ) (, ] Ε [, ) 7 Η συνάρτηση ( ) 5 + έχει πεδίο ορισµού το Α Β (, ) Γ R (,) [, ] Ε {, } 8 Το άθροισµα όλων των ακεραίων που περιέχει το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) 7 είναι ίσο µε Α Β Γ 5 Ε 6 9 Αν η συνάρτηση ( ) α Α α< Β α> Γ α< 0 ίνεται η συνάρτηση : R { } R { } µε ( ) Α Β έχει πεδίο ορισµού το R, τότε πρέπει: α< Ε α + β Γ Ε α> Το α+ βείναι ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

4 ίνεται η συνάρτηση : R { α} R { β} µε ( ) Α 7 Β ( ) Γ 0 Ε 7 77 είναι Α Β Γ 0 Ε 9 Αν ( + ) ( ) + για κάθε R και ( 0), το ( ) Το α β είναι Αν, 0τότε το ( ) είναι ίσο µε Α 0 Β 8 Γ 6 Ε + + Αν ( ) 6+, A {,0,}, το σύνολο τιµών ( A ) της είναι Α { 5,, 5} Β { 5,0,5} Γ { 7,9, } { 7,0, } Ε { 7,0, } 5 Αν ( ) + και ( ( α) ), τότε το α είναι ίσο µε Α Β Γ Ε 5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : R R για την οποία ισχύει: + + για κάθε R ( ) Να βρείτε τις τιµές των συναρτήσεων ( ) + και, g( ) τιµές του R για τις οποίες ισχύει: + 5 Να βρείτε τις τιµές του R για τις οποίες:, όταν ( ) (i) ( ) (ii) ( ), όταν ( ) Να βρείτε τις τιµές του R για τις οποίες: (i) ( ) 0, όταν ( ) ( ) ( ) (ii) ( ), όταν ( ) ίνεται η συνάρτηση ( ) (i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης + για τις ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

5 (ii) Να βρείτε το πρόσηµο της συνάρτησης, δηλαδή να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η παίρνει θετικές τιµές και τα διαστήµατα στα οποία η παίρνει αρνητικές τιµές 6 Να βρείτε τον α R, ώστε από τον τύπο ( ) ορίζεται µια συνάρτηση Κατόπιν να λύσετε την εξίσωση ( ) + 5α 7, αν α 5, αν να 7 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: (i) ( ) + 6 (ii) ( ) (iii) ( ) 6+ (iv) ( ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: (i) ( ) 5 (iii) ( ) 9 5 (ii) ( ) (iv) ( ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: (i) ( ) (iii) ( ) (ii) ( ) (iv) ( ) + 0 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: (i) ( ) (ii) ( ) 8+ Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το A [, ] Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g( ) ( 5+ ) II Παράµετροι 9 Για ποιες τιµές του α R οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το R : (i) ( ) (ii) ( ) + α+ (α+ ) + α+ α Για ποιες τιµές τουα R οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το R + (i) ( ) (ii) ( ) α + (α )+ α α+ + α+ ( ) ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 5

6 III Σύνολο τιµών συνάρτησης Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων: (i) ( ) (ii) ( ) (iii) ( ) 5 Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων: (i) ( ) + (ii) ( ) 6 6 Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων + (i) ( ) (ii) ( ) 9 + (iii) ( ) (iii) ( ) Για ποιες τιµές του α R η συνάρτηση ( ) [,] α + έχει σύνολο τιµών το ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 6