ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους και γωρίζετε επίσης ότι: Η πιθαότητα α έχου 5 αδέλφια είαι 0, Ο αριθμός v ατιστοιχεί σε γωία 7 σε κυκλικό διάγραμμα ( 4) Ο αριθμός v 4 ισούται με το lm 4 Η διάμεσος και η μέση τιμή τω παρατηρήσεω είαι,5 α) Να κάετε το πίακα καταομής συχοτήτω β) Ποια η πιθαότητα α επιλέξουμε τυχαία έα μαθητή η οικογέειά του α έχει παιδιά γ) Να βρείτε το συτελεστή μεταβλητότητας του παραπάω δείγματος Έστω Α, Β δύο μη ασυμβίβαστα εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με μη μηδεικές πιθαότητες P ( A), P( ατίστοιχα, για τις οποίες ισχύου: P ( A ( B A) και P( A) P(, R 5 α) Να ορίσετε τη συάρτηση g( ) P( A β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της g ως προς, ότα =0 γ) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της P( A δ) Να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου Γ: «πραγματοποιούται ταυτόχροα τα Α, Β ή δε πραγματοποιείται καέα από αυτά», ότα η P( A παίρει τη μέγιστη τιμή της Ο παρακάτω πίακας δίει ορισμέα από τα αποτελέσματα πρόσφατης έρευας που έγιε σε δείγμα ελληικώ οικοκυριώ, σχετικά με το ύψος τω οφειλώ τους (σε Ευρώ) σε κατααλωτικά δάεια Οφειλές σε κλάσεις [-) v f % 0-5000 50 5000-0000 0000-5000 500 5000-0000 0000-5000 Σύολο Α ισχύου: ) Το πλήθος τω οικοκυριώ που οφείλου μέχρι 5000 ατιστοιχεί στο κυκλικό διάγραμμα σε κυκλικό τομέα γωίας 6 ) Η συχότητα v 5 είαι ίση με τη μέγιστη τιμή της συάρτησης f, με 45 ( f ( ) e 5), 0 ) Το 5% τω οικοκυριώ οφείλει τουλάχιστο 000, τότε: α) Να συμπληρώσετε το παραπάω πίακα β) Να βρείτε τη διάμεσο τω οφειλώ γ) Το ποσοστό τω οικοκυριώ που οφείλου τουλάχιστο 9000 αλλά το πολύ 7000

4 Τα ημερήσια έξοδα 0 μαθητώ, σε Ευρώ είαι: 0, 50,, 7, 45, 0, 0 4, 7, 0, με 5 7, α) Να βρείτε το πραγματικό αριθμό για το οποίο η μέση τιμή τω εξόδω τω μαθητώ γίεται ελάχιστη β) Για = α υπολογίσετε: ) Τη μέση τιμή τω εξόδω ) Τη διάμεσο τω εξόδω ) Τη τυπική απόκλιση τω εξόδω v) Τη μεταβολή του συτελεστή μεταβολής τω ημερήσιω εξόδω τω μαθητώ α αυτά αυξηθού κατά 0% 5 Έστω Α, Β εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με A, B Ø, A B Ø και η συάρτηση και P η συάρτηση πιθαότητας που ορίζεται στο δειγματικό χώρο Ω Δίεται επίσης η συάρτηση f με τύπο f ( ) P( A P( A, R που παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 και f ( ) 0 για κάθε R α) Να εξετάσετε α A B β) Να αποδείξετε ότι P( A P( γ) Ποιος ο συτελεστής μεταβολής του δείγματος τω τιμώ t, t, t της μεταβλητής Τ με μέση τιμή t 0P( και τυπική απόκλιση S P( A Είαι το δείγμα ομοιογεές; 6 Δίεται η συάρτηση g με τύπο: 5, 0 8, 4 g ( ), 4 6 0, 6 0 που η γραφική της παράσταση είαι το πολύγωο συχοτήτω της βαθμολογίας στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ μιας ομάδας φοιτητώ ομαδοποιημέη σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους α) Να υπολογίσετε το μέγεθος του δείγματος καθώς και τη μέση τιμή της βαθμολογίας τω φοιτητώ β) Α επιλέξουμε τυχαία έα φοιτητή, ποια η πιθαότητα α έχει γράψει βαθμό τουλάχιστο 4,5; γ) Α ο καθηγητής αυξήσει τη βαθμολογία κάθε φοιτητή κατά 0,0 μοάδες, α βρείτε το ποσοστό τω φοιτητώ που θα περάσου το μάθημα, λόγω της αύξησης αυτής δ) Α η τυπική απόκλιση της αρχικής βαθμολογίας είαι S, α ελέγξετε α ο καθηγητής μπορεί α κάει το δείγμα ομοιογεές αυξάοτας τη βαθμολογία κάθε φοιτητή (Θεωρήστε σα βάση της βαθμολογίας το 5)

7 Έστω t, t, t οι τιμές μιας μεταβλητής εός δείγματος μεγέθους Θεωρούμε τη συάρτηση f ( ) [( t ) ( t ) ( t ) ] α) Να δείξετε ότι: S f ( ), όπου β) Α ισχύει f ( ) 006, α βρείτε το άθροισμα: t γ) Α t S η διασπορά και η μέση τιμή τω τιμώ της 608, α δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 0, f (0) A είαι: y ( S ) 006 8 Εξετάζουμε έα δείγμα ως προς τη ηλικία Η καταομή είαι περίπου καοική Α η διάμεσος είαι 0 και το 47,5% του δείγματος έχει ηλικία 0-4 α) Να βρείτε τη μέση τιμή της ηλικίας, τη τυπική απόκλιση και το εύρος του δείγματος β) Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές γ) Μετά από 8 μήες α βρείτε τη μεταβολή του συτελεστή μεταβολής δ) Α οι μαθητές είαι το πολύ μέχρι 8 ετώ, α βρεθεί το μέγεθος του δείγματος 9 Η μέση τιμή τω βαθμώ που πήρα οι 5 μαθητές της Γ τάξης εός Λυκείου στα Μαθηματικά είαι 4, εώ η μέση τιμή τω βαθμώ τω 0 μαθητώ που παρουσίασα τη μικρότερη βαθμολογία είαι α) Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας τω 5 υπολοίπω μαθητώ β) Α το άθροισμα τω τετραγώω τω βαθμώ τω 5 αυτώ μαθητώ είαι 5000, α βρείτε το συτελεστή μεταβολής (CV) 0 Έστω,,,4,5,6 και η συάρτηση ο δειγματικός χώρος της ρίψης εός μη αμερόληπτου ζαριού f : R R με τύπο f ( ) 4, όπου P( ) P() P(5) P() 4P(4) P(6, τότε α βρείτε: P ( ), P(), P(), P(4), P(5), P(6 Α ) α) Τις πιθαότητες ) β) Τις πιθαότητες τω εδεχομέω Α και Β, όπου: Α: «Η έδειξη του ζαριού είαι άρτιος αριθμός» Β: «Η έδειξη του ζαριού είαι περιττός αριθμός» γ) Τη πιθαότητα του εδεχομέου Γ, όπου: Γ: «Η συάρτηση f είαι γησίως αύξουσα στο R» Η μέση τιμή του βάρους τω μαθητώ της τάξης εός λυκείου είαι 60 kg και ο συτελεστής μεταβολής είαι CV=0% Επίσης είαι γωστό ότι v =55680 Να βρείτε: α) Τη τυπική απόκλιση β) Το αριθμό τω μαθητώ της τάξης γ) Το μικρότερο πραγματικό αριθμό λ>0, που πρέπει α προσθέσουμε στο βάρος κάθε μαθητή ώστε το δείγμα α γίει ομοιογεές

4 Δίεται η συάρτηση f ( ) ( P( A)) (7P( A) ) ln P(, με 0και P ( A), P(, οι πιθαότητες τω εδεχομέω Α, Β ατίστοιχα, εός δειγματικού χώρου Ω α) Να βρείτε τη f () β) Α ξέρετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει, για εφαπτομέη παράλληλη στο άξοα ', α βρείτε τη P (A) 55 γ) Α P ( A) και f ( ), α αποδείξετε ότι P ( και ότι τα εδεχόμεα Α, Β δε 6 4 είαι ασυμβίβαστα δ) Δείξτε ότι P ( A (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-00) Μελετήσαμε έα δείγμα 800 οικογεειώ ως προς το πλήθος τω παιδιώ στη οικογέεια Οι 60 οικογέειες έχου παιδιά, το 50% τω οικογεειώ έχου παιδιά, εώ στο κυκλικό διάγραμμα το ποσοστό τω οικογεειώ που έχου παιδί ατιστοιχεί σε γωία 7 α) Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Αριθμός παιδιώ Αριθμός οικογεειώ v Σχετική συχότητα f Επίκετρη γωία ω Αθροιστική συχότητα Ν Σχετ αθροιστ συχ F 0 7 ο 0,50 60 Σύολα 800 60 ο - - β) Επιλέγουμε τυχαία μια οικογέεια Να βρείτε τις πιθαότητες τω εδεχομέω: Α: «Η οικογέεια έχει τουλάχιστο παιδιά» Β: «Η οικογέεια έχει το πολύ παιδιά» γ) Επιλέγουμε τυχαία έα παιδί από τις οικογέειες του δείγματος Μα βρείτε τις πιθαότητες τω εδεχομέω: Γ: «Το παιδί έχει μόο έα αδερφό» Δ: «Το παιδί έχει τουλάχιστο έα αδερφό» Ε:: «Το παιδί έχει το πολύ έα αδερφό» 4 Οι ηλικίες t, t, t, μαθητώ ( θετικός ακέραιος) έχου συτελεστή μεταβολής CV 5% Οι ατίστοιχες ηλικίες τω ίδιω μαθητώ πρι έα έτος ακριβώς είχα συτελεστή μεταβολής CV y 6% α) Να βρείτε τη μέση ηλικία και τη τυπική απόκλιση S τω μαθητώ β) Μετά από πόσα έτη οι ηλικίες τω μαθητώ θα αποτελού ομοιογεές δείγμα; γ) Α t t t v 676, α αποδείξετε ότι v=00 δ) Η ηλικία εός μαθητή από λάθος μετρήθηκε 7 ατί της πραγματικής 5 έτη Ποια η πραγματική διασπορά τω ηλικιώ του δείγματος; 4

5 Σε έα αγώα Μαραθωίου οι 90 από τους 00 αθλητές που συμμετέχου, κάου τη διαδρομή (4 χλμ) σε χρόο μεταξύ 0 και 70 λεπτώ Η καταομή τω χρόω είαι περίπου καοική α) Να βρείτε το μέσο χρόο και τη τυπική απόκλιση του χρόου β) Να βρεθεί το ποσοστό τω αθλητώ που θα κάου χρόο από 0 έως 50 λεπτά γ) Να βρεθεί το ποσοστό τω αθλητώ που θα κάου χρόο από ώρες έως 60 λεπτά 6 Δίεται η συάρτηση f ( ) 9 a a, όπου a R α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει έα τοπικό μέγιστο και έα τοπικό ελάχιστο β) Να βρείτε τη τιμή του α, ώστε το τοπικό μέγιστο α είαι τριπλάσιο του τοπικού ελαχίστου γ) Να βρείτε, α υπάρχει, τιμή του για τη οποία ο ρυθμός μεταβολής της f α είαι ελάχιστος δ) Α g μια παραγωγίσιμη συάρτηση στο R για τη οποία ισχύει g( ) f βρεθεί η 4 g 7 Ο διπλαός πίακας δείχει τη καταομή τω τιμώ 00 αυτοκιήτω σε χιλιάδες Ευρώ μιας ατιπροσωπείας μεταχειρισμέω αυτοκιήτω α) Α η μέση τιμή είαι 6 χιλ ευρώ, α συμπληρώσετε το πίακα β) Να βρείτε το εύρος,τη διάμεσο, και τη τυπική απόκλιση τω τιμώ α Τιμές f % 4 40 6 8 0 0 Σύολο γ) Ποια θα είαι η έα μέση τιμή και τυπική απόκλιση α γίει έκπτωση 0% και πρόσθεση εξόδω μεταβίβασης που είαι 500 ευρώ για κάθε αυτοκίητο; δ) Πόσα ευρώ πρέπει α αυξήσουμε τις τιμές κάθε αυτοκιήτου ώστε το έο δείγμα α γίει ομοιογεές; 5 8 Έστω δειγματικός χώρος Ω και Α, Β δύο ξέα μεταξύ τους εδεχόμεα με Ρ(Β)>0 και η συάρτηση P( ) f ( ) P( ) P( ) 007, R α) Να βρείτε τη παράγωγο της f β) Να αποδείξετε ότι f ( ) P( ) γ) Να αποδείξετε ότι η f είαι γησίως αύξουσα δ) Δείξτε ότι η εφαπτομέη της f στο σημείο y P( ) P( ), είαι παράλληλη προς τη ευθεία 5

9 Οι τιμές της απώλειας βάρους, σε κιλά, 60 ατόμω, τα οποία ακολούθησα έα πρόγραμμα αδυατίσματος, έχου ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφαίζοται στο παρακάτω πίακα: 6 ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Γ Να αποδείξετε ότι το πλάτος c κάθε κλάσης είαι ίσο με 4 Γ Αφού μεταφέρετε στο τετράδιό σας το παραπάω πίακα σωστά συμπληρωμέο, α υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση s Γ Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογε ές Γ4 Α κάθε άτομο έχει τη ίδια πιθαότητα α επιλεγεί, α υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχομέου Α: «η απώλεια βάρους εός ατόμου που επιλέχθηκε τυχαία α είαι από 7 μέχρι και 4 κιλά» Δίεται ο τύπος s ΣΕ ΚΙΛΑ [0 - ) 0 [ - ) 6 40 [ - ) 45 [ - ) 0 [ - ) 5 ΣΥΝΟΛΟ 60 k k 0 Έστω t, t,,t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους, που έχου μέση τιμή και τυπική απόκλιση s f(t) = t 00s Θεωρούμε επίσης τη συάρτηση - tr και s 0 Δ Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f είαι γησίως αύξουσα Δ Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συάρτησης f γίεται ελάχιστος για t = και α βρείτε τη ελάχιστη τιμή του Δ Α f (0)=, α υπολογίσετε το συτελεστή μεταβολής CV τω παραπάω παρατηρήσεω και α εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές Δ4 Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή τω αριθμώ f (t ), f (t ),, f (t ) είαι ίση με 00 6