Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 7-73, sala C2, tel: 264-4267 Str. Baritiu 26-28, sala C4, tel: 264-22368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca
PID - Tehnica fundamentală a controlului automat
Introducere Un sistem de control automat este proiectat pentru a genera un semnal de comandă care să corecteze comportamentul unui proces astfel încât să aducă ieşirea procesului la o valoare dorită numită referinţă. Perturbatie referinta r(t) eroare e(t) Regulator comanda u(t) Proces + element de executie iesire c(t) Traductor
Exemplu Sistemul de control a temperaturii într-o casă: Procesul - casa, Iesirea procesului - temperatura Referinţă - temperatura dorită în casă, Traductor/Senzor - Termocuplu care măsoară temperatura Regulator - termostat Semnalul de comandă - semnalul trimis spre aparatul de aer condiţionat Elementul de execuţie - aparatul de aer condiţionat Perturbaţie - sursă aleatoare de căldură
Algoritmul PID PID (proportional-integrator-derivator) este algoritmul de control cel mau mult utilizat în automatizări industriale (95 %). t de(t) u(t) = K P e(t)+k I e(τ)dτ +K D dt u(t) - semnalul de comandă e(t) - eroarea = diferenţa între referinţă şi măsură K P - constanta de proporţionalitate K I - constanta de integrare K D - constanta de derivare
Regulatoare PID industriale - exemplu
Regulator PID Ieşirea regulatorului PID ca funcţie de timp: u(t) = K P e(t)+k I t e(τ)dτ +K D de(t) dt
Regulator PID Funcţia de transfer a unui regulator PID (ideal) G PID (s) = U(s) E(s) = K P +K I s +K Ds
Efectul termenilor PID Se consideră un sistem în buclă închisă, cu un proces cu funcţia de transfer G(s) şi un regulator PID. r(t) referinta e(t) Regulator G PID (s) u(t) semnal de comanda Proces c(t) Pentru fiecare termen P, I şi D, se analizează: eroarea e(t) şi semnalul de comandă u(t) ieşirea procesului c(t)
Acţiunea P K D =, K I =. Ieşirea regulatorului P este: u(t) = K P e(t) şi funcţia de transfer: G P (s) = K P 2.5 Error Control signal 6 4 Error Control signal 2.5 5 5 2 25 3 time 2 5 5 2 25 3 time.8.6 Output.5 Output.4.2.5 5 5 2 25 3 time 5 5 2 25 3 time Figure: (stânga) K P = 2, (dreapta) K P = 5
Acţiunea P Se observă: eroarea staţionară descreşte cu creşterea constantei K P răspunsul sistemului devine mai oscilant cu creşterea constantei K P
Acţiunea I K D =. Ieşirea regulatorului PI este: u(t) = K P e(t)+ t e(τ)dτ şi funcţia de transfer: G PI (s) = K P + K I s.5 Error Control signal 3 2 Error Control signal.5.5 5 5 2 25 3 time 5 5 2 25 3 time.5 Output 2.5 Output.5.5 5 5 2 25 3 time 5 5 2 25 3 time Figure: Control PI. (stânga) K P =,K I =.5, (dreapta) K P =,K I =
Acţiunea I Se observă: ieşirea procesului este mai rapidă (timp de creştere mai mic), dar este mai oscilantă cu creşterea K I Eroarea staţionară este zero pentru orice valoare a constantei K I Principala funcţie a efectului integrator este anularea erorii staţionare. Un regulator cu acţiune integrală produce un semnald e comandă care creşte chiar şi pentru o eroare mică pozitivă. O eroare negativă va deterina scăderea semnalului de comandă, chiarşi pentru o valoare mică a erorii.
Acţiunea D K I =. Ieşirea regulatorului PD este: u(t) = K P e(t)+k D de(t) dt şi funcţia de transfer: G PI (s) = G PI (s) = K P +K D s Figure: Derivata ca predicţie Acţiunea PD poate fi interpretată: semnalul de comandă este proporţional cu ieşirea prezisă a procesului, unde predicţia se face extrapolând eroarea pe tangenta la curba erorii.
Acţiunea D 3 2 Error Control signal 3 2 Error Control signal 5 5 2 25 3 time 5 5 2 25 3 time.5 Output.5 Output.5.5 5 5 2 25 3 time 5 5 2 25 3 time Figure: PID control. (stânga) K P =,K I =,K D =, (dreapta) K P =,K I =,K D = 3
AcţiuneaD Se observă: eroarea staţionară este zero datorită termenului I suprareglajul descreşte cu creşterea lui K D datorită schimbării bruşte în eroare la timpul iniţial, termenul D are o valoare mare la timpul iniţial şi astfel determină un semnal de comandă foarte mare.
Alte forme ale regulatorului PID Funcţia de transfer a unui regulator PID ideal este: G PID (s) = U(s) E(s) = K P +K I s +K Ds () Expresia de mai sus se poate rearanja: ( G PID (s) = K P + ) T i s +T ds (2) unde parametrii regulatorului sunt: K P constanta de proporţionalitate T i = K I K P timpul (constanta de timp) de integrare T d = K D K P timpul (constanta de timp) de derivare
Alte forme ale regulatorului PID Expresiile anterioare ale unui regulator PID au presupus că un efect D ideal poate fi realizat, dar în realitate acest lucru nu este posibil Un regulator PID real are şi un efect de întârziere inclus în termenul D, sub forma unui element cu funcţia de transfer: unde N are o valoarea mare. G D (s) = T ds T d N s + Funcţia de transfer a unui PID real este: ( ) G PID = K P + T i s + T ds T d N s +
Acordarea regulatoarelor PID Acordare = alegerea constantelor K P, K I, K D astfel încât suma efectelor determină ieşirea procesului să evolueze astfel încât să se elimine eroarea. Pentru un proces lent: u(t) = K P e(t)+k I t e(τ)dτ +K D de(t) dt Daca eroarea se schimbă brusc - termenul D se modifică primul Termenul P menţinea ieşirea regulatorului până când eroarea este eliminată Termenul I contribuie la ieşirea regulatorului când eroarea se acumulează în timp. Poate produce suprareglaj.
Acordarea regulatoarelor PID Trei abordări : Trial-and-error - se bazează pe experienţa. Exemplu: scăderea K I reduce suprareglajul dar reduce şi viteza de variaţie a erorii 2 Abordarea analitică. Daca se cunoaşte modelul matematic al procesului există numeroase metode de acordare a regulatoarelor. 3 Un compromis între abordarea experimentală şi analitică. A fost propusă în 942 de John G. Ziegler şi Nathaniel B. Nichols de la Taylor Instruments.
Acordarea regulatoarelor PID r(t) referinta e(t) Regulator G PID (s) u(t) semnal de comanda Proces c(t) In practică ieşirea unui PID este dat de: [ u(t) = K p e(t)+ t ] de(t) e(τ)dτ +T d T i dt G PID (s) = U(s) ( E(s) = K p + ) T i s +T ds unde: K p = constanta de proporţionalitate, T i = timpul de integrare, T d = timpul de derivare
PID - Metodele Ziegler-Nichols Metoda în buclă închisă r(t) setpoint K p u(t) controller output Plant c(t) Se setează T i =, şi T d =. Se creşte K p de la la o valoare critică K unde ieşirea c(t), prezintă oscilaţii întreţinute.
PID - Metodele Ziegler-Nichols Metoda în buclă închisă r(t) perioada critica T iesirea iesirea regulatoruluiprocesului c(t) u(t) t Se determină experimental: K - constanta de proporţionalitate critică T - perioada critică a oscilaţiilor.
PID - Metodele Ziegler-Nichols Metoda în buclă închisă Type of controller K p T i T d P.5K PI.45K /.2T PID.6K.5T.25T
PID - Metodele Ziegler-Nichols Un regulator PID acordat cu metoda ZN rezultă: ( G PID (s) = K p + ) ( T i s +T ds =.6K + ).5T s +.25T s =.75K T (s +4/T o ) 2 s Regulatorul are un pol în origine şi un zero dublu la s = 4/T. Termenul derivator. Dacă ieşirea procesului este afectată de zgomot termenul D poate determina variaţii mari ale comandei (ex. reglarea presiunii şi nivelului)
PID - Metodele Ziegler-Nichols Metoda se poate aplica pentru procese cu model cunoscut r(t) G PID (s) s(s+)(s+5) c(t) Controller T i =, T d =, funcţia de transfer a buclei închise: C(s) R(s) = K p s(s +)(s +5)+K p Cu metoda Routh-Hurwitz se determină valoarea lui K p pentru care sistemul este la limita de stabilitate.
PID - Metodele Ziegler-Nichols Ecuaţia caracteristică: K = 3 ω n = 5, s 3 +6s 2 +5s +K p = (s +)(s 2 +5) = (s +)(s +ω 2 n ) = T = 2π ω n = 2π 5 = 2.8 K p =.6K = 8, T i =.5T =.45, T d =.25T =.35
PID - Metodele Ziegler-Nichols Funcţia de transfer a regulatorului PID: ( G PID (s) = 8 + ).45s +.35s = 6.32(s +.42)2 s Răspunsul la treaptă a sistemului închis:.8.4.6.2 5 Time (sec.) 5
PID - Metodele Ziegler-Nichols Se muta zeroul la.65: Se creşte K p la 39.42: G PID (s) = 3.84(s +.65)2 s G PID (s) = 3.322(s +.65)2 s.4.4.6.6.2.4 2.8 4.2 Time (sec.) 5.6 7.2 2 3 4 Time (sec.) 5 6
PID - Metodele Ziegler-Nichols 2. Metoda în buclă deschisă Se aplică o treaptă la intrarea procesului şi se măsoară ieşirea: Plant constanta de proporţionalitate K, timpul mort L, constanta de timp T.
PID - Metodele Ziegler-Nichols Metoda în buclă deschisă c(t) K tangent line at inflection point L T t Funcţia de transfer a procesului = sistem de ordinul cu timp mort: C(s) U(s) = Ke Ls Ts +
PID - Metodele Ziegler-Nichols Metoda în buclă deschisă Regulatorul PID: Type of controller K p T i T d P T/L PI.9T/L L/.3 PID.2T/L 2L.5L ( G PID (s) = K p + ) T i s +T (s +/L)2 ds =.6T s pol în origine şi un zerou dublu la s = /L.
PID - Metodele Ziegler-Nichols Metodele de acordare Zeigler-Nichols produc un răspuns tranzitoriu oscilant. Regulatorul trebuie acordat fin înainte de a fi pus în funcţiune.