Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Transcript

1 Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu Timpul de lucru efectiv este de ore Simulare 5p Determiați umărul comple z, știid că z + iz = 4 + 5i, ude z este cojugatul lui z 5p Se cosideră fucția f : R R, f ( ) = Determiați valorile reale ale lui petru care ( )( ) f f < 5p Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale ecuaţia + 7 = 5p 4 Calculaţi probabilitatea ca, alegâd o submulțime ditre submulțimile cu două elemete ale A = 0,,,, 4,5, aceasta să coțiă umai umere pare mulțimii { } 5p 5 Se cosideră dreptughiul ABCD cu AB = 8, AD = 4 și puctul M, mijlocul laturii CD Calculați lugimea vectorului v = DC + BM 8 5p 6 Se cosideră E ( ) = si cos, ude este umăr real Arătați că umărul E π 4 este atural 0 0 Se cosideră matricele I = și ( ) 5p a) Arătați că det ( A( ) ) = 5p b) Determiați valorile reale ale lui petru care ( A( ) I ) a + a a a A a = a a a + a, ude a este umăr real 0 0 det 0 5p c) Î reperul cartezia Oy se cosideră puctele Pa ( a a, a a) +, ude a este umăr real Demostrați că petru orice umăr real eul a, puctele P a, P a și O u sut coliiare 0 Se cosideră matricea M ( ) = 0 0, ude este umăr real 0 0 5p a) Demostrați că M ( ) M ( ) M ( 0) 5p b) Calculați iversa matricei M ( ), R 5p c) Arătați că ( ) ( ) ( ) =, petru orice umăr real ( M + M + + M ) = ( ) det, petru orice umăr atural eul Se cosideră fucţia f :(, + ) R, f ( ) ( ) = + ( + ) f 5p a) Calculați lim 0 5p b) Determiați ecuația asimptotei orizotale spre + la graficul fucției f 5p c) Demostrați că șirul ( a ) cu a ( ) ( ) ( ) ( ) = f f f f este descrescător Pagia di

2 Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare ( ) + si + m, Se cosideră fucţia f : R R, f ( ) =, ude m este umăr real, > lim f = 4 5p a) Arătați că ( ) > 5p b) Determiați umărul real m petru care fucţia f este cotiuă pe R 5p c) Petru 5 m =, demostrați că ecuația f ( ) = 0 are cel puți o soluție î itervalul ( 0, ) 4 Pagia di

3 Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 07 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu Timpul de lucru efectiv este de ore Simulare 5p Se cosideră umărul comple z = 4 i Calculați z z z z, ude z este cojugatul lui z 5p Determiați umărul real m, știid că aa O este tagetă graficului fucției f : R R, f ( ) = ( m + ) + m m + 5p Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale ecuaţia ( ) log 5 + log 5 = 5 5p 4 Calculaţi probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulțimea umerelor aturale de trei cifre, acesta să fie multiplu de 5p 5 Se cosideră triughiul ABC, puctul M mijlocul laturii BC și puctul N mijlocul mediaei AM Demostrați că BN = AB + AC 4 4 5p 6 Arătați că, dacă ( si cos ) ( cos si ) π + y + y = 0 și, y 0,, atuci = y Se cosideră determiatul ( ) 5p a) Arătați că ( 0,) = 5p b) Arătați că (, y) ( )( y )( y ) 5p c) Demostrați că umărul ( m, ), y = + y +, ude și y sut umere reale + y + y =, petru orice umere reale și y Se cosideră matricea A( a) 5p a) Calculați A( 0) + A( ) 5p b) Arătați că A( a) A( b) A( ab a b ) 5p c) Arătați că este divizibil cu, petru orice umere îtregi m și a 0 a = 0 0, ude a este umăr real a 0 a = +, petru orice umere reale a și b 5 07 A A A A = A Se cosideră fucţia f :( 0, + ) R, f ( ) 5p a) Arătați că f ( ) = ( + ) + + = ( + ), petru orice ( 0, + ) 5p b) Determiați ecuația asimptotei orizotale spre + la graficul fucției f 5p c) Calculați lim ( f ( ) + f ( ) + f ( ) + + f ( ) ) + 5 Pagia di

4 Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare + + a, 0 Se cosideră fucţia f : R R, f ( ) = 4 e, ude a este umăr real, > 0 e f ( ) 5p a) Calculați lim 5p b) Determiați umărul real a petru care fucţia f este cotiuă î puctul = 0 5p c) Demostrați că, dacă a ( 6, ), atuci ecuația f ( ) = 0 are cel puți două soluții reale disticte î itervalul (, ) Pagia di

5 Miisterul Educaţiei Naţioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 04 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Simulare petru elevii clasei a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu Timpul de lucru efectiv este de ore 5p Calculați z + z, știid că z = + 4i și z este cojugatul umărului comple z 5p Determiați umărul real pozitiv m petru care dreapta = este aă de simetrie a graficului fucţiei f : R R, f ( ) = ( m ) + log = log 5p Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale ecuaţia ( ) 5p 4 Determiaţi câte umere aturale abc, cu a, b şi c eule, au suma cifrelor egală cu 5 5p 5 Se cosideră triughiul ABC şi puctul D astfel îcât DB + DC = 0 Determiaţi umărul real p AD = p AB + AC petru care ( ) 4 5p 6 Calculaţi lugimea razei cercului circumscris triughiului ABC, ştiid că AC = 6 şi cos B = 5 Se cosideră determiatul ( ) 5p a) Calculați D(, ) 5p b) Arătați că D(, y) ( )( y )( y ) D, y = y, ude și y sut umere reale + y + 5 =, petru orice umere reale și y 5p c) Determiați umerele reale petru care ( ) Se cosideră matricea A( ) D,4 = 0 =, ude este umăr real 5p a) Calculați A( ) A( ) 5p b) Demostraţi că A( ) este iversabilă petru orice umăr atural, 5p c) Determiaţi iversa matricei A ( 0) Se cosideră şirul de umere reale ( ) 5p a) Arătați că 5p b) Demostraţi că şirul ( a ) 5p c) Calculaţi lim ( a ) a, + a = a + < petru orice umăr atural eul a + + este mărgiit + a, < Se cosideră fucţia f : R R, f ( ) = 0, =, ude a și b sut umere reale b, > + 5p a) Determiaţi ecuația asimptotei spre + la graficul fucției f 5p b) Determiaţi umerele reale a și b petru care fucţia f este cotiuă pe R 5p c) Petru b =, rezolvaţi î mulţimea (, + ) iecuaţia f ( ) ( )( ) Pagia di Simulare petru elevii clasei a XI-a

6 Miisterul Educaţiei și Cercetării Știițifice Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 05 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu Timpul de lucru efectiv este de ore Simulare 5p Determiați umărul real petru care umerele 5, +, + 7 sut termei cosecutivi ai uei progresii aritmetice 5p Arătați că, petru orice umăr real m, graficul fucției f : R R, f ( ) = + ( m ) m itersectează aa O 5p Rezolvați î mulţimea umerelor reale ecuaţia = 5p 4 Calculați probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea {,,,4,5 }, acesta să verifice relaţia ( ) > + 5! 5p 5 Determiaţi umerele reale a și b, ştiid că, î reperul cartezia Oy, puctul de itersecție a dreptelor ( ) + a + y 4 = 0 și by = este (, ) M a si 5p 6 Arătați că tg + cos = π, petru orice umăr real 0, Se cosideră determiatul D( y) 5p a) Arătaţi că, = y, ude şi y sut umere reale eule y D, 0 = D, y = y y, petru orice umere reale eule şi y y 5p b) Arătaţi că ( ) ( )( )( ) D log, = 0 5p c) Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale ecuaţia ( ) 0 0 Se cosideră matricele I = şi A( a) a = a, ude a este umăr real a 5p a) Arătați că A( ) A( ) = A( ) 5p b) Determiaţi umerele reale a şi b petru care A( a) bi ( A( ) I )( A( ) I ) 5p c) Arătaţi că matricea A( ) este iversabilă petru orice umăr atural Se cosideră fucția f :( 0, + ) R, f ( ) ( ) ( ) ( ) a = f + f + + f + = l + = și şirul de umere reale ( ) 5p a) Determiați ecuația asimptotei orizotale spre + la graficul fucției f 5p b) Arătați că șirul ( a ) 5p c) Calculați lim ( )( a l ) + este crescător + a, Pagia di

7 Se cosideră fucţia f : Miisterul Educaţiei și Cercetării Știițifice Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare + a +, f =, ude a este umăr real + a, > R R, ( ) 5p a) Determiați umerele reale a petru care fucția f este cotiuă î = 5p b) Petru 5p c) Petru ( f f ) a =, calculați lim ( ) ( ) + + a =, arătați că ecuația f ( ) + = 0 are cel puți o soluție î itervalul [,0] Pagia di

8 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 06 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu Timpul de lucru efectiv este de ore 5 5p Arătați că log log06 + 0,065 = 4 5p Determiaţi umărul real m, petru care soluţiile ecuaţiei ( ) relaţia + = 5p Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale ecuaţia = 0 Simulare m 4 + m = 0 verifică 5p 4 Calculaţi probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea { 0,,,, 9}, acesta să fie soluţie a f =, ude f : R R, f ( ) = + 4 ecuaţiei ( ) 0 5p 5 Se cosideră triughiul ABC cu AB = AC = 6 şi m( A ) = 0 Calculaţi lugimea vectorului AC AB π 5p 6 Arătați că si ( a + b) =, știid că a, b 0,, a b și si a + cos a = si b + cos b Se cosideră determiatul (, y) y y 5p a) Calculați (,0 ) 5p b) Demostrați că (, y) ( y)( y y ) =, ude și y sut umere reale = +, petru orice umere reale și y, 8 y = 5p c) Determiați umerele îtregi disticte și y, știid că ( y) Se cosideră matricea A( ) 5p a) Calculați A( ) A( 0) 5p b) Determiați iversa matricei A ( ) = 0, ude este umăr atural 0 0 5p c) Demostrați că, dacă A( ) A( ) = A( p), atuci = 0 și p = Se cosideră fucţia f :( 0, + ) R, f ( ) ( ) = f l +, = şi şirul de umere reale ( ) 5p a) Determiați ecuația asimptotei orizotale spre + la graficul fucției f 5p b) Demostrați că şirul ( ) este descrescător 5p c) Demostrați că l < l, petru orice umăr atural, Pagia di

9 5p Se cosideră fucţia f : a) Calculați lim f ( ) Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare 8 + 7, < R R, f ( ) = 4 +, ude a este umăr real a, 5p b) Determiați umărul real a, petru care fucţia f este cotiuă î puctul = 5p c) Petru a =, calculaţi > ( f ( ) ) l lim Pagia di