Analiza sistemelor liniare şi continue

Transcript

1 Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 71-73, sala C21, tel: Str. Baritiu 26-28, sala C14, tel: Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca

2 Factorul static de amplificare al unui sistem stabil Factorul static de amplificare (DC gain), K DC, al unui sistem este raportul între valoarea ieşirii sistemului în regim staţionar şi valoarea intrării în regim staţionar input output of H 1 (s) output of H 2 (s) input output of H 1 (s) output of H 2 (s) t (sec) t (sec) H 1 (s): K DC = 0.5/1 = 0.5 H 2 (s): K DC = 1/1 = 1 H 1 (s): K DC = 1/2 = 0.5 H 2 (s): K DC = 3/2 = 1.5

3 Factorul static de amplificare al unui sistem stabil Pentru orice intrare treaptă r(t) = A, ieşirea este: C(s) = H(s) A s Valoarea ieşirii în regim staţionar este: c( ) = lim t c(t) = lim s 0 sc(s) = lim s 0 sh(s) A s = A lim s 0 H(s) Factorul static de amplificare: K DC = c( ) A = lim s 0 H(s)

4 Factorul static de amplificare. Exemplu Se consideră un sistem cu funcţia de transfer: H(s) = s +10 (s +2)(s +4)(s 2 +s +5) Factorul static de amplificare este: s +10 K DC = lim s 0 (s +2)(s +4)(s 2 +s +5) = = 1 4 = 0.25 Dacă intrarea este o treaptă unitară r(t) = 1, valoarea ieşirii în regim staţionar va fi: c( ) = K DC = 0.25 Dacă intrarea este un semnal constant r(t) = 5, valoarea ieşirii în regim staţionar este: c( ) = = 1.25

5 Adăugarea unui zero Se consideră un sistem cu funcţia de transfer H(s). Răspunsul la treaptă al sistemului este: c(t) = L 1 [C(s)] = L 1 [ H(s) s Se adaugă un zero la a şi se împarte funcţia de transfer cu a (K DC a noului sistem este nemodificat): H z (s) = s +a H(s) = s a a H(s)+H(s) Răspunsul la treaptă al sistemului H z (s) este: [ 1 ( s ) ] c z (t) = L 1 s a H(s)+H(s) = 1 aċ(t)+c(t) ] Dacă a este mic 1/a este mare răspunsul la treaptă a lui H z (s) va creşte cu cantitatea 1/a ẏ(t). Adăugarea unui zero creşterea suprareglajului.

6 Adăugarea unui zero. Exemplu Se consideră un sistem cu funcţia de transfer: 1 Sistem 1: H 1 (s) = s 2 +s +1 Adăugam un zero la 1 şi obţinem: Sistem 2: H 2 (s) = s +1 s 2 +s +1 Sistem1 : fără zerouri; Sistem 2: un zero la step response of H 1 step response of H t (sec)

7 Adăugarea unui zero. Exemplu Adăugam un zero la -10 (şi împărţim funcţia de transfer cu 10 pentru a menţine K D C) Sistem 3: H 3 (s) = 0.1(s +10) s 2 +s +1 Sistem 1; Sistem 2: cu zero la -1; Sistem 3: cu zero la step response of H 1 step response of H 2 step response of H t (sec)

8 Sisteme de ordin mai mare Se consideră un sistem H(s), cu o intrare treaptă unitară R(s) = 1/s şi ieşirea C(s). C(s) = H(s)R(s) = H(s) s = K m i=1 (s +z i) s q j=1 (s +p j) r k=1 (s2 +2ζ k ω k s +ωk 2) c(t) = a+ q a j e pjt + j=1 r b k e ζ kω k t sin(ω k 1 ζk 2t +ϕ) k=1 Polii localizaţi departe de axa imaginară jω au părţi reale negative cu valoare absolută mare. Termenii exponenţiali corespunzători acestor poli descresc rapid spre zero. Polii localizaţi aproape de axa imaginară jω corespund termenilor exponenţiali care descresc încet spre zero: poli dominanţi

9 Sisteme de ordin mai mare Exemplu e t sin(20t) e 10t sin(20t) e t e 10t t (sec) e t şi e t sin20t descresc încet e 10t şi e 10t sin20t descresc rapid

10 Poli dominanţi Aproximarea sistemelor utilizând conceptul de poli dominanţi Se consideră un sistem cu funcţia de transfer: H(s) = k(s +a) ( 1 s ω 2 + 2ζ n 2 ω n s +1)(Ts +1) z 1 = a, p 1,2 = ζω n ±jω n 1 ζ 2, p 3 = 1/T. Dacă polul real este localizat departe de axa imaginară polii complecşi sunt dominanţi. Ordinul sistemului se poate reduce neglijând polul real.!!! Funcţia de transfer trebuie înmulţită cu valoarea absolută a constantei de timp sau 1/pol ( acelaşi K DC ).

11 Poli dominanţi. Exemplul 1 H 1 (s) = s +2 (s 2 +2s +2)(s +10) p 1,2 = 1±j: dominant p 3 = 10: se poate neglija. Se împarte funcţia de transfer cu p 3 = 10 şi rezultă: H 2 (s) = 0.1(s +2) s 2 +2s step response of H 1 step response of H t (sec)

12 Poli dominanţi. Exemplul 2 H 1 (s) = 62.5(s + 2.5) (s 2 +6s +25)(s +6.25) p 1,2 = 3±4 j, p 3 = Se neglijează polul real si rezultă: 10(s +2.5) H 2 (s) = s 2 +6s step response of H 1 step response of H t (sec) Răspunsuri diferite!!! (polii sunt prea apropiaţi)

13 Sisteme cu timp mort fuel Furnace L v blower thermometer Un sistem termic. Apa caldă este circulată pentru a menţine constantă temperatura camerei. L - distanţa între cuptor şi elementul de măsură, v - viteza aerului, τ = L/v timp mort Timpul mort este intervalul de timp între începutul unui eveniment într-un punct şi acţiunea rezultată în alt punct din sistem.

14 Sisteme cu timp mort Relaţia între intrarea u(t) şi ieşirea y(t) unui element pur cu timp mort este dată de: y(t) = u(t τ),where τ is the time delay Funcţia de transfer a unui element cu timp mort pur este: H(s) = L[u(t τ)] L[u(t)] = U(s)e sτ U(s) = e sτ Un sistem liniar cu timp mort: m j=0 a j d j u(t τ) dt j = n j=0 unde u(t) este intrarea şi y(t) este ieşirea. b j d j y(t) dt j

15 Sisteme cu timp mort Transformata Laplace a ecuaţiei diferenţiale: m e sτ a j s j L[u(t)] = j=0 n b j s j L[y(t)] j=0 şi funcţia de transfer este: H(s) = e sτ m j=0 a js j n j=0 b js j = e sτy(s) U(s)

16 Aproximarea Padé Se dezvoltă e sτ în serie Taylor: e sτ = 1 τs + 1 2! τ2 s 2 1 3! τ3 s Seria Taylor trunchiată pentru un raport de polinoame este: 1+ατs 1+βτs = 1+(α+β)τs β(α β)τ2 s 2 +β 2 (α β)τ 3 s 3, aproximarea Padé: a) e sτ = τs τs b) e sτ = τs τ2 s τs τ2 s 2

17 Stabilitatea sistemelor liniare

18 Stabilitate. Introducere Stabilitatea este o proprietate a sistemului şi nu depinde de semnalul de intrare. Un sistem este BIBO stabil dacă are o ieşire mărginită pentru o intrare mărginită. Treapta, sin: mărginite. Rampa, impuls: ne-mărginite a b c Figure: a. Stabil, b. La limita de stabilitate. c. Instabil

19 Stabilitatea sistemelor Răspunsul la impuls poate fi utilizate pentru analiza stabilităţii. Un sistem liniar este stabil dacă şi numai dacă valoare absolută a răspunsului la impuls, integrată de la 0 la este finită. Consecinţă: răspunsul la impuls al unui sistem stabil este zero în regim staţionar (t ).

20 Stabilitatea sistemelor Funcţia de transfer a unui sistem: k m i=1 (s +z i) H(s) = C(s) R(s) = Polii pot fi: reali: p j = σ j, s n q j=1 (s +σ j) r k=1 (s2 +2α k s +(α 2 k +ω2 k )) complex conjugaţi p k1,2 = α k ±jω k, pur imaginari cu ordin de multiplicitate n. Răspunsul la impuls este: c(t) = q r A j e pjt + B k ( 1 )e αkt sinω k t ω k j=1 k=1

21 Stabilitatea sistemelor-răspunsul la impuls

22 Stabilitatea sistemelor. Criteriul în planul s Tipul de poli şi contribuţia lor în răspunsul sistemului Poli reali pozitivi (p j ) şi poli complecşi cu partea reală pozitivă (α k ) e p jt sau e α kt sinω k t care cresc spre Poli reali negativi (p j ) şi poli complecşi cu partea reală negativă (α k ) e p jt or e α kt sinω k t tind spre 0 când t. Poli pur imaginari (±jω k ) termen sinusoidal neamortizat Un pol în origine (p j = 0) un termen constant Poli în origine multipli de ordin mai mare decât 1 n > 1 At n 1 care creşte spre Poli pur imaginari multipli de ordin mai mare decât 1 At n cos(ωt +φ) care tind spre infinit când t.

23 Stabilitatea sistemelor. Criteriul în planul s Exemple de sisteme cu poli pe axa imaginară cu ordin de multiplicitate mai mare decât1. H 1 (s) = 1 s 2, H 2(s) = 1 (s 2 +1) 2 H 1 are un pol dublu în origine şi H 2 are două perechi de poli complecşi pur imaginari la ±j Răspunsul la impuls: H 1 (s)=1/s 2 H 2 (s)=1/(s 2 +1) t (sec)

24 Stabilitatea sistemelor. Criteriul în planul s O condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistem să fie stabil este ca toţi polii funcţiei de transfer să aibă partea reală negativă. Un sistem nu este stabil dacă nu toţi polii sunt localizaţi în semiplanul stâng al planului s. Un sistem este la limita de stabilitate dacă are poli pe axa imaginară şi toţi ceilalţi poli sunt în semiplanul stâng al planului s. Un sistem este instabil dacă are cel puţin un pol în semiplanul drept sau poli multipli pe axa imaginară sau în origine.

25 Criteriul în planul s. Exemple Sistem stabil: H 1 (s) = 1 (s +1)(s +2) toţi polii sunt negativi: p 1 = 1 and p 2 = 2. Sistem stabil: H 2 (s) = 1 (s +1)(s 2 +2s +2) toţi polii sunt în semiplanul stâng al planului s: p 1 = 1, p 2,3 = 1±j Sistem la limita de stabilitate: H 3 (s) = 1 s(s +1) un pol în origine p 1 = 0 şi un pol negativ p 2 = 1.

26 Criteriul în planul s. Exemple Sistem la limita de stabilitate: H 3 (s) = 1 s 2 +4 o pereche de poli pe axa imaginară p 1,2 = ±2j. Sistem instabil: H 4 (s) = 1 (s +1)(s +2)(s 1) un pol pozitiv p 1 = 1 şi doi poli negativi p 2 = 1, p 3 = 2. Sistem instabil: H 5 (s) = 1 s 3 (s +1) pol triplu în origine p 1,2,3 = 0 şi un pol negativ p 4 = 1.

27 Criteriul Routh-Hurwitz Criteriul Routh-Hurwitz stabileşte dacă un sistem este stabil sau nu utilizând ecuaţia caracteristică a sistemului. Se scrie ecuaţia caracteristică în forma: q(s) = a n s n +a n 1 s n a 1 s +a 0 = 0 Condiţii necesare Toţi coeficienţii trebuie să aibă acelaşi semn Toţi coeficienţii sunt diferiţi de zero. Sistemul nu este stabil dacă acestea nu sunt îndeplinite. Condiţia suficientă. Se aranjează coeficienţii lui q(s) în tabelul Routh:

28 Criteriul Routh-Hurwitz Tabelul Routh: q(s) = a n s n +a n 1 s n a 1 s +a 0 s n : a n a n 2 a n 4 a n 6.. s n 1 : a n 1 a n 3 a n 5 a n 7.. s n 2 : b 1 b 2 b 3 b 4.. s n 3 : c 1 c 2 c 3 c 4... : : s 2 : e 1 e 2 s 1 : f 1 s 0 : g 1

29 Criteriul Routh-Hurwitz a n a n 2 a n 1 a n 3 b 1 = a n 1 a n a n 4 a n 1 a n 5 b 2 = = a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 = a n 1a n 4 a n a n 5 a n 1 a n 1 Se calculează elementele c,..e, f, g, utilizând acelaşi model din coeficienţii celor două linii anterioare. a n 1 a n 3 b 1 b 2 c 1 = = b 1a n 3 a n 1 b 2 b 1 b 1 a n 1 a n 5 b 1 b 3 c 2 = = b 1a n 5 a n 1 b 3 b 1 b 1

30 Criteriul Routh-Hurwitz Criteriul de stabilitate Routh: Numărul rădăcinilor polinomului caracteristic q(s) cu partea reală pozitivă este egal cu numărul de schimbări de semn din prima coloană a tabelului Routh. s n : a n a n 2 a n 4 a n 6.. s n 1 : a n 1 a n 3 a n 5 a n 7.. s n 2 : b 1 b 2 b 3 b 4... : : s 2 : e 1 e 2 s 1 : f 1 s 0 : g 1 Toţi polii în semiplanul stâng toate elementele din prima coloană au acelaşi semn.

31 Exemplu Se consideră polinomul: s 4 +2s 3 +3s 2 +4s +5 = 0 Se verifică condiţiile necesare. Se întocmeşte Tabelul Routh: s 4 : s 3 : s : 2 = 1 2 = 5 s : 1 = 6 s : 6 = 5 Două schimbări de semn două rădăcini cu partea reală pozitivă. Roots: p 1 = i,p 2 = i,p 3 = i,p 4 = i.

32 Examplu. Caz special Un element egal cu 0 rezultat în tabel se înlocuieşte cu un număr pozitiv mic ǫ şi se evaluează restul tabelului. Tabelul Routh este: s 3 +2s 2 +s +2 = 0 s 3 : 1 1 s 2 : 2 2 s 1 : 0 ǫ s 0 : 2 o pereche de rădăcini pur imaginare. Dacă semnul elementului de deasupra lui zero este diferit de cel al elementului de sub 0, aceasta indică o schimbare de semn.

33 Examplu. Sistem în buclă închisă Determinaţi valorile lui k pentru ca sistemul închis să fie stabil. R(s) k s(s+2)(s 2 +s+1) C(s) Funcţia de transfer a sistemului închis este: C(s) R(s) = Ecuaţia caracteristică: k s(s +2)(s 2 +s +1)+k s 4 +3s 3 +3s 2 +2s +k = 0

34 Examplu. Sistem în buclă închisă Condiţia necesară: k > 0. Restul coeficienţilor sunt pozitivi şi diferiţi de zero. Tabelul Routh: s 4 : 1 3 k s 3 : s 2 : 7/3 k s 1 : 2 9k/7 s 0 : k Pentru stabilitate: toţi coeficienţii din prima coloană trebuie să fie pozitivi: k > 0, and 2 9 k 7 > 0, 0 < k < 14 9 Pentru k = 14/9, sistemul este la limita de stabilitate şi răspunsul este oscilant întreţinut (neamortizat).