Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ Ενότητα: Παράγωγοι και ολοκληρώματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών
Ολοκληρώματα με το πρόγραμμα Maima Αθανάσιος Σταυρακούδης 2 Οκτωβρίου 2 Απλά ολοκληρώματα Σχήμα : Υπολογισμός απλού αόριστου ολοκληρώματος και παράδειγμα ορισμένου ολοκληρώματος.. Ο ορισμός μιας συνάρτησης γίνεται με την εντολή f ():=2*. Προσέξτε το συνδυασμό συμβόλων := που δηλώνει την ανάθεση. Υπενθυμίζεται πως οι εντολές στο Maima τερματίζονται με C TRL+ENTER. 2. Από τη στιγμή που έχει οριστεί μια συνάρτηση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον ορισμό. Για παράδειγμα, μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμά της, f() d = 2. Αυτό γίνεται με την κλήση της διαδικασίας integrate (f(),) η οποία δηλώνει την ολοκλήρωση της συνάρτησης f() ως προς τη μεταβλητή. Το
πρόγραμμα θα αποκριθεί με τη απάντηση 2, δηλαδή το αόριστο ολοκλήρωμα της ποσότητας 2. 3. Εκτός από το αόριστο ολοκλήρωμα, το πρόγραμμα μπορεί να υπολογίσει και ορισμένα ολοκληρώματα, αν του δοθούν τα όρια της ολοκλήρωσης. Για παράδειγμα, η εντολή integrate (f(),,,2) υπολογίζει το ορισμένο ολοκλήρωμα: 2 f()d. το πρόγραμμα αποκρίνεται με την τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος, το 4 (2 2 2 ). 4. Μερικές φορές είναι επιθυμητό να πάρουμε την έκφραση του ολοκληρώματος και όχι την τιμή του. Για να επιτευχθεί κάτι τέτοιο, χρειάζεται απλά η τοποθέτηση ενός απλού εισαγωγικού στην αρχή της εντολής, πχ integrate (f(),,,2), για να ληφθεί ως απάντηση: 2 2 d 5. Υπάρχουν επίσης και πιο προχωρημένες λειτουργίες. Είναι δυνατό να οριστεί μια νέα συνάρτηση με βάση το ολοκλήρωμα της f(). Για παράδειγμα, έστω: g(a) = a f()d. Αυτό μπορεί πολύ εύκολα να γίνει με την εντολή: g(a):=integrate(f(),,,a). 6. Ετσι, για να βρούμε την ποσότητα g(3) = 3 f()d, χρειάζεται απλά η εντολή: g(3). Το πρόγραμμα θα αποκριθεί με το 9, δηλαδή το 3 2 d = 32 2 = 2 Ολες οι εντολές που χρησιμοποιήθηκαν στο παραπάνω παράδειγμα: f():=2*; 2 integrate(f(),); 3 integrate(f(),,,2); 4 integrate(f(),,,2); 5 g(a):=integrate(f(),,,a); 6 g(3); 2 Ολοκληρώματα με άπειρο Εστω η συνάρτηση: f() = e 2 η γραφική παράσταση της οποίας φαίνεται στο σχήμα 2. Για να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: f()d, δίνουμε την εντολή: integrate(f(),,,inf). Το πρόγραμμα θα δώσει την απάντηση: π 2 2. Για να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: f()d, δίνουμε την εντολή: integrate(f(),,,inf). Το πρόγραμμα θα δώσει την απάντηση: π 2 3. Για να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: f()d, δίνουμε την εντολή: integrate(f(),,inf,inf). Το πρόγραμμα θα δώσει την απάντηση:. 2
Σχήμα 2: Γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = e 2 4. Για το γράφημα της συνάρτησης, δόθηκε η εντολή: w plot2d([ep(-**2)], [,-5,5]) Συνοπτικά, οι εντολές που χρησιμοποιήθηκαν είναι: f():=ep(-^2); 2 integrate(f(),,,inf); 3 integrate(f(),,inf,inf); 4 wplot2d([ep(-^2)], [,-5,5]); Το περιβάλλον εργασίας Maima φαίνεται στο σχήμα 3 Σχήμα 3: Υπολογισμός ολοκληρώματος με όρια στο άπειρο. 3
3 Ασκήσεις Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:. + d 2. 2 + d 3. ( ) d cos ( 2 ) 4. 4 (2 + 3) d 5. b a a d, με b > a > + b ) 6. ( 5 2 + d 7. e ( 5) d 8. ) ( e 2 d 9. π/2 ( ( + cos ( 2 ))) d. ( sin ) d. 2 2 + d 2. 4 2 d 3. log( )d 4. + d 5. 2 d 4
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης. «Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Παράγωγοι και ολοκληρώματα». Έκδοση:.. Ιωάννινα 24. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=66. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4. [] ή μεταγενέστερη. [] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4./.