ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΛΟΓΩ ΔΙΝΩΝ Γ. Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦYΛΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ
Διατύπωση των εξισώσεων Θεωρούμε κύλινδρο διαμέτρου D, μήκους l, και μάζας m. Ο κύλινδρος συγκρατειται από ελατήριο με σταθερά K και συντελεστή δομικής απόσβεσης b, και βρίσκεται σε ρεύμα ταχύτητας U. Συμβολίζουμε με ρ την πυκνότητα και με ν την κινηματικη συνεκτικότητα τού ρευστού. Η εξίσωση κινησης του κυλίνδρου κάθετα προς το ρεύμα είναι: m d 2 y d t 2 + b d y d t + Ky = F y () όπου y είναι η μετατόπιση του κυλίνδρου κάθετα προς το ρεύμα, και F y είναι η δύναμη που ασκεί το ρευστό στην κατεύθυνση κάθετα προς το ρεύμα (δυναμική άνωση). Γιά ελεύθερες ταλαντώσεις σε ακίνητο ρευστό με μικρό πλάτος ταλάντωσης, η δύναμη F y μπορεί να θεωρηθεί ίση με την δύναμη σε ιδανικό ρευστό: F y = a l d 2 y dt 2 (2) όπου a είναι η προσθετη μάζα ανά μονάδα μήκους. Ως γνωστόν, γιά κυλινδρο κυκλικής διατομής έχουμε οτι: a = 4 π ρ D 2 (3) Επομένως η εξίσωση κίνησης γιά μικρές ταλαντώσεις σε ακίνητο ρευστό είναι: (m + al) d 2 y d t + b d y + Ky = 0 (4) 2 d t Η εξίσωση (4) είναι εξίσωση απλού γραμμικού ταλαντωτή. Κατα συνέπεια η ιδιοσυχνότητα της κατασκευής γιά αρμονικές ταλαντώσεις σε ακίνητο ρευστό δίνεται από τη σχέση: ω 0 = K m + a l (5) Η κρίσιμη δομική απόσβεση του ταλαντωτή δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 2
b cr = 2 ( m + a l ) ω 0 (6) Η δομική απόσβεση του ταλαντωτή εκφραζεται συνήθως σαν ποσοστό της κρίσιμης απόσβεσης, π.χ. b = 0.0 b cr. 2 Υδροελαστικός συντονισμός Οταν το ρευστό κινείται, παρατηρείται ο σχηματισμός δύο σειρών δινών αντίθετης φοράς στον ομόρρου της κατασκευής (δίνες Von Karman). Γιά ροή από τα αριστερά προς τα δεξιά, δίνες ωρολογιακής φοράς σχηματίζονται στην άνω πλευρά του ομόρρου, και δίνες αντιωρολογιακής φοράς στην κάτω πλευρά. Σχηματική παράσταση των σειρών δινών Von Karman πίσω από κύλινδρο. Το φαινόμενο χαρακτηρίζεται από περιοδικότητα, και πειραματικές μετρήσεις δείχνουν ότι η συχνότητα σχηματισμού δινών ω s δίνεται από τη σχέση: ω s = S U D (7) Οπου S είναι αδιάστατο μεγεθος (αριθμός του Strouhal), που είναι συνάρτηση του αριθμού Reynolds της κατασκευής R = U D/ν. Γιά αριθμούς Reynolds που τυπικά έχουν κατασκευές στην θάλασσα, S 0.2. Ο περιοδικός σχηματισμός δινών οφείλεται σε υδροδυναμική αστάθεια της ροης, και χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι οι δίνες σχηματίζονται εναλλάξ στην πάνω και στην κάτω πλευρά. Αυτό δημιουργεί μία αρμονική δύναμη στην κατασκευή με συχνότητα ω s. Οταν η συχνότητα ω s είναι κοντά στην ιδιοσυχνότητα της κατασκευής ω 0 παρατηρείται το φαινόμενο του υδροελαστικού συντονισμού (strumming). Κατά τον συντονισμό η ταλάντωση της κατασκευής και ο σχηματισμός δινών γίνονται στην ιδια συχνότητα ω, η οποία γενικά δεν είναι ίση με καμμία από 3
τις δύο συχνότητες ω 0, ω s. Αν και το μέγιστο δυνατό πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι μεγάλο (γύρω στην μία διάμετρο της κατασκευής), μπορεί να προκληθεί αστοχία της κατασκευής λόγω κοπώσεως. Οταν έχουμε υδροελαστικό συντονισμό (strumming), η ταλάντωση της κατασκευής είναι αρμονική με κυκλική συχνότητα ω και πλάτος A. y = A sin (ω t) (8) Τα μεγέθη ω, A είναι τα ζητούμενα εν προκειμένω. Λόγω του υδροελαστικού συντονισμού η δύναμη F y μεταβάλλεται επίσης αρμονικά στο χρόνο με την ιδια συχνότητα ω, αλλά όχι και με την ίδια φάση. Μπορούμε να γράψουμε επομένως οτι: F y = F 0 sin (ω t + β) (9) Οπου F 0 είναι το μεγεθος της δύναμης και β η διαφορά φάσης ανάμεσα στην κίνηση της κατασκευής και στην δύναμη που ασκείται στον κύλινδρο. Χρησιμοποιώντας γνωστή τριγωνομετρική σχέση μπορούμε να αναλύσουμε την F y σε μια συνιστώσα που έχει την ίδια φάση με την ταχύτητα του κυλίνδρου, και μια που έχει διαφορά φάσεως 80 o με την επιτάχυνση του κυλίνδρου: F y = F 0 sin (ω t) cos β + F 0 cos (ω t) sin β = = F a sin (ω t) + F v cos (ω t) (0) Οπου τα F a και F v ορίζονται ως εξής: F a = F 0 cos β () F v = F 0 sin β (2) Τωρα ορίζουμε τους ημιεμπειρικούς αδιάστατους συντελεστές C M, C Lv ως εξής: C M = F a alaω 2 (3) 4
C Lv = 2F v ρ U 2 Dl (4) Tα C Lv, C M εξαρτώνται από την αδιάστατη συχνότητα f r και το αδιάστατο πλάτος ταλάντωσης A r. Αναλυτικά τα μεγέθη f r, A r ορίζονται ως εξής: f r = ω D 2 π U (5) A r = A D (6) Οι συντελεστές C Lv, C M προσδιορίζονται σαν συνάρτηση των f r, A r πειραματικά, και δίνονται με την μορφή πινάκων (η γραφημάτων). Με βάση τα ανωτέρω, έχουμε την ακόλουθη έκφραση γιά την δύναμη F y συνθήκες συντονισμού: υπό F y = ( 2 ρ U 2 D C Lv cos (ω t) + C M a A ω 2 sin (ω t) ) l (7) Αντικαθιστουμε τις εξισώσεις (7) και (8) στη εξίσωση (), και εξισώνοντας τους συντελεστές των sin (ω t) και cos (ω t), καταληγουμε στις ακόλουθες δύο εξισώσεις: (m + C M a l) ω 2 = K (8) 2 ρ U 2 D C Lv l = b ω A (9) Οι εξισώσεις (8) και (9) αποτελουν ενα σύστημα δυο αλγεβρικών εξισώσεων με δυο αγνώστους. Το σύστημα μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά. 3 Αδιάστατη μορφή των εξισώσεων Για συστηματικοποίηση των αποτελεσμάτων είναι προτιμώτερο να γράψουμε τις εξισώσεις (8) και (9) σε αδιάστατη μορφή. Ετσι θα περιγράψουμε την ταλάντωση της κατασκευής χρησιμοποιώντας το αδιάστατο πλάτος ταλάντωσης 5
A r (που ορίζεται από την εξίσωση (6)), και τον λόγο συχνότητων ω r, δηλαδή τον λόγο της συχνότητας ταλάντωσης προς την ιδιοσυχνότητα της κατασκευής ω 0 : ω r = ω ω 0 (20) Εξ ορισμού, ο λόγος συχνοτήτων ω r συνδέεται με την αδιάστατη συχνότητα f r με την ακόλουθη σχέση: Οπου U r είναι η αδιάστατη ταχύτητα: f r = ω r U r (2) U r = 2 π U ω 0 D (22) Επιπλέον ορίζουμε τον λόγο μάζας µ και τον αδιάστατο συντελεστή απόσβεσης η ως εξής: µ = m a l (23) η = b 2 ( m + a l ) ω 0 (24) Από φυσικής πλευράς ο λόγος μάζας µ είναι ο λόγος της μάζας του κυλίνδρου προς την εκτοπιζόμενη μάζα ρευστού, και ο αδιάστατος συντελεστής απόσβεσης η είναι ο λόγος του συντελεστή απόσβεσης προς τον κρίσιμο συντελεστή απόσβεσης που ορίζεται από την εξίσωση (6). Με τα αδιάστατα μεγέθη που ορίσαμε οι εξισώσεις (8) και (9) γράφονται ως εξής: ω 2 r = µ + µ + C M (25) 4 π 3 η ( + µ) ω r A r = C Lv U 2 r (26) Για δεδομένα µ και η, χρησιμοποιώντας πειραματικές μετρήσεις γιά τα C M, C Lv μπορούμε να επιλύσουμε τις εξισώσεις (25) και (26) και να πάρουμε τα ω r, A r σαν συνάρτηση της αδιάστατης ταχύτητας U r. 6
4 Απλοποιημένη μορφή των εξισώσεων Πειράματα εχουν δείξει οτι οι ακόλουθες απλοποιητικές παραδοχές μπορούν να χρησιμοποιηθούν με ικανοποιητική προσέγγιση:. Ο συντελεστής C M εξαρταται μονο από την αδιάστατη συχνότητα f r : C M (f r, A r ) C M (f r ) (27) 2. Ο συντελεστής C Lv μεταβάλλεται γραμμικα με το αδιάστατο πλάτος ταλάντωσης A r : C Lv C L0 (f r ) α(f r )A r (28) Οπου οι τιμές των παραμέτρων C M, C L0, α προκύπτουν σαν συνάρτηση της αδιάστατης συχνότητας f r από τα πειραματικα δεδομένα. Με αυτές τις παραδοχές, γιά δεδομένο U r η εξίσωση (25) μπορεί να επιλυθεί γιά να βρεθεί ο λόγος συχνοτήτων ω r, και στη συνέχεια η εξίσωση (26) δίνει εύκολα το αδιάστατο πλάτος ταλάντωσης: A r = C L0 U 2 r 4 π 3 η ( + µ) ω r + α U 2 r (29) Γιά δεδομένη τιμή του U r, η επίλυση της (25) γίνεται αριθμητικά με τα εξής βήματα: Γιά κάθε ζεύγος f r C M από τα πειραματικά δεδομένα, βρίσκουμε την τιμή ω r που προκύπτει από την εξίσωση (2), και υπολογίζουμε την τιμή της παράστασης: = ω 2 r µ + µ + C M (30) Οταν ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό της παραμέτρου (εξίσωση (30)) γιά όλα τα διαθέσιμα ζεύγη f r C M, βλέπουμε ανάμεσα σε ποιές τιμές του f r η αλλαζει προσημο. Με γραμμική παρεμβολή ανάμεσα σε αυτές τις δυο τιμές εκτιμούμε την τιμή του f r γιά την οποία η έκφραση (30) μηδενίζεται. Αυτή είναι η ζητούμενη αδιάστατη συχνότητα. Από την εξίσωση (2) βρίσκουμε την τιμή της ω r. Στην συνέχεια από την τιμή του f r που βρήκαμε, υπολογίζουμε με γραμμική παρεμβολή τις παραμέτρους C L0 και α, και βρίσκουμε το αδιάστατο πλάτος ταλάντωσης A r από την (29). Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία γιά ολες τις τιμές της U r που επιθυμούμε. 7
5 Παράδειγμα Οπως και στο πρόβλημα που θα επιλύσετε, τα δεδομένα γιά τους συντελεστές C M, C L0 προέρχονται από πειράματα, τα οποία βρίσκονται υπό μορφή πινάκων στο web-site http://users.ntua.gr/gtrian (C M : file cm_s.dat, C L0 : file c0_s.dat), ενω α = (σταθερό) γιά όλες τις συχνότητες. Η γραφική παράσταση των C M, C L0 συναρτήσει της αδιάστατης συχνότητας f r φαίνεται στα σχήματα και 2. C M 3 2.5 2.5 0.5 0-0.5-0 0.05 0. 0.5 0.2 0.25 0.3 0.35 Εικ. : Μεταβολή του C M συναρτήσει του f r. f r C L0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 0.05 0. 0.5 0.2 0.25 0.3 0.35 Εικ. 2: Μεταβολή του C L0 συναρτήσει του f r. Ακολουθώντας την διαδικασία που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, προκύπτουν τα ακολουθα αποτελέσματα για τις παραμέτρους ω r και A r (εικόνες 3 και 4 αντίστοιχα): 8 f r
ω r.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 22 U r Εικ. 3: Μεταβολή του ω r συναρτήσει του U r. 0.8 0.6 A r 0.4 0.2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 22 Εικ. 4: Μεταβολή του A r συναρτήσει του U r. U r 9