Αποτίµηση υναµικών Χαρακτηριστικών Κτιρίου Ο/Σ από Καταγραφή Σεισµικής ιέγερσης

Αποτίµηση υναµικών Χαρακτηριστικών Κτιρίου Ο/Σ από Καταγραφή Σεισµικής ιέγερσης Τ.Κ.Μακάριος ρ Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., όκιµος Ερευνητής Ι.Τ.Σ.Α.Κ. (makarios@itsak.gr ) Θ.Ν.Σαλονικιός ρ Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., Εντεταλµένος Ερευνητής Ι.Τ.Σ.Α.Κ. (salonikios@itsak.gr) Χ.Ζ. Καρακώστας ρ Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., Κύριος Ερευνητής Ι.Τ.Σ.Α.Κ. (christos@itsak.gr ) Β.Α. Λεκίδης ρ Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., Κύριος Ερευνητής Ι.Τ.Σ.Α.Κ..(lekidis@itsak.gr ) I.Ι. Σους ρ Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., όκιµος Ερευνητής Ι.Τ.Σ.Α.Κ. (sous@itsak.gr ) Α.Ι. Αναστασιάδης ρ Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., Κύριος Ερευνητής Ι.Τ.Σ.Α.Κ. (anastas@itsak.gr ) Λέξεις κλειδιά: Ενοργάνωση κτιρίου, σεισµική διέγερση, ανάλυση Fourier, FFT, PSD ιδιοσυχνότητες. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται εφαρµογή από την ενοργάνωση του κτιρίου του ηµαρχείου στην Κόρινθο µε δίκτυο επιταχυνσιοµέτρων. Κατά την περίοδο λειτουργίας της ενοργάνωσης καταγράφηκε σεισµική δόνηση από το ειδικό δίκτυο ενοργάνωσης. Οι καταγραφές αυτές χρησιµοποιήθηκαν για την πειραµατική εύρεση των δυναµικών χαρακτηριστικών του κτιρίου. Παρουσιάζεται η µεθοδολογία επεξεργασίας των καταγραφών και τα αντίστοιχα αποτελέσµατα που προέκυψαν από αυτή, όπως είναι οι ιδιοσυχνότητες, οι ιδιοπερίοδοι και οι ιδιοµορφές του κτιρίου. Τα χαρακτηριστικά αυτά αξιοποιήθηκαν για τη βελτίωση του αναλυτικού προσοµοιώµατος του κτιρίου και τη βαθµονόµηση παραµέτρων για τις οποίες δεν είναι σαφής η επιρροή τους. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η καταγραφή της απόκρισης κατασκευών εξαιτίας εξωτερικών διεγέρσεων είναι ένας κλάδος της επιστήµης του Πολιτικού Μηχανικού µε ραγδαία εξέλιξη τα τελευταία χρόνια. Πράγµατι συχνά σήµερα, εκτός από τις αναλυτικές µεθόδους ανάλυσης των κατασκευών, εφαρµόζονται παράλληλα και πειραµατικές µεθοδολογίες εύρεσης των δυναµικών χαρακτηριστικών των κατασκευών. Για παράδειγµα, στην περίπτωση που πρέπει να προσδιοριστούν τα δυναµικά χαρακτηριστικά µιας υφιστάµενης κατασκευής (π.χ. για έλεγχο, για αξιολόγηση ή για αποτίµηση της φέρουσας αντισεισµικής ικανότητάς της) υπάρχει το πρόβληµα της επάρκειας και τεκµηρίωσης των δεδοµένων της κατασκευής. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα, το προσοµοίωµα της κατασκευής να έχει πολλές εγγενείς αβεβαιότητες που οφείλονται τόσο στην έλλειψη γνώσης των πραγµατικών δεδοµένων της κατασκευής (άγνωστες λεπτοµέρειες όπλισης των διατοµών, άγνωστες σηµερινές τιµές διαρροής και αστοχίας των υλικών της κατασκευής, αποκλίσεις από την εγκεκριµένη µελέτη, άγνωστες εδαφικές συνθήκες θεµελίωσης κ.τ.λ), όσο και σε άλλες παραµέτρους που δεν είναι δυνατόν να προσοµοιωθούν µε επαρκή ακρίβεια. Συνεπώς, η εκτέλεση κατάλληλου πειράµατος 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 1

επάνω στην ίδια την κατασκευή συχνά αποτελεί µονόδροµο. Είναι λοιπόν δυνατό να ενοργανωθεί κατάλληλα µία κατασκευή και στη συνέχεια να προκληθεί µία τεχνητή αλλά ελεγχόµενη ταλάντωση αυτής, ή να αναµένουµε την εµφάνιση µιας µέτριας (ή ισχυρής) σεισµικής δόνησης, ώστε να καταγραφεί η απόκρισή της σε χαρακτηριστικά σηµεία της. Από την επεξεργασία του καταγεγραµµένου σήµατος είναι δυνατόν να εκτιµηθούν πολλά από τα πραγµατικά δυναµικά χαρακτηριστικά της κατασκευής ενώ παράλληλα είναι δυνατή η βελτιστοποίηση του προσοµοιώµατος αυτής µε την κατάλληλη τροποποίηση των µη-τεκµηριωµένων δεδοµένων της. Για την επεξεργασία των καταγεγραµµένων σηµάτων απόκρισης ή διέγερσης -που για τους αντισεισµικούς ελέγχους των κατασκευών είναι χρονοϊστορίες µετακινήσεων, ταχυτήτων και επιταχύνσεων µετρούµενων σε χαρακτηριστικά σηµεία αυτών - προσφεύγουµε στην «θεωρία επεξεργασίας τυχηµατικών δεδοµένων (random data)» που αναπτύχθηκε από τη δεκαετία του 1960 ειδικά για τα λεγόµενα µη-ντετερµινιστικά δεδοµένα (Bendat & Piersol, 1971). Όταν ένα φυσικό φαινόµενο παράγει δεδοµένα που δεν µπορούν να περιγραφούν από ρητή µαθηµατική εξίσωση, διότι κάθε παρατήρηση του ιδίου του φαινοµένου είναι διαφορετική από όλες τις προηγούµενες, τότε τα δεδοµένα αυτά ονοµάζονται τυχηµατικά (random data). Σ αυτά τα µη-ντετερµινιστικά δεδοµένα ανήκουν και οι κινήσεις εδάφους και κατασκευών εξαιτίας ενός σεισµού. Τα δεδοµένα αυτά είναι ενδεδειγµένο να περιγράφονται µε πιθανοτικούς όρους και στατιστικούς µέσους όρους παρά µε τη χρήση ρητών µαθηµατικών εξισώσεων οι οποίες είναι αδύνατο να αποτυπώσουν µε επάρκεια το πραγµατικό φαινόµενο. Για το κλασικό παράδειγµα της δυναµικής των κατασκευών που αναφέρεται στην κίνηση x(t) µιας συγκεκριµένης µάζας, από µια ταλαντούµενη κατασκευή (εξ αιτίας σεισµού, ανέµου, φορτία κυκλοφορίας γεφυρών, επιβολή τεχνητής δυναµικής φόρτισης), χρησιµοποιούνται στοιχεία όπως ο αριθµητικός µέσος x και η τυπική απόκλιση s, η µέση τετραγωνική τιµή (mean square value) Ψ, η θετική ρίζα της µέσης τετραγωνικής τιµής (root mean square value ή rms value), ο µετασχηµατισµός Fourier, η ανάλυση του σήµατος σε σειρές Fourier ή εναλλακτικά ο υπολογισµός των «Fast Fourier Transform (FFT)» και τέλος ο υπολογισµός της Φασµατικής Πυκνότητας Ισχύος γνωστότερου ως «Power Spectral Density (PSD)», που θα συµβολίζεται µε PSD ή G x (f) όπου x είναι τα δεδοµένα και f είναι η συχνότητα εµφάνισης αυτών. Σηµειώνεται τέλος, ότι χρησιµοποιώντας κατάλληλα τα PSD των καταγραφών υπολογίζονται οι ιδιοσυχνότητες, οι ιδιοπεριόδοι και οι πρώτες ιδιοµορφές ταλάντωσης της κατασκευής οι οποίες κατόπιν βοηθούν στην άρση των αβεβαιοτήτων των αριθµητικών προσοµοιωµάτων της κατασκευής και στη βελτίωση τους. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται µια εφαρµογή από την ενοργάνωση του κτιρίου του ηµαρχείου στην Κόρινθο. Κατά την περίοδο ενοργάνωσης συνέβη µία σεισµική δόνηση η οποία καταγράφηκε από το ειδικό δίκτυο επιταχυνσιοµέτρων. Αρχικά γίνεται µια παρουσίαση των θεωρητικών αρχών που διέπουν τη µεθοδολογία αξιοποίησης των καταγραφών, κατόπιν παρουσιάζεται η µεθοδολογία ανάλυσης του σήµατος προκειµένου να προσδιοριστούν πειραµατικά τα δυναµικά χαρακτηριστικά του κτιρίου και τέλος δίδονται οι ιδιοπερίοδοι και ιδιοµορφές του κτιρίου που προσδιορίσθηκαν. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ Θεωρείται ένα µη-ντετερµινιστικό τυχηµατικό σήµα (random data), ut () (σχ.1), που καταγράφηκε στη διάρκεια του χρόνου t και το οποίο µπορεί να είναι µία χρονοϊστορία µετακινήσεων ut () ή ταχυτήτων ut &() ή επιταχύνσεων ut &&() ενός υλικού σηµείου. Το τυχηµατικό αυτό σήµα ut () ψηφιοποιείται σε Ν χρονικά τµήµατα ίσου µήκους h. Θεωρώντας ότι ο χρόνος καταγραφής (record time-length) είναι Tr τότε ισχύει Tr = h. Το χρονικό βήµα h πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να επιτυγχάνεται σχεδόν γραµµική κατανοµή της παραµέτρου ut () µεταξύ δύο διαδοχικών χρονικών στιγµών. Η επιλογή του χρονικού βήµατος h είναι ένας σηµαντικός παράγοντας διότι καθορίζει ταυτόχρονα και µονοσήµαντα τη µέγιστη δυνατή συχνότητα f max που είναι δυνατόν να 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006

ανιχνευτεί από την ανάλυση του σήµατος. Η µέγιστη προσδιοριστέα συχνότητα f max δίδεται από τη σχέση f 1 ( h) max = και ονοµάζεται «yquist frequency» ή «folding frequency». Επιλέγοντας για παράδειγµα χρονικό βήµα ψηφιοποίησης h=0.01sec προκύπτει fmax = 50Hz και άρα η ελάχιστη δυνατή περίοδος που είναι δυνατό να ανιχνευτεί στο δοθέν σήµα είναι T 1 f 1 50 0.0 sec min = max = =. Στη συνέχεια θεωρείται η τιµή n u των δεδοµένων στον διακριτό χρόνο tn = to + n h όπου n = 1,,..., και to είναι η χρονική αφετερία εκκίνησης της ψηφιοποίησης (κατά την ανάλυση του σήµατος συχνά θεωρούµε t o = 0 ). Με τα στοιχεία του σχήµατος 1, ακολουθεί στη συνέχεια ο υπολογισµός των παρακάτω αριθµητικών ποσοτήτων (.1 έως.7). Σχήµα 1. Ψηφιοποίηση σήµατος.1 Υπολογισµός της µέσης αριθµητικής τιµής u. Η µέση αριθµητική τιµή u ορίζεται ως ο µέσος όρος των τιµών u n και δίδεται: 1 = u un n= 1 u = u(to + n h) και n = 1,,..., όπου n. Υπολογισµός της τυπικής απόκλισης s. Η τυπική απόκλιση s δίδεται από την ακόλουθη εξίσωση και συνδυαζόµενη µε τη µέση αριθµητική τιµή παρέχει σηµαντικές πληροφορίες για τις ενεργές (effective) τιµές της εξεταζόµενης παραµέτρου. ( un u) s = () n= 1 1 όπου n = 1,,...,. Για παράδειγµα, αν το σήµα είναι ένα επιταχυνσιόγραµµα καταγεγραµµένο στο επίπεδο θεµελίωσης µιας κατασκευής και η ανάλυση του σήµατος περιοριστεί στη διάρκεια T r της ισχυρής κίνησης τότε χρησιµοποιώντας την µέση αριθµητική τιµή των µέγιστων εδαφικών επιταχύνσεων και την τυπική απόκλιση ορίζεται εύκολα η ενεργός (effective) εδαφική επιτάχυνση (1) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 3

Aeff = α g που είναι ως γνωστόν διαφορετική από την µέγιστη εδαφική επιτάχυνση (PGA) ενώ συνηθίζεται να λαµβάνεται προσεγγιστικά ίση µε A 0.80( PGA).3 Υπολογισµός της µέσης τετραγωνικής τιµής Ψ. eff. Σε ένα διακριτό ψηφιοποιηµένο τυχηµατικό σήµα, η µέση τετραγωνική τιµή Ψ ορίζεται ως ο µέσος όρος των τιµών u n υψωµένων στο τετράγωνο και δίδεται: Ψ 1 u n n= 1 = (3) όπου un = u(to + n h) Σε ένα συνεχές µη-ψηφιοποιηµένο σήµα η µέση τετραγωνική τιµή δίδεται από την ακόλουθη σχέση: Tr 1 Ψ = lim u ( t )dt (4) Tr Tr 0 Η θετική ρίζα της µέσης τετραγωνικής τιµής (rms) συχνά δίδει καλύτερα αποτελέσµατα µέσης τιµής από ό,τι η µέση αριθµητική τιµή u..4 Ο γενικός µετασχηµατισµός Fourier X (f) ή X (f,t r ). Σε ένα διακριτό ψηφιοποιηµένο τυχηµατικό σήµα µε πεπερασµένα χρονικά όρια (π.χ από t o έως T r ) ο γενικός µετασχηµατισµός Fourier γράφεται: Tr ( j π f t) X (f,t r ) = u(t)e dt (5) to όπου j = 1, µε την συνάρτηση u( t ) να είναι ψηφιοποιηµένη σε Ν χρονικά τµήµατα ίσου µήκους h και όταν t o = 0 προκύπτει t n = n h και un = u(t) = u(n h) µε n= 0,1,,..., 1. Σε ένα συνεχές µη-ψηφιοποιηµένο σήµα χωρίς πεπερασµένα χρονικά όρια, ο γενικός µετασχηµατισµός Fourier γράφεται: + ( j π f t) X (f) = u(t)e dt (6) Η τιµή X (f) ή παρακάτω µορφή: X (f,t r ) ονοµάζεται φασµατική τιµή Fourier και µπορεί να γραφεί µε την r r j θ ( f ) X(f,T ) = X(f,T ) e (7) όπου X( f,t r ) είναι ένας θετικός πραγµατικός αριθµός που δηλώνει το µέτρο και την µορφή του φάσµατος Fourier, ενώ το θ (f) δίνει τις γωνίες φάσεων. Ο εκθέτης της εξ.(7), είναι φανταστικός αριθµός αλλά από φυσικής άποψης το µέτρο X( f,t r ) µπορεί να υποκαταστήσει επαρκώς την ακριβή τιµή X (f,t r ) του φάσµατος Fourier χωρίς να χαθούν σηµαντικές πληροφορίες. Στην 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 4

περίπτωση της ελεύθερης ταλάντωσης µε απόσβεση του µονοβάθµιου ταλαντωτή του σχ., η απόκριση ut () της ταλαντούµενης µάζας είναι µία συνεχής συνάρτηση και δίδεται από τον τύπο: όπου Α είναι το µέγιστο πλάτος ταλάντωσης. ( ) -a t ut)=ae ( cosb t (8) Σχήµα. Ελεύθερη ταλάντωση µε απόσβεση ενός µονοβάθµιου ταλαντωτή Στην περίπτωση αυτή το φάσµα Fourier X (f) της συνεχούς συνάρτησης ut () της εξ.(8) στο πεδίο των συχνοτήτων δίδεται από την εξ.(9): j θ ( f ) X(f) = X(f) e (9) και παριστάνεται στο σχ.3, θέτοντας στον οριζόντιο άξονα τις συχνότητες f και στον κατακόρυφο άξονα το µέτρο X( f) του φάσµατος Fourier. Σχήµα 3. Φάσµα Fourier της απόκρισης ενός µονοβάθµιου ταλαντωτή, µε απόσβεση, κατά την ελεύθερη ταλάντωση του..5 Ανάλυση σήµατος σε σειρές Fourier Σε ένα διακριτό ψηφιοποιηµένο τυχηµατικό σήµα µε πεπερασµένα χρονικά όρια (π.χ από 0 έως T r ) η απόκριση ut () µπορεί να δοθεί µέσα από την επόµενη σειρά Fourier που διατυπώνεται σε πεπερασµένους όρους σύµφωνα µε την εξ.(10): ( ) 1 π q t π q t ut () = A o + Aq cos + Bq cos q=1 T (10) r q=1 T r όπου t = n h οι διακριτές χρονικές στιγµές ψηφιοποίησης του σήµατος, n=1,,3,...,, Tr = h είναι ο χρόνος καταγραφής, 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 5

q είναι ενδιάµεσες χρονικές στιγµές, Στις διακριτές χρονικές τιµές t = n h µε n=1,,3,..., η σειρά Fourier γίνεται: ( ) 1 π q n π q n ut () = A o + Aq cos + Bq cos όπου, A = A = u cos (11) q=1 q=1 1 o un είναι η µέση αριθµητική τιµή, n=1 π q n q n n=1 όπου 1 n ( π ) για q= n=1 A = u cos q n n=1 όπου 1 π q n B q = u sin q=1,,..., -1 q=1,,..., -1 Σε ένα συνεχές µη-ψηφιοποιηµένο σύνθετο περιοδικό σήµα µε θεµελιώδη περίοδο T 1, η διατύπωση της σειράς Fourier γίνεται σύµφωνα µε την εξ.(1): όπου a u o o = και f1 n n n 1 bn n a n ( ) u(t)= u + u cos π n f t-θ (1) 1 =, T1 u = a + b, n=1,,3,..., θ = tan, n=1,,3,..., T 1 ( ) n 1 T1 0 o n 1 n n=1 a = u(t) cos π n f t dt, n=0,1,,3,... T 1 ( ) b = u(t) sin π n f t dt, n=0,1,,3,... n 1 T1 0 Η εξ.(1) σηµαίνει ότι ένα τέτοιο σήµα αποτελείται από µια µέση αριθµητική τιµή uo και από αρµονικές συνιστώσες (ηµιτονοειδούς µορφής) που η κάθε µία έχει πλάτος u n και γωνία φάσης θ n. Για παράδειγµα, υποθέτουµε ένα σήµα που παριστάνει µια σύνθετη περιοδική συνάρτηση αποτελούµενη από πέντε ηµιτονοειδή κύµατα µε συχνότητες f 1 f4 = 18Hz και f 5 = 6Hz, f = 10Hz, f 3 = 1Hz, = 4Hz. Ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των παραπάνω πέντε συχνοτήτων αποτελεί την θεµελιώδη συχνότητα f o του σήµατος, δηλαδή είναι f o = Hz και κατά συνέπεια η 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 6

θεµελιώδης περίοδος του σήµατος είναι To = 1 fo = 0.5sec. Αν τώρα το σήµα αναλυθεί σε σειρά Fourier σύµφωνα µε την εξ.(1) τότε όλες οι τιµές u n είναι µηδέν εκτός από τις τιµές που αντιστοιχούν για n= 3, n= 5, n= 6, n= 9 και n = 1 αντίστοιχα διότι (x3=6hz, x5=10hz, x6=1hz, x9=18hz και x1=4 Hz). Στην περίπτωση αυτή, η εξ.(1) χαρακτηρίζεται από ένα διακριτό φάσµα µέγιστων πλατών u n στο πεδίο των συχνοτήτων όπως φαίνεται στο σχ.4. Σχήµα 4. ιακριτό φάσµα Fourier µεγίστων πλατών µιας σύνθετης περιοδικής συνάρτησης..6 Υπολογισµός των «Fast Fourier Transform (FFT)» Η ανάλυση του σήµατος σε σειρές Fourier δεν ενδείκνυται στις περιπτώσεις σηµάτων µε µεγάλο αριθµό δεδοµένων διότι το υπολογιστικό κόστος είναι υψηλό. Εναλλακτικά, µπορεί να γίνει ο υπολογισµός των «Fast Fourier Transform (FFT)» που έχουν την ίδια πρακτική σηµασία µε τις σειρές Fourier. Έτσι, η εξ.(5) µπορεί να γραφεί σε διακριτή µορφή µε σχεδόν ισοδύναµο τρόπο ως εξής: διότι t n = n h. 1 = n n= 0 j π f nh X( f,t r ) h u e (13) Όµως, επειδή ο χρόνος καταγραφής Tr είναι δεδοµένος (αφού ισχύει Tr = h) µπορεί να υπολογιστεί το αντίστροφο του χρόνου καταγραφής που παριστάνει την µικρότερη δυνατή συχνότητα fr = 1 Tr η οποία είναι δυνατόν να ανιχνευτεί στο σήµα. Με άλλα λόγια, όλες οι συχνότητες fi που είναι δυνατόν να ανιχνευτούν θα βρίσκονται στο διάστηµα ( f r,f max), όπου f max είναι η συχνότητα «yquist»: fr fi fmax (14) Χρησιµοποιώντας τις διακριτές συχνότητες για τον υπολογισµό των FFT προκύπτει: k k fk = k fr = = (15) T h r όπου k = 0,1,,..., 1 Στην συνέχεια, εισάγοντας την εξ.(15) στην εξ.(13) προκύπτει το FFT του σήµατος: όπου k 0,1,,..., ( ) 1 1 j kn X( f,t r ) π FFT = = u n e h n= 0 (16) =, διότι για k = εµφανίζεται η µέγιστη προσδιοριστέα συχνότητα «yquist frequency». 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 7

Η γραφική απεικόνιση των FFT γίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστηµα αξόνων, θέτοντας στον οριζόντιο άξονα τις συχνότητες f και στον κατακόρυφο άξονα τον συντελεστή του δηλαδή το µέτρο των FFT..7 Υπολογισµός της Φασµατικής Πυκνότητας Ισχύος (PSD) e jpkn Σε ένα διακριτό ψηφιοποιηµένο τυχηµατικό σήµα µε πεπερασµένα χρονικά όρια (π.χ από 0 έως T r ) µε ήδη γνωστό το µέτρο X( f,t r ) του φάσµατος Fourier, η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος (PSD) ή G x (f) ορίζεται σύµφωνα µε την ακόλουθη εξίσωση: Gx( f) = X ( f, Tr ) (17) T r όπου Tr = h είναι ο χρόνος καταγραφής του σήµατος, Εισάγοντας τις εξ.(13) και εξ.(15) στην εξ.(17) προκύπτει η εξ.(18) που δίδει τον υπολογισµό της Φασµατικής Πυκνότητας Ισχύος (PSD) του σήµατος. ( r ) G ( ), x f = X f T h h G(f)= x u e -j π kn -1 n (18) n=0 Η γραφική απεικόνιση των PSD γίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστηµα αξόνων, θέτοντας στον jpkn οριζόντιο άξονα τις συχνότητες f και στον κατακόρυφο άξονα τον συντελεστή του e, δηλαδή το µέτρο των PSD. Σε ένα συνεχές µη-ψηφιοποιηµένο σήµα, η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος (PSD) δίδεται από την εξ.(19) διά µέσου της µέσης τετραγωνικής τιµής Ψ της εξ.(4): όπου fr G (f)= lim x = 1 T. r Ψ f fr 0 r G x(f)= lim lim u (t, f, f ) dt T 1 1 r r fr 0 fr Tr T r 0 (19), 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΠΟ ΤΗ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Υποθέτουµε ότι ένας J-βάθµιος ταλαντωτής υποβάλλεται σε εδαφική σεισµική διέγερση οπότε και τίθενται σε κίνηση οι µάζες του m 1, m,, u && g(t) m J κατά τις J ελευθερίες κίνησης u 1, u και u J αντίστοιχα. Επίσης, υποθέτουµε ότι έχουν καταγραφεί από επιταχυνσιόµετρα οι χρονοϊστορίες των επιταχύνσεων τόσο στη θεµελίωση του ταλαντωτή όσο και στις J ταλαντούµενες µάζες του (δηλαδή είναι γνωστά J+1 επιταχυνσιογράµµατα u && g(t), u && 1 (t), u && (t),, J u && (t) ). Για τον υπολογισµό των δυναµικών χαρακτηριστικών του συστήµατος ακολουθούνται τα εξής βήµατα υπολογισµού: 1. Υπολογισµός της Φασµατικής Πυκνότητας Ισχύος (PSD) των J+1 καταγεγραµµένων σηµάτων χρησιµοποιώντας την εξ.(18). Εύρεση των συχνοτήτων που αντιστοιχούν στις ακρότατες τιµές των PSD. Τονίζεται ιδιαίτερα ότι πολλές από αυτές τις συχνότητες 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 8

οφείλονται στο συχνοτικό περιεχόµενο της διέγερσης και όχι στις ιδιοµορφές της κατασκευής. Έτσι, απαιτείται απαλοιφή της εξωτερικής διέγερσης.. Οι Φασµατικές Πυκνότητες Ισχύος (PSD) που αναφέρονται στις J ελευθερίες κίνησης του συστήµατος διαιρούνται µε την Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος (PSD) της εδαφικής διέγερσης προκειµένου από τα πρώτα να επιτευχθεί η απαλοιφή της εξωτερικής διέγερσης (ανηγµένα ως προς µοναδιαία βάση). Όµως, κατά την υπόψη διαίρεση ενίοτε αλλοιώνεται το συχνοτικό περιεχόµενο των καταγραφών όταν τύχει ο διαιρέτης, για κάποια συγκεκριµένη συχνότητα, να είναι ένας πολύ µικρός αριθµός, µε αποτέλεσµα στο ανηγµένο PSD να εµφανίζεται ακρότατο για την συχνότητα αυτή χωρίς όµως αυτό να σηµαίνει ότι αντιστοιχεί πραγµατικά σε κάποια ιδιοµορφή του κτιρίου. 3. Συνεπώς, οι πραγµατικές ιδιοσυχνότητες του J-βάθµιου ταλαντωτή είναι οι κοινές συχνότητες για τις οποίες εµφανίζεται ακρότατη τιµή τόσο στις Φασµατικές Πυκνότητες Ισχύος του πρώτου βήµατος όσο και στις ανηγµένες Φασµατικές Πυκνότητες ισχύος (PSD) του δεύτερου βήµατος, ταυτόχρονα. Στη συνέχεια, οι ιδιοπερίοδοι του συστήµατος προκύπτουν µε απλή αντιστροφή των ιδιοσυχνοτήτων, ενώ τονίζεται ιδιαίτερα ότι αναλόγως του συχνοτικού περιεχοµένου της εξωτερικής διέγερσης υπάρχει το ενδεχόµενο να µην αναδειχθούν όλες οι ιδιοσυχνότητες του συστήµατος αλλά µόνο µερικές (κυρίως αυτές που έχουν διεγερθεί). Επίσης, όσο µεγαλύτερος είναι ο χρόνος καταγραφής ενός επιταχυνσιογράµµατος τόσο πιο πολλές ιδιοσυχνότητες δύναται να αναδειχθούν (βλ. εξ.(14)). 4. Αν συµβολίσουµε µε S n,i τις ανηγµένες τιµές των Φασµατικών Πυκνοτήτων Ισχύος για τις J ελευθερίες κίνησης του συστήµατος, όπου n = 1,,3,...,J οι ελευθερίες κίνησης του συστήµατος και i = 1,,3,...,J είναι η εκάστοτε ιδιοµορφή, τότε οι συνιστώσες φ n,i των (i) ιδιοµορφών δίδονται από την εξ.(0). Τα πρόσηµα των ιδιοµορφικών συνιστωσών καθορίζονται από τις γωνίες φάσεων θ (f) των FFT. Σηµειώνεται ότι αν το αρχικό σήµα δεν είναι χρονοϊστορία επιταχύνσεων αλλά είναι χρονοϊστορία ταχυτήτων ή µετακινήσεων η εξ.(0) µπορεί να εφαρµοστεί εξίσου, αφού είναι γνωστό ότι από τη µέγιστη φασµατική επιτάχυνση S a προκύπτει η µέγιστη φασµατική ταχύτητα ως v a Sd = Sa T 4π. επίσης και η µέγιστη φασµατική µετακίνηση ως S n,i φn,i = SJ,i για n = 1,,3,...,J και i = 1,,3,...,J. 0.5 S = S T π καθώς (0) 4 ΕΝΟΡΓΑΝΩΣΗ ΗΜΑΡΧΕΙΟΥ ΚΟΡΙΝΘΟΥ - ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 4.1 Περιγραφή κτιρίου και ενοργάνωσης Το κτίριο του ηµαρχείου Κορίνθου ενοργανώθηκε µε ειδικό φορητό δίκτυο επιταχυνσιογράφων που διαθέτει το ΙΤΣΑΚ. Πρόκειται για σύστηµα ανάλυσης 19bit της εταιρείας Kinemetrics (τύπου PX-3). Το σύστηµα είναι κοινής εκκίνησης και κοινού χρόνου για όλα τα αισθητήρια (common start / common time). ιαθέτει δυνατότητα ρύθµισης, ανεξάρτητα για κάθε αισθητήρα, του επιπέδου διέγερσης (threshold) που θα ενεργοποιήσει το σύστηµα, καθώς και δυνατότητα καθορισµού από τον χρήστη των αισθητήρων εκείνων που µπορούν να προκαλέσουν την ενεργοποίηση. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 9

Ο φέρων οργανισµός του κτιρίου είναι πλαισιακού τύπου, χωρίς τοιχώµατα (πλην των περιµετρικών του υπογείου). Η κάτοψη του κτιρίου είναι ορθογωνική διαστάσεων 3.47x18.38m, ενώ στο εσωτερικό της διαµορφώνεται αίθριο διαστάσεων 6.56 x 4.54 m καθ όλο το ύψος. Οι στάθµες των δαπέδων υπογείου, ισογείου, παταριού, 1 ου, ου ορόφου και δώµατος διαµορφώνονται σε υψόµετρα.70m, +0.51 m, +3.00 m, +6.00 m, +9.10 m και +1.55 m από το επίπεδο του δρόµου (±0.00 m). Στο σχήµα 5 παρουσιάζεται φωτογραφική άποψη του κτιρίου και άποψη της ενοργάνωσης στο υπόγειο του κτιρίου. Μία τυπική κάτοψη του κτιρίου και µία τοµή φαίνονται στο σχήµα 6. Η διάταξη της ενοργάνωσης του κτιρίου φαίνεται στο ίδιο σχήµα. Χρησιµοποιήθηκαν συνολικά 8 αισθητήρες, τοποθετηµένοι ανά δύο σε ορθογωνικές διευθύνσεις στα δάπεδα του υπογείου (αισθητήρες ΒΧ και ΒΥ), του 1 ου ορόφου (1Χ, 1Υ), του ου ορόφου (Χ, Υ) και του δώµατος (ΤΧ, ΤΥ). Στις φωτογραφίες (σχ. 5 & 6) φαίνεται η κεντρική καταγραφική µονάδα στο υπόγειο και οι αισθητήρες στο δάπεδο του ου ορόφου (αισθητήρες Χ και Υ). Σχήµα 5. Φωτογραφική άποψη του κτιρίου και τµήµα της διάταξης ενοργάνωσης στο υπόγειο. Σχήµα 6. Σχηµατική απεικόνιση της ενοργάνωσης και φωτογραφία αισθητήρων στην ανωδοµή. 4. Καταγραφές και αποτελέσµατα από την επεξεργασία τους. Η σεισµική δόνηση που καταγράφηκε, έγινε στις 6/9/003 και φαίνεται στο σχήµα 7. Από τις επιταχύνσεις που καταγράφηκαν υπολογίστηκαν οι ταχύτητες και µετατοπίσεις στις ίδιες θέσεις µέσω του λογισµικού Strong Motion Analyst (SMA) της εταιρείας Kinemetrics. Για τις καταγραφές που συλλέχθηκαν έγινε υπολογισµός των «Fast Fourier Transform» σύµφωνα µε την εξ.(16). Οι αναλύσεις αυτές παρουσιάζονται στα δύο διαγράµµατα του σχ.8, όπου το κάθε ένα αντιστοιχεί σε µία κύρια διεύθυνση του κτιρίου. Επίσης, για κάθε µία καταγραφή έγινε υπολογισµός του διαγράµµατος PSD σύµφωνα µε την εξ.(18), τα οποία και παρουσιάζονται στα σχήµατα 9 και 10, ενώ οι ανηγµένες τιµές αυτών φαίνονται στα σχήµατα 11 και 1. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 10

Σχήµα 7. Καταγεγραµµένες επιταχύνσεις. Σχήµα 8. Σεισµική διέγερση της 6/9/003: Αριστερά FFT καταγραφών κατά τη διεύθυνση Χ και δεξιά FFT καταγραφών κατά τη διεύθυνση Υ του κτιρίου Σχήµα 9. Φασµατικές Πυκνότητες Ισχύος (PSD) των καταγραφών κατά τη Χ διεύθυνση λόγω της σεισµικής διέγερσης της 6/9/003. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 11

Σχήµα 10. Φασµατικές Πυκνότητες Ισχύος (PSD) των καταγραφών κατά τη Υ διεύθυνση λόγω της σεισµικής διέγερσης της 6/9/003. Σχήµα 11. Ανηγµένες τιµές S i των Φασµατικών Πυκνοτήτων Ισχύος (PSD) των καταγραφών κατά τη Χ διεύθυνση λόγω της σεισµικής διέγερσης της 6/9/003. Σχήµα 1. Ανηγµένες τιµές S i των Φασµατικών Πυκνοτήτων Ισχύος (PSD) των καταγραφών κατά τη Υ διεύθυνση λόγω της σεισµικής διέγερσης της 6/9/003. Οι κοινές συχνότητες µεταξύ των σχηµάτων 9 και 11 είναι f=5.73438hz και f=8.007813hz. Επίσης, η µοναδική κοινή συχνότητα µεταξύ των σχηµάτων 10 και 1 είναι η f=4.49188 Hz. Οι τρεις παραπάνω συχνότητες αντιστοιχούν σε τρεις ιδιοµορφές του κτιρίου. Οι ιδιοµορφικές 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 1

συνιστώσες των ορόφων για τις τρεις αυτές ιδιοµορφές προκύπτουν έµµεσα από τα σχήµατα 11 και 1. Πράγµατι, από το σχήµα 11 προκύπτουν οι κάτωθι ανηγµένες τιµές S i : f =5.73438 Hz f =8.007813 Hz Οροφή Β ορ. S 3 =30.5850 = S J S 3 =6.5668 = S J Οροφή Α ορ. S =19.535 S =15.1950 Οροφή Ισογ. S 1 =63.1595 S 1 =6.3044 Ενώ, από το σχ.1 προκύπτουν οι κάτωθι ανηγµένες τιµές S i : f =4.49188 Hz Οροφή Β ορ. S 3 =78.8849 = S J Οροφή Α ορ. S =58.1593 Οροφή Ισογ. S 1 =33.0967 Αναδιατάσσοντας τις τρεις παραπάνω συχνότητες κατά αύξουσα σειρά προκύπτει: Α/Α Ιδιοµορφών Ιδιοσυχνότητες f (Hz) Κυκλικές Ιδιοσυχνότητες ω (rad/sec) Ιδιοπερίοδοι Τ (sec) 1 4.49188 8.5 0.6 5.73438 33.1340 0.1896 3 8.007813 50.3146 0.149 Εφαρµόζοντας την εξ.(0) επί των ανηγµένων τιµών S i των Φασµατικών Πυκνοτήτων Ισχύος (PSD), υπολογίζονται οι µεταφορικές ιδιοµορφικές συνιστώσες στις στάθµες των ορόφων οι οποίες φαίνονται στο σχήµα 13. Σηµειώνεται ότι ο πειραµατικός προσδιορισµός τριών µόνο ιδιοµορφών οφείλεται στο συχνοτικό περιεχόµενο της σεισµικής διέγερσης της 6/9/003, σε συνδυασµό µε τη διάταξη ενοργάνωσης που χρησιµοποιήθηκε. Για τον υπολογισµό, π.χ. των στρεπτικών ιδιοµορφικών συνιστωσών των ορόφων ενός κτιρίου απαιτούνται περισσότερα επιταχυνσιόµετρα κατάλληλα τοποθετηµένα στην περίµετρο των ορόφων του κτιρίου. Σχήµα 13. Οι τρεις πρώτες ιδιοµορφές του κτιρίου, όπως αναδείχθηκαν από τις καταγραφές επιταχύνσεων λόγω της σεισµικής διέγερσης της 6/9/003. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 13

5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία, παρουσιάσθηκε η µεθοδολογία υπολογισµού των δυναµικών χαρακτηριστικών κτιρίου από τις καταγραφές των επιταχύνσεων στις στάθµες των ορόφων καθώς επίσης και στη θεµελίωση. Η ραγδαία ανάπτυξη των µετρητικών και υπολογιστικών ψηφιακών συστηµάτων που έγινε τα τελευταία χρόνια επιτρέπει πλέον την αξιοποίηση τέτοιων καταγραφών µε µαθηµατικές µεθοδολογίες ανάλυσης τυχηµατικού µη-ντετερµινιστικού σήµατος, γνωστές από τη δεκαετία του 1960. Η προτεινόµενη µεθοδολογία µπορεί να αξιοποιηθεί για τον προσδιορισµό των δυναµικών χαρακτηριστικών των κατασκευών, όπως υποδειγµατικά παρουσιάζεται στο κτίριο του ηµαρχείου στην Κόρινθο, στο οποίο κατέστη δυνατός ο υπολογισµός των τριών πρώτων ιδιοµορφών του κτιρίου, µέσω του διατιθέµενου εξοπλισµού του ΙΤΣΑΚ. Από την άλλη µεριά, στην εφαρµογή που παρουσιάσθηκε δεν κατέστη δυνατόν να προσδιοριστούν ιδιοµορφές ανώτερης τάξης (πέραν των τριών πρώτων) λόγω του περιορισµένου αριθµού των διαθέσιµων επιταχυνσιοµέτρων. Τέλος, τονίζεται ιδιαίτερα ότι τόσο το πλήθος των αισθητήρων (επιταχυνσιοµέτρων) που πρέπει να χρησιµοποιηθούν σε κάθε περίπτωση όσο και το πρόγραµµα ενοργάνωσης που θα ακολουθηθεί, πρέπει να προσδιορίζονται από κατάλληλες προκαταρκτικές µελέτες ενοργάνωσης κατασκευών για την βέλτιστη αξιοποίηση των ενόργανων µετρήσεων (Salonikios et all (005), Σαλονικιός κ.α. (005)). 6 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Τµήµα της παρούσας εργασίας χρηµατοδοτήθηκε από τον ΟΑΣΠ µέσω του προγράµµατος «Μελέτη της Επιρροής των Τοπικών Εδαφικών Συνθηκών της Γεωµορφολογίας και της υναµικής Αλληλεπίδρασης Εδάφους-Θεµελίωσης-Ανωδοµής στις Ενόργανες Καταγραφές του Εθνικού ικτύου Επιταχυνσιογράφων» (Συντονισµένο Πρόγραµµα Εφαρµοσµένης Έρευνας ΟΑΣΠ, 000-003, επ. υπευθ. ΙΤΣΑΚ Α. Αναστασιάδης). 7 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Bendat J.S., Piersol A.G. (1971). Random data: Analysis and measurement procedures. John Wiley & Sons, Inc. ew York, USA ( nd edition 1986, 3 rd edition 000). Salonikios T, Makarios T, Sous I, Lekidis V, Karakostas Ch. (005): Design of instrumentation and vibration testing programs of structures through analytical investigations, Proceedings of the Computational Methods and Experimental Measurements XII, Malta, pp 579-588. Σαλονικός Θ., Καρακώστας Χ., Λεκίδης Β., Σους Ι., Μακάριος Τ. (005): ιερεύνηση υναµικής Συµπεριφοράς Κατασκευών µε Ειδικά ίκτυα Ενοργάνωσης. Proceedings of the 5 th ational DT Conference of the Hellenic Society of on Destructive Testing, ovember 18-19, TUA, Athens, Greece (in CD-ROM). 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 14