ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα : [8 μονάδες] (a) [6] O Αντώνης (Α), ο Βασίλης (Β) και ο Γιώργος (Γ) κατηγορούνται για κάποιο αδίκημα. Κατά τη σχετική διερεύνηση, έκαναν τις παρακάτω δηλώσεις: O A είπε: Ο Β είναι ένοχος και ο Γ είναι αθώος. O Β είπε: Αν ο Α είναι ένοχος τότε και ο Γ είναι ένοχος. O Γ είπε: Δεν είμαι ένοχος. Κάποιος από τους άλλους το έκανε, ενδεχομένως και οι δύο. i. Υποθέτοντας ότι όλοι είναι ένοχοι, ποιος είπε ψέματα κατά τη διάρκεια της διερεύνησης; ii. Υποθέτοντας ότι κανείς δεν είπε ψέματα, ποιος είναι αθώος και ποιος ένοχος; (b) [6] Θεωρείστε το σύνολο D όλων των ανθρώπων. Θεωρείστε επίσης τις προτασιακές μορφές A(x,y) = Ο x αγαπά τον y και Μ(x,y) = Ο x μισεί τον y. Χρησιμοποιώντας μεταβλητές ορισμένες στο D καθώς και τις παραπάνω προτασιακές μορφές, εκφράστε τις παρακάτω προτάσεις στον κατηγορηματικό λογισμό: i. Π: Όλοι αγαπούν τους πάντες εκτός από τον εαυτό τους. ii. Π: Καθένας που αγαπά τη Μαρία μισεί όλους όσους η Μαρία αγαπά. (c) [6] Θεωρείστε τα παρακάτω κατηγορήματα, Q(x,y)= x y, R(x)= x 7=, S(x)= x>9. Εάν το πεδίο ορισμού των μεταβλητών είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δώστε (τεκμηριωμένα) την τιμή αληθείας των παρακάτω προτάσεων: i. Π3: y x [S(y) Q(x,y)] ii. Π4: x y [{R(x) S(y)} Q(x,y)] (a) (i) Έστω οι προτάσεις Α = Ο Α είναι ένοχος, B = Ο B είναι ένοχος, Γ = Ο Γ είναι ένοχος. O A είπε: (B Γ), ο Β είπε: ΑΓ, ο Γ είπε: Γ (A B). Εφόσον όλοι είναι ένοχοι, οι προτάσεις Α, Β, Γ είναι αληθείς και επομένως αυτά που είπαν οι Α και Γ είναι ψέματα. (ii) Εφόσον κανείς δεν λέει ψέματα, και οι τρεις προτάσεις που είπαν οι Α, Β, Γ είναι αληθείς. Αν κάνουμε τον πίνακα αληθείας των τριών προτάσεων θα δούμε ότι αυτό συμβαίνει μόνο στην περίπτωση που Β είναι ένοχος είναι και οι άλλοι δύο είναι αθώοι. Α Β Γ B Γ ΑΓ Γ (A B) F F F F T F F F T F T F 3 F T F T T T 4 F T T F T F 5 T F F F F T 6 T F T F T F 7 T T F T F T 8 T T T F T F Από τη γραμμή 8 προκύπτει ποιος λέει την αλήθεια όταν όλοι είναι ένοχοι στο ερώτημα (i) και από τη γραμμή 3 (ότι δηλώνεται είναι αληθές) προκύπτει το ποιος είναι αθώος ή ένοχος στο ερώτημα (ii). (b) (i) x y (Α(x, y) x y). Η πρόταση αυτή διαβάζεται «Δύο άνθρωποι x, y αγαπιούνται αν και μόνο αν είναι διαφορετικοί μεταξύ τους» (άρα αν είναι διαφορετικοί αγαπιούνται, και κανένας δεν αγαπά τον εαυτό του). Σελίδα από 5
Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να διατυπώσει κανείς την εξής πρόταση: x y [Α(x, y) A(x, x)]. Αυτή η πρόταση σημαίνει όλοι αγαπούν τους πάντες και όλοι δεν αγαπούν τον εαυτό τους, η οποία είναι αντίφαση (γιατί εφόσον τους αγαπούν όλους, δεν μπορούν να μην αγαπούν τον εαυτό τους). (ii) x y [Α(x,Μαρία) {(Α(Μαρία, y) Μ( x, y)}]. Αυτή η πρόταση είναι ισοδύναμη με την πρόταση x y [{Α(x,Μαρία) Α(Μαρία, y)} Μ( x, y)] (c) (i) Η Π3 είναι ψευδής, γιατί δεν υπάρχει πραγματικός y που να είναι μεγαλύτερος από όλους τους άλλους πραγματικούς, ακόμα κι αν θεωρούμε ενδεχόμενες τιμές του y που είναι μεγαλύτερες του 9. (ii) Η Π4 είναι αληθής. Για να είναι αυτή η πρόταση ψευδής πρέπει να υπάρχουν x, y τέτοια ώστε η R(x) S(y) ναι είναι αληθής και ταυτόχρονα η Q(x,y) να είναι ψευδής. Δηλαδή, πρέπει να ισχύει ότι x=9, y>9 και x>y. Αυτό όμως είναι άτοπο. Ένας άλλος πιο τυπικός τρόπος απόδειξης είναι ο εξής: x y [{R(x) S(y)} Q(x,y)] x y [ {{R(x) S(y)} Q(x,y)] x y [ R(x) S(y) Q(x,y)] x y [(x 9) (y 9) (x y)] x y [T (x y)] x y [T] T Θέμα : [5 μονάδες] (a) [5] Ποια στοιχεία έχει το σύνολο A X P(A), εάν A = {a, }; (Σημείωση: To X συμβολίζει το καρτεσιανό γινόμενο και το P(A) το δυναμοσύνολο του συνόλου Α). (b) [5] Έστω τα σύνολα B, Γ. Εάν Β Χ Β = Γ Χ Γ, μπορούμε να συνάγουμε ότι Β=Γ; (c) [5] Υπάρχουν 8 διαφορετικά μαθήματα που δίνονται σε ένα εξάμηνο, και κάθε φοιτητής πρέπει να εγγραφεί σε 5 από αυτά. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος φοιτητών έτσι ώστε, ανεξάρτητα με το τι αυτοί θα επιλέξουν, να έχουμε 0 φοιτητές που να έχουν εγγραφεί στα ίδια ακριβώς μαθήματα; (a) (b) Έστω ότι x є Β: x є Β => (x, x) є ΒxΒ. Εφόσον Β Χ Β = Γ Χ Γ, (x, x) є ΓxΓ => x є Γ. Άρα το Β είναι υποσύνολο του Γ. Έστω ότι x є Γ: x є Γ => (x, x) є ΓxΓ => Εφόσον Β Χ Β = Γ Χ Γ, (x, x) є ΒxΒ => x ε Β. Άρα το Γ είναι υποσύνολο του Β. Άρα, Β = Γ. (c) Υπάρχουν C(8,5) = 56 διαφορετικές επιλογές 5 μαθημάτων (περιστερώνες). Για φοιτητές, από την αρχή του περιστερώνα θα υπάρχουν /56 φοιτητές με το ίδιο ακριβώς σύνολο μαθημάτων. Θέλουμε / 56 0 και επομένως = 9 56 + = 505. Θέμα 3: [4 μονάδες] Σελίδα από 5
(a) [7] Αποδείξτε επαγωγικά ότι για κάθε ακέραιο, 4 + = + 3., ισχύει ότι ( i ) (b) [7] Σε ένα γκάλοπ ερωτήθηκαν 60 άνθρωποι για τις προτιμήσεις τους σε σχέση με το φαγητό. Μεταξύ αυτών, 6 προτιμούν πίτσα, 3 μακαρονάδα, και 30 κρέας. Υπάρχουν 4 στους οποίους αρέσει και η πίτσα και η μακαρονάδα, 7 στους οποίους αρέσει η πίτσα και το κρέας, 0 που τους αρέσει η μακαρονάδα και το κρέας, και στους οποίους αρέσουν και τα τρία. Σε πόσους ανθρώπους δεν αρέσει τίποτε απ όλα αυτά; (a) Βάση της επαγωγής: Για =, ( ) ( ) ισχύει. 4 + = 4 + = 4+ = 5= + 3 = + 3 i i, Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι η πρόταση ισχύει για =k, δηλαδή k ( i ) 4 + = k + 3k Επαγωγικό βήμα: Θα δείξω ότι ισχύει για =, δηλαδή: ( ) Πράγματι, 4i+ = ( ) + 3( ). ( 4i+ ) = ( 4i+ ) + 4( ) + = k + 3 4 4= k + 5 7. () k Επίσης, ( ) + 3( ) = ( k + ) + 3k = k + 5 7. () Επομένως, από () και () προκύπτει ότι ( ) Επομένως, για κάθε ακέραιο, 4i+ = ( ) + 3( ). ισχύει ότι ( i ) 4 + = + 3. (b) Έστω Π το σύνολο αυτών που τους αρέσει η πίτσα, Μ το σύνολο αυτών που τους αρέσει η μακαρονάδα και Κ το σύνολο αυτών που τους αρέσει το κρέας. Γνωρίζουμε ότι: Π = 6, Μ = 3, Κ = 30, Π Μ = 4, Π Κ =7, Μ Κ = 0, Π Μ Κ =. Από την αρχή του εγκλεισμού/αποκλεισμού προκύπτει ότι Π U Μ U Κ = Π + Μ + Κ - Π Μ - Π Κ - Μ Κ + Π Μ Κ = 59. Επομένως, αν Χ το σύνολο αυτών που δεν τους αρέσει ούτε η πίτσα, ούτε η μακαρονάδα, ούτε το κρέας, ισχύει ότι Χ = 60 - Π U Μ U Κ = 60-59=. Θέμα 4: [5 μονάδες] (a) [8] Έστω η σχέση R ορισμένη επί του δυναμοσυνόλου P(Α) ενός συνόλου Α ως εξής: X, Y P( A), X, Y R X Y. ( ) Είναι η σχέση R (i) ανακλαστική, (ii) συμμετρική, (iii) μεταβατική; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. (b) [7] Έστω ότι η σχέση S που σχετίζει δύο γράφους F και G αν και μόνο αν ο F είναι υπογράφημα του G. Δείξτε ότι η σχέση S είναι σχέση μερικής διάταξης. Σελίδα 3 από 5
(a) Έστω X =. X P( A). Όμως, X X. Άρα, η σχέση R δεν είναι ανακλαστική. = Επομένως το (, ) Η σχέση R είναι συμμετρική γιατί αν ισχύει ότι X, Y P( A), (, ) τότε ισχύει και ότι X, Y P( A), ( X, Y) R Y X. X X δεν ανήκει στη σχέση R. X Y R X Y, Η σχέση δεν είναι μεταβατική, θα το δείξουμε με αντιπαράδειγμα. Έστω το σύνολο Α={,,3,4}. Έστω τα υποσύνολά του (στοιχεία του P(Α)) X={,}, Y={,3}, Z={3,4}. X Y = {} ( X, Y) R. Επίσης Υ Ζ= {3} ( Y, Z) R. Παρόλο όμως που ( X, Y) R και ( Y, Z) R, το ( Y, Z) R, γιατί Χ Ζ=.. (b) Είναι γιατί έχει την ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική ιδιότητα. Υπενθυμίζεται ότι η σχέση υπογραφήματος μεταξύ δύο γράφων ορίζεται με βάση τη σχέση υποσυνόλου στα σύνολα των κορυφών και των ακμών τους. Επομένως, η σχέση υπογραφήματος είναι σχέση μερικής διάταξης γιατί και η σχέση υποσυνόλου είναι σχέση μερικής διάταξης. Θέμα 5: [5 μονάδες] (a) [7] Από ένα σύνολο 7 ανδρών και 3 γυναικών: i. Πόσες τριμελείς επιτροπές μπορούμε να φτιάξουμε αν η επιτροπή έχει θέση προέδρου, αντιπροέδρου και γραμματέα; ii. Πόσες πενταμελείς επιτροπές μπορούμε να φτιάξουμε αν αυτή πρέπει να αποτελείται από τέσσερεις άνδρες και μία γυναίκα ή τρεις άνδρες και δύο γυναίκες; (b) [8] Δέκα φίλοι, αποφάσισαν να παίξουν ένα αγώνα μπάσκετ. Με πόσους τρόπους μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες των πέντε ατόμων; (a) (i) Εφόσον τα μέλη της επιτροπής έχουν διαφορετικούς ρόλους, μας ενδιαφέρει η σειρά της επιλογής, επομένως ζητούμε το πλήθος των διατάξεων τριών ατόμων από δέκα, δηλαδή P(0,3)= 0!/3! = 70 (ii) Τα μέλη της επιτροπής είναι ισοδύναμα, άρα μας ενδιαφέρει να καταμετρήσουμε συνδυασμούς. Έχουμε C(7,4)xC(3,) τρόπους για να φτιάξουμε επιτροπές με 4 άντρες και γυναίκα και + C(7,3)xC(3,) τρόπους να φτιάξουμε επιτροπές με τρεις άντρες και δύο γυναίκες. Άρα, από τον κανόνα του αθροίσματος, συνολικά C(7,4)xC(3,) + C(7,3)xC(3,) = 0 επιτροπές. (b) Όλα τα μέλη μιας ομάδας είναι ισοδύναμα, οπότε μας ενδιαφέρουν οι συνδυασμοί και όχι η διάταξη. Πρέπει λοιπόν να επιλέξουμε 5 άτομα από τα δέκα και τα υπόλοιπα πέντε από τα πέντε που απομένουν, δηλαδή, C(0,5) x C(5,5) = 5 x = 5. Ωστόσο, τελικά, έχουμε τις μισές από αυτές τις επιλογές, γιατί οι 5 τρόποι που βρήκαμε συμπεριλαμβάνουν δύο φορές την κάθε λύση. Για παράδειγμα, έστω ότι μία από τις επιλεγμένες 5άδες είναι η Α={π, π, π3, π4, π5}. Τότε η άλλη ομάδα είναι η Β={π6, π7, π8, π9, π0}. Στους 5 τρόπους συμπεριλαμβάνεται και η επιλογή των Α={π6, π7, π8, π9, π0} και των υπολοίπων Β={π, π, π3, π4, π5). Οι δύο αυτές λύσεις όμως δεν είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Άρα οι διαφορετικές διαμερίσεις σε ομάδες των 5 ατόμων είναι 5/=6. Θέμα 6: [8 μονάδες] (a) [9] Σε ένα πάρτι, τέσσερα αγόρια και τέσσερα κορίτσια φέρνουν από ένα δώρο το οποίο και θα ανταλλάξουν. Κάθε αγόρι επιλέγει τυχαία ένα κορίτσι και του δίνει το δώρο του. Επίσης, κάθε κορίτσι επιλέγει τυχαία ένα αγόρι και του δίνει το δώρο της. Βρείτε την πιθανότητα κάθε παιδί να πάρει ακριβώς ένα δώρο. Σελίδα 4 από 5
(b) [9] Από τους επισκέπτες που φτάνουν σε ένα μικρό αεροδρόμιο, το 60% χρησιμοποιεί κανονικό αεροπορικό δρομολόγιο, το 30% χρησιμοποιεί ιδιωτικό αεροπλάνο και οι υπόλοιποι νοικιάζουν αεροπλάνο. Για επαγγελματικούς λόγους ταξιδεύει το 50% αυτών που ταξιδεύουν με κανονικό αεροπορικό δρομολόγιο, το 60% αυτών που χρησιμοποιούν ιδιωτικά αεροπλάνα και το 90% αυτών που νοικιάζουν αεροπλάνα. Υποθέστε ότι επιλέγουμε τυχαία έναν άνθρωπο που φτάνει στο αεροδρόμιο αυτό. Ποια είναι η πιθανότητα αυτός ο άνθρωπος: i. Να ταξιδεύει για επαγγελματικούς λόγους. ii. Να ταξιδεύει για επαγγελματικούς λόγους με ιδιωτικό αεροπλάνο. iii. Να έφτασε με ιδιωτικό αεροπλάνο δεδομένου ότι ταξιδεύει για επαγγελματικούς λόγους. (a) Πρέπει να βρούμε με πόσους τρόπους μπορεί να επιτευχθεί το να πάρει κάθε άτομο ακριβώς ένα δώρο, διά το πλήθος όλων των ενδεχόμενων τρόπων κατανομής των δώρων. Τα 4 δώρα των αγοριών μπορούν να πάνε σε 4 διαφορετικά κορίτσια με 4! τρόπους. Ομοίως, τα 4 δώρα των κοριτσιών μπορούν να πάνε σε 4 διαφορετικά αγόρια με 4! τρόπους. Όλες οι δυνατές αναθέσεις δώρων είναι 4 8. Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι 4!4!/ 4 8 = 0.0088. (b) Έστω Β το ενδεχόμενο «ταξιδεύει για επαγγελματικούς λόγους», Μ «ταξιδεύει με κανονικό δρομολόγιο», P «ταξιδεύει με ιδιόκτητο αεροπλάνο», C «Ενοικιάζει αεροπλάνο». i. P(B) = P(B M)P(M) + P(B P)P(P) + P(B C)P(C) = 0.6 x 0.5 + 0.3 x 0.6 + 0. x 0.9 = 0.57 ii. P(B P) = P(B P)P(P)=0.3x0.6 = 0.8 Iii. P(P B) P(B P)P(B)= 0.8/0.57 = 0.358 Θέμα 7: [5 μονάδες] (a) [8] Μπορεί ένας διμερής γράφος να έχει κύκλωμα με περιττό πλήθος ακμών; (b) [7] Είναι οι παρακάτω γράφοι Α, Β ισομορφικοί; Αν ναι, δείξτε τον ισομορφισμό. Αν όχι, εξηγείστε γιατί. (a) Όχι, δεν είναι δυνατόν. Έστω Α, Β τα δύο υποσύνολα κορυφών του διμερούς γράφου. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ας υποθέσουμε ότι το κύκλωμα ξεκινά και καταλήγει σε κορυφή του συνόλου Α. Επειδή ο γράφος είναι διμερής, οι ακμές περιττής τάξης, μας μεταφέρουν από κορυφή του συνόλου Α σε κορυφή του συνόλου Β. Οι ακμές άρτιας τάξης, μας μεταφέρουν από κορυφή του συνόλου Β σε κορυφή του συνόλου Α. Επομένως, ένα κύκλωμα, πρέπει να έχει υποχρεωτικά άρτιο πλήθος ακμών. (b) Όχι, δεν είναι ισομορφικοί. Και οι δύο γράφοι, έχουν ακριβώς μία κορυφή βαθμού τέσσερα. Όμως οι γείτονες του κόμβου αυτού στο γράφο Α έχουν βαθμούς {,, 3, 3}, ενώ στον Β έχουν βαθμούς {,, 3, 3}. Μπορούν ωστόσο να διατυπωθούν και άλλα επιχειρήματα. Για παράδειγμα, ο γράφος A δεν έχει μονοπάτι Hamilto, ενώ ο Β έχει. Σελίδα 5 από 5