Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα

Transcript

1 Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα ) Εξετάστε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής για οποιαδήποτε σύνολα Α,Β,C. Δικαιολογήστε την απάντηση σας Αν A B και B C, τότε Α C έστω Β {α,β,γ}, αφού Α B τότε ένα παράδειγμα του συνόλου Α είναι Α {α,β} αφού Β C τότε μπορούμε να πούμε ότι C { {α,β}, δ}. Από τα προηγούμενα είναι φανερό ότι Α C ) Αν ισχύουν ( A C) ( B C) ( A C) ( B C) δείξτε ότι Α B Από το διάγραμμα Ve : A C A C A C Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το σύνολο Β πρέπει σίγουρα να περιέχει την περιοχή ( τουλάχιστον ) και τουλάχιστον την περιοχή. Οι περιοχές όμως και όπως έχουν σημειωθεί στο διάγραμμα Ve αποτελούν το σύνολο Α άρα το Β θα πρέπει σίγουρα να εμπεριέχει και το σύνολο Α άρα Α Β. 3) Έστω W X και Y Z. Ισχύει πάντα ότι (W Y) ( X Z); Ισχύει πάντα ότι (W Y) ( X Z);

2 α)ισχύει πάντα ότι (W Y) ( X Z)? β)ισχύει πάντα ότι ( W Y ) ( X Z)? Για να εξετάσουμε αν ισχύει πάντα η πρόταση α) αρκεί να εξετάσουμε εάν το σύνολο που προκύπτει από την τομή των W Y και Χ Ζ είναι πάντα κενό. ( W Y) ( X Z) A W Y άρα A ( X Z) ( A X ) ( A Z) (( W Y ) X ) (( W X ) Z) [( W X ) U ( X Y) ( W Z) ( Y Z)] σύμφωνα με την υπόθεση όμως W X, Y Z οπότε το παραπάνω σύνολο είναι κενό όταν όλες οι τομές συνόλων που υπάρχουν στο τελευταίο μέλος της εξίσωσης είναι ίσες με το κενό σύνολο αδύνατο άρα η a ισχύει. β)και πάλι εξετάζουμε την τομή των συνόλων ( W Y ) ( X Z) { }. Θεωρείστε το παρακάτω διάγραμμα Ve. Σε αυτή την περίπτωση η πρόταση β δεν ισχύει. 4) Έστω τρία (οποιαδήποτε) σύνολα A,B,C Δείξτε ότι (Α-Β)-C(A-C)-(B-C) δ.ο (Α-Β)-C (A-C)-(B-C)

3 έστω χ (A-B)-C x A-B και x C x A, x B, x C x A-C, x B x A-C, x B-C x (A-C)-(B-C) 5) Έστω Α,Β δύο σύνολα Εάν ισχύει Α-ΒΒ-Α, τι μπορεί να ειπωθεί για τα Α και Β? εάν Α-ΒΒ-Α τι μπορούμε να πούμε για τα Α,Β έστω χ Α τέτοιο ώστε χ Β τότε χ Α-Β Β-Α από την υπόθεση έχουμε όμως χ Α, χ Β, χ Β, χ Α άρα πρέπει Α-Β { } και Β-Α { } αρα τα Α,Β είναι ίσα. 6) Προσδιορίστε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής. Εξηγήστε σύντομα την απάντησή σας. P(A) {A} P(A) P(A) {A} P(A) Δεν ισχύει γιατί Α P(A) όμως Α P(A)-{A} άρα τα δύο σύνολα δεν περιέχουν τα ίδια στοιχεία. 7) Έστω Α και Β δύο σύνολα. Δείξτε ότι P(A B) P( A) P( B) ή δώστε ένα αντιπαράδειγμα P( A B) P( A) P( B) Έστω Α{α} και Β{β} P ( A B) P({ a, b}) { φ,{a},{b},{a,b}} P(A) {φ,{a}} P(B){ φ,{b} } P(A) P( B) { φ,{ a},{ b}} Άρα P( A B) P( A) P( B) 8) Είναι γνωστό ότι για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο

4 0 A όπου το Α είναι μια σταθερά. Πόσο μεγάλο μπορεί να είναι το Α? Είναι γνωστό ότι για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο ισχύει : 0 A Ζητούμενο είναι το πόσο μεγάλη μπορεί να είναι η σταθερά Α. Παρατηρούμε ότι συναρτηση f() είναι αύξουσα. f() ) ( ) ( ) ( 3 f f f όμως 0 < < άρα f()f() έχουμε λοιπόν για κάθε f()<f(3)< <f()<f(). Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι η f(). Για όμως έχουμε ότι Α< 7 Άρα το Α μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε στο [0,7/). Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς τον αριθμό Α μπορούμε όμως να προσδιορίσουμε ένα άνω όριο γι αυτόν. 9) Δείξτε ότι για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο ) Βάση της επαγωγής

5 για )Βήμα της επαγωγής. Έστω ότι ισχύει για 3) Θα δείξουμε ότι ισχύει για Όμως από την υπόθεση μας Άρα αρκεί να δείξουμε ότι Όμως εφόσον κ τότε άρα < και 0) Έστω ότι το p συμβολίζει την πρόταση «η ύλη είναι ενδιαφέρουσα», το q συμβολίζει την πρόταση «οι ασκήσεις είναι δύσκολες», και ότι το r συμβολίζει την πρόταση «το μάθημα είναι ευχάριστο». Γράψτε την παρακάτω πρόταση σε συμβολική μορφή. Εάν η ύλη δεν είναι ενδιαφέρουσα και οι ασκήσεις δεν είναι δύσκολες, τότε το μάθημα δεν είναι ευχάριστο α) p q β) p q r p q r γ) p q r ( p q) r ( p q) r p q r δ)p<-q ή (p-q) ( q p) ε)(p q) ( p q) ) Μία συγκεκριμένη χώρα κατοικείται μόνο από ανθρώπους που είτε λένε πάντα αλήθεια είτε λένε πάντα ψέματα και που απαντούν σε ερωτήσεις μόνο

6 με ένα «ναι» ή ένα «όχι». Ένας τουρίστας φθάνει σε μια διακλάδωση του δρόμου, όπου το ένα παρακλάδι της οδηγεί στην πρωτεύουσα και το άλλο όχι. Δεν υπάρχει πινακίδα που να υποδεικνύει ποιο παρακλάδι να ακολουθήσει, αλλά υπάρχει ένας κάτοικος, ο κύριος Ζ, ο οποίος στέκεται στη διακλάδωση. Ποια ερώτηση πρέπει να του κάνει ο τουρίστας για να αποφασίσει ποιο παρακλάδι πρέπει να ακολουθήσει? Υπόδειξη : Έστω ότι η p σημαίνει «Ο κύριος Ζ λέει πάντα την αλήθεια» και έστω ότι η q σημαίνει «το αριστερό παρακλάδι οδηγεί στην πρωτεύουσα». Σχηματίστε μια πρόταση Α η οποία να περιέχει τις p και q, τέτοια ώστε η απάντηση του κυρίου Ζ στην ερώτηση «Είναι η Α αληθής» να είναι «ναι», όταν και μόνο όταν η q είναι αληθής. p ο κύριος Ζ λέει πάντα την αλήθεια q Το αριστερό παρακλάδι οδηγεί στην πρωτεύουσα Θέλουμε να ισχύει το εξής : Η απάντηση στην πρόταση Είναι η Α αληθής? να είναι ναι όταν και μόνο όταν η q είναι αληθής. P Q P P Q P Q A( P Q ) ( P Q ) F F T F F F F T T F T T T F F F F F T T F T F T