1 OktwbrÐou 2012
Kwdikìc Maj matoc: 101 (U) 'Etoc didaskalðac: 2012-2013, Qeimerinì Exˆmhno Hmèrec didaskalðac: Deut. - Tet. - Par., 11:00-13:00 Didˆskontec Tm ma 1 o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21, BasÐleioc NestorÐdhc, GrafeÐo: 307, thl. 210-7276304, e-mail: vnestor@math.uoa.gr Tm ma 2 o (AM pou l gei se 3,4,5,6) Amf 23, Le nh Euaggelˆtou-Dˆlla, GrafeÐo: 207, thl. 210-7276375, e-mail: ldalla@math.uoa.gr Tm ma 3 o (AM pou l gei se 7,8,9) Amf 24, MarÐa PapatriantafÔllou, GrafeÐo: 201, thl. 210-7276349, e-mail: mpapatr@math.uoa.gr
IstoselÐda Maj matoc: http://eclass.uoa.gr/courses/math130/
Perigraf Maj matoc: 1 PragmatikoÐ arijmoð 2 AkoloujÐec pragmatik n arijm n 3 Sunart seic 4 Sunèqeia kai ìrio sunart sewn 5 Parˆgwgoc
1. PragmatikoÐ arijmoð: Axiwmatik jemelðwsh twn Pragmatik n arijm n FusikoÐ, Akèraioi kai RhtoÐ arijmoð AxÐwma plhrìthtac 'Uparxh tetragwnik c rðzac 'Arrhtoi arijmoð Akèraio mèroc Puknìthta twn rht n kai twn arr twn stouc pragmatikoôc arijmoôc Klassikèc anisìthtec
RhtoÐ arijmoð Η διαγώνια μέθοδος του Cantor και η «1-1» αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς
'Arrhtoi arijmoð Το σοκ του Πυθαγόρα: Υποτείνουσα ορθογωνίων τριγώνων
'Arrhtoi arijmoð Qrus tom : φ = 1+ 5 2 = 1.6180339887... Gewmetrikˆ prokôptei mèsw thc analogðac: a+b a = a b φ Algebrikˆ prokôptei wc jetik rðza thc exðswshc: x 2 x 1 = 0
'Arrhtoi arijmoð Qrus tom : φ = 1+ 5 2 = 1.6180339887... Gewmetrikˆ prokôptei mèsw thc analogðac: a+b a = a b φ Algebrikˆ prokôptei wc jetik rðza thc exðswshc: x 2 x 1 = 0 Ti ekfrˆzei pragmatikˆ autìc o arijmìc?
'Arrhtoi arijmoð Αρμονία στην αρχιτεκτονική του Παρθενώνα, 438 π.χ.
APEIROSTIKOS LOGISMOS I 'Arrhtoi arijmoð Αρμονία στο έργο του Da Vinci - Vitruvian Man, 1487 μ.χ.
'Arrhtoi arijmoð
'Arrhtoi arijmoð
'Arrhtoi arijmoð
'Arrhtoi arijmoð
'Arrhtoi arijmoð Υπερβατικοί αριθμοί - Ρητή προσέγγιση του π με 999 δεκαδικά ψηφία
2. AkoloujÐec pragmatik n arijm n: SugklÐnousec akoloujðec Monìtonec akoloujðec Kibwtismìc diasthmˆtwn Anadromikèc akoloujðec
AkoloujÐec Ti eðnai mia akoloujða pragmatik n arijm n?
AkoloujÐec Ti eðnai mia akoloujða pragmatik n arijm n? EÐnai mia apeikìnish apì to sônolo N sto R.
AkoloujÐec Ti eðnai mia akoloujða pragmatik n arijm n? EÐnai mia apeikìnish apì to sônolo N sto R. Mèsw tôpou: 1 α n = n n, lim n n n = 1 2 α n = (1 + 1/n) n, lim n (1 + 1/n) n = e = 2,71828... Mèsw anadromik c sqèshc: 1 α n+1 = 1 + α n, n 1, α 1 = 1, lim n α n = φ. 2 Ακολουθία Fibonacci: α n = α n 1 + α n 2, α 0 = 0, α 1 = 1, lim n α n = +, lim n α n+1 α n = φ. AkoloujÐa twn pr twn arijm n: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,...
AkoloujÐec Ti eðnai mia akoloujða pragmatik n arijm n? EÐnai mia apeikìnish apì to sônolo N sto R. Mèsw tôpou: 1 α n = n n, lim n n n = 1 2 α n = (1 + 1/n) n, lim n (1 + 1/n) n = e = 2,71828... Mèsw anadromik c sqèshc: 1 α n+1 = 1 + α n, n 1, α 1 = 1, lim n α n = φ. 2 Ακολουθία Fibonacci: α n = α n 1 + α n 2, α 0 = 0, α 1 = 1, lim n α n = +, lim n α n+1 α n = φ. AkoloujÐa twn pr twn arijm n: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,... Upˆrqei sunˆrthsh anadromikìc tôpoc pou na dðnei thn parapˆnw akoloujða?
AkoloujÐec Φραγμένη - μη συγκλίνουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών απείρων όρων
3. Sunart seic: BasikoÐ orismoð Algebrikèc sunart seic Trigwnometrikèc sunart seic Ekjetik sunˆrthsh
Pragmatikèc sunart seic Γράφημα πολυωνυμικής συνάρτησης 4 ou βαθμού
Pragmatikèc sunart seic Γράφημα τριγωνομετρικής συνάρτησης ημιτόνου sinθ 0 1 1 2π θ
Pragmatikèc sunart seic Γράφημα αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης ημιτόνου arcsinθ π/2 0 1 θ
Pragmatikèc sunart seic Grˆfhma trigwnometrik c sunˆrthshc efaptomènhc tanθ 0 π 2 π θ
Pragmatikèc sunart seic Grˆfhma antðstrofhc trigwnometrik c sunˆrthshc efaptomènhc arctanθ π/2 0 θ π/2
Pragmatikèc sunart seic Γράφημα εκθετικής συνάρτησης για α > 1 y y a x 1 0 x
Pragmatikèc sunart seic Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης για α > 1 y x log a x 0 1 x
Pragmatikèc sunart seic { x, για x Q Η συνάρτηση f (x) = x, για x / Q.
4. 'Orio kai Sunèqeia Sunart sewn: H ènnoia tou orðou sunˆrthshc - Sunèqeia. Arq thc metaforˆc Sunèqeia gnwst n sunart sewn Sunèqeia kai topik sumperiforˆ Je rhma endiˆmeshc tim c 'Uparxh megðsthc kai elaqðsthc tim c gia suneqeðc sunart seic orismènec se kleistˆ diast mata - Monìtonec sunart seic SuneqeÐc kai {1-1} sunart seic AntÐstrofec trigwnometrikèc sunart seic Logarijmik sunˆrthsh
5. Parˆgwgoc: Eisagwg : ParadeÐgmata apì th GewmetrÐa kai th Fusik. H ènnoia thc parag gou Kanìnec parag gishc Parˆgwgoi basik n sunart sewn Je rhma mèshc tim c Je rhma Darboux Krit ria monotonðac sunˆrthshc Krit ria topik n akrotˆtwn Genikeumèno je rhma mèshc tim c Kanìnec De L Hospital Kurtèc kai koðlec sunart seic - ShmeÐa kamp c Melèth sunart sewn
Parˆgwgoc sunˆrthshc Η συνάρτηση f (x) = { sin(1/x), x 0 0, x = 0
Parˆgwgoc sunˆrthshc Η συνάρτηση g(x) = { xsin(1/x), x 0 0, x = 0
Parˆgwgoc sunˆrthshc Η συνάρτηση h(x) = { x 2 sin(1/x), x 0 0, x = 0
Parˆgwgoc sunˆrthshc { x 2, για x Q Η συνάρτηση f (x) = x 2, για x / Q.
BibliografÐa Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας: «Απειροστικός Λογισμός Ι», Εκδόσεις Συμμετρία. Λ. Τσίτσας: «Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός», Εκδόσεις Συμμετρία. M. Spivak: Calculus, Benjamin (κυκλοφορεί σε Ελληνική μετάφραση με τίτλο: «Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.) R. Courant and F. John: Introduction to Calculus and Analysis, Vol. I, Interscience. G. H. Hardy: A Course in Pure Mathematics, Cambridge University Press. S. Salas and E. Hille: Calculus, John Wiley. R. Bartle and D. Sherbert: Introduction to Real Analysis, John Wiley.