Απειροστικός Λογισμός Ι

Transcript

1 Απειροστικός Λογισμός Ι Διδάσκον Τσαγκατάκης Γρηγόρης, Βοηθοί Τρουλλινού Ειρήνη, Καραγιαννάκη Ιουλία, Αϊδίνη Αναστασία, Τζουγκαράκης Αντώνιος, Μπεκιάρης Ηρακλής, Νικοδήμου Βασίλ.-Κλείτος, Κονδυλάκης Γεώργιος,

2 Πληροφορίες για το μάθημα Διαλέξεις Τρίτη 4-6 & Πέμπτη 4-6 ΑΜΦ. Β Φροντιστήριο: Παρασκευή 4-6 ΑΜΦ. Β Ώρες γραφείου: Τρίτη & Πέμπτη 3-4 (B304) Αξιολόγηση μαθήματος Τελική Εξέταση (50%) + Πρόοδος (30%) + Ασκήσεις (20%) Η πρόοδος και οι ασκήσεις υπολογίζονται υποχρεωτικά στον τελικό βαθμό 3 σειρές ασκήσεων και 1 εργαστηριακή άσκηση (χρήση προγραμμάτων όπως Matlab) 2

3 Συγγράμματα Πληροφορίες για το μάθημα "Thomas Απειροστικός λογισμός" των Joel Hass, Chrisopher Heil & Maurice D. Weir. 14 έκδοση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2018 Εγγραφή στην σελίδα του μαθήματος στο elearn Εγγραφή στην λίστα του μαθήματος: με στο: χωρίς subject με κείμενο: subscribe hy110-list 3

4 Επισκόπηση διαλέξεων Συναρτήσεις Όρια συναρτήσεων Συνέχεια Παραγώγιση Εφαρμογές παραγώγων Παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισμένο ολοκλήρωμα συνεχών συναρτήσεων Αριθμητική ολοκλήρωση Αόριστο ολοκλήρωμα Τεχνικές ολοκλήρωσης και γενικευμένα ολοκληρώματα Ακολουθίες & Σειρές Υπερβατικές συναρτήσεις 4

5 Εισαγωγή Είσοδος: x Έξοδος: f x = [ 1,1] 5

6 Τεχνητή Νοημοσύνη (Artificial Intelligence) 6

7 Συναρτήσεις Συνάρτηση y = f(x) x : ανεξάρτητη μεταβλητή y : εξαρτημένη μεταβλητή Gottfried Wilhelm Leibniz Εναλλακτικά z = g(t) { x, f x : x R} f: x y Leonhard Euler

8 Συναρτήσεις Μια συνάρτηση f από το πεδίο ορισμού D στο πεδίο τιμών Y είναι ένα κανόνα που αναθέτει μια μοναδική τιμή f(x) Y για κάθε x D 8

9 Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2, [1, ) f t = 4 3 t, 3 3,, 0 0, g x = x 2 3x, 0 3, [0, ) 9

10 Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων 10

11 Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων y = f(x) x y f(x) x Κριτήριο κατακόρυφης ευθείας (one-to-many) This is NOT OK in a function (many-to-one) But this is OK in a function 11

12 Γραφικές Παραστάσεις Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 στο διάστημα [-2,2] Να παρασταθούν οι συναρτήσεις και εξηγήστε αν είναι γραφικές παραστάσεις του x y = x y 2 = x 2 12

13 Σχεδιασμός γραφικών παραστάσεων 13

14 Διάγραμμα συνδιασποράς 14

15 Τμηματικές συναρτήσεις Η συνάρτηση απόλυτης τιμής x = x, x 0 x, x < 0 f x = x, x < 0 x 2, 0 x 1 1, x > 1 15

16 Τμηματικές συναρτήσεις Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης για τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις 16

17 Συναρτήσεις μέγιστου/ελάχιστου ακεραίου Συνάρτηση μέγιστου ακεραίου: μέγιστος ακέραιος μικρότερος ή ίσος του x 2.5 = 2, 0 = 0, 1.5 = 2 Συνάρτηση ελάχιστου ακεραίου: ελάχιστος ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του x 2.5 = 3, 0 = 0, 1.5 = 1 17

18 Συναρτήσεις μέγιστου/ελάχιστου ακεραίου 18

19 Αύξουσες και Φθίνουσες συναρτήσεις Έστω η συνάρτηση f x ορισμένη σε ένα διάστημα I και x 1, x 2 I Αν f x 2 > f x 1 για κάθε ( ) x 2 > x 1, τότε η f x ονομάζεται αύξουσα στο I Αν f x 2 < f x 1 για κάθε ( ) x 2 > x 1, τότε η f x ονομάζεται φθίνουσα στο I Το I μπορεί να είναι πεπερασμένο (φραγμένο) ή άπειρο (μη φραγμένο) 19

20 Αύξουσες και Φθίνουσες συναρτήσεις Σε πια διαστήματα είναι αύξουσες/φθίνουσες οι παρακάτω συναρτήσεις y = 1 x y = 1 x 20

21 Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Η συνάρτηση y = f(x) είναι Άρτια συνάρτηση του x αν f x = f(x) Περιττή συνάρτηση του x αν f x = f(x) Προέλευση Σχέση με δυνάμεις του x y = x 2, y = x 4 -> άρτιες γιατί ( x) 2 = x 2 y = x 1, y = x 3 -> περιττές γιατί ( x) 3 = x 3 21

22 Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Συμμετρίες Οι άρτιες είναι συμμετρικές ως προς y Οι περιττές είναι συμμετρικές ως προς (0,0) 22

23 Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Παραδείγματα f x = x f x = 3 f x = x 3 + x 23

24 Γραμμικές Συνήθης συναρτήσεις f x = mx + b όπου m (κλίση) και b σταθερές 24

25 Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά 25

26 Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά f x = x 1 f x = x 2 26

27 Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά f x = x 1 2 f x = x 1 3 f x = x 3 2 f x = x

28 Συνήθης συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις p x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n μη αρνητικός ακέραιος (βαθμός) a 0, a 1,., a n πραγματικές σταθερές (συντελεστές) 28

29 Ρητές συναρτήσεις f x = p(x) q(x) Συνήθης συναρτήσεις όπου p(x), q(x) πολυώνυμα 29

30 Συνήθης συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυώνυμα και αλγεβρικές πράξεις 30

31 Συνήθης συναρτήσεις Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 31

32 Εκθετικές συναρτήσεις Συνήθης συναρτήσεις f x = α x όπου a > 0 και a 1 σταθερά, (0, ) 32

33 Συνήθης συναρτήσεις Λογαριθμικές συναρτήσεις f x = log α x όπου a > 0 και a 1 σταθερά (0, ), 33

34 Πράξεις συναρτήσεων Έστω η f x με πεδίο ορισμού D(f) και η g x με πεδίο ορισμού D(g). Για κάθε x D(f) D(g), ορίζουμε τις f + g x = f x + g(x) f g x = f x g x fg x = f x g(x) f f(x) x = όπου g(x) 0 g g(x) cf x = cf x όπου c σταθερa 34

35 Πρόσθεση συναρτήσεων 35

36 Παράδειγμα Έστω οι f x = x και g x = 1 x με πεδία ορισμού D f = [0, ) και D g = (, 1]. Τα κοινά σημεία ορισμού D(f) D g = [0,1] 36

37 Παράδειγμα 37

38 Σύνθετες συναρτήσεις Έστω οι συναρτήσεις f και g, τότε η σύνθετη συνάρτηση f g («f σύνθεση g») ορίζεται ως f g x = f(g x ) με πεδίο ορισμού τους αριθμούς x του πεδίου ορισμού της g για τους οποίους το g x ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. 38

39 Σύνθετες συναρτήσεις Αν το χ ανήκει στο πεδίο ορισμού της g και το g(x) στο πεδίο ορισμού της f, τότε οι f και g μπορούν να συντεθούν 39

40 Παράδειγμα Αν η f x = x + 5 και η g x = x 2 3 f g(x) f g(0) g f(x) Έστω οι f x, g x και h x = 4 x f g(h(x)) 40

41 Μετατόπιση συναρτήσεων Κατακόρυφη μετακίνηση: y = f x + k 41

42 Μετατόπιση συναρτήσεων Οριζόντια μετακίνηση: y = f x + h 42

43 Μετατόπιση συναρτήσεων 43

44 Αλλαγή κλίμακας Για c > 1 y = cf x y = 1 f x c y = f cx επιμηκύνεται κατακόρυφα κατά c συμπιέζεται κατακόρυφα κατά c συμπιέζεται οριζόντια κατά c y = f 1 c x επιμηκύνεται οριζόντια κατά c 44

45 Αλλαγή κλίμακας 45

46 Αλλαγή κλίμακας Για c = 1 y = f x y = f x ανάκλαση ως προς άξονα x ανάκλαση ως προς άξονα y 46

47 Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f x : 0,2 [0,1] Να σχεδιαστούν οι 1 1 f x + 1 f x