τηλ ,

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "τηλ ,"

Φώτις Τρικούπη
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μαθηματικά για Χημικούς Σ. Μαλεφάκη Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών 8 Οκτωβρίου 2013

2 Ωρες Μαθήματος 5 ώρες θεωρίας/ ανά εβδομάδα 1 ώρα εργαστήριο/ ανά εβδομάδα (ή 2 ώρες εργαστήριο/ ανά 2 εβδομάδες) Mathematica Minitab Εβδομαδιαίο Πρόγραμμα Τρίτη - Πέμπτη 9:00-11:00 (Θεωρία - ΑΘΕ 10) Παρασκευή 10:00-11:00 (Θεωρία - ΑΘΕ 10) Παρασκευή 11:00-15:00 (Εργαστήριο - Εργαστήριο Πρώην Γενικού Τμήματος)

3 Διδάσκοντες Σ. Μαλεφάκη τηλ γραφείο: Κτήριο Πρώην Γενικού Τμήματος, 1ος όροφος, γραφείο Γ προσωπική σελίδα: Κ. Παπαδάκης τηλ , γραφείο: Παιδαγωγικό κτήριο, 1ος όροφος, γραφείο προσωπική σελίδα: σελίδα μαθήματος στο eclass:

4 Υλη Μαθήματος Διαφορικός Λογισμός συνάρτησης μιας Μεταβλητής Ολοκληρωτικός Λογισμός συνάρτησης μιας Μεταβλητής Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Πίνακες και Γραμμικά Συστήματα Διαφορικός Λογισμός συνάρτησης πολλών Μεταβλητών Ολοκληρωτικός Λογισμός συνάρτησης πολλών Μεταβλητών Εισαγωγή στις Πιθανότητες Στατιστική.

5 Βιβλία Μαθήματος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά & Mathematica, Παπαδάκης Κ. (2012) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Μάρκελλος Β. Β. (2011) Εφαρμοσμένες Πιθανότητες και Στατιστική, Κουτρουβέλης, Ι. Α. (2011)

6 Γιατί τόσα Μαθηματικά; Παράδειγμα 1 o - Πρόβλημα διαλυμάτων Εστω μία δεξαμενή που περιέχει V 0 λίτρα άλμης με α κιλά αλατιού. Ενα δεύτερο διάλυμα με περιεκτικότητα σε αλάτι b kg/lt εισέρχεται στη δεξαμενή με ρυθμό e lt/min. Ταυτόχρονα το καλά αναμειγμένο διάλυμα εκρέει από τη δεξαμενή με ρυθμό f lt/min. Μας ενδιαφέρει να βρούμε την ποσότητα αλατιού στο διάλυμα τη χρονική στιγμή t. Παράδειγμα 2 o - Πρόβλημα περιεκτικότητας χαλκού Γίνονται αναλύσεις σε διάφορα ορυκτά χαλκού μίας περιοχής και υπολογίζεται η % περιεκτικότητα του χαλκού στο δείγμα. Μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε τη μέση % περιεκτικότητα του χαλκού των ορυκτών της περιοχής, το εύρος και τη διασπορά των τιμών της.

7 Περισσότερα προβλήματα Παράδειγμα 3 o - Σύγκριση δύο ή περισσοτέρων μεθόδων Τρία διαφορετικά εργαστήρια αναλύουν ένα ορυκτό και προσδιορίζουν το χαλκό με τη μέθοδο της ατομικής απορρόφησης. Θέλουμε να ελέγξουμε, αν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των αποτελεσμάτων των τριών εργαστηρίων. Παράδειγμα 4 o - Χημικές αντιδράσεις δεύτερης τάξης Σε κάποια είδη χημικών αντιδράσεων που ονομάζονται χημικές αντιδράσεις δεύτερης τάξης, δύο ουσίες αντιδρούν μεταξύ τους και δίνουν μία τρίτη. Αρχικά η συγκέντρωση της πρώτης ουσίας είναι a moles/lt και της δεύτερης ουσίας είναι b moles/lt. Μετά από χρόνο t, x moles από την πρώτη και x moles από τη δεύτερη ουσία έχουν διασπαστεί για να σχηματίσουν x moles από την τρίτη ουσία. Για μία χημική αντίδραση αυτής της μορφής ο ρυθμός μεταβολής του x είναι ανάλογος με το γινόμενο των moles που έχουν απομείνει την χρονική στιγμή t από κάθε μία από τις αρχικές ουσίες. Μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε τη συγκέντρωση της τρίτους ουσίας μετά από χρόνο t. και πολλά άλλα!!!

8 Ας ξεκινήσουμε λοιπόν... Μάθημα 1 o

9 Παράγωγος συνάρτησης μίας μεταβλητής Μία από τις σημαντικότερες έννοιες των Μαθηματικών είναι η παράγωγος η οποία μας δίνει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης. Ορισμός Εστω η συνάρτηση f (x), x R. Το όριο f (x) f (x 0 ) lim, (1) x x 0 x x 0 αν υπάρχει, είναι η παράγωγος της f (x) στο σημείο x 0. Σε περίπτωση που το όριο υπάρχει σε κάθε σημείο του πεδίου της f (x) τότε μιλάμε για την παράγωγο συνάρτηση της f (x), την οποία θα συμβολίζουμε με f (x) ή df dx.

10 Παράγωγος συνάρτησης μίας μεταβλητής Κανόνες Παραγώγισης (f (x) ± g(x)) = (f (x) g(x)) = ( f g(x)) = Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων (f (g(x))) = Παραγώγιση εκθετικής συνάρτησης f (x) = b x Παραγώγιση λογαριθμικής συνάρτησης f (x) = log b x Λογαριθμική παραγώγιση h(x) = f (x) g(x) Παράγωγοι ανώτερης τάξης Δεύτερη παράγωγος της f (x) f (x) ή d 2 f dx 2 n-οστή παράγωγος της f (x) f (n) (x) ή d n f dx n

11 Ασκήσεις 1 Να υπολογιστεί η παράγωγος των συναρτήσεων f (x) = ex + 2 ln x x 2 cosx g(x) = (3x 2 + 5x) 2x 1. 2 Να υπολογιστεί η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f (x) = ln ( x 2 1 ). Homework: Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων f (x) = sin x x f (x) = sin x cos x f (x) = (1 + 2 sin x) cos 2x

12 Αντίστροφη συνάρτηση Εστω μια συνάρτηση f : A B η οποία είναι 1 1. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση f 1 η οποία έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f, σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της f και για κάθε στοιχείο y f (A) αντιστοιχεί μοναδικό x A για το οποίο ισχύει f (x) = y. Άσκηση: Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f (x) = ex e x

13 Η συνάρτηση f (x) = ex e x + 1 και η αντίστροφη της

14 Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης μίας μεταβλητής Αν η y = f (x) είναι παραγωγίσιμη και dy/dx 0 τότε η x = f 1 (y) = g(y) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει Απόδειξη (f 1 (y)) = 1 f (x) Άσκηση: Να υπολογιστεί η παράγωγος της αντίστροφης της συνάρτησης f (x) = ex e x + 1

15 Πεπλεγμένες συναρτήσεις F (x, y) = 0 Παράγωγος πεπλεγμένων συναρτήσεων Ασκήσεις: 1 Υπολογίστε την παράγωγο y της πεπλεγμένης συνάρτησης F (x, y) = cos(2x) + x 3 + y 3 4xy = 0 2 Υπολογίστε τη δεύτερη παράγωγο της πεπλεγμένης συνάρτησης F (x, y) = x 2 y + xy 2 = α 2

16 Άσκηση Υπολογίστε την παράγωγο y της πεπλεγμένης συνάρτησης y 2 = x 2 + sin(xy)

17 Το φύλλο του Καρτέσιου (1638) x 3 + y 3 9xy =

Σχετικά έγγραφα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι