Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 5: Κανονικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Κανονικοί πίνακες (ϕυσιολογικοί τελεστές) εμφανίζονται σε ένα μεγάλο πλήθος σύγχρονων προβλημάτων, τόσο στα θεωρητικά όσο και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Η έντονη χρήση τους αποτυπώνεται στην ύπαρξη 90 περίπου ισοδύναμων ορισμών στη βιβλιογραφία. Στις παραγράφους που ακολουθούν θα εξετάσουμε την έννοια του κανονικού πίνακα αποδεικνύοντας 17 ισοδύναμες συνθήκες κανονικότητας, και μελετώντας τις 3 σημαντικότερες (από τις τουλάχιστον 20) συγγενείς αποστάσεις από την κανονικότητα. Ανάλυση Πινάκων 1 / 39

Η Εννοια του Κανονικού Πίνακα Οπως είναι γνωστό, ένας τετραγωνικός πίνακας A C ν ν καλείται κανονικός όταν αντιμετατίθεται με τον αναστροφοσυζυγή του, δηλαδή όταν ικανοποιεί τη σχέση AA = A A. Πρόταση 1 (Συνθήκη 1) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν ο πίνακας p(a) = a m A m + + a 1 A + a 0 I ν είναι κανονικός για κάθε (βαθμωτό) πολυώνυμο p(λ) = a m λ m + + a 1 λ + a 0. Απόδειξη. Αν ο A είναι κανονικός, τότε για κάθε πολυώνυμο p(λ), προκύπτει με απλές πράξεις ότι p(a)p(a) = p(a) p(a), δηλαδή ο πίνακας p(a) είναι κανονικός. Το αντίστροφο είναι προφανές. Ανάλυση Πινάκων 2 / 39

Πρόταση 2 (Συνθήκη 2) Ενας αντιστρέψιμος πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν ο A 1 είναι κανονικός. Απόδειξη. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος κανονικός πίνακας, τότε ισχύει (A 1 ) A 1 = (A ) 1 A 1 = (AA ) 1 = (A A) 1 = A 1 (A ) 1 = A 1 (A 1 ), δηλαδή ο A 1 είναι κανονικός. Αντίστροφα, αν ο A 1 είναι κανονικός, τότε από το ευθύ θα είναι κανονικός και ο πίνακας (A 1 ) 1 = A. Ανάλυση Πινάκων 3 / 39

Πρόταση 3 (Συνθήκη 3) Ενας αντιστρέψιμος πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν ο A 1 A είναι ορθομοναδιαίος. Απόδειξη. Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος και κανονικός, τότε και (A 1 A )(A 1 A ) = A 1 A A(A 1 ) = A 1 AA )(A 1 ) = I ν (A 1 A ) (A 1 A ) = A(A 1 ) A 1 A = AA 1 (A 1 ) A = I ν. Αρα (A 1 A )(A 1 A ) = (A 1 A ) (A 1 A ) = I ν. Αντίστροφα, αν ο A 1 A είναι ορθομοναδιαίος, τότε (A 1 A ) = (A 1 A ) 1 A(A 1 ) = (A 1 ) A A 1 A = A A 1. Πολαπλασιάζοντας την τελευταία σχέση, από αριστερά και από δεξιά, με A, παίρνουμε A A = AA. Δηλαδή ο πίνακας A είναι κανονικός. Ανάλυση Πινάκων 4 / 39

Πρόταση 4 (Συνθήκη 4) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν ο πίνακας U AU είναι κανονικός για οποιοδήποτε ορθομοναδιαίο πίνακα U C ν ν. Απόδειξη. Αν ο πίνακας A είναι κανονικός, τότε με απλές πράξεις έχουμε (U AU)(U AU) = U AUU A U = U (AA )U και (U AU) (U AU) = U A UU AU = U (A A)U = U (AA )U. Αρα (U AU)(U AU) = (U AU) (U AU) και ο πίνακας U AU είναι κανονικός. Αντίστροφα, αν ο U AU είναι κανονικός (για οποιονδήποτε ορθομοναδιαίο U), τότε και ο πίνακας A = U(U AU)U είναι κανονικός. Ανάλυση Πινάκων 5 / 39

Πρόταση 5 (Συνθήκη 5) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει ένας ορθομοναδιαίος πίνακας U C ν ν κι ένας διαγώνιος πίνακας Λ C ν ν τέτοιοι ώστε U AU = Λ. Απόδειξη. Από το Λήμμα του Schur (βλ. Κεφάλαιο 1, Λήμμα 3), υπάρχουν ορθομοναδιαίος πίνακας U και άνω τριγωνικός πίνακας T τέτοιοι ώστε A = UTU T = U AU. Αν λοιπόν ο A είναι κανονικός, τότε από τη Συνθήκη 4 και ο τριγωνικός πίνακας T είναι κανονικός. Με απλές πράξεις, εύκολα μπορεί κανείς να επαληθεύσει ότι ο T πρέπει υποχρεωτικά να έχει μηδενικά όλα τα μη διαγώνια στοιχεία του. Δηλαδή, ο T είναι διαγώνιος. Ανάλυση Πινάκων 6 / 39

Συνέχεια Απόδειξης. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι A = UΛU, όπου ο Λ, ως διαγώνιος, ικανοποιεί τη σχέση ΛΛ = Λ Λ. Τότε είναι ϕανερό ότι AA = (UΛU )(UΛ U ) = UΛΛ U = UΛ ΛU = (UΛ U )(UΛU ) = A A και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Ανάλυση Πινάκων 7 / 39

Συνεχίζοντας τη μελέτη της κανονικότητας ενός πίνακα A C ν ν, θα συνδέσουμε τη συγκεκριμένη έννοια με τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά του πίνακα. Πρόταση 6 (Συνθήκη 6) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν είναι διαγωνοποιήσιμος και υπάρχει ορθοκανονική βάση του C ν ν που αποτελείται από τα ιδιοδιανύσματα του A. Απόδειξη. Προκύπτει άμεσα από τη Συνθήκη 5. Ανάλυση Πινάκων 8 / 39

Πρόταση 7 (Συνθήκη 7) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν ο A είναι διαγωνοποιήσιμος και οποιαδήποτε ιδιοδιανύσματα του τα οποία προέρχονται από διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. Απόδειξη. Προκύπτει άμεσα από τη Συνθήκη 5. Ανάλυση Πινάκων 9 / 39

Πρόταση 8 (Συνθήκη 8) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει ένα (βαθμωτό) πολυώνυμο p(λ) τέτοιο ώστε A = p(a). Απόδειξη. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε από τη Συνθήκη 5 ότι ο A είναι διαγώνιος και γράφεται A = diag{λ 1,λ 2,...,λ ν }. Αν επιλέξουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής p(λ), βαθμού το πολύ ν 1, που ικανοποιεί τη σχέση p(λ i ) = λ i (i = 1,2,...,ν), τότε άμεσα προκύπτει ότι p(a) = A. Αντίστροφα, αν A = p(a), τότε είναι προφανές ότι Ap(A) = p(a)a κι επομένως AA = A A. Ανάλυση Πινάκων 10 / 39

Πρόταση 9 (Συνθήκη 9) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν ο A είναι διαγωνοποιήσιμος και κάθε ιδιοδιάνυσμα x C ν του A είναι ιδιοδιάνυσμα και του A. Απόδειξη. Αν ο A είναι κανονικός τότε από τη Συνθήκη 5, U AU = Λ U A U = Λ για κάποιο διαγώνιο πίνακα Λ C ν ν και για κάποιο ορθομοναδιαίο U C ν ν. Ομως οι διαγώνιοι πίνακες Λ και Λ έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσματα, τα διανύσματα της κανονικής βάσης. Επομένως, οι A και A έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσματα, τα διανύσματα που είναι οι στήλες του ορθομοναδιαίου πίνακα U. Ανάλυση Πινάκων 11 / 39

Συνέχεια Απόδειξης. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιμος και ότι τα ιδιοδιανύσματα του ταυτίζονται ιδιοδιανύσματα του A. Τότε οι πίνακες A και A διαγωνοποιούνται μέσω ενός κοινού μετασχηματισμού ομοιότητας, δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε οι P 1 AP και P 1 A P να είναι διαγώνιοι. Από την κλασική θεωρία της διαγωνοποίησης πινάκων, γνωρίζουμε ότι οι στήλες του πίνακα P είναι (δεξιά) ιδιοδιανύσματα του A, ενώ οι γραμμές του P 1 είναι αριστερά ιδιοδιανύσματα του A που αντιστοιχούν στις ίδιες ιδιοτιμές. Επομένως, για να ισχύει P 1 = P, αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε (δεξιό) ιδιοδιάνυσμα του A και αριστερό ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές ιδιοτιμές του A είναι κάθετα μεταξύ τους. Υποθέτουμε λοιπόν ότι λ 1 και λ 2 είναι δύο διακεκριμένες ιδιοτιμές του A με x 1 ένα (δεξιό) ιδιοδιάνυσμα της λ 1 και y 2 ένα αριστερό ιδιοδιάνυσμα της λ 2. Τότε ισχύει Ax 1 = λ 1 x 1 και y 2 A = λ 2y 2. Συνεπώς, 0 = y 2 Ax 1 y 2 Ax 1 = y 2 (λ 1 x 1 ) (y 2 λ)x 1 = (λ 1 λ 2 )y 2 x 1, κι αφού λ 1 λ 2 0, έπεται ότι y 2 x 1 = 0. Ανάλυση Πινάκων 12 / 39

Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να γραφεί στη μορφή A = H(A) + S(A), όπου H(A) = (A + A )/2 είναι το ερμιτιανό μέρος και S(A) = (A A )/2 το αντιερμιτιανό μέρος του A. Οι ακόλουθες συνθήκες συνδέουν την έννοια της κανονικότητας με αυτήν την ανάλυση καρτεσιανού τύπου. Πρόταση 10 (Συνθήκη 10) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν H(A)S(A) = S(A)H(A). Ανάλυση Πινάκων 13 / 39

Απόδειξη. Αν ο πίνακας A είναι κανονικός τότε προφανώς ισχύει ότι H(A)S(A) = A + A 2 = A A 2 Αντίστροφα, έχουμε A A 2 A + A 2 = 1 4 ( A 2 AA + A A + (A ) 2) = S(A)H(A). H(A)S(A) = S(A)H(A) 1 ( A 2 AA + A A + (A ) 2) 4 = 1 ( (A ) 2 A A + AA + A 2) 4 AA + A A = AA A A 2A A = 2AA, δηλαδή ο πίνακας A είναι κανονικός. Ανάλυση Πινάκων 14 / 39

Πρόταση 11 (Συνθήκη 11) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν H(A)A = AH(A). Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Πρόταση 12 (Συνθήκη 12) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν S(A)A = AS(A). Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Ανάλυση Πινάκων 15 / 39

Πρόταση 13 (Συνθήκη 13) Εστω ότι ο ερμιτιανός πίνακας H(A) έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές. Τότε ο A είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του H(A) είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα του S(A). Απόδειξη. Αν ο πίνακας A είναι κανονικός τότε από τη Συνθήκη 5, υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας U C ν ν (με στήλες ιδιοδιανύσματα του A) ώστε ο πίνακας U AU = U (H(A) + S(A))U = U H(A)U + U S(A)U να είναι διαγώνιος. Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι ο πίνακας H(A) έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές και κάθε ιδιοδιάνυσμα του H(A) είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα του S(A). Τότε υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας U C ν ν (με στήλες ιδιοδιανύσματα του H(A)) ώστε οι πίνακες U H(A)U και U S(A)U να είναι διαγώνιοι. Προφανώς, και ο U AU = U (H(A) + S(A))U θα είναι διαγώνιος. Ανάλυση Πινάκων 16 / 39

Υπενθύμιση Η πολική παραγοντοποίηση ενός πίνακα A C ν ν είναι η γραφή του στη μορφή A = PW, όπου ο P C ν ν είναι ερμιτιανός (θετικά ημιορισμένος) και ο W C ν ν είναι ορθομοναδιαίος. Πρόταση 14 (Συνθήκη 14) Ενας αντιστρέψιμος πίνακας A C ν ν με πολική παραγοντοποίηση A = PW είναι κανονικός αν και μόνο αν WP = PW. Ανάλυση Πινάκων 17 / 39

Απόδειξη. Ο ερμιτιανός πίνακας P διαγωνοποιείται στη μορφή P = UΛU, όπου ο U C ν ν είναι ορθομοναδιαίος και ο Λ C ν ν είναι διαγώνιος με τα διαγώνια στοιχεία του (γνήσια) θετικά. Αν λοιπόν υποθέσουμε ότι ο A είναι κανονικός, τότε AA = A A (UΛU W)(UΛU W) = (UΛU W) (UΛU W) UΛ 2 U = W UΛ 2 U W Λ 2 = (U W U) Λ 2 (U W U). Δηλαδή, ο ορθομοναδιαίος πίνακας U W U έχει στήλες τα ιδιοδιανύσματα του Λ 2, τα οποία είναι και ιδιοδιανύσματα του Λ. Επομένως, Λ = (U WU) Λ(U W U) UΛU = W UΛU W W P = PW. Αντίστροφα, αν WP = PW, τότε με απλές πράξεις μπορεί κανείς να επαληθεύσει ότι A A = AA. Ανάλυση Πινάκων 18 / 39

Πρόταση 15 (Συνθήκη 15) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν AW = WA. Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Πρόταση 16 (Συνθήκη 16) Ενας πίνακας A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν AP = PA. Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Ανάλυση Πινάκων 19 / 39

Πρόταση 17 (Συνθήκη 17) Ενας πίνακας A C ν ν, με (όχι απαραίτητα διακεκριμένες) ιδιοτιμές λ 1,λ 2,...,λ ν, είναι κανονικός αν και μόνο αν οι ιδιάζουσες τιμές του είναι λ 1, λ 2,..., λ ν. Απόδειξη. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι λ 1 λ 2 λ ν και λ i = e iθ i λ i (i = 1,2,...,ν). Από τη Συνθήκη 5, γνωρίζουμε ότι ο A C ν ν είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει ένας ορθομοναδιαίος πίνακας V = [v 1 v 2 v ν ] C ν ν (με στήλες v 1,v 2,...,v ν C ν ) κι ένας διαγώνιος πίνακας Λ C ν ν τέτοιοι ώστε: Ανάλυση Πινάκων 20 / 39

Συνέχεια Απόδειξης. A = VΛV e iθ 1 λ 1 0 0 0 e iθ 2 λ 2 0 = [v 1 v 2 v ν ]...... 0 0 e iθ ν λ ν λ 1 0 0 = [ ] 0 λ e iθ 1 v 1 e iθ 2 v 2 e iθ 2 0 ν v ν...... 0 0 λ ν v 1 v 2. v ν v 1 v 2. v ν. Η παραπάνω γραφή είναι προφανώς μία παραγοντοποίηση SVD του A. Επομένως, αν ο A είναι κανονικός, τότε οι ιδιάζουσες τιμές του είναι λ 1, λ 2,..., λ ν. Ανάλυση Πινάκων 21 / 39

Συνέχεια Απόδειξης. Για το αντίστροφο, από το Λήμμα του Schur, υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι ο A είναι άνω τριγωνικός με τις ιδιοτιμές του στη διαγώνιο. Θεωρούμε επίσης τον ερμιτιανό πίνακα A A = = λ 1 0 0 λ 1 λ 2 0 0 λ 2............ λ ν 0 0 λ ν λ 1 2 λ 2 2 + ρ 2,2.,..... λ ν 2 + ρ ν,ν όπου οι ν 1 αριθμοί ρ 2,2,...,ρ ν,ν είναι μη αρνητικοί και τα διαγώνια στοιχεία λ 1 2, λ 2 2 + ρ 2,2,..., λ ν 2 + ρ ν,ν είναι τα τετράγωνα των (Ευκλείδειων) μέτρων των στηλών του A. Ανάλυση Πινάκων 22 / 39

Συνέχεια Απόδειξης. Συνεπώς, αν ένα οποιοδήποτε στοιχείο του τριγωνικού πίνακα A πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μη μηδενικό, τότε το ίχνος του A A είναι μεγαλύτερο του αθροίσματος λ 1 2 + λ 2 2 + + λ ν 2, κάτι που οδηγεί σε άτοπο. Αρα, κατά την εφαρμογή του Λήμματος του Schur, ο A διαγωνοποιείται με ορθομοναδιαίο μετασχηματισμό ομοιότητας και είναι κανονικός πίνακας. Ανάλυση Πινάκων 23 / 39

Αποστάσεις από την Κανονικότητα Οι ορισμοί των αποστάσεων από την κανονικότητα που ακολουθούν βασίζονται στην επιλογή της νόρμας πινάκων που χρησιμοποιούμε. Συνήθως, στη βιβλιογραφία, επιλέγονται η ϕασματική (τελεστική) νόρμα 2 και η νόρμα Frobenius F που μελετήσαμε στο πρώτο κεφάλαιο. Ανάλυση Πινάκων 24 / 39

Ορισμός 1 Εστω ένας πίνακας A C ν ν και μία νόρμα πινάκων. (i) Η τοπολογική απόσταση του A από την κανονικότητα (με βάση τη νόρμα ) ορίζεται ως dn top (A) = min{ A N : N C ν ν, N N = NN }. (ii) Η απόσταση μέσω αντιμεταθέτη του A από την κανονικότητα (με βάση τη νόρμα ) ορίζεται ως dn com (A) = A A AA 1/2. (iii) Υπενθυμίζουμε ότι από το Λήμμα του Schur ο A C ν ν γράφεται στη μορφή A = UTU = U(Λ U + R U )U για κάποιο ορθομοναδιαίο πίνακα U, όπου ο T = Λ U + R U είναι άνω τριγωνικός, ο Λ U είναι διαγώνιος και ο R U είναι γνήσια άνω τριγωνικός. Η απομάκρυνση κατά Henrici του A από την κανονικότητα (με βάση τη νόρμα ) ορίζεται ως δ (A) = min { R U : U AU = Λ U + R U, U U = UU = I ν }. Ανάλυση Πινάκων 25 / 39

Για κάθε A C ν ν, οι αποστάσεις dn top (A), dncom (A) και δ (A) λαμβάνουν μη αρνητικές τιμές, ενώ στην περίπτωση που ο πίνακας A είναι κανονικός, προκύπτει άμεσα ότι dn top (A) = dncom (A) = δ (A) = 0. Σημείωση Η τοπολογική απόσταση dn top (A) συνδέεται με την έννοια του πλησιέστε- ρου στον A κανονικού πίνακα, αλλά ο ακριβής υπολογισμός της αποτελεί γενικά ένα δύσκολο πρόβλημα. Η απόσταση μέσω αντιμεταθέτη dn com (A) υπολογίζεται εύκολα, αλλά δεν συνδέεται με την έννοια του πλησιέστερου στον A κανονικού πίνακα. Η απομάκρυνση κατά Henrici δ (A) είναι άμεσα υπολογίσιμη μόνο για τη νόρμα Frobenius (βλέπε την Πρόταση 18 παρακάτω) συνδέεται με την έννοια του πλησιέστερου στον A κανονικού πίνακα και μετρά την απόσταση του A από τους κανονικούς πίνακες που έχουν τις ίδιες ακριβώς ιδιοτιμές με τον A, λαμβάνοντας υπόψη και τις πολλαπλότητες. Λόγω αυτής της τελευταίας παρατήρησης, χρησιμοποιούμε τον όρο απομάκρυνση αντί του όρου απόσταση. Ανάλυση Πινάκων 26 / 39

Παρατήρηση 1 Εστω ότι η νόρμα είναι ορθομοναδιαία αναλλοίωτη. Αν για κάθε κανονικό πίνακα N C ν ν θεωρήσουμε όλες τις ορθομοναδιαίες διαγωνοποιήσεις της μορφής N = UΛU (όπου ο πίνακας U είναι ορθομοναδιαίος και ο Λ είναι διαγώνιος), τότε ο Ορισμός 1 ((i)) της τοπολογικής απόστασης από την κανονικότητα γράφεται dn top (A) = min{ U AU Λ : Λ διαγώνιος, U U = UU = I ν }. (1) Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο N C ν ν είναι ένας από τους πλησιέστερους στον A κανονικούς πίνακες, με βάση την τοπολογική απόσταση dn top ( ), δηλαδή 2 A N 2 = dn top (A). Αν θεωρήσουμε μία διαγωνοποίηση του N μέσω ενός 2 ορθομοναδιαίου μετασχηματισμού ομοιότητας, N = U N Λ N U N, και συμβολίσουμε με D(U N AU N) τον ν ν διαγώνιο πίνακα με κύρια διαγώνιο την κύρια διαγώνιο του U N AU N, τότε από την (1) παρατηρούμε ότι U N AU N Λ N 2 = dn top (A), Λ N = D(U 2 N AU N) και N 2 = D(U N AU N) 2 U N AU N 2 = A 2. (2) Ανάλυση Πινάκων 27 / 39

Σχόλιο Ο υπολογισμός της απομάκρυνσης δ (A) δεν είναι γενικά εύκολος αφού στο Λήμμα του Schur, ο ορθομοναδιαίος πίνακας U δεν είναι μοναδικός. Επειδή όμως η νόρμα Frobenius F είναι ορθομοναδιαία αναλλοίωτη, έχουμε την ακόλουθη πρόταση. Ανάλυση Πινάκων 28 / 39

Πρόταση 18 Για κάθε πίνακα A C ν ν με (όχι κατ ανάγκη διακεκριμένες) ιδιοτιμές λ 1,λ 2,...,λ ν, ισχύει ν δ F (A) = A 2 F λ i 2. Απόδειξη. Για κάθε ορθομοναδιαίο πίνακα U C ν ν που δίνει την τριγωνοποίηση κατά Schur του A, A = U(Λ U + R U )U, ισχύει i=1 A 2 F = U AU 2 F = Λ U + R U 2 F = Λ U 2 F + R U 2 F = λ i 2 + R U 2 F. ν Δηλαδή, R U 2 F = A 2 F ν i=1 λ i 2. i=1 Ανάλυση Πινάκων 29 / 39

Χρησιμοποιώντας τη γνωστή σχέση 2 F ν 2 της Πρότασης 3, Κεφάλαιο 1, εύκολα μπορεί κανείς να επαληθεύσει το ακόλουθο αποτέλεσμα. Πρόταση 19 Εστω ένας πίνακας A C ν ν. Τότε ισχύουν οι ανισότητες dn top 2 (A) dn top F (A) ν dn top 2 (A), και dn com 2 (A) dn com F (A) ν dn com 2 (A) δ 2 (A) δ F (A) ν δ 2 (A). Ανάλυση Πινάκων 30 / 39

Πρόταση 20 Εστω ένας πίνακας A C ν ν. Τότε ισχύει Απόδειξη. dn top F (A) δ F (A). Θεωρούμε μία παραγοντοποίηση Schur του πίνακα A, A = UTU = U(Λ U + R U )U, όπου ο R U είναι γνήσια άνω τριγωνικός με R U F = δ F (A). Τότε έχουμε δ F (A) 2 = R U 2 F = U AU Λ U 2 F = A UΛ UU 2 F min{ A UΛ U U F : U U = UU = I ν } 2 = dn top (A) 2. F Δηλαδή, δ F (A) dn top F (A). Ανάλυση Πινάκων 31 / 39

Πρόταση 21 Εστω ένας πίνακας A C ν ν. Τότε ισχύει dn com (A) 2 A F 2 dn top (A). F Απόδειξη. Θεωρούμε έναν από τους πλησιέστερους στον A κανονικούς πίνακες, με βάση την απόσταση dn top ( ), έστω τον N C ν ν. Τότε με απλές πράξεις και εφαρμογή της F τριγωνικής ανισότητας και της Ασκησης 1.5.7 των σημειώσεων, έχουμε A A AA F = A (A N) + (A N) N (A N)N A(A N ) F A 2 A N F + (A N) F N 2 A N F N 2 A 2 (A N) F = 2 A 2 A N F + 2 N 2 A N F. Ομως, από τη σχέση (2), N 2 A 2. Επομένως, A A AA F 4 A 2 A N F Ανάλυση Πινάκων 32 / 39

Παραδείγματα Ολοκληρώνοντας το κεφάλαιο, δίνουμε τα παραδείγματα ενός κανονικού και ενός μη κανονικού πίνακα προκειμένου να επαληθεύσουμε αριθμητικά τα αποτελέσματα των δύο προηγούμενων παραγράφων. Ας θεωρήσουμε τον 3 3 πίνακα A = ο οποίος είνα κανονικός καθώς 1 + i 1 0 1 1 + i 0 0 0 1 i A A = AA = 3 2 0 2 3 0 0 0 2,. Ανάλυση Πινάκων 33 / 39

Ο A είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφος του πίνακας A 1 = είναι επίσης κανονικός, καθώς 0.2 i0.6 0.2 + i0.4 0 0.2 + i0.4 0.2 i0.6 0 0 0 0.5 + i0.5 (A 1 ) A 1 = A 1 (A 1 ) = επαληθεύοντας τη Συνθήκη 2. 0.6 0.4 0 0.4 0.6 0 0 0 0.5, Ανάλυση Πινάκων 34 / 39

Η παραγοντοποίηση κατά Schur του πίνακα A οδηγεί στην διαγωνοποίηση 2 2 A = UΛU 2 2 0 = 2 2 2 2 0 0 0 1 2 + i 0 0 0 i 0 0 0 1 i 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 όπως αναμενόταν από τη Συνθήκη 5. Το ερμιτιανό και αντιρμιτιανό μέρος του A, 1 1 0 i 0 0 H(A) = 1 1 0 και S(A) = 0 i 0, 0 0 1 0 0 i ικανοποιούν τη σχέση επαληθεύοντας τη Συνθήκη 10. H(A)S(A) = S(A)H(A) = i i 0 i i 0 0 0 i,, Ανάλυση Πινάκων 35 / 39

Τέλος, στην πολική παραγοντοποίηση του A, A = PW 1.618 0.618 0 0.4472 + i0.7236 0.4472 i0.2764 0 = 0.618 1.618 0 0.4472 i0.2764 0.4472 + i0.7236 0 0 0 2 0 0 2, 2 (1 i) μπορεί κανείς να δει ότι PW = WP = A, επαληθεύοντας τη Συνθήκη 14. Ανάλυση Πινάκων 36 / 39

Για το δεύτερο μας παράδειγμα, θεωρούμε τον 4 4 πίνακα B = 2 10 4 2 0 1 i 3 5 0 0 2 i4 0 0 0 1 Από την Πρόταση 18, έχουμε ότι δ F (B) = 13.0384, ενώ από την άνω τριγωνική μορφή του B προκύπτει ότι ο πλησιέστερος στον B κανονικός πίνακας, ως προς την απομάκρυνση δ F ( ), είναι ο διαγώνιος πίνακας diag{2, 1, 2, 1}. Εφαρμόζοντας τη σχέση (1), προσεγγίζουμε τις αποστάσεις. dn top 2 (B) 5.88 και dn top F (B) 8.74. Ανάλυση Πινάκων 37 / 39

Επιπλέον, για την απόσταση από την κανονικότητα μέσω αντιμεταθέτη, έχουμε dn com 2 (B) = B B BB 1/2 2 = 11.1215 και dn com F (B) = B B BB 1/2 F = 12.9378. Προφανώς, επαληθεύονται οι ανισότητες της Πρότασης 19 για τις αποστάσεις dn top (B), dn top (B), dn com 2 F 2 (B) και dn com (B). Επίσης, μπορεί να F παρατηρήσει κανείς ότι dn top (B) 8.74 13.0384 = δ F (B) και F dn com (B) = 12.9378 2 11.2935 8.74 2 B 2 dn top (B). F F επαληθεύοντας τις Προτάσεις 20 και 21, αντίστοιχα. Ανάλυση Πινάκων 38 / 39

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.