Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Module #8b Transformation des contraintes et des déformations D-3D : Cercle de Mohr (CIV1150 - Résistance des matériaux) Enseignant: James-A. Goulet Département des génies civil, géologique et des mines Sections 8.5-8.10 R. Craig (011) Mechanics of Materials, 3rd Edition John Wiley & Sons. P. Léger (006) Notes de cours: Chapitre 8. 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 1 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Rappel Module 8a Mise en contexte (Rappel Module 8a) Contrainte dans la barre? Contrainte dans la structure? σ = F A Requiert l analyse des contraintes principales en D-3D 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Rappel Module 8a Rappel Module 8a Formules rotation du système d axe ( ) ( σx +σ σ n = y σx σ + y ) τ nt = sin θ + τ xy cos θ ( σx σ y ) cos θ + τ xy sin θ Module 8b : cercle de Mohr méthode graphique pour calculer : σ n, τ nt }{{} contraintes normales et tangentielles, σ 1, σ, θ p, }{{} τ s1, θ }{{} s contraintes cisaillement principales maximal 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 3 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Formulation mathématique Formules rotation du système d axe Formules rotation du système d axe ( ) σx σ σ n σ avg. = y cos θ + τ xy sin θ ) τ nt = sin θ + τ xy cos θ ( σx σ y R = ( ) σx σ y + τ xy (σ n σ avg. ) + τ nt = = R ( ) σx σ y + τ xy (σ n σ avg. ) + τ nt = R }{{} Cercle! 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 6 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ& planes Mohr 3D ( σ) Mesures de Re sume Repre sentation graphique Repre sentation graphique Cercle de Mohr (σn σavg. ) + τnt = R Rayon du cercle: r σx σy + τxy R= 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Centre du cercle: σavg. = σx +σy Polytechnique Montre al 7 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + σ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + σ τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + σ τ X : σ x, τ xy θ xx = 0 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy σ X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy σ X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy C σ X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy C σ X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ σ avg. = σx +σy σ x σ y 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy 90 o C σ X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ σ avg. = σx +σy σ x σ y 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy C σ R (σ n σ avg. ) +τ nt = R R = ( ) σx σ y + τ xy τ σ avg. = σx +σy σ x σ y X : σ x, τ xy θ xx = 0 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy C σ R θ xn X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ σ avg. = σx +σy σ x σ y 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy T : σ t, τ tn θ xn + 90 o C σ R θ xn N : σ n, τ nt θ = θ xn X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ σ avg. = σx +σy σ x σ y 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy P : σ P C P1 : σ P1 R θ xp1 tan θ p1 = τ xy σ x σ y X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ σ avg. = σx +σy σ x σ y 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Cercle de Mohr + θ xy = 90 o Y : σ y, τ xy S : τ s P : σ P C θ xp P1 : σ P1 R S 1 : τ s1 X : σ x, τ xy θ xx = 0 τ σ avg. = σx +σy σ x σ y 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr Étapes de construction du cercle de Mohr 1. Identifier les contraintes (±) agissant sur l élément dans le repère X Y + (! τ + si rotation anti-horaire ). Tracer les axes (! même échelle & τ + vers le bas) 3. Marquer les points X : (σ x, τ xy ) et Y : (σ y, τ yx = τ xy ) 4. Tracer le segment XY, et marquer le centre C 5. Tracer le cercle de centre C et passant par X et Y 6. N(σ n, τ nt ) : Rotation de X vers N dans le même sens pour le cercle de Mohr et l élément (! angle θ doublé sur le cercle) 7. σ principales P(σ 1, 0) : σ 1 = σ avg. + R, σ = σ avg. R 8. τ maximal S(σ avg., τ s1 ) : σ s1 = σ avg., σ s = σ avg. 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 9 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Propriétés Signes & cisaillement + + : rotation anti-horaire 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 10 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples illustratifs Exemple Contrainte uniaxiale (! signe inversé) [Wikipedia] 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 11 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples illustratifs Exemple Contrainte biaxiale (! signe inversé) [Wikipedia] 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 1 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples illustratifs Exemple Cisaillement pur (! signe inversé) [Wikipedia] 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 13 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ& planes Mohr 3D ( σ) Mesures de Re sume Exemples pratiques Exemple 1 + X (σx = +3 MPa, τxy = + MPa) Y (σy = +1 MPa, τyx = MPa) σavg. = R= σx +σy r = σx σy 3 MPa+ MPa + τxy = q = MPa 3 MPa 1 MPa + MPa =.4 MPa σp1 = σavg. + R = 4.4 MPa, σp = σavg. R = 0.4 MPa tan θxp1 = τxy σx σy θxp1 = 1 arctan 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux MPa 3 MPa 1 MPa = 31.7o Polytechnique Montre al 14 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ& planes Mohr 3D ( σ) Mesures de Re sume Exemples pratiques Exemple 1 (cont.) + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 15 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples pratiques Exemple + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 16 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples pratiques Exemple 3 + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 17 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples pratiques Exemple 4 + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 18 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples pratiques Exemple 5 + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 19 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples pratiques Exemple 6 + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 0 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Contraintes planes (rappel) Contraintes planes (rappel) Contraintes planes: σ z = τ xz = τ yz = 0 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Contraintes planes (rappel) Contraintes planes (rappel) Contraintes planes: σ z = τ xz = τ yz = 0, ɛ z 0 ɛ x = 1 E (σ x νσ y ) ɛ y = 1 E (σ y νσ x ) ɛ z = ν E (σ x + σ y ) 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 3 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Déformations planes Déformations planes Déformations planes: ɛ z = γ xz = γ yz = 0 ɛ z = 0 σ z = Eν (1 + ν)(1 ν) (ɛ x + ɛ y ) [Frey, 1998] 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 4 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Tenseur de contraintes 3D (Rappel) Tenseur de contraintes 3D Tenseur de contraintes i: Plan normal, j: Direction [σ ij ] = σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz Afin de satisfaire les éq. d équilibre: τ xy = τ yx, τ xz = τ zx, τ yz = τ zy 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 6 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Contraintes principales σ 1 σ σ 3 Contraintes principales σ 1 σ σ 3 σ 1 σ max σ σ int σ 3 σ min τ xy = τ xz = τ yz = 0 [σ ij ] = σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 7 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D + Y : σ y, τ xy θ = 90 o σ z = τ zx = τ zy = 0 C σ X : σ x, τ xy θ = 0 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D + Y : σ y, τ xy θ = 90 o σ z = τ zx = τ zy = 0 P : σ P C P1 : σ P1 X : σ x, τ xy θ = 0 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D + Y : σ y, τ xy θ = 90 o σ z = τ zx = τ zy = 0 Z : 0, 0 P : σ P C P1 : σ P1 X : σ x, τ xy θ = 0 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D + Y : σ y, τ xy θ = 90 o σ z = τ zx = τ zy = 0 Z : 0, 0 P : σ P C P1 : σ P1 X : σ x, τ xy θ = 0 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D + σ z = τ zx = τ zy = 0 P : σ P Z : 0, 0 C 13 C 1 P1 : σ P1 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D + σ z = τ zx = τ zy = 0 P3 : σ P3 P : σ P Z : 0, 0 C 13 C 1 P1 : σ P1 τ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D + S : τ s = τ max σ z = τ zx = τ zy = 0 P3 : σ P3 P : σ P Z : 0, 0 C 13 C 1 P1 : σ P1 τ S : τ s = τ max 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D (cont.) + Pour σ 1 σ σ 3 σ max = σ 1 σ min = σ 3 τ max = 1/(σ 1 σ 3 ) σ S = 1/(σ 1 + σ 3 ) [Frey, 1998] 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 9 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Construction du cercle de Mohr 3D Cercle de Mohr 3D contraintes principales + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 30 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples Exemple 7 + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 31 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples Exemple 8 + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 3 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples Exemple 9 + σ z = 0 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 33 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemples Exemple 10 + σ z = 0 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 34 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Corps déformables Corps déformables 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 36 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Corps déformables Déformations dans un plan 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 37 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Relations déplacements déformations Déformations selon des plans arbitraires Transformation des déformations ) ) ɛ n = + ɛ t = γ nt = ( ɛx +ɛ y ( ) ɛx +ɛ y ( ) ɛx ɛ y ( ɛx ɛ y ( ) ɛx ɛ y cos θ + ( γ xy ) sin θ cos θ ( γ xy ) sin θ sin θ + ( γ xy ) cos θ ɛ n + ɛ t = ɛ x + ɛ y 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 38 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Déformations principales Déformations principales (normales) ( ) ( ) ɛx +ɛ ɛ 1 = y ɛx ɛ + y ( γxy ) + = ɛavg. + R ɛ = tan θ xp1 = ( ) (ɛx ɛx +ɛ y ɛ y γ xy ɛ x ɛ y ) ( γxy + ) } {{ } R = ɛ avg. R Déformations principales (cisaillement) γ max = γ min = ɛ 1 ɛ ɛ S1 = ɛ S = 1 (ɛ 1 + ɛ ) 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 39 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Déformations principales Déformations principales Déformations principales : aucune distorsion en déformation (γ xy = 0, i.e. les angles droits restent droits) [Bazergui] 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 40 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Similarités avec les contraintes Cercle de Mohr déformations 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 41 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Similarités avec les contraintes Cercle de Mohr - déformations principales 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 4 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Exemple Déformations principales - exemple ɛ x = 39.6 10 6 ɛ y = 97.3 10 6 γ xy = 19.3 10 6 ɛ 1 =?, ɛ =?, γ max =?, θ xp1 =?, θ xs1 =? Déformations principales ) ɛ 1, = ± ( ɛx +ɛ y ( ɛx ɛ y γ max = γ min = ɛ 1 ɛ ) ( γxy ) + 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 43 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Contraintes principales empiriques Comment connaitre les contraintes principales en D-3D? {σ 1, σ } }{{} σ principales {ɛ 1, ɛ } }{{} ɛ principales {ɛ x, ɛ y, γ xy } }{{} ɛ cartésiennes {ɛ a, ɛ b, ɛ c } }{{} ɛ mesurées Requiert la mesure des déformations axiales ɛ selon trois directions: a, b, c 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 45 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Jauges de déformation Comment mesure-t-on les déformations en D-3D? Jauges de déformation axiales ɛ n résistance électrique 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 46 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Rosettes - transformation des déformations n t x y Rosettes 45 o transformation des déformations Transformation des déformations ( ) ( ) ɛx + ɛ y ɛx ɛ ( y γxy ) ɛ n = + cos θ + sin θ Pour une rosette à 45 o ɛ x = ɛ a ɛ y = ɛ c ɛ b = = ( ɛx +ɛ y ( ɛx +ɛ y ) + ) ( ɛx ɛ y + ( γ xy ) γ xy = ɛ b ɛ x ɛ y ) =0 {}}{ cos θ + ( γ xy ) { =1 }}{ sin θ 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 47 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Rosettes - transformation des déformations n t x y Rosettes 60 o transformation des déformations Transformation des déformations ( ) ( ) ɛx + ɛ y ɛx ɛ ( y γxy ) ɛ n = + cos θ + sin θ Pour une rosette à 60 o ɛ x = ɛ a ɛ y = 1 3 (ɛ b + ɛ c ɛ a ) γ xy = 3 (ɛ b ɛ c ) 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 48 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Transformation des déformations x y p1 p Déformations et contraintes principales Déformations principales (normales) ɛ 1 = ɛ = ( ) ɛx +ɛ y + ( ) ɛx +ɛ y ( ɛx ɛ y ( ɛx ɛ y ) ( γxy ) + ) ( γxy ) + Contraintes principales (contraintes planes, σ 3 = 0) σ 1 = E 1 ν (ɛ 1 + νɛ ) σ = E 1 ν (ɛ + νɛ 1 ) 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 49 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ& planes Mohr 3D ( σ) Mesures de Re sume Exemples Contraintes principales & rosette exemple a = 640 10 6 b = 480 10 6 c = 00 10 6 σ1 =?, σ =?, θxp1 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux E = 00 GPa ν = 0.3 Polytechnique Montre al 50 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Résumé Module #8b But : méthode graphique pour calculer σ n, τ nt }{{} contraintes normales et tangentielles, σ 1, σ, θ p, }{{} τ s1, θ }{{} s contraintes cisaillement principales maximal Cercle de Mohr : (σ n σ avg. ) + τ nt = R σ p à partir des mesures de déformations axiales : {σ 1, σ } }{{} {ɛ 1, ɛ } }{{} {ɛ x, ɛ y, γ xy } }{{} σ principales ɛ principales ɛ cartésiennes {ɛ a, ɛ b, ɛ c } }{{} ɛ mesurées 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 51 / 5
Introduction Mohr D ( σ) σ& planes Mohr 3D ( σ) Mesures de Re sume Organisation de la matie re 1 Statique Mate riau Chargements - E quilibre des forces et moments - Diagrammes de corps libres - 5 Diagramme des efforts, N(x), V (x), M(x) - Contraintes & de formations - Loi de Hooke, Poisson & St-Venant - 3 Efforts axiaux - 4 Torsion - 6a Flexion - 6b Cisaillement - 7 De flexion - 9 Pression & chargements combine s - 7 De flexion - 8 Contraintes D-3D - 10 Lois constitutives & crite res de rupture Introduction Mohr D (\ ) Mohr 3D (\ ) \ Mohr (\ ) Mesures de Re sume Construction du cercle de Mohr E tats limites 8b Cercle de Mohr V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux + Cercle de Mohr + Y : y, xy = 90o C R ( n avg. ) tan p1 = X : x, xy =0 + nt = R xy x y avg. = x+ y x y (Automne 015) 8 Contraintes dans les poutres CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 8 / 51 Polytechnique Montre al 5 / 5